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适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第九章平面解析几何课时规范练44双曲线北师大版
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这是一份适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第九章平面解析几何课时规范练44双曲线北师大版，共8页。试卷主要包含了已知双曲线C，已知双曲线E，已知F1,F2为双曲线C，若双曲线C，记双曲线C等内容，欢迎下载使用。
课时规范练44
基础巩固组
1.(2022·山东青岛一模)若双曲线ky2-8x2=8的焦距为6,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C.3 D.
答案:A
解析:因为ky2-8x2=8为双曲线,所以k≠0,化为标准方程为=1.
由焦距为6可得c==3,解得k=1.
所以双曲线为=1.
所以双曲线的离心率为e=.
2.(2022·湖南常德一模)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的焦点F到渐近线的距离等于双曲线的实轴长,则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案:A
解析:不妨设F(c,0),一条渐近线方程为y=x,即bx-ay=0,所以=2a,即b=2a,b2=4a2=c2-a2,所以e=.
3.(2023·湖南娄底高三期末)已知双曲线C:=1的左焦点为F1,M为双曲线C右支上任意一点,D的坐标为(3,1),则|MD|-|MF1|的最大值为 ( )
A.3 B.1 C.-1 D.-3
答案:D
解析:双曲线的实半轴长为a=2,右焦点为F2(3,0),所以|MD|-|MF1|=|MD|-(|MF2|+2a)=(|MD|-|MF2|)-2a≤|F2D|-2a=-4=-3,当且仅当M,F2,D三点共线,且M位于第四象限时,等号成立.
4.(2022·山东潍坊一模)如图,某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮,建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈、极简和雕塑般的气质,该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y轴上的双曲线=1(a>0,b>0)上支的一部分.已知该双曲线的上焦点F到下顶点的距离为36,F到渐近线的距离为12,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
答案:B
解析:点F(0,c)到渐近线y=x,即ax-by=0的距离d==b=12.
又由题意可知解得所以e=.
5.(2022·广东佛山二模)已知双曲线E:=1(a>0,b>0)以正方形ABCD的两个顶点为焦点,且经过该正方形的另两个顶点.若正方形ABCD的边长为2,则E的实轴长为( )
A.2-2 B.2+2 C.-1 D.+1
答案:A
解析:由图知,c=1,易知D(1,2),代入双曲线方程得=1,又a2+b2=1,联立求解得(舍去),所以a=-1,所以双曲线E的实轴长为2-2.
6.定义实轴长与焦距之比为黄金数的双曲线叫黄金双曲线,若双曲线=1(a>0,b>0)是黄金双曲线,则等于( )
A. B. C. D.
答案:A
解析:由题可知,所以2a2=(3-)c2=(3-)(a2+b2),解得.故选A.
7.(2023·山东济南历城二中模拟)设F1,F2分别是双曲线=1的左、右焦点,P是该双曲线上的一点,且3|PF1|=5|PF2|,则△PF1F2的面积等于 ( )
A.14 B.7 C.15 D.5
答案:C
解析:设|PF1|=5x(x>0),则|PF2|=3x,则由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=5x-3x=2x=2a=4,所以x=2,故|PF1|=10,|PF2|=6.
又|F1F2|=14,故cos∠F1PF2==-,故sin∠F1PF2=.
所以△PF1F2的面积为×10×6×=15.
8.(多选)(2022·河北唐山三模)已知F1,F2为双曲线C:-x2=1的两个焦点,P为双曲线C上任意一点,则( )
A.|PF1|-|PF2|=2
B.双曲线C的渐近线方程为y=±x
C.双曲线C的离心率为
D.||≥2
答案:CD
解析:双曲线C:-x2=1的焦点在y轴上,a=,b=1,c==2.
对于A,||PF1|-|PF2||=2a=2,而点P在哪支上并不确定,故A错误;
对于B,焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,故B错误;
对于C,e=,故C正确;
对于D,设P(x,y),则|PO|=(当x=0时,等号成立),因为O为F1F2的中点,所以||=|2|=2||≥2,故D正确.故选CD.
