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适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第九章平面解析几何课时规范练43椭圆北师大版
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这是一份适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第九章平面解析几何课时规范练43椭圆北师大版，共7页。试卷主要包含了已知曲线C，椭圆C，所以椭圆C的离心率为等内容，欢迎下载使用。
课时规范练43
基础巩固组
1.(2022·山东日照二模)已知曲线C:=1,则“a>0”是“曲线C是椭圆”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
答案:C
解析:若曲线C:=1表示椭圆,则解得a>1,
故“a>0”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件.
2.(2022·河北秦皇岛二模)椭圆C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点.若△PF1F2的周长为6+2,则椭圆C的离心率为 ( )
A. B. C. D.
答案:B
解析:因为c2=m+2-m=2,所以c=.因为△PF1F2的周长为6+2,所以2a+2c=6+2,所以2a=6,所以a=3.所以椭圆C的离心率为.
3.(2022·湖北武汉二模)若椭圆+y2=1(a>0)的离心率为,则a的值为( )
A. B. C. D.
答案:C
解析:当a2>1,即a>1时,则=2,解得a=;当a2<1,即0
A.24 B.26 C.22 D.24
答案:A
解析:由椭圆方程可得焦点在y轴上,且a=7,b=2,c==5.由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|=2a=14.又3|PF1|=4|PF2|,所以|PF1|=8,|PF2|=6,所以|F1F2|=2c=10.因为|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以PF1⊥PF2,所以|PF1||PF2|=×8×6=24.故选A.
5.(2023·江苏南京师大附中高三检测)已知过椭圆=1(a>b>0)的左焦点F(-1,0)的直线与椭圆交于不同的两点A,B,与y轴交于点C,C,F是线段AB的三等分点,则该椭圆的标准方程是( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
答案:B
解析:不妨设A(xA,yA)在第一象限,由椭圆的左焦点F(-1,0),C,F是线段AB的三等分点,可知C为AF的中点,F为BC的中点,所以xA=1,所以=1,则yA=,即A1,,所以C0,,B-2,-.
将点B的坐标代入椭圆方程得=1,即=1.又a2-b2=1,所以a2=5,b2=4.
所以椭圆的标准方程是=1.
6.(2023·江苏泰州模拟)我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球,并通过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图.假设“嫦娥四号”在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行,其轨道的离心率为e.设月球的半径为R,“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为r,则“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为( )
A. B.
C. D.
答案:B
解析:椭圆的离心率e=∈(0,1),由题意,r=a-c-R,则r=a-ea-R,得a=.
设“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为n,则n=a+c-R=a+ea-R=(1+e)-R=.
7.(多选)已知点P是椭圆=1上一动点,点M,点N分别是圆(x+2)2+y2=与圆(x-2)2+y2=上的动点,则( )
A.|PM|+|PN|的最小值为
B.|PM|+|PN|的最小值为
C.|PM|+|PN|的最大值为
D.|PM|+|PN|的最大值为
答案:AD
解析:由题可知,圆(x+2)2+y2=与圆(x-2)2+y2=的圆心分别为A(-2,0),B(2,0),且A,B是椭圆=1的两个焦点,两圆的半径均为,所以|PM|+|PN|的最大值为|PA|+|PB|+2×=2a+=2×,|PM|+|PN|的最小值为|PA|+|PB|-2×=2a-=2×.故选AD.
8.(2022·广东佛山二模)若椭圆=1的焦点在y轴上,则实数k的取值范围是 .
答案:(1,2)
解析:因为椭圆=1的焦点在y轴上,所以解得1
①以F1,F2为焦点;
②恰经过A,B,C中的两点.
答案:5或(答案不唯一)
解析:|F1F2|=2c=10,|AF1|=3,|AF2|=9,|BF1|=7,|BF2|=9,|CF1|=7,|CF2|=5.
易知不能同时经过A,B两点.
若过A,C两点,则由题意得|AF1|+|AF2|=|CF1|+|CF2|=2a=12,此时离心率e=.
