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2022-2023学年安徽省合肥市长丰县八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年安徽省合肥市长丰县八年级（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽省合肥市长丰县八年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 二次根式 5−x中字母x的取值范围是( )
A. x≥5 B. x≤5 C. x≠5 D. x<5
2. 一个多边形的每个外角都等于45°，则这个多边形的边数是( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 12
3. 下列运算中，结果正确的是( )
A. 3+ 12= 15 B. 2 5− 5=2
C. 6× 3=3 2 D. 6+ 2=3
4. 为庆祝神舟十六号载人飞船发射成功，学校开展航天知识竞赛活动.经过几轮筛选，八(2)班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数(单位：分)及方差(单位：)如表所示：
甲
乙
丙
丁
平均数
98
96
96
98
方差
0.2
0.3
1.2
1.8
如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
5. 下列几组数中，不能构成直角三角形三边长的是( )
A. 1，2， 3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 12，5，13
6. 在“双减政策”的推动下，某初级中学学生课后作业时长明显减少.2022年上学期每天作业平均时长为100分钟，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天作业时长为60分钟.设这两学期该校平均每天作业时长每期的下降率为x，则可列方程为( )
A. 60(1+x)2=100 B. 60(1+x2)=100
C. 100(1−x)2=60 D. 100(1−x2)=60
7. 若y= x−2+ 4−2x−3，则(x+y)2023等于( )
A. 1 B. 5 C. −5 D. −1
8. 若关于x的一元二次方程x2+2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是( )
A. B. C. D.
9. 现有一张平行四边形ABCD纸片，AD>AB，要求用尺规作图的方法在边BC，AD上分别找点M.N，使得四边形AMCN为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是( )
A. 甲对、乙不对 B. 甲不对、乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都不对
10. 如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且BE=BC，点P是CE上一动点，则点P到边BD，BC的距离之和PM+PN的值( )
A. 是定值4 2
B. 是定值8
C. 有最小值4 2
D. 有最大值8
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
11. 计算：3 2− 8=______．
12. x=2是关于x的方程x2+mx+4=0的解，则m的值是______ ．
13. 在学校举行的“美丽南通，幸福家园”演讲比赛中，评委分别从演讲内容、演讲能力、演讲效果这三方面打分，小华这三项得分的成绩分别为88分，80分，85分，最后再按照5：3：2的得分比例计算最终得分，则小华的最终得分是______ 分.
14. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC边上的一点，连结AE，把△ABE沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，CE的长为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共54.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题5.0分)
计算： 48÷2 3− 27× 63+6 12．
16. (本小题5.0分)
用配方法解方程：(x−3)(x+1)=1．
17. (本小题7.0分)
观察下列等式：
①x1= 1+112+122=32=1+11×2；
②x2= 1+122+132=76=1+12×3；
③x3= 1+132+142=1312=1+13×4；
…
(1)写出④x4= ；
(2)猜想：xn= ；
(3)由以上规律，计算x1+x2+x3+……+x2022−2023的值．
18. (本小题8.0分)
“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措.如图，某村有一块三角形空地ABC，现计划将这块三角形空地进行新的规划，点D是BC边上的一点，过点D作垂直于AC的小路DE.经测量，AB=13米，AD=12米，AC=15米，BD=5米．
(1)求DC的长；
(2)求小路DE的长．
19. (本小题8.0分)
某商店以20元/千克的单价进货了一批商60品，经调查发现，每天的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图中线段AB所示．
