2022-2023学年安徽省合肥市庐阳区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省合肥市庐阳区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年安徽省合肥市庐阳区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列二次根式中是最简二次根式的是(    )
A. 8 B. 18 C. 12 D. 5
2. 若一个多边形的每个内角都等于108°，则这个多边形是(    )
A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形
3. 若a为方程2x2+x−4=0的解，则6a2+3a−9的值为(    )
A. 2 B. 3 C. −4 D. −9
4. △ABC的三边长分别为a，b，c.下列条件：①∠A=∠B−∠C；②a2=(b+c)(b−c)；③∠A：∠B：∠C=3：4：5；④a：b：c=5：12：13.其中能判断△ABC是直角三角形的个数有(    )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 一元二次方程x2−8x−1=0配方后可变形为(    )
A. (x−4)2=3 B. (x−4)2=15 C. (x−4)2=17 D. (x+4)2=17
6. 如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F，AB=6，AD=10，则EF的长为(    )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
7. 在一次演讲比赛中，七位评委为某位选手打出的分数如下：87，95，89，99，87，93，97(单位：分).若去掉一个最高分和一个最低分，则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是(    )
A. 平均分 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
8. 如图，在矩形ABCD中，BC=12，点M为AB的中点，连接MD，点E为MD中点，连接BE、CE，若∠BEC为直角，则AB的长为(    )
A. 4
B. 8
C. 9
D. 10
9. 已知a，b，c为实数，且b−a=c2+2c+1，b+a=3c2−4c+11，则a，b，c之间的大小关系是(    )
A. b≥a>c B. b≥c>a C. a≥b>c D. c>b≥a
10. 如图，在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，点D为边AB上一动点，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，点P为EF中点，则PD的最小值为(    )


A. 2.4 B. 4.8 C. 6 D. 8
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 方程x2−4=0的解是______．
12. 如图，矩形ABCD中，直线MN垂直平分AC，与CD，AB分别交于点M，N.若DM=1，CM=2，则矩形的对角线AC的长为______ ．


13. 在直线l上依次摆放着七个正方形(如图)，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=______．


14. 如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，AB：BC=2：3，点E是CD的中点．
(1)当CE=2时，则BE= ______ ；
(2)点F在BC上，且BF：FC=1：2，过点A分别作AM⊥BE于点M，AN⊥DF于点N，则AMAN= ______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题8.0分)
计算： 54× 13− 8+ 18÷ 2．
16. (本小题8.0分)
解方程：2x2+3x=2.(因式分解法)
17. (本小题8.0分)
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，正方形的顶点称为格点．
(1)以格点为顶点画△ABC，使得AB= 5，BC= 10，AC=5；
(2)求△ABC的面积和点B到AC的距离；

18. (本小题8.0分)
观察下列等式，解答后面的问题．
第1个等式： 8+1=3；
第2个等式： 12+12=5 12；
第3个等式： 16+13=7 13；
第4个等式： 20+14=9 14．
…
(1)按照此规律，第5个等式是：______ ；
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并证明．
19. (本小题10.0分)
已知关于x的方程kx2−2x−1=0有两个不相等的实数根，
(1)求k的取值范围；
(2)若方程的一个根是−1，求方程的另一个根及k的值．
20. (本小题10.0分)
为了解某校八年级学生立定跳远水平，随机抽取该年级50名学生进行测试，并把测试成绩(单位：m)绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．
分组
频数
1.2≤x<1.6
8
1.6≤x<2.0
12
2.0≤x<2.4

2.4≤x<2.8
10
请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：
(1)请把频数分布直方图补充完整；
(2)跳远成绩大于等于2.0m为优秀，若该校八年级共有1300名学生，估计该年级学生立定跳远成绩优秀的学生有多少人？

21. (本小题12.0分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，CD=BC，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BCD．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE.若OE=8，BD=12，求BC的长．