若过B,C两点,则由题意得|BF2|-|BF1|=|CF1|-|CF2|=2a=2,此时离心率e==5.
10.(2022·广东汕头三模)已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆E:=1(a>b>0)上,若正方形ABCD的一条边经过椭圆E的焦点F,则E的离心率是 .
答案:
解析:如图,不妨设AB经过右焦点F,由对称性可得CD经过另一个焦点,则|AD|=2c.
又由=1,解得y=±,
则|AB|=.
则=2c,即b2=ac=a2-c2,整理得2+-1=0,解得.
又离心率e∈(0,1),则离心率为.
11.(2022·广东佛山三模)已知椭圆C:=1,F1,F2为C的左、右焦点,P是椭圆上的动点,则△F1PF2内切圆半径的最大值为 .
答案:
解析:∵C:=1,则a=5,b=4,c=3,
∴△F1PF2的周长=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=16.
∵△F1PF2内切圆半径r=,
∴当△F1PF2内切圆半径最大时,最大,
显然当P为短轴顶点时最大,此时△F1PF2的面积为×b×2c=bc=12,则rmax=.
综合提升组
12.(2022·辽宁沈阳三模)已知椭圆C:x2+4y2=m(m>0)的两个焦点分别为F1,F2,点P是椭圆上一点,若的最小值为-1,则的最大值为( )
A.4 B.2 C. D.
答案:D
解析:设P(x0,y0),令F1-,0,F2,0,
∴=--x0,-y0,=-x0,-y0,
∴=-=-(4+m-)=m.
∵-≤x0≤,
∴当x0=0时,取最小值,最小值为-m=-1,解得m=2.
当x0=±时,取最大值,最大值为×2-1=.
13.(多选)(2022·山东济宁二模)设椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上、下顶点分别为A1,A2,P是C上异于A1,A2的一点,则下列结论正确的是( )
A.若C的离心率为,则直线PA1与PA2的斜率之积为-
B.若PF1⊥PF2,则△PF1F2的面积为b2
C.若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2,则C的离心率的取值范围是0,
D.若|PF1|≤2b恒成立,则C的离心率的取值范围是0,
答案:BD
解析:对于A,设P(x0,y0)(x0≠0),则=1,
∵e=,∴a=2c,∴a2=b2,
∴=1,
∴3+4=4b2,
∴=-,故A错误;
对于B,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|2+|PF2|2=4c2,
∴|PF1|·|PF2|=2b2,则△PF1F2的面积为·|PF1|·|PF2|=b2,故B正确;
对于C,若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2,即C上存在四个点P使得△PF1F2的面积为b2,则·2c·b>b2,
∴c>b,
∴c2>a2-c2,
∴e∈,1,故C错误;
对于D,若|PF1|≤2b恒成立,则a+c≤2b,
∴a2+c2+2ac≤4b2=4(a2-c2),
∴5e2+2e-3≤0,
∴0
答案:
解析:由图知e1=,e2=,则,设∠PF1F2=θ,则|PF1|+|PF2|=2c·(sinθ+cosθ),|BF1|=,则=(sinθ+cosθ)·cosθ=sin2θ++.
创新应用组
15.(多选)(2022·山东临沂三模)2022年4月16日9时56分,神舟十三号返回舱成功着陆,返回舱是航天员返回地球的座舱,返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”,如图,在平面直角坐标系中,半圆的圆心在坐标原点,半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0,2),椭圆的短轴与半圆的直径重合,下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点A,与下半圆交于点B,则( )
A.椭圆的长轴长为4
B.线段AB长度的取值范围是[4,2+2]
C.△ABF面积的最小值是4
D.△AFG的周长为4+4
答案:ABD
解析:由题知,椭圆中的几何量b=c=2,得a=2,则2a=4,故A正确;
|AB|=|OB|+|OA|=2+|OA|,由椭圆性质可知2≤|OA|≤2,所以4≤|AB|≤2+2,故B正确;
记∠AOF=θ,则S△ABF=S△AOF+S△OBF=|OA|·|OF|sinθ+|OB|·|OF|sin(π-θ)=|OA|sinθ+2sinθ=(|OA|+2)sinθ,取θ=,则S△ABF=1+|OA|<1+×2<4,故C错误;
由椭圆定义知,|AF|+|AG|=2a=4,所以△AFG的周长L=|FG|+4=4+4,故D正确.故选ABD.