(1)求y与x的函数表达式；
(2)要让利给消费者且使每天的销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元？
20. (本小题9.0分)
为了加强对青少年防溺水安全教育，4月初某校开展了“远离溺水，珍爱生命”的防溺水安全知识比赛.下面是从参赛学生中随机收集到的20名学生的成绩(单位：分)：
87，99，86，89，91，91，95，96，87，97；
91，97，96，86，96，89，100，91，99，97；
整理数据：
成绩(分)
86
87
89
91
95
96
97
99
100
学生人数(人)
2
2
2
4
1
3
3
2
1
分析数据：
平均数
众数
中位数
93
a
b
解决问题：
(1)直接写出：上面表格中的a= ______ ，b= ______ ；
(2)若成绩达到95分及以上为“优秀”等级，求“优秀”等级所占的百分率为______ ；
(3)请估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数．
21. (本小题12.0分)
定义：在三角形中，若有两条中线互相垂直，则称该三角形为中垂三角形．
(1)如图(a)，△ABC是中垂三角形，BD，AE分别是AC，BC边上的中线，且BD⊥AE于点O，若∠BAE=45°，求证：△ABC是等腰三角形．
(2)如图(b)，在中垂三角形ABC中，AE，BD分别是边BC，AC上的中线，且AE⊥BD于点O，求证：AC2+BC2=5AB2．
(3)如图(c)，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，点M，N分别是OA，OD的中点，连接BM，CN并延长，交于点E.求证：△BCE是中垂三角形；
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵二次根式 5−x有意义，
∴5−x≥0，
解得x≤5．
故选：B．
根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵360÷45=8，
∴这个多边形的边数是8．
故选：A．
根据多边形的外角和等于360°，用360除以一个多边形的每个外角的度数，求出这个多边形的边数是多少即可．
此题主要考查了多边形的内角与外角，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：多边形的外角和等于360°．
3.【答案】C
【解析】解：A、 3+ 12= 3+2 3=3 3，原计算错误，不符合题意；
B、2 5− 5= 5，原计算错误，不符合题意；
C、 6× 3= 18=3 2，正确，符合题意；
D、 6与 2不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意．
故选：C．
根据二次根式混合运算的法则对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：由表格数据知，丙、乙成绩的平均数小于甲、丁，
所以甲、丁的平均成绩比丙、乙好，
又甲成绩的方差小于丁，
∴甲成绩好且状态稳定．
故选：A．
根据平均数和方差的意义求解即可．
本题主要考查了方差和平均数，掌握方差和平均数的意义是关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、∵( 3)2+12=4，22=4，
∴( 3)2+12=22，
∴能组成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵22+32=13，42=16，
∴22+32≠42，
∴不能组成直角三角形，
故B符合题意；
C、∵42+32=25，52=25，
∴42+32=52，
∴能组成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵122+52=169，132=169，
∴122+52=132，
∴能组成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：B．
根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意得：100(1−x)2=60．
故选：C．
利用2023年上学期平均每天作业时长=2022年上学期平均每天作业时长×(1−这两学期该校平均每天作业时长每期的下降率)2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵y= x−2+ 4−2x−3，
∴x−2≥0，4−2x≥0．
∴x≥2，x≤2．
∴x=2．
∴y= x−2+ 4−2x−3=0+0−3=−3．
∴(x+y)2023=(2−3)2023=(−1)2023=−1．
故选：D．
根据二次根式有意义的条件得x=2，从而求得y=−3，进而解决此题．
本题主要考查二次根式有意义的条件，有理数的乘方，熟练掌握二次根式有意义的条件是解决本题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=22−4(kb+1)>0，
∴kb<0，
当k>0，b<0时，一次函数经过第一、三、四象限；当k<0，b>0时，一次函数经过第一、二、四象限．
故选：B．
利用判别式的意义得到△=22−4(kb+1)>0，则 kb<0，然后根据一次函数的性质对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．
