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陕西省渭南市蒲城中学2022-2023学年高二下学期期中文科数学试题（解析版）
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这是一份陕西省渭南市蒲城中学2022-2023学年高二下学期期中文科数学试题（解析版），共13页。
蒲城中学2022—2023学年下学期高二期中质量检测
数学（文科）试题
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的）
1. 下列说法正确的是
A. 命题“存在，”的否定是“任意，”
B. 两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件
C. 函数在其定义域上是减函数
D. 给定命题，若“且”是真命题，则是假命题
【答案】D
【解析】
【分析】利用存在性量词命题的否定的结构形式可判断A的正误.利用两个条件之间的推出关系可判断B的正误，结合反比例函数的性质可判断C的正误，利用复合命题的正假判断可得D的正误.
【详解】选项A命题“存在，”的否定是“任意，”.
所以A不正确．
两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分条件.所以B不正确．
函数在第一、第三象限上分别是减函数.所以C不正确.
由于若“且”是真命题，所以命题都是真命题.所以是假命题正确.
故选：D
2. 椭圆的两个焦点分别为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长是（ ）
A. 10 B. 12 C. 16 D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆定义进行求解.
【详解】由题意得，
由椭圆定义可知，，
所以的周长为.
故选：D
3. 抛物线的准线方程是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将抛物线化为标准方程，求得p的值，进而得到准线方程．
【详解】将抛物线化为标准方程为
所以准线方程为
所以选A
【点睛】本题考查了抛物线标准方程及其准线方程，属于基础题．
4. 若函数在处的瞬时变化率为，且，则（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据导数的定义，直接代入求值.
【详解】根据导数的定义可知，
.
故选：B
5. 若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据基本初等函数导数公式，即可求解.
【详解】.
故选：A.
【点睛】本题考查函数的导数，熟记基本初等函数的导数公式是解题的关键，属于基础题.
6. 已知函数图像在处的切线垂直于直线，则实数a的值为（ ）
A. B. C. 10 D. -10
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数的几何意义求切线的斜率，再利用两直线垂直，根据斜率的关系，列式求值.
【详解】，，根据导数的几何意义可知，函数的图象在点处切线的斜率为5，直线的斜率为，
由题意可知，，得.
故选：A
7. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,则该椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由椭圆与抛物线的性质求解
【详解】抛物线的焦点为，
所以椭圆中
故选：D
8. 双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】代入双曲线的渐近线方程公式，即可求解.
【详解】双曲线化简为标准形式是，
其中，，焦点在轴，
所以渐近线方程.
故选：B
9. 已知函数导函数为，若的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据导函数大于，原函数单调递增；导函数小于，原函数单调递减；即可得出正确答案.
【详解】由导函数得图象可得：时，，所以在单调递减，
排除选项A、B，
当时，先正后负，所以在先增后减，
因选项C是先减后增再减，故排除选项C，
故选：D.
10. 若函数在区间(0，2)内单调递减，则实数a的取值范围是( )
A. 0
【解析】
【分析】求出导函数，令导函数小于等于0在内恒成立，分离出参数，求出函数的范围，得到的范围．
【详解】∵函数在区间内单调递减，∴在(0，2)内恒成立，即在(0，2)内恒成立．∵，∴.
故选：C
11. 椭圆的长轴端点为M，N，不同于M，N的点P在此椭圆上，那么PM，PN的斜率之积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆方程求得M，N的坐标，设P的坐标为，进而表示出PM，PN的斜率，二者相乘整理可求得答案．
【详解】依题意可知，，P是椭圆上任意一点，设坐标为，
则，PM，PN的斜率分别是，，
.
故选：A．
12. 已知函数的定义域为，为的导函数，且，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先化简得到，再构造函数分析得到.
【详解】由题得，设，所以函数g(x)在R上单调递增，
因为g(1)=0,所以当x＜1时，g(x)＜0；当x＞1时，g(x)＞0.
当x＜1时，g(x)＜0，（x-1）f(x)＜0，所以f(x)＞0.
当x＞1时，g(x)＞0, （x-1）f(x)＞0，所以f(x)＞0.
当x=1时，，所以f(1)＞0.
综上所述，故答案为C
【点睛】(1)本题主要考查导数的运算和利用导数研究函数的单调性，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)解答本题的关键是发现g(1)=0,结合函数的单调性得到函数的性质.
二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13. 命题“”的否定是___________
【答案】
【解析】
【分析】全称命题的否定是特称命题.
【详解】
否定是：
【点睛】全称命题的否定是特称命题，注意要将全称量词否定为存在量词，结论也要否定.
14. 已知函数的图像在点处的切线方程是，则＝______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据导数的几何意义，可得的值，根据点M在切线上，可求得的值，即可得答案.
【详解】由导数的几何意义可得，，
又在切线上，
所以，则=3，
故答案为：3
【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，考查分析理解的能力，属基础题.
15. 函数的单调递减区间是_______．
【答案】
【解析】
【详解】函数的定义域为 ，且： ，
求解不等式 可得函数的单调递减区间是 .
16. 已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为_______.