22. (本小题12.0分)
某水果批发商店以每千克12元的价格购进一批水果，然后以每千克15元的价格出售，一天可售出100千克.通过调查发现，每千克的售价每降低0.1元，一天可多售出20千克．
(1)若将这种水果每千克的售价降低x元，则一天的销售量是______ 千克；(用含x的代数式表示)
(2)要想一天盈利500元，且保证一天销售量不少于280千克，商店需将每千克的售价降低多少元？
23. (本小题14.0分)
如图1，在正方形ABCD中，AE⊥FG，垂足为O．
(1)求证：AE=FG；
(2)如图2，平移线段FG，使DG=BE，连接OD．
①求证：OD=AD；
②如图3，连接OB，当D、O、B三点共线时，则OG2AD2= ______ ．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：A、 8=2 2，故A不符合题意；
B、 18=3 2，故B不符合题意；
C、 12= 22，故C不符合题意；
D、 5是最简二次根式，故D符合题意；
故选：D．
根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．

2.【答案】B 
【解析】解：设这个多边形是n边形，
由题意得，(n−2)⋅180°=108°⋅n，
解得n=5，
所以，这个多边形是五边形．
故选：B．
根据多边形的内角和公式列式计算即可得解．
本题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．

3.【答案】B 
【解析】解：把x=a代入方程得：2a2+a−4=0，
则2a2+a=4，
则6a2+3a−9=3(2a2+a)−9=12−9=3．
故选：B．
把x=a代入方程求得2a2+a=4，然后根据6a2+3a−9=3(2a2+a)−9即可求解．
本题考查了方程的解的定义，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值．

4.【答案】C 
【解析】解：：①由∠A=∠B−∠C，可知：∠B=90°，是直角三角形．
②由a2=(b+c)(b−c)，可得a2+c2=b2，是直角三角形．
③由∠A：∠B：∠C=3：4：5，可知不是直角三角形．
④由a：b：c=5：12：13，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形．
故选：C．
根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理一一判断即可．
此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．

5.【答案】C 
【解析】解：x2−8x−1=0变形为：x2−8x=1，
配方得：x2−8x+16=17，
即(x−4)2=17；
故选：C．
根据配方法的步骤进行即可．
本题考查了配方法解一元二次方程，掌握完全平方公式和配方法的步骤并正确配方是关键．

6.【答案】A 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AEB=∠CBE，∠DFC=∠FCB，
又BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F，
∴∠ABE=∠CBE，∠DCF=∠FCB，
∴∠ABE=∠AEB，∠DFC=∠DCF，
∴AB=AE=6，DF=DC=AB=6，
∴AF+EF+EF+ED=6+6=12，
又∵AD=10，
即AF+FE+DE=10，
∴EF=2．
故选：A．
根据平行四边形的性质以及角平分线的定义得出AB=AE=6，DF=DC=AB=6，再根据线段的和差关系即可求解
本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质以及角平分线的定义得出AE与DF的长是解题的关键．

7.【答案】C 
【解析】解：将分数从小到大依次排序为：87，87，89，93，95，97，99；
平均分为：87+87+89+93+95+97+997=6477，
众数为：87，
中位数为：93，
方差为：(87−6477)2×2+(89−6477)2+(93−6477)2+(95−6477)2+(97−6477)2+(99−6477)27=99249，
去掉一个最高分和一个最低分后从小到大依次排序为：87，89，93，95，97；
平均分为：87+89+93+95+975=4615，
众数不存在，
中位数为：93，
方差为：(87−4615)2+(89−4615)2+(93−4615)2+(95−4615)2+(97−4615)25=34425，
∴去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是中位数，
故选：C．
先将分数从小到大依次排序，然后分别求解各量，最后比较即可．
本题考查了平均数、众数、中位数、方差．解题的关键在于正确的运算．