9.【答案】C
【解析】解：甲：由作图可知，BM=BA，DN=DC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴BM=DN，
∴CM=AN，CM//AN，
∴ANCM是平行四边形；
乙：由作图可知，AM平分∠BAD，CN平分∠BCD，
∴∠BAM=∠DAM，∠BCN=∠DCN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠DAM=∠BMA，∠DNC=∠BCN，
∴∠BAM=∠BMA，∠DNC=∠DCN，
∴AB=BM，CD=DN，
∴BM=DN，
∴AN=CM，AN//CM，
∴ANCM是平行四边形；
故选：C．
根据作图以及平行四边形的性质与判定分别分析甲，乙证明ANCM是平行四边形即可．
本题考查了作线段的垂直平分线，作线段，平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定并弄懂作图能使得哪些线段相等是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：如图，连接BP，作EF⊥BC于点F，则∠EFB=90°，
∵正方形的性质可知∠EBF=45°，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∵正方形的边长为a，
∴BE=BC=8，
∴BF=EF= 22BE=4 2，
∵PM⊥BD，PN⊥BC，
∴S△BPE+S△BPC=S△BEC，
∴12BE⋅PM+12BC⋅PN=12BC⋅EF，
∵BE=BC，
∴PM+PN=EF=4 2．
则点P到边BD，BC的距离之和PM+PN的值是定值4 2．
故选：A．
连接BP，作EF⊥BC于点F，由正方形的性质可知△BEF为等腰直角三角形，BE=8，可求EF，利用面积法得S△BPE+S△BPC=S△BEC，将面积公式代入即可．
本题主要考查正方形的性质，三角函数，等面积法，解决此题的关键是用等面积求出EF．
11.【答案】 2
【解析】解：原式=3 2−2 2
= 2．
故答案为： 2．
直接利用二次根式的性质化简，进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．
12.【答案】−4
【解析】解：将x=2代入原方程得：22+2m+4=0，
解得：m=−4，
∴m的值是−4．
故答案为：−4．
将x=2代入原方程，可得出关于m的一元一次方程，解之即可求出m的值．
本题考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
13.【答案】85
【解析】解：根据题意得：88×5+80×3+85×25+3+2=85(分)，
∴小华的最终得分是85分．
故答案为：85．
根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以求出小华的最终得分．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
14.【答案】2或5
【解析】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如图1，连接AC，
在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，
∴AC= AB2+BC2= 62+82=10，
∵△ABE沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=6，
∴CB′=AC−AB′=10−6=4，
设CE=x，则BE=B′E=8−x，
在Rt△CEB′中，
∵B′E2+CB′2=CE2，
∴(8−x)2+42=x2，
解得x=5，
∴CE=5；
②当点B′落在AD边上时，如图2，
此时ABEB′为正方形，
∴BE=AB=6，
∴CE=BC−BE=8−6=2．
综上所述，CE的长为2或5．
故答案为：2或5．
当点B′落在矩形内部时，连接AC，先利用勾股定理计算出AC=10，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=6，可计算出CB′=4，设CE=x，则EB′=8−x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x；当点B′落在AD边上时，根据此时四边形ABEB′为正方形解答．
本题考查的是折叠变换的性质，掌握折叠变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
15.【答案】解：原式=12 48÷3−13 27×6+3 2
=2−3 2+3 2
=2．
【解析】先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
16.【答案】解：(x−3)(x+1)=1，
x2+x−3x−3=1，
x2−2x−3=1，
x2−2x=1+3，
x2−2x=4，
x2−2x+1=4+1，
(x−1)2=5，
x−1=± 5，
x−1= 5或x−1=− 5，
x1=1+ 5，x2=1− 5．
【解析】利用解一元二次方程−配方法进行计算，即可解答．
本题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握解一元二次方程−配方法是解题的关键．
17.【答案】 1+142+152=2120=1+14×5 1+1n2+1(n+1)2=n(n+1)+1n(n+1)=1+1n(n+1)
【解析】解：(1)观察可知：