9.(2023·广东鹤山高三检测)若双曲线C:=1的一条渐近线与直线l:3x+2y-2=0相互垂直,则双曲线C的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为 .
答案:2
解析:易知与直线l垂直的双曲线C:=1的渐近线方程为2x-ay=0,由两直线垂直得,2×3-2a=0⇒a=3,∴c2=a2+b2=13,
∴双曲线的焦点坐标为F1(,0),F2(-,0).
∵虚轴的一个端点坐标为B(0,2),
∴·|F1F2|·|OB|=×2×2=2.
10.(2022·全国甲,文15)记双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值 .
答案:2(答案不唯一,只要1
由≤2,得≤4,所以e2≤5,故1
答案:5+2
解析:由双曲线方程知a=,b=1,c=2,则F1(-2,0),F2(2,0).
由双曲线定义知|PF1|-|PF2|=2a=2,∴|PQ|+|PF1|=|PQ|+|PF2|+2≥|QF2|+2(当且仅当P在线段QF2上时,等号成立).
又|QF2|==5,
∴(|PQ|+|PF1|)min=5+2.
综合提升组
12.已知F1,F2分别是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P是双曲线C上在第一象限内的一点,若sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2,则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A.(1,2) B.(1,3) C.(3,+∞) D.(2,3)
答案:A
解析:在△PF1F2中,因为sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2,所以|PF1|=3|PF2|.
又点P是双曲线C上在第一象限内的一点,所以|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=3a,|PF2|=a.
在△PF1F2中,由|PF1|+|PF2|>|F1F2|得3a+a>2c,即2a>c,所以e=<2.
又e>1,所以1
B.双曲线C的焦距等于4
C.双曲线C的焦点到其渐近线的距离等于
D.双曲线C的离心率的取值范围为1,
答案:ACD
解析:对于A,因为00,k-1<0,所以双曲线C:=1(0
答案:y=±x
解析:因为直线FA交直线bx-ay=0于点B,直线FA与圆x2+y2=a2切于点A,
所以OA⊥FA,|OA|=a,|OF|=c.
因为a2+b2=c2,所以|FA|=b.
在Rt△FAO中,sin∠OFA=,tan∠OFA=,所以直线FA的方程为y=(x+c).
由得x=,即点B的横坐标为.
设A(xA,yA),B(xB,yB),在Rt△FAO中,根据等面积可得yA=.
因为=2,所以yB=3yA=.
因为yB=xB=,
所以,所以c2=3b2-3a2,
所以a2+b2=3b2-3a2,
所以4a2=2b2,所以2a=b,所以.
所以双曲线C的渐近线方程为y=±x=±x.
15.(2023·湖南长郡中学模拟)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线的左顶点为A,以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P,Q两点,其中点Q在y轴右侧,若|AQ|≥2|AP|,则该双曲线的离心率的取值范围是 .
答案:1,
解析:由题意,以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,不妨设双曲线的渐近线为y=x,由
解得∴Q(a,b),P(-a,-b).
又A为双曲线的左顶点,∴A(-a,0),
∴|AQ|=,|AP|==b.
∵|AQ|≥2|AP|,
∴≥2b,即4a2≥3(c2-a2),
∴e2≤.
又e>1,∴e∈1,.
创新应用组
16.(2022·山东日照二模)如图1所示,双曲线具有光学性质:从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射,其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,从F2发出的光线经过图2中的A,B两点反射后,分别经过点C和D,且cos∠BAC=-,AB⊥BD,则E的离心率为 .
图1
图2
答案:
解析:如图,连接F1B,F1A,则F1,A,C和F1,B,D都三点共线,设|F2B|=x,则|F1B|=x+2a.
因为cos∠F1AB=cos(π-∠BAC)=,
所以sin∠F1AB=,
所以tan∠F1AB=.
又AB⊥BD,所以tan∠F1AB=,
即|AB|=|F1B|,sin∠F1AB=,即|F1A|=|F1B|.