课时规范练43
基础巩固组
1.(2022·山东日照二模)已知曲线C:=1,则“a>0”是“曲线C是椭圆”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
答案:C
解析:若曲线C:=1表示椭圆,则解得a>1,
故“a>0”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件.
2.(2022·河北秦皇岛二模)椭圆C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点.若△PF1F2的周长为6+2,则椭圆C的离心率为 ( )
A. B. C. D.
答案:B
解析:因为c2=m+2-m=2,所以c=.因为△PF1F2的周长为6+2,所以2a+2c=6+2,所以2a=6,所以a=3.所以椭圆C的离心率为.
3.(2022·湖北武汉二模)若椭圆+y2=1(a>0)的离心率为,则a的值为( )
A. B. C. D.
答案:C
解析:当a2>1,即a>1时,则=2,解得a=;当a2<1,即0
A.24 B.26 C.22 D.24
答案:A
解析:由椭圆方程可得焦点在y轴上,且a=7,b=2,c==5.由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|=2a=14.又3|PF1|=4|PF2|,所以|PF1|=8,|PF2|=6,所以|F1F2|=2c=10.因为|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以PF1⊥PF2,所以|PF1||PF2|=×8×6=24.故选A.
5.(2023·江苏南京师大附中高三检测)已知过椭圆=1(a>b>0)的左焦点F(-1,0)的直线与椭圆交于不同的两点A,B,与y轴交于点C,C,F是线段AB的三等分点,则该椭圆的标准方程是( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
答案:B
解析:不妨设A(xA,yA)在第一象限,由椭圆的左焦点F(-1,0),C,F是线段AB的三等分点,可知C为AF的中点,F为BC的中点,所以xA=1,所以=1,则yA=,即A1,,所以C0,,B-2,-.
将点B的坐标代入椭圆方程得=1,即=1.又a2-b2=1,所以a2=5,b2=4.
所以椭圆的标准方程是=1.
6.(2023·江苏泰州模拟)我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球,并通过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图.假设“嫦娥四号”在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行,其轨道的离心率为e.设月球的半径为R,“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为r,则“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为( )
A. B.
C. D.
答案:B
解析:椭圆的离心率e=∈(0,1),由题意,r=a-c-R,则r=a-ea-R,得a=.
设“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为n,则n=a+c-R=a+ea-R=(1+e)-R=.
7.(多选)已知点P是椭圆=1上一动点,点M,点N分别是圆(x+2)2+y2=与圆(x-2)2+y2=上的动点,则( )
A.|PM|+|PN|的最小值为
B.|PM|+|PN|的最小值为
C.|PM|+|PN|的最大值为
D.|PM|+|PN|的最大值为
答案:AD
解析:由题可知,圆(x+2)2+y2=与圆(x-2)2+y2=的圆心分别为A(-2,0),B(2,0),且A,B是椭圆=1的两个焦点,两圆的半径均为,所以|PM|+|PN|的最大值为|PA|+|PB|+2×=2a+=2×,|PM|+|PN|的最小值为|PA|+|PB|-2×=2a-=2×.故选AD.
8.(2022·广东佛山二模)若椭圆=1的焦点在y轴上,则实数k的取值范围是 .
答案:(1,2)
解析:因为椭圆=1的焦点在y轴上,所以解得1
①以F1,F2为焦点;
②恰经过A,B,C中的两点.
答案:5或(答案不唯一)
解析:|F1F2|=2c=10,|AF1|=3,|AF2|=9,|BF1|=7,|BF2|=9,|CF1|=7,|CF2|=5.
易知不能同时经过A,B两点.
若过A,C两点,则由题意得|AF1|+|AF2|=|CF1|+|CF2|=2a=12,此时离心率e=.