x4= 1+142+152=2120=1+14×5．
故答案为： 1+142+152=2120=1+14×5．
(2)观察等式规律可得：
xn= 1+1n2+1(n+1)2=n(n+1)+1n(n+1)=1+1+1n(n+1)．
故答案为： 1+1n2+1(n+1)2=n(n+1)+1n(n+1)=1+1+1n(n+1)．
(3)由(2)可得xn=1+1n(n+1)=1+1n−nn+1，
x1+x2+x3+…+x2022−2023
=(1+11−12)+(1+12−13)+(1+13−14)+…+(1+12021−12022)+(1+12022−12023)−2023
=(1+1+…+1+1)+(11−12+12−13+13−14+…+12021−12022+12022−12023)−2023
=2022+1−12023−2023
=−12023．
(1)观察其分数的分子分母规律，可写出第4个等式；
(2)根据规律写出第n个等式；
(2)根据(2)可得第n个等式的表达式，再利用裂项法求和即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，用裂项法求和是解本题的关键．
18.【答案】解：(1)∵AB=13米，AD=12米，BD=5米，
∴AB2=BD2+AD2，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵AC=15米，
∴CD= AC2−AD2=9(米)；
(2)∵DE⊥AC，
∴S△ADC=12AD⋅CD=12AC⋅DE，
∴DE=AD⋅DCAC=12×915=365(米)，
故小路DE的长为365米．
【解析】(1)根据勾股定理的逆定理和勾股定理即可得到结论；
(2)根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题主要考查了勾股定理的应用，以及勾股定理的逆定理，运用等积法求垂线段的长是常用方法，属于常考题型．
19.【答案】解：(1)设y与x的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，
将(20,60)，(80,0)代入y=kx+b，得：20k+b=6080k+b=0，
解得：k=−1b=80，
∴y与x的函数表达式为y=−x+80．
(2)根据题意得：(x−20)(−x+80)=800，
整理得：x2−100x+2400=0，
解得：x1=40，x2=60．
答：销售单价应定为每千克40元或60元．
【解析】(1)观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法可求出y与x的函数表达式；
(2)根据总利润=每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数关系式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
20.【答案】解：(1)91；93．
(2)50%．
(3)估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数为：1500×50%=750(人)．
【解析】(1)根据众数的定义求出a，根据中位数的定义求出b；
(2)根据“优秀”等级人数求出“优秀”等级所占的百分率；
(3)根据“优秀”等级所占的百分率估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数．
本题考查的是众数、中位数以及用样本估计总体，掌握众数、中位数的定义是解题的关键．
解：(1)∵91分的人数最多，
∴众数为91，即a=91，
中位数b=91+952=93．
(2)成绩达到95分及以上有10人，
则“优秀”等级所占的百分率为：1020×100%=50%．
(3)见答案．
21.【答案】证明：(1)如图(a)，∵BD⊥AE，∠BAE=45°，
∴∠ABD=45°．
连接DE，
由题意可得，AC=2AD，BC=2BE，DE是△ABC的中位线，
∴DE//AB，
∴∠AED=∠BAE=∠ABD=∠EDB=45°，
∴OD=OE，OA=OB．
又∵∠AOD=∠BOE=90°，
∴△AOD≌△BOE(SAS)，
∴AD=BE，
∴AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形；
(2)如图(b)，连接DE，
∵AE，BD分别是边BC，AC上的中线，
∴AC=2AD，BC=2BE，DE=12AB，
∴AC2=4AD2，BC2=4BE2，DE2=14AB2，
在Rt△AOD中，AD2=OD2+OA2，
在Rt△BOE中，BE2=OB2+OE2，
∴AC2+BC2=4(AD2+BE2)=4(OA2+OD2+OB2+OE2)=4(AB2+DE2)=4(AB2+14AB2)=5AB2；
(3)如图(c)，连接MN，
∵点M，N分别是OA，OD的中点，
∴MN是△AOD的中位线，
则MN//AD，且MN=12AD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CM⊥BN，AD=BC，且AD//BC，
∴MN//BC，MN=12BC，
∴EM=MB，EN=NC，
∴CM，BN是△BCE的中线，
∴△BCE是中垂三角形．
【解析】(1)先判断出DE是△ABC的中位线，进而判断出△AOD≌△BOE(SAS)，即可得出结论；
(2)先判断出AC=2AD，BC=2BE，再借助勾股定理，即可得出结论；
(3)先判断出MN//BC，MN=12BC，即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理、等腰三角形的判定、三角形的中位线以及菱形的性质，考查对几何问题进行分析和推理的能力，体现了逻辑推理的核心素养．
