第13讲 函数的概念和图象-新高一数学暑假精品课（苏教版必修第一册）

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第13讲 函数的概念和图象

　
1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念．　
2．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．　
3．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．

知识点一 函数的有关概念
1．定义：给定两个非空实数集合A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一的实数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．
2．记法：y＝f(x)，x∈A.
3．定义域：x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域．
4．值域：若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x(输入值)，都有一个y(输出值)与之对应．我们将所有输出值y组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域．
知识点二 同一个函数
由函数定义还可知，虽然两个函数的表达形式不同，但如果其对应关系相同，定义域相同，那么这两个函数就是同一个函数．

知识点三 函数的图象
1．函数的图象
将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))．当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点．所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．
2．作图、识图与用图
(1)画函数图象常用的方法是描点法，其步骤是列表、描点、连线；
(2)正比例函数与一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线，开口方向由a值符号决定，a>0，图象开口向上，a<0时，图象开口向下，对称轴为x＝－.
知识点四 函数图象的变换
1．函数图象的平移变换
函数y＝f(x)的图象与y＝f(x＋a)及y＝f(x)＋a(a≠0)的图象有怎样的关系呢？我们先来看一个例子：
作出函数y＝x2，y＝(x＋1)2，y＝x2－1的图象，观察它们之间有怎样的关系．
在同一平面直角坐标系中，它们的图象如图所示．

观察图象可知，y＝(x＋1)2的图象可由y＝x2的图象向左平移1个单位长度得到；y＝x2－1的图象可由y＝x2的图象向下平移1个单位长度得到．
由此得到如下规律：
(1)函数y＝f(x＋a)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到的，即“左加右减”；
(2)函数y＝f(x)＋a的图象是由函数y＝f(x)的图象沿y轴方向向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位长度得到的，即“上加下减”．
2．函数图象的对称变换
函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)，y＝－f(x)及y＝－f(－x)的图象又有怎样的关系呢？我们来看一个例子：
作出函数y＝，y＝，y＝，y＝－的图象，观察它们之间有怎样的关系．
在同一平面直角坐标系中作出①y＝，②y＝，③y＝与④y＝的图象的一部分，如图所示．

观察图象可知，y＝的图象可由y＝的图象作关于y轴的对称变换得到；y＝的图象可由y＝的图象作关于x轴的对称变换得到；y＝的图象可由y＝的图象作关于原点的对称变换得到．
由此可得如下规律：
函数图象的对称变换包括以下内容：
(1)y＝f(－x)的图象可由y＝f(x)的图象作关于y轴的对称变换得到；
(2)y＝－f(x)的图象可由y＝f(x)的图象作关于x轴的对称变换得到；
(3)y＝－f(－x)的图象可由y＝f(x)的图象作关于原点的对称变换得到．
3．函数图象的翻折变换
函数图象的翻折变换是指函数y＝f(x)与y＝|f(x)|，y＝f(|x|)的图象间的关系．
函数y＝f(x)的图象与y＝|f(x)|及y＝f(|x|)的图象又有怎样的关系呢？我们再来看一个例子：
作出函数y＝|x2－2x－3|及y＝x2－2|x|－3的图象，观察它们与函数y＝x2－2x－3的图象之间有怎样的关系．
事实上，y＝|x2－2x－3|＝
y＝x2－2|x|－3＝
在不同的平面直角坐标系中，分别作出y＝|x2－2x－3|与y＝x2－2|x|－3的图象，如图①②所示．

通过观察两个图象可知，y＝|x2－2x－3|的图象可由y＝x2－2x－3的图象经过下列变换得到：保持y＝x2－2x－3的图象在x轴上及其上方的部分不变，将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到y＝|x2－2x－3|的图象．y＝x2－2|x|－3的图象可由y＝x2－2x－3的图象经过下列变换得到：保持y＝x2－2x－3的图象在y轴上及其右侧的部分不变，y轴左侧的图象换成将y轴右侧的图象沿y轴翻折而成的图象，则这两部分就构成了y＝x2－2|x|－3的图象．
由此可得如下规律：
(1)要作y＝|f(x)|的图象，可先作y＝f(x)的图象，然后将x轴上及其上方的部分保持不变，x轴下方的部分沿x轴对称地翻折上去即可；
(2)要作y＝f(|x|)的图象，可先作y＝f(x)的图象，然后将y轴上及其右侧的图象不动，y轴左侧的图象换成将y轴右侧的图象沿y轴翻折而成的图象即可．