8.【答案】B 
【解析】解：连接AE，过点E作EF⊥AD于F，并延长FE，交BC于点H，

∵四边形ABCD是矩形，BC=12，
∴∠BAD=∠ADC=∠ABC=90°，AD=BC=12，AB=DC，AD//BC，
∴∠AFH=∠BHF=90°，
∴四边形ABHF是矩形，
∵E为MD的中点，
∴AE=DE，
∴AF=DF，
∴BH=CH，
∴BE=CE，
∵∠BEC=90°，
∴∠EBC=45°，
∴EH=12BC=6，
∴EF=12AM，
∵M为AB的中点，
∴AM=12AB，
∴EF=14AB，
∴EH=34AB=6，
∴AB=8，
故选：B．
根据矩形的性质得出AD=BC=12，AB=DC，AD//BC，进而利用矩形的判定和性质解答即可．
此题考查矩形的性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

9.【答案】A 
【解析】解：∵b−a=c2+2c+1=(c+1)2≥0，
∴b≥a，
∵(b−a)−(b+a)=c2+2c+1−(3c2−4c+11)，
∴2a=2c2−6c+10，
a=c2−3c+5，
∵a−c=c2−4c+5=(c−2)2+1≥0，
∴a>c，
∴b≥a>c，
故选：A．
根据a−c=(c−2)2+1>0得b≥a，根据(b−a)−(b+a)=c2+2c+1−(3c2−4c+11)得a=c2−3c+5，则a−c=c2−4c+5=(c−2)2+1≥0，即可得a>c，综上，即可得．
本题考查了实数比较大小，解题的关键是掌握完全平方公式，配方法．

10.【答案】A 
【解析】解：在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
连接CD，

∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴四边形EDFC是矩形，
∴EF=CD，∠EDF=90°，
∵点P是EF的中点，
∴DP=12EF=12CD，
当CD最小时，则DP最小，
根据垂线段最短可知当CD⊥AB时，则CD最小，
∴DP=12EF=12CD=12×6×810=2.4，
故选：A．
连接CD，根据矩形的性质可知：EF=CD，∠EDF=90°，根据直角三角形斜边中线的性质得出DP=12EF=12CD，当CD最小时，则DQ最小，根据垂线段最短可知当CD⊥AB时，则DP最小，再根据三角形的面积为定值即可求出DP的长．
本题考查了勾股定理的运用、直角三角形斜边中线的性质、矩形的判定和性质以及直角三角形的面积的不同求法，解题的关键是求DP的最小值转化为其相等线段CD的最小值．

11.【答案】±2 
【解析】解：x2−4=0，
移项得：x2=4，
两边直接开平方得：x=±2，
故答案为：±2．
首先移项可得x2=4，再两边直接开平方即可．
此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a(a≥0)的形式，利用数的开方直接求解．

12.【答案】2 3 
【解析】解：如图，连接AM．

∵直线MN垂直平分AC，
∴MA=MC=2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∵DM=1，MA=2，
∴AD2=AM2−DM2=22−12=3，
∴AC= AD2+CD2= 3+9=2 3；
故答案为：2 3．
连接AM.在Rt△ADM中，利用勾股定理求出AD2，再在Rt△ADC中，利用勾股定理求出AC即可．
本题考查线段的垂直平分线的性质，矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

13.【答案】4 
【解析】解：如图，

∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，
∴∠BAC=∠EBD．
在△ABC和△BED中，
∠ACB=∠BDE∠BAC=∠EBDAB=BE，
∴△ABC≌△BED(AAS)，
∴BC=DE．
∵S2=DE2，DE=BC，
∴S2=BC2．
∵S1=AC2，S2=BC2，AC2+BC2=AB2，AB2=1，
∴S1+S2=1．
同理S3+S4=3．
则S1+S2+S3+S4=1+3=4．
证明△ABC≌△BED，推出S1+S2=1，同理可得到S3+S4的值，由此即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