2022-2023学年安徽省合肥市长丰县八年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 二次根式 5−x中字母x的取值范围是( )
A. x≥5 B. x≤5 C. x≠5 D. x<5
2. 一个多边形的每个外角都等于45°，则这个多边形的边数是( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 12
3. 下列运算中，结果正确的是( )
A. 3+ 12= 15 B. 2 5− 5=2
C. 6× 3=3 2 D. 6+ 2=3
4. 为庆祝神舟十六号载人飞船发射成功，学校开展航天知识竞赛活动.经过几轮筛选，八(2)班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数(单位：分)及方差(单位：)如表所示：
甲
乙
丙
丁
平均数
98
96
96
98
方差
0.2
0.3
1.2
1.8
如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
5. 下列几组数中，不能构成直角三角形三边长的是( )
A. 1，2， 3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 12，5，13
6. 在“双减政策”的推动下，某初级中学学生课后作业时长明显减少.2022年上学期每天作业平均时长为100分钟，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天作业时长为60分钟.设这两学期该校平均每天作业时长每期的下降率为x，则可列方程为( )
A. 60(1+x)2=100 B. 60(1+x2)=100
C. 100(1−x)2=60 D. 100(1−x2)=60
7. 若y= x−2+ 4−2x−3，则(x+y)2023等于( )
A. 1 B. 5 C. −5 D. −1
8. 若关于x的一元二次方程x2+2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是( )
A. B. C. D.
9. 现有一张平行四边形ABCD纸片，AD>AB，要求用尺规作图的方法在边BC，AD上分别找点M.N，使得四边形AMCN为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是( )
A. 甲对、乙不对 B. 甲不对、乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都不对
10. 如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且BE=BC，点P是CE上一动点，则点P到边BD，BC的距离之和PM+PN的值( )
A. 是定值4 2
B. 是定值8
C. 有最小值4 2
D. 有最大值8
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
11. 计算：3 2− 8=______．
12. x=2是关于x的方程x2+mx+4=0的解，则m的值是______ ．
13. 在学校举行的“美丽南通，幸福家园”演讲比赛中，评委分别从演讲内容、演讲能力、演讲效果这三方面打分，小华这三项得分的成绩分别为88分，80分，85分，最后再按照5：3：2的得分比例计算最终得分，则小华的最终得分是______ 分.
14. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC边上的一点，连结AE，把△ABE沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，CE的长为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共54.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题5.0分)
计算： 48÷2 3− 27× 63+6 12．
16. (本小题5.0分)
用配方法解方程：(x−3)(x+1)=1．
17. (本小题7.0分)
观察下列等式：
①x1= 1+112+122=32=1+11×2；
②x2= 1+122+132=76=1+12×3；
③x3= 1+132+142=1312=1+13×4；
…
(1)写出④x4= ；
(2)猜想：xn= ；
(3)由以上规律，计算x1+x2+x3+……+x2022−2023的值．
18. (本小题8.0分)
“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措.如图，某村有一块三角形空地ABC，现计划将这块三角形空地进行新的规划，点D是BC边上的一点，过点D作垂直于AC的小路DE.经测量，AB=13米，AD=12米，AC=15米，BD=5米．
(1)求DC的长；
(2)求小路DE的长．
19. (本小题8.0分)
某商店以20元/千克的单价进货了一批商60品，经调查发现，每天的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图中线段AB所示．
(1)求y与x的函数表达式；
(2)要让利给消费者且使每天的销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元？