考点一：函数的概念
例1 下列对应关系是实数集R上的函数的是(　　)
A．f：把x对应到3x＋1 B．g：把x对应到|x|＋1
C．h：把x对应到 D．r：把x对应到

【总结】
1．判断对应关系是否为函数的2个条件
(1)A，B必须是非空数集；
(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．
对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．
2．根据图形判断是否为函数的方法
(1)任取一条垂直于x轴的直线l；
(2)在定义域内平行移动直线l；
(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．

变式 (多选)下列给出的对应关系f，不能确定从集合A到集合B的函数关系的是(　　)
A．A＝{1，4}，B＝{－1，1，－2，2}，对应关系：开平方
B．A＝{0，1，2}，B＝{1，2}，对应关系：
x
0
1
2
y
1
2
1
C.A＝[0，2]，B＝[0，1]，对应关系：

D．A＝R，B＝{1，0}，∀x∈A，y∈B，对应关系：当x为有理数时，对应的y为1，当x为无理数时，对应的y为0



考点二：同一个函数的判定
例2 下列式子表示同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝|x|，φ(t)＝
B．y＝，y＝()2
C．y＝·，y＝
D．y＝，y＝x－3

【总结】

判断两个函数是否为同一个函数的3个步骤

[注意]　(1)在化简解析式时，必须是等价变形；(2)与用哪个字母表示无关．


变式 (多选)下列函数中，f(x)与g(x)表示同一函数的是(　　)
A．f(x)＝|x－1|，g(x)＝
B．f(x)＝x，g(x)＝
C．f(x)＝x，g(x)＝
D．f(x)＝，g(x)＝x＋2

考点三：函数的定义域
例3 　求下列函数的定义域.
(1)y＝－；(2)y＝.

【总结】
求函数定义域的常用方法
(1)若f(x)是分式，则分母不为零；
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；
(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合；
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集；
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．


变式 函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．[1，2)∪(2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1，2) D．[1，＋∞)

考点四：求函数值和值域
例4 (1)已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________．
(2)求下列函数的值域．
①f(x)＝2x2－x，x∈{1，2，3}；②f(x)＝x2－2x；
③f(x)＝2x＋1，x∈[1，2)；④y＝；⑤y＝2x－.



【总结】
1．函数求值的方法
(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值；
(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．
2．求函数值域常用的4种方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；
(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法．

变式 求下列函数的值域．
(1)y＝＋1；(2)y＝.


考点五：抽象函数定义域
例5 (1)已知函数f(x)＝，则函数f(3x－2)的定义域为(　　)
A． B．
C．[－3，1] D．
(2)已知f(x2－1)定义域为[0，3]，则f(x)的定义域为________．

【总结】
理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点：
(1)函数f(x)的定义域是指x的取值所组成的集合；
(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围，而不是φ(x)的范围；
(3)f(t)，f(φ(x))，f(h(x))三个函数中的t，φ(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同；
(4)已知f(x)的定义域为A，求f(φ(x))的定义域，其实质是已知φ(x)的范围(值域)为A，求出x的取值范围；
(5)已知f(φ(x))的定义域为B，求f(x)的定义域，其实质是已知f(φ(x))中的x的取值范围为B，求出φ(x)的范围(值域)，此范围就是f(x)的定义域．

变式 已知函数f(x)的定义域为[－2，2]，则函数g(x)＝f(3x)＋的定义域为(　　)
A． B．[－1，1]
C． D．


考点六：函数图象的画法
例6 作出下列函数的图象并求出其值域．
(1)y＝2x＋1，x∈[0，2]；(2)y＝，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2].


【总结】
画函数图象的2种常见方法
(1)描点法：①列表——先找出一些(有代表性的)自变量x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来；
②描点——从表中得到一系列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点；
③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来．
(2)变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等．


变式 作出下列函数的图象，并根据图象求其值域．
(1)
x
－4
－2
2
4
y
1
－3
2
3
(2)y＝－，x∈[－3，0)∪(0，1]；
(3)y＝x2＋4x＋1，x∈[－3，0].


考点六：利用函数图象求值或比较大小
例6 已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1.
(1)求这个函数图象的顶点坐标和对称轴；
(2)已知f＝1，不计算函数值求f(0)；
(3)不直接计算函数值，试比较f与f的大小．

【总结】
1．求二次函数图象的对称轴、顶点坐标及最值主要利用配方法，掌握抛物线的顶点坐标.
2．比较两个函数值的大小，可以把要比较的两个函数值转化到同一个单调区间上，再利用单调性比较它们的大小；也可以比较两个自变量离对称轴距离的大小关系，结合图象判断函数值的大小关系．


变式 已知二次函数y＝2x2－4x－6.
(1)求此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出函数图象；
(2)求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标，并求出以此三点为顶点的三角形面积；
(3)x为何值时，y>0，y＝0，y<0?