14.【答案】2 13 2 3913 
【解析】解：(1)如图，过点E作EG⊥BC延长线于点G，
在▱ABCD中，
∵AB//CD，
∴∠DCG=∠ABC=60°，
∴∠CEG=30°，
∵CE=2，
∴CG=12CE=1，
∴EG= 3CG= 3，
∵点E是CD的中点，
∴CD=AB=4，
∵AB：BC=2：3，
∴BC=6，
∴BG=BC+CG=7，
在Rt△BEG中，根据勾股定理得：
BE= BG2+EG2= 72+3=2 13，
故答案为：2 13；
(2)过点D作DH⊥BC延长线于点H，
∵平行四边形ABCD中，AB：BC=2：3，∠ABC=60°，AB//CD，
∴∠DCH=∠ABC=60°，
∴∠CEG=∠CDH=30°，
设CD=AB=2x，则BC=3x，
∴CH=12CD=x，DH= 3CH= 3x，
∵E是AB的中点，
∴CE=12CD=x，
∴CG=12CE=12x，
∴EG= 3CG= 32x，
∵BF：FC=1：2，
∴BF=x，FC=2x，
∴BG=BC+CG=3x+12x=72x，
∴FH=FC+CH=2x+x=3x，
由勾股定理得：DF= DH2+FH2= ( 3x)2+(3x)2=2 3x，
BE= EG2+BG2= ( 32x)2+(72x)2= 13x，
∵S△CDE=S△ADF=12S▱ABCD，
∴AM⋅BE=AN⋅DF，
∴DFBE=AMAN=2 3x 13x=2 3913．
故答案为：2 3913．
(1)过点E作EG⊥BC延长线于点G，由平行四边形的性质得出∠DCG=60°，得出∠CEG=30°，然后利用含30度角的直角三角形和勾股定理即可解决问题；
(2)过点D作DH⊥BC延长线于点H，设CD=AB=2x，则BC=3x，由直角三角形的性质和勾股定理求出DF，BE，由三角形的面积关系得出AM⋅BE=AN⋅DF，即可得出结果．
本题考查了平行四边形的性质、三角形面积公式、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；涉及知识点较多，综合性强，难度较大，合理添加辅助线，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．

15.【答案】解：原式=3 2−2 2+3
= 2+3． 
【解析】先进行二次根式的乘除运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

16.【答案】解：方程整理得：2x2+3x−2=0，
分解因式得：(2x−1)(x+2)=0，
所以2x−1=0或x+2=0，
解得：x1=12，x2=−2． 
【解析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

17.【答案】解：(1)如图：△ABC即为所求；

(2)△ABC的面积为：12×3×4−12×1×2−12×1×(1+4)=6−1−2.5=2.5，
设AC边上的高为h，则：2.5=12×5h，
解得：h=1，
所以△ABC的面积是2.5，点B到AC的距离是1． 
【解析】(1)根据勾股定理作图；
(2)根据割补法求解．
本题考查了作图的应用与设计，掌握勾股定理及割补法求面积是解题的关键．

18.【答案】 24+15=11 15 
【解析】(1)解：根据规律可知，第5个等式是：
24+15=11 15，
故答案为： 24+15=11 15；
(2)根据规律猜想第n个等式为： 4(n+1)+1n=(2n+1) 1n，
证明： 4(n+1)+1n
= 4n(n+1)+1n
= 4n2+4n+1n
= (2n+1)2n
=(2n+1) 1n，
故猜想成立，即 4(n+1)+1n=(2n+1) 1n．
(1)根据规律可知，第5个等式：左边的被开方数是24+15，右边根号外的系数为11，被开方数为15，据此写出第5个等式即可；
(2)根据规律可知，等式左边的被开方数为4(n+1)+1n，等式的右边根号外的系数为(2n+1)，被开方数为 1n，然后证明即可．
本题考查了算术平方根，数字的变化规律，观察所给的式子，找出变化规律是解题的关键．

19.【答案】解：(1)∵关于x的方程kx2−2x−1=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且Δ=(−2)2−4⋅k⋅(−1)=4+4k>0，
∴k>−1且k≠0；