又|F2A|=|AB|-|F2B|,所以|F1A|-|F2A|=x+a=2a,即x=a.
在Rt△F1F2B中,(2c)2=(x+2a)2+x2=10a2,即c2=a2.故e=.
课时规范练44
基础巩固组
1.(2022·山东青岛一模)若双曲线ky2-8x2=8的焦距为6,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C.3 D.
答案:A
解析:因为ky2-8x2=8为双曲线,所以k≠0,化为标准方程为=1.
由焦距为6可得c==3,解得k=1.
所以双曲线为=1.
所以双曲线的离心率为e=.
2.(2022·湖南常德一模)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的焦点F到渐近线的距离等于双曲线的实轴长,则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案:A
解析:不妨设F(c,0),一条渐近线方程为y=x,即bx-ay=0,所以=2a,即b=2a,b2=4a2=c2-a2,所以e=.
3.(2023·湖南娄底高三期末)已知双曲线C:=1的左焦点为F1,M为双曲线C右支上任意一点,D的坐标为(3,1),则|MD|-|MF1|的最大值为 ( )
A.3 B.1 C.-1 D.-3
答案:D
解析:双曲线的实半轴长为a=2,右焦点为F2(3,0),所以|MD|-|MF1|=|MD|-(|MF2|+2a)=(|MD|-|MF2|)-2a≤|F2D|-2a=-4=-3,当且仅当M,F2,D三点共线,且M位于第四象限时,等号成立.
4.(2022·山东潍坊一模)如图,某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮,建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈、极简和雕塑般的气质,该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y轴上的双曲线=1(a>0,b>0)上支的一部分.已知该双曲线的上焦点F到下顶点的距离为36,F到渐近线的距离为12,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
答案:B
解析:点F(0,c)到渐近线y=x,即ax-by=0的距离d==b=12.
又由题意可知解得所以e=.
5.(2022·广东佛山二模)已知双曲线E:=1(a>0,b>0)以正方形ABCD的两个顶点为焦点,且经过该正方形的另两个顶点.若正方形ABCD的边长为2,则E的实轴长为( )
A.2-2 B.2+2 C.-1 D.+1
答案:A
解析:由图知,c=1,易知D(1,2),代入双曲线方程得=1,又a2+b2=1,联立求解得(舍去),所以a=-1,所以双曲线E的实轴长为2-2.
6.定义实轴长与焦距之比为黄金数的双曲线叫黄金双曲线,若双曲线=1(a>0,b>0)是黄金双曲线,则等于( )
A. B. C. D.
答案:A
解析:由题可知,所以2a2=(3-)c2=(3-)(a2+b2),解得.故选A.
7.(2023·山东济南历城二中模拟)设F1,F2分别是双曲线=1的左、右焦点,P是该双曲线上的一点,且3|PF1|=5|PF2|,则△PF1F2的面积等于 ( )
A.14 B.7 C.15 D.5
答案:C
解析:设|PF1|=5x(x>0),则|PF2|=3x,则由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=5x-3x=2x=2a=4,所以x=2,故|PF1|=10,|PF2|=6.
又|F1F2|=14,故cos∠F1PF2==-,故sin∠F1PF2=.
所以△PF1F2的面积为×10×6×=15.
8.(多选)(2022·河北唐山三模)已知F1,F2为双曲线C:-x2=1的两个焦点,P为双曲线C上任意一点,则( )
A.|PF1|-|PF2|=2
B.双曲线C的渐近线方程为y=±x
C.双曲线C的离心率为
D.||≥2
答案:CD
解析:双曲线C:-x2=1的焦点在y轴上,a=,b=1,c==2.
对于A,||PF1|-|PF2||=2a=2,而点P在哪支上并不确定,故A错误;
对于B,焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,故B错误;
对于C,e=,故C正确;
对于D,设P(x,y),则|PO|=(当x=0时,等号成立),因为O为F1F2的中点,所以||=|2|=2||≥2,故D正确.故选CD.
9.(2023·广东鹤山高三检测)若双曲线C:=1的一条渐近线与直线l:3x+2y-2=0相互垂直,则双曲线C的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为 .