20. (本小题9.0分)
为了加强对青少年防溺水安全教育，4月初某校开展了“远离溺水，珍爱生命”的防溺水安全知识比赛.下面是从参赛学生中随机收集到的20名学生的成绩(单位：分)：
87，99，86，89，91，91，95，96，87，97；
91，97，96，86，96，89，100，91，99，97；
整理数据：
成绩(分)
86
87
89
91
95
96
97
99
100
学生人数(人)
2
2
2
4
1
3
3
2
1
分析数据：
平均数
众数
中位数
93
a
b
解决问题：
(1)直接写出：上面表格中的a= ______ ，b= ______ ；
(2)若成绩达到95分及以上为“优秀”等级，求“优秀”等级所占的百分率为______ ；
(3)请估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数．
21. (本小题12.0分)
定义：在三角形中，若有两条中线互相垂直，则称该三角形为中垂三角形．
(1)如图(a)，△ABC是中垂三角形，BD，AE分别是AC，BC边上的中线，且BD⊥AE于点O，若∠BAE=45°，求证：△ABC是等腰三角形．
(2)如图(b)，在中垂三角形ABC中，AE，BD分别是边BC，AC上的中线，且AE⊥BD于点O，求证：AC2+BC2=5AB2．
(3)如图(c)，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，点M，N分别是OA，OD的中点，连接BM，CN并延长，交于点E.求证：△BCE是中垂三角形；
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵二次根式 5−x有意义，
∴5−x≥0，
解得x≤5．
故选：B．
根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵360÷45=8，
∴这个多边形的边数是8．
故选：A．
根据多边形的外角和等于360°，用360除以一个多边形的每个外角的度数，求出这个多边形的边数是多少即可．
此题主要考查了多边形的内角与外角，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：多边形的外角和等于360°．
3.【答案】C
【解析】解：A、 3+ 12= 3+2 3=3 3，原计算错误，不符合题意；
B、2 5− 5= 5，原计算错误，不符合题意；
C、 6× 3= 18=3 2，正确，符合题意；
D、 6与 2不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意．
故选：C．
根据二次根式混合运算的法则对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：由表格数据知，丙、乙成绩的平均数小于甲、丁，
所以甲、丁的平均成绩比丙、乙好，
又甲成绩的方差小于丁，
∴甲成绩好且状态稳定．
故选：A．
根据平均数和方差的意义求解即可．
本题主要考查了方差和平均数，掌握方差和平均数的意义是关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、∵( 3)2+12=4，22=4，
∴( 3)2+12=22，
∴能组成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵22+32=13，42=16，
∴22+32≠42，
∴不能组成直角三角形，
故B符合题意；
C、∵42+32=25，52=25，
∴42+32=52，
∴能组成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵122+52=169，132=169，
∴122+52=132，
∴能组成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：B．
根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意得：100(1−x)2=60．
故选：C．
利用2023年上学期平均每天作业时长=2022年上学期平均每天作业时长×(1−这两学期该校平均每天作业时长每期的下降率)2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵y= x−2+ 4−2x−3，
∴x−2≥0，4−2x≥0．
∴x≥2，x≤2．
∴x=2．
∴y= x−2+ 4−2x−3=0+0−3=−3．
∴(x+y)2023=(2−3)2023=(−1)2023=−1．
故选：D．
根据二次根式有意义的条件得x=2，从而求得y=−3，进而解决此题．
本题主要考查二次根式有意义的条件，有理数的乘方，熟练掌握二次根式有意义的条件是解决本题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=22−4(kb+1)>0，
∴kb<0，
当k>0，b<0时，一次函数经过第一、三、四象限；当k<0，b>0时，一次函数经过第一、二、四象限．
故选：B．
利用判别式的意义得到△=22−4(kb+1)>0，则 kb<0，然后根据一次函数的性质对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．
9.【答案】C
【解析】解：甲：由作图可知，BM=BA，DN=DC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴BM=DN，
∴CM=AN，CM//AN，
∴ANCM是平行四边形；