(2)∵方程的一个根是−1，
∴k×(−1)2−2×(−1)−1=0，
解得k=−1，
∴−x2−2x−1=0，即x2+2x+1=0，
解得x1=x2=−1．
即另一个根为−1． 
【解析】(1)因为关于x的方程kx2−2x−1=0有两个不相等的实数根，所以k≠0且Δ=b2−4ac>0，建立关于k的不等式组，解得k的取值范围即可；
(2)根据一元二次方程的解的定义，将x=−1代入方程，求出k的值，再解方程即可求得方程的另一个根．
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，一元二次方程的解的定义，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．

20.【答案】解：(1)第三组的频数为50−8−12−10=20，
补全的频数分布直方图如图所示：

(2)1300×20+1050=780(人)，
答：估计该年级学生立定跳远成绩优秀的学生有780人． 
【解析】(1)用50减去其它三组的频数求出第三组的频数，即可将频数分布直方图补充完整；
(2)用1300乘以跳远成绩大于等于2.0m的百分比即可．
本题考查频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

21.【答案】(1)证明：∵AD//BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵AC平分∠BCD，
∴∠ACD=∠ACB，
∴∠DAC=∠ACD，
∴AD=CD，
∵CD=BC，
∴AD=BC，
∵AD//BC，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)解：∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO，AC⊥BD，
∴AC=2OE=16，
∴OC=12AC=8，
∵BD=12，
∴OB=12BD=6，
∴BC= OB2+OC2= 62+82=10． 
【解析】(1)根据平行线的性质得到∠DAC=∠ACB，根据角平分线的定义得到∠ACD=∠ACB，等量代换得到AD=BC，根据菱形的判定定理即可得到结论；
(2)根据垂直的定义得到∠AEC=90°，根据菱形的性质得到AO=CO，AC⊥BD，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．

22.【答案】(100+200x) 
【解析】解：(1)根据题意得：若将这种水果每千克的售价降低x元，则一天的销售量是100+20×x0.1=(100+200x)千克．
故答案为：(100+200x)；
(2)根据题意得：(15−x−12)(100+200x)=500，
整理得：2x2−5x+2=0，
解得：x1=0.5，x2=2，
当x=0.5时，100+200x=100+200×0.5=200<280，不符合题意，舍去；
当x=2时，100+200x=100+200×2=500>280，符合题意．
答：商店需将每千克的售价降低2元．
(1)利用一天的销售量=100+20×每千克的售价降低的钱数0.1，即可用含x的代数式表示出一天的销售量；
(2)利用总利润=每千克的销售利润×一天的销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

23.【答案】2− 2 
【解析】(1)证明：过点F作FH⊥CD于H，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠FHG=90°，FH=AD=AB，
∵AE⊥FG，
∴∠FAE=∠GFH，
在△ABE和△FHG中，
∠B=∠FHG∠BAE=∠GFHAB=FH，
∴△ABE≌△FHG(AAS)，
∴AE=FG；
(2)①证明：延长FG与AD的延长线相交于点P，

∵AE⊥FG，
∴∠P=∠BAE，
在△ABE和△PDG中，
∠BAE=∠P∠ABE=∠PDGBE=DG，
∴△ABE≌△PDG(AAS)，
∴AB=DP，
∵AB=AD，
∴AD=PD，
∴OD=AD；
②解：连接AG，设OG=x，

∴AG=PG= 2x，
∴OP=(1+ 2x)，
∴AP2=OA2+OP2=x2+(1+ 2)2=(4+2 2)x2=(2AD)2，
∴AD2=(1+ 22)x2，
∴OG2AD2=x2(1+ 22)x2=2− 2．
故答案为：2− 2．
(1)过点F作FH⊥CD于点H，证明△ABE≌△FHG即可证明结论；
(2)①延长FG交AD于点P，证明点D是AP的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明；
②利用勾股定理表示出AD与OG之间的关系，即可求出结论．
本题考查了三角形全等，正方形的性质，勾股定理的应用，掌握这些知识点并熟练运用是解题的关键．