答案:2
解析:易知与直线l垂直的双曲线C:=1的渐近线方程为2x-ay=0,由两直线垂直得,2×3-2a=0⇒a=3,∴c2=a2+b2=13,
∴双曲线的焦点坐标为F1(,0),F2(-,0).
∵虚轴的一个端点坐标为B(0,2),
∴·|F1F2|·|OB|=×2×2=2.
10.(2022·全国甲,文15)记双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值 .
答案:2(答案不唯一,只要1
由≤2,得≤4,所以e2≤5,故1
答案:5+2
解析:由双曲线方程知a=,b=1,c=2,则F1(-2,0),F2(2,0).
由双曲线定义知|PF1|-|PF2|=2a=2,∴|PQ|+|PF1|=|PQ|+|PF2|+2≥|QF2|+2(当且仅当P在线段QF2上时,等号成立).
又|QF2|==5,
∴(|PQ|+|PF1|)min=5+2.
综合提升组
12.已知F1,F2分别是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P是双曲线C上在第一象限内的一点,若sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2,则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A.(1,2) B.(1,3) C.(3,+∞) D.(2,3)
答案:A
解析:在△PF1F2中,因为sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2,所以|PF1|=3|PF2|.
又点P是双曲线C上在第一象限内的一点,所以|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=3a,|PF2|=a.
在△PF1F2中,由|PF1|+|PF2|>|F1F2|得3a+a>2c,即2a>c,所以e=<2.
又e>1,所以1
B.双曲线C的焦距等于4
C.双曲线C的焦点到其渐近线的距离等于
D.双曲线C的离心率的取值范围为1,
答案:ACD
解析:对于A,因为0
答案:y=±x
解析:因为直线FA交直线bx-ay=0于点B,直线FA与圆x2+y2=a2切于点A,
所以OA⊥FA,|OA|=a,|OF|=c.
因为a2+b2=c2,所以|FA|=b.
在Rt△FAO中,sin∠OFA=,tan∠OFA=,所以直线FA的方程为y=(x+c).
由得x=,即点B的横坐标为.
设A(xA,yA),B(xB,yB),在Rt△FAO中,根据等面积可得yA=.
因为=2,所以yB=3yA=.
因为yB=xB=,
所以,所以c2=3b2-3a2,
所以a2+b2=3b2-3a2,
所以4a2=2b2,所以2a=b,所以.
所以双曲线C的渐近线方程为y=±x=±x.
15.(2023·湖南长郡中学模拟)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线的左顶点为A,以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P,Q两点,其中点Q在y轴右侧,若|AQ|≥2|AP|,则该双曲线的离心率的取值范围是 .
答案:1,
解析:由题意,以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,不妨设双曲线的渐近线为y=x,由
解得∴Q(a,b),P(-a,-b).
又A为双曲线的左顶点,∴A(-a,0),
∴|AQ|=,|AP|==b.
∵|AQ|≥2|AP|,
∴≥2b,即4a2≥3(c2-a2),
∴e2≤.
又e>1,∴e∈1,.
创新应用组
16.(2022·山东日照二模)如图1所示,双曲线具有光学性质:从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射,其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,从F2发出的光线经过图2中的A,B两点反射后,分别经过点C和D,且cos∠BAC=-,AB⊥BD,则E的离心率为 .
图1
图2
答案:
解析:如图,连接F1B,F1A,则F1,A,C和F1,B,D都三点共线,设|F2B|=x,则|F1B|=x+2a.
因为cos∠F1AB=cos(π-∠BAC)=,
所以sin∠F1AB=,
所以tan∠F1AB=.
又AB⊥BD,所以tan∠F1AB=,
即|AB|=|F1B|,sin∠F1AB=,即|F1A|=|F1B|.
又|F2A|=|AB|-|F2B|,所以|F1A|-|F2A|=x+a=2a,即x=a.
在Rt△F1F2B中,(2c)2=(x+2a)2+x2=10a2,即c2=a2.故e=.
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