若过B,C两点,则由题意得|BF2|-|BF1|=|CF1|-|CF2|=2a=2,此时离心率e==5.
10.(2022·广东汕头三模)已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆E:=1(a>b>0)上,若正方形ABCD的一条边经过椭圆E的焦点F,则E的离心率是 .
答案:
解析:如图,不妨设AB经过右焦点F,由对称性可得CD经过另一个焦点,则|AD|=2c.
又由=1,解得y=±,
则|AB|=.
则=2c,即b2=ac=a2-c2,整理得2+-1=0,解得.
又离心率e∈(0,1),则离心率为.
11.(2022·广东佛山三模)已知椭圆C:=1,F1,F2为C的左、右焦点,P是椭圆上的动点,则△F1PF2内切圆半径的最大值为 .
答案:
解析:∵C:=1,则a=5,b=4,c=3,
∴△F1PF2的周长=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=16.
∵△F1PF2内切圆半径r=,
∴当△F1PF2内切圆半径最大时,最大,
显然当P为短轴顶点时最大,此时△F1PF2的面积为×b×2c=bc=12,则rmax=.
综合提升组
12.(2022·辽宁沈阳三模)已知椭圆C:x2+4y2=m(m>0)的两个焦点分别为F1,F2,点P是椭圆上一点,若的最小值为-1,则的最大值为( )
A.4 B.2 C. D.
答案:D
解析:设P(x0,y0),令F1-,0,F2,0,
∴=--x0,-y0,=-x0,-y0,
∴=-=-(4+m-)=m.
∵-≤x0≤,
∴当x0=0时,取最小值,最小值为-m=-1,解得m=2.
当x0=±时,取最大值,最大值为×2-1=.
13.(多选)(2022·山东济宁二模)设椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上、下顶点分别为A1,A2,P是C上异于A1,A2的一点,则下列结论正确的是( )
A.若C的离心率为,则直线PA1与PA2的斜率之积为-
B.若PF1⊥PF2,则△PF1F2的面积为b2
C.若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2,则C的离心率的取值范围是0,
D.若|PF1|≤2b恒成立,则C的离心率的取值范围是0,
答案:BD
解析:对于A,设P(x0,y0)(x0≠0),则=1,
∵e=,∴a=2c,∴a2=b2,
∴=1,
∴3+4=4b2,
∴=-,故A错误;
对于B,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|2+|PF2|2=4c2,
∴|PF1|·|PF2|=2b2,则△PF1F2的面积为·|PF1|·|PF2|=b2,故B正确;
对于C,若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2,即C上存在四个点P使得△PF1F2的面积为b2,则·2c·b>b2,
∴c>b,
∴c2>a2-c2,
∴e∈,1,故C错误;
对于D,若|PF1|≤2b恒成立,则a+c≤2b,
∴a2+c2+2ac≤4b2=4(a2-c2),
∴5e2+2e-3≤0,
∴0
答案:
解析:由图知e1=,e2=,则,设∠PF1F2=θ,则|PF1|+|PF2|=2c·(sinθ+cosθ),|BF1|=,则=(sinθ+cosθ)·cosθ=sin2θ++.
创新应用组
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A.椭圆的长轴长为4
B.线段AB长度的取值范围是[4,2+2]
C.△ABF面积的最小值是4
D.△AFG的周长为4+4
答案:ABD
解析:由题知,椭圆中的几何量b=c=2,得a=2,则2a=4,故A正确;
|AB|=|OB|+|OA|=2+|OA|,由椭圆性质可知2≤|OA|≤2,所以4≤|AB|≤2+2,故B正确;
记∠AOF=θ,则S△ABF=S△AOF+S△OBF=|OA|·|OF|sinθ+|OB|·|OF|sin(π-θ)=|OA|sinθ+2sinθ=(|OA|+2)sinθ,取θ=,则S△ABF=1+|OA|<1+×2<4,故C错误;
由椭圆定义知,|AF|+|AG|=2a=4,所以△AFG的周长L=|FG|+4=4+4,故D正确.故选ABD.
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