乙：由作图可知，AM平分∠BAD，CN平分∠BCD，
∴∠BAM=∠DAM，∠BCN=∠DCN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠DAM=∠BMA，∠DNC=∠BCN，
∴∠BAM=∠BMA，∠DNC=∠DCN，
∴AB=BM，CD=DN，
∴BM=DN，
∴AN=CM，AN//CM，
∴ANCM是平行四边形；
故选：C．
根据作图以及平行四边形的性质与判定分别分析甲，乙证明ANCM是平行四边形即可．
本题考查了作线段的垂直平分线，作线段，平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定并弄懂作图能使得哪些线段相等是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：如图，连接BP，作EF⊥BC于点F，则∠EFB=90°，
∵正方形的性质可知∠EBF=45°，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∵正方形的边长为a，
∴BE=BC=8，
∴BF=EF= 22BE=4 2，
∵PM⊥BD，PN⊥BC，
∴S△BPE+S△BPC=S△BEC，
∴12BE⋅PM+12BC⋅PN=12BC⋅EF，
∵BE=BC，
∴PM+PN=EF=4 2．
则点P到边BD，BC的距离之和PM+PN的值是定值4 2．
故选：A．
连接BP，作EF⊥BC于点F，由正方形的性质可知△BEF为等腰直角三角形，BE=8，可求EF，利用面积法得S△BPE+S△BPC=S△BEC，将面积公式代入即可．
本题主要考查正方形的性质，三角函数，等面积法，解决此题的关键是用等面积求出EF．
11.【答案】 2
【解析】解：原式=3 2−2 2
= 2．
故答案为： 2．
直接利用二次根式的性质化简，进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．
12.【答案】−4
【解析】解：将x=2代入原方程得：22+2m+4=0，
解得：m=−4，
∴m的值是−4．
故答案为：−4．
将x=2代入原方程，可得出关于m的一元一次方程，解之即可求出m的值．
本题考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
13.【答案】85
【解析】解：根据题意得：88×5+80×3+85×25+3+2=85(分)，
∴小华的最终得分是85分．
故答案为：85．
根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以求出小华的最终得分．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
14.【答案】2或5
【解析】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如图1，连接AC，
在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，
∴AC= AB2+BC2= 62+82=10，
∵△ABE沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=6，
∴CB′=AC−AB′=10−6=4，
设CE=x，则BE=B′E=8−x，
在Rt△CEB′中，
∵B′E2+CB′2=CE2，
∴(8−x)2+42=x2，
解得x=5，
∴CE=5；
②当点B′落在AD边上时，如图2，
此时ABEB′为正方形，
∴BE=AB=6，
∴CE=BC−BE=8−6=2．
综上所述，CE的长为2或5．
故答案为：2或5．
当点B′落在矩形内部时，连接AC，先利用勾股定理计算出AC=10，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=6，可计算出CB′=4，设CE=x，则EB′=8−x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x；当点B′落在AD边上时，根据此时四边形ABEB′为正方形解答．
本题考查的是折叠变换的性质，掌握折叠变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
15.【答案】解：原式=12 48÷3−13 27×6+3 2
=2−3 2+3 2
=2．
【解析】先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
16.【答案】解：(x−3)(x+1)=1，
x2+x−3x−3=1，
x2−2x−3=1，
x2−2x=1+3，
x2−2x=4，
x2−2x+1=4+1，
(x−1)2=5，
x−1=± 5，
x−1= 5或x−1=− 5，
x1=1+ 5，x2=1− 5．
【解析】利用解一元二次方程−配方法进行计算，即可解答．
本题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握解一元二次方程−配方法是解题的关键．
17.【答案】 1+142+152=2120=1+14×5 1+1n2+1(n+1)2=n(n+1)+1n(n+1)=1+1n(n+1)
【解析】解：(1)观察可知：
x4= 1+142+152=2120=1+14×5．
故答案为： 1+142+152=2120=1+14×5．
(2)观察等式规律可得：
xn= 1+1n2+1(n+1)2=n(n+1)+1n(n+1)=1+1+1n(n+1)．
