适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第六章数列第四节数列求和课件北师大版

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数列求和的常用方法1.公式法

当等比数列的公比未知而运用其前n项和公式时,注意对q=1时的情况进行讨论
2.裂项相消求和法:裂项相消求和法就是把数列的各项变为两项之差,使得相加求和时一些正负项相互抵消,前n项和变成首尾若干少数项之和,从而求出数列的前n项和.3.错位相减求和法:如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项之积构成的,那么求这个数列的前n项和可运用错位相减求和法.4.拆项分组求和法:如果一个数列的各项是由几个等差数列和等比数列的项相加减得到的,那么可以把数列的每一项拆成多个项或把数列的项重新分组,使其转化成等差数列或等比数列,然后利用等差数列、等比数列的求和公式求和.
5.并项转化求和法:在求数列的前n项和时,如果一个数列的项是正负交错的,尤其是当各项的绝对值又构成等差数列时,可以先将相邻的两项或几项合并,然后再利用其他相关的方法进行求和.6.倒序相加求和法:如果一个数列{an}中,与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n项和可运用倒序相加求和法.
常用结论1.常用裂项公式
自主诊断题组一　思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
题组二　双基自测5.已知两个等差数列2,6,10,…,190及2,8,14,…,200,将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列.求这个新数列的各项之和.
6. 求下列数列的一个通项公式和一个前n项和公式.1,11,111,1 111,11 111,….
例题(2023·山东潍坊高三月考)若Sn为数列{an}的前n项和,a1=2,且Sn+1=2(Sn+1)(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;
解 (1)因为Sn+1=2(Sn+1),n∈N*,所以当n≥2时,Sn=2(Sn-1+1),两式相减可得Sn+1-Sn=2(Sn+1)-2(Sn-1+1),即an+1=2an(n≥2).当n=1时,a1+a2=S2=2S1+2=2a1+2,又a1=2,所以a2=4,符合上式.所以an+1=2an(n∈N*),故数列{an}是等比数列,且首项为2,公比为2,所以an=2n.
规律方法 裂项相消求和法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合使之能消去一些项,最终达到求和的目的.利用裂项相消求和法的关键是分析数列的通项,考察其是否能分解成两项的差,在裂项求和的过程中,还要注意以下几点:(1)注意通项裂开后,是否恰好等于相应的两项之差,有时恰好等于两项之差,有时则是倍数关系,需要在裂开的式子前面乘上一个系数;(2)注意在正负项抵消后,是否只剩下了第一项和最后一项,有时可能前面剩下了两项,后面也剩下了两项.
对点训练(2023·河南平顶山高三模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=(n+2)an-2.(1)求数列{an}的通项公式;
(1)解 当n=1时,2S1=(1+2)a1-2,即a1=2.当n≥2时,2Sn=(n+2)an-2,2Sn-1=(n-1+2)an-1-2=(n+1)an-1-2,两式相减得2an=(n+2)an-(n+1)an-1,即nan=(n+1)an-1,
例题已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=-n2+kn(k∈N*),且Sn的最大值为25.(1)求k的值及通项公式an;
综上可得,k=10,Sn=-n2+10n.当n=1时,a1=S1=9.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-n2+10n)-[-(n-1)2+10(n-1)]=-2n+11,当n=1时也成立.综上可得an=-2n+11.所以k=10,an=-2n+11.
规律方法 错位相减求和法的方法步骤设{anbn}的前n项和为Sn,其中数列{an}为公差为d的等差数列,数列{bn}为公比为q(q≠1)的等比数列.则错位相减求和法的步骤如下.∵Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn,∴qSn=a1b2+a2b3+…+an-1bn+anbn+1.
∵{an}的各项均为正数,∴an-an-1=3,∴{an}为等差数列,则an=a1+3(n-1)=3n.∵Sn=2bn-2,∴当n≥2时,Sn-1=2bn-1-2,两式相减得bn=2bn-1.当n=1时,b1=S1=2b1-2,得b1=2.∴{bn}为等比数列,∴bn=2·2n-1=2n.
考向1拆项分组求和法
规律方法 适合拆项分组求和法的两种数列
对点训练(2023·山东师大附中高三模拟)已知Sn是数列{an}的前n项和,且a1=1,an+an+1=2n+1.(1)求数列{an}的通项公式;
解 (1)an+an+1=2n+1变形为an+1-(n+1)=-(an-n),因为a1-1=0,所以an+1-(n+1)=-(an-n)=…=0,故an=n.(2)当n为奇数时,bn=2n,当n为偶数时,bn=n,则T2n=2+2+23+4+25+6+…+22n-1+2n=2+4+6+…+2n+(2+23+25+…+22n-1)
考向2并项转化求和法题组(1)(2023·河北石家庄高三期中)已知数列{an}的通项公式为an=ncs(n-1)π,Sn为数列的前n项和,S2 023=(　　)A.1 009B.1 010C.1 011D.1 012
答案 (1)D　(2)D
解析 (1)当n为奇数时,cs(n-1)π=1,当n为偶数时,cs(n-1)π=-1,所以cs(n-1)π=(-1)n-1,所以an=ncs(n-1)π=n×(-1)n-1,所以S2 023=1-2+3-4+…-2 022+2 023=-1×1 011+2 023=1 012.故选D.
规律方法 并项转化求和法关注点(1)一般地,当数列中的各项正负交替,且各项绝对值成等差数列时,可采用并项转化求和法.(2)在利用并项转化求和法时,一般需要对项数n分奇数和偶数两种情况进行讨论,所以结果一般用分段函数来表示.
考向3倒序相加求和法
答案 (1)D　(2)B
∵等比数列{an}满足a1a2 020=1,∴a1a2 020=a2a2 019=…=a2 020a1=1,∴f(a1)+f(a2 020)=f(a2)+f(a2 019)=…=f(a2 020)+f(a1)=2,即f(a1)+f(a2)+…+f(a2 020)=2 020.故选D.