考点七：利用函数图象求值域
例7 如果函数f(x)＝(x－1)2＋1定义在区间[t，t＋1]上，求f(x)的值域．

【总结】
求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在[m，n]上的值域的步骤：
(1)配方，找对称轴；
(2)判断对称轴与区间的关系；
(3)借助图象求值域．

变式 求二次函数y＝－x2＋4x－2在区间[0，3]上的值域．


1．函数y＝＋的定义域为(　　)
A．{x|x≤1} B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1}

2．(多选)下列图形中，表示函数图象的是(　　)


3．函数f(x)＝x＋1，x∈{－1，0，1}的值域为________，函数g(x)＝x＋1，x∈[－1，1]的值域为________．

4．已知函数f(x)＝x2－mx＋n，且f(1)＝－1，f(n)＝m，则f[f(－1)]＝________，f[f(x)]＝________．

5．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5的定义域和值域都是[1，a]，则a＝________．

6．如果一次函数y＝kx＋b的图象经过第一、三、四象限，那么(　　)
A．k>0，b>0 B．k>0，b<0
C．k<0，b>0 D．k<0，b<0

7．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y＝(k≠0)图象上的两个点，当x1y2，那么一次函数y＝kx－k的图象不经过(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限

8．下图中可以表示定义域和值域都是[0，1]的函数的图象的是(　　)


9．函数y＝x2＋m的图象向下平移2个单位长度，得函数y＝x2－1的图象，则实数m＝________．

10．用平移图象的方式作出y＝2＋的图象，并说明函数y＝2＋的值域．


1．函数y＝f(x)(f(x)≠0)的图象与x＝1的交点个数是(　　)
A．1 B．2
C．0或1 D．1或2

2．已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函数在x∈[－1，3]时，下列说法正确的是(　　)
A．有最大值－1，有最小值－2
B．有最大值0，有最小值－1
C．有最大值7，有最小值－1
D．有最大值7，有最小值－2

3．函数f(x)＝的图象大致为(　　)


4．设函数f(x)＝，则当f(x)＝2时，x的取值为(　　)
A．－4 B．4
C．－10 D．10

5．已知函数f(x)的定义域是[－2，3]，则f(2x－3)的定义域是(　　)
A．[－7，3] B．[－3，7]
C． D．

6．(多选)下列各组函数不是同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝与g(x)＝x＋1
B．f(x)＝与g(x)＝x·
C．f(x)＝x＋2与g(t)＝＋2
D．f(x)＝与g(x)＝·

7．(多选)定义在R上的函数f(x)，对于任意的x，y都有f(x＋y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝2，则(　　)
A．f(0)＝1 B．f(－1)＝－2
C．f(2)f(3)＝64 D．f(10)＝2f(9)

8．求函数y＝的定义域为________．

9．若f(2x)＝，则f(4)＝________．

10．若函数f(x)的定义域为[－2，1]，则y＝f(x)＋f(－x)的定义域为________，y＝f(2x＋1)的定义域为________．

11．已知函数f(x)＝＋.
(1)求函数的定义域；
(2)求f(－3)，的值；
(3)当a>0时，求f(a)，f(a－1)的值．


12．如图为函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象，则不等式f(x)·g(x)<0的解集为(　　)

A．(－∞，－1)∪(－1，0) B．(－∞，－1)∪(0，1)
C．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(0，1)∪(1，＋∞)


13．(多选)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.则下列结论正确的是(　　)

A．b2>4ac
B．2a－b＝1
C．a－b＋c＝0
D．5a

14．函数f(x)＝的定义域是________．

15．已知函数y＝的定义域为(－∞，＋∞)，值域为[1，9]，则m的值为________，n的值为________．

16．试求下列函数的定义域与值域．
(1)y＝(x－1)2＋1，x∈{－1，0，1，2，3}；
(2)y＝(x－1)2＋1；
(3)y＝；
(4)y＝x－.

17．已知函数f(x)＝ .
(1)若f(x)的定义域为[－2，1]，求实数a的值；
(2)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．

18．已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)就a的取值范围讨论函数y＝f(x)－a的零点的个数．