故答案为： 1+1n2+1(n+1)2=n(n+1)+1n(n+1)=1+1+1n(n+1)．
(3)由(2)可得xn=1+1n(n+1)=1+1n−nn+1，
x1+x2+x3+…+x2022−2023
=(1+11−12)+(1+12−13)+(1+13−14)+…+(1+12021−12022)+(1+12022−12023)−2023
=(1+1+…+1+1)+(11−12+12−13+13−14+…+12021−12022+12022−12023)−2023
=2022+1−12023−2023
=−12023．
(1)观察其分数的分子分母规律，可写出第4个等式；
(2)根据规律写出第n个等式；
(2)根据(2)可得第n个等式的表达式，再利用裂项法求和即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，用裂项法求和是解本题的关键．
18.【答案】解：(1)∵AB=13米，AD=12米，BD=5米，
∴AB2=BD2+AD2，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵AC=15米，
∴CD= AC2−AD2=9(米)；
(2)∵DE⊥AC，
∴S△ADC=12AD⋅CD=12AC⋅DE，
∴DE=AD⋅DCAC=12×915=365(米)，
故小路DE的长为365米．
【解析】(1)根据勾股定理的逆定理和勾股定理即可得到结论；
(2)根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题主要考查了勾股定理的应用，以及勾股定理的逆定理，运用等积法求垂线段的长是常用方法，属于常考题型．
19.【答案】解：(1)设y与x的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，
将(20,60)，(80,0)代入y=kx+b，得：20k+b=6080k+b=0，
解得：k=−1b=80，
∴y与x的函数表达式为y=−x+80．
(2)根据题意得：(x−20)(−x+80)=800，
整理得：x2−100x+2400=0，
解得：x1=40，x2=60．
答：销售单价应定为每千克40元或60元．
【解析】(1)观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法可求出y与x的函数表达式；
(2)根据总利润=每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数关系式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
20.【答案】解：(1)91；93．
(2)50%．
(3)估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数为：1500×50%=750(人)．
【解析】(1)根据众数的定义求出a，根据中位数的定义求出b；
(2)根据“优秀”等级人数求出“优秀”等级所占的百分率；
(3)根据“优秀”等级所占的百分率估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数．
本题考查的是众数、中位数以及用样本估计总体，掌握众数、中位数的定义是解题的关键．
解：(1)∵91分的人数最多，
∴众数为91，即a=91，
中位数b=91+952=93．
(2)成绩达到95分及以上有10人，
则“优秀”等级所占的百分率为：1020×100%=50%．
(3)见答案．
21.【答案】证明：(1)如图(a)，∵BD⊥AE，∠BAE=45°，
∴∠ABD=45°．
连接DE，
由题意可得，AC=2AD，BC=2BE，DE是△ABC的中位线，
∴DE//AB，
∴∠AED=∠BAE=∠ABD=∠EDB=45°，
∴OD=OE，OA=OB．
又∵∠AOD=∠BOE=90°，
∴△AOD≌△BOE(SAS)，
∴AD=BE，
∴AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形；
(2)如图(b)，连接DE，
∵AE，BD分别是边BC，AC上的中线，
∴AC=2AD，BC=2BE，DE=12AB，
∴AC2=4AD2，BC2=4BE2，DE2=14AB2，
在Rt△AOD中，AD2=OD2+OA2，
在Rt△BOE中，BE2=OB2+OE2，
∴AC2+BC2=4(AD2+BE2)=4(OA2+OD2+OB2+OE2)=4(AB2+DE2)=4(AB2+14AB2)=5AB2；
(3)如图(c)，连接MN，
∵点M，N分别是OA，OD的中点，
∴MN是△AOD的中位线，
则MN//AD，且MN=12AD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CM⊥BN，AD=BC，且AD//BC，
∴MN//BC，MN=12BC，
∴EM=MB，EN=NC，
∴CM，BN是△BCE的中线，
∴△BCE是中垂三角形．
【解析】(1)先判断出DE是△ABC的中位线，进而判断出△AOD≌△BOE(SAS)，即可得出结论；
(2)先判断出AC=2AD，BC=2BE，再借助勾股定理，即可得出结论；
(3)先判断出MN//BC，MN=12BC，即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理、等腰三角形的判定、三角形的中位线以及菱形的性质，考查对几何问题进行分析和推理的能力，体现了逻辑推理的核心素养．
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