适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用解答题专项一第2课时利用导数研究不等式恒能成立问题北师大版

这是一份适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用解答题专项一第2课时利用导数研究不等式恒能成立问题北师大版，共5页。
解答题专项一　函数与导数中的综合问题
第2课时　利用导数研究不等式恒(能)成立问题
解答题专项练
1.(2023·河南洛阳高三检测)已知函数f(x)=ax3-bx2-9x-1在x=-1处取得极值4.
(1)求a,b的值;
(2)若存在x∈[2,4],使3λ-λ2≥f(x)成立,求实数λ的取值范围.
解:(1)f(x)=ax3-bx2-9x-1,则f'(x)=3ax2-2bx-9.
因为函数f(x)=ax3-bx2-9x-1在x=-1处取得极值4,
所以3a+2b-9=0,-a-b+9-1=4,解得
此时f'(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3).
易知f(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,
则x=-1是函数f(x)的极大值点,符合题意.
故a=1,b=3.
(2)若存在x∈[2,4],使3λ-λ2≥f(x)成立,则3λ-λ2≥[f(x)]min.
由(1)得,f(x)=x3-3x2-9x-1,
且f(x)在[2,3)上单调递减,在(3,4]上单调递增,
所以[f(x)]min=f(3)=27-27-27-1=-28,
所以3λ-λ2≥-28,即λ2-3λ-28≤0,解得-4≤λ≤7,
所以实数λ的取值范围是[-4,7].
2.(2022·北京朝阳二模)已知函数f(x)=xsin x+cos x.
(1)当x∈(0,π)时,求函数f(x)的单调区间;
(2)设函数g(x)=-x2+2ax.若对任意x1∈[-π,π],存在x2∈[0,1],使得f(x1)≤g(x2)成立,求实数a的取值范围.
解:(1)因为f(x)=xsinx+cosx,
所以f'(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx.
当x∈(0,π)时,f'(x)与f(x)的变化情况如表所示:
x
0,

,π
f'(x)
+
0
-
f(x)
单调递增

单调递减
所以当x∈(0,π)时,函数f(x)的单调递增区间为0,,
函数f(x)的单调递减区间为,π.
(2)当x∈[-π,π]时,f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数.
所以当x∈[-π,π]时,函数f(x)的单调递增区间为-π,-,0,,
函数f(x)的单调递减区间为-,0,,π,
所以函数f(x)的最大值为f-=f=.
设h(x)=f(x),则当x∈[-π,π]时,h(x)max=.
对任意x1∈[-π,π],存在x2∈[0,1],使得h(x1)≤g(x2)成立,等价于h(x)max≤g(x)max.
当a≤0时,函数g(x)在区间[0,1]上的最大值为g(0)=0,不合题意.
当00,解得x>em-1,
所以f(x)的单调递减区间为(0,em-1),单调递增区间为(em-1,+∞).
(2)选择①:
当0恒成立,
令g(x)=,x∈(0,1),则g'(x)=,
令h(x)=x-lnx-2,x∈(0,1),则h'(x)=0在(1,+∞)上恒成立,则h(x)在(1,+∞)上单调递增,h(x)>h(1)=0,h(x)>0在(1,+∞)上恒成立,不满足题意,
当m>2时,令h'(x)=0,得x1=m-1-,x2=m-1+,
由x2>1和x1x2=1得x10时,函数f(x)在(0,a)上单调递增,在(a,+∞)上单调递减.
(2)因为函数f(x)在x=处的切线方程为y=(e-1)x-2,
所以f=-1-,且f'=e-1,由于f'(x)=-b,所以
解得a=b=1,所以f(x)=lnx-x,
所以f(x)≤g(x)恒成立,即lnx-x≤xex-(m+1)x-1恒成立,等价于xex≥lnx+mx+1对x>0恒成立,
即m≤ex-对x>0恒成立.
令F(x)=ex-,所以m≤F(x)min,
F'(x)=ex+.
令G(x)=x2ex+lnx,x∈(0,+∞),
则G'(x)=(2x+x2)ex+>0恒成立,
所以G(x)在(0,+∞)上单调递增.
由于G(1)=e>0,G=-10,s'(x)=(x+1)ex,
又x>0,所以s'(x)>0,即s(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以x0=ln,即x0=-lnx0,所以,
所以F(x)min=
==1.
所以,实数m的取值范围为(-∞,1].