【答案】2
【解析】
【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与p＝2c，b2＝c2﹣a2，联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e．
【详解】∵抛物线y2＝8x的焦点坐标F（2，0），p＝4，
∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，
∴p＝2c，c＝2，
∵设P（m，n），由抛物线定义知：
|PF|＝mm+2＝5，∴m＝3．
∴P点的坐标为（3，）
∴|
解得：，c＝2
则双曲线的离心率为2，
故答案为2．
【点睛】本题主要考查了双曲线，抛物线的简单性质．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．解答关键是利用性质列出方程组．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知
（1）若，且为真命题，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据的值可求为真时对应的不等式的解，再求出为真时对应的不等式的解，再根据为真可求实数x的取值范围；
（2根据条件关系可得条件对应的集合的包含关系，故可得关于的不等式组，从而可求实数的取值范围；
【小问1详解】
为真时对应的不等式的解为，
对应的不等式为，
为真时对应的不等式的解为，
因为为真命题，故.
【小问2详解】
因为p是q的充分不必要条件，故为集合的真子集，
故（等号不同时成立），故或.
而，故.
18. 已知曲线C的方程：
（1）当m为何值时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆？
（2）当m为何值时，曲线C表示焦点在y轴上的双曲线？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据焦点在轴上的椭圆的标准方程的特征，列不等式求参数范围即可；（2）根据焦点在轴上的双曲线方程的特征，列不等式求解.
【小问1详解】
根据题意可得，解得：，
所以当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆.
【小问2详解】
由题可知，，得，
所以当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线.
19. 已知椭圆（）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若是该椭圆上的一个动点，、分别是椭圆的左、右焦点，求的最大值与最小值.
【答案】(1)；(2) 最大值为，最小值为.
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出的方程组，解方程组即可求得方程；
（2）设出点的坐标，根据点在椭圆上则点的坐标满足椭圆方程，结合向量的数量积运算，即可求得.
【详解】（1）由题可知：，，，
解得，
故椭圆方程为.
（2）设点的坐标为，则.
根据（1）可得焦点坐标分别为，
则
.
根据椭圆的几何性质，可知，即，
故可得.
故的最大值为，最小值为.
【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中范围问题的求解，属综合基础题.
20. 已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若方程有两个根，求a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）当时，求出函数的导数，再利用导数的几何意义直接求出切线方程作答.
（2）求出函数的导数，构造函数，再探讨其性质，利用直线与曲线有两个公共点求解作答.
【小问1详解】
当时，函数定义域为，求导得：，
则，而，则有，即，
所以所求切线方程为：．
【小问2详解】
函数定义域为，求导得：，
而方程，则有两个根即直线与曲线有两个公共点，
令，，则，当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，，
因为，且当时，，在同一坐标系内作出直线及函数的图象，如图，
观察图象得，直线与曲线有两个公共点时，，
所以a的取值范围是．
21. 已知函数．
（Ⅰ）讨论函数在定义域内的极值点的个数；
（Ⅱ）若函数在处取得极值，对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点．（Ⅱ）．
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）显然函数的定义域为.
因为，所以，
当时，在上恒成立，函数在单调递减，
∴在上没有极值点；
当时，由得，由得，
∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．
∴当时在上没有极值点，当时在上有一个极值点
（Ⅱ）∵函数在处取得极值，由（Ⅰ）结论知，
∴，
令，所以，
令可得在上递减，令可得在上递增，
∴，即.
考点：本小题主要考查函数的求导、函数的单调性、函数的极值最值和恒成立问题，考查学生分析问题、解决问题的能力和分类讨论思想的应用以及运算求解能力.
点评：导数是研究函数问题的有力工具，常常用来解决函数的单调性、极值、最值等问题.对于题目条件较复杂，设问较多的题目审题时，应该细致严谨，将题目条件条目化，一一分析，细心推敲.对于设问较多的题目，一般前面的问题较简单，问题难度阶梯式上升，先由条件将前面的问题正确解答，然后将前面问题的结论作为后面问题解答的条件，注意问题之间的相互联系，使问题化难为易，层层解决.
蒲城中学2022—2023学年下学期高二期中质量检测
数学（文科）试题
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的）
1. 下列说法正确的是
A. 命题“存在，”的否定是“任意，”
B. 两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件
C. 函数在其定义域上是减函数
D. 给定命题，若“且”是真命题，则是假命题
【答案】D
【解析】
【分析】利用存在性量词命题的否定的结构形式可判断A的正误.利用两个条件之间的推出关系可判断B的正误，结合反比例函数的性质可判断C的正误，利用复合命题的正假判断可得D的正误.
【详解】选项A命题“存在，”的否定是“任意，”.
所以A不正确．
两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分条件.所以B不正确．
函数在第一、第三象限上分别是减函数.所以C不正确.
由于若“且”是真命题，所以命题都是真命题.所以是假命题正确.
故选：D
2. 椭圆的两个焦点分别为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长是（ ）
A. 10 B. 12 C. 16 D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆定义进行求解.
【详解】由题意得，
由椭圆定义可知，，
所以的周长为.
故选：D
3. 抛物线的准线方程是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将抛物线化为标准方程，求得p的值，进而得到准线方程．
【详解】将抛物线化为标准方程为
所以准线方程为
所以选A
【点睛】本题考查了抛物线标准方程及其准线方程，属于基础题．
4. 若函数在处的瞬时变化率为，且，则（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据导数的定义，直接代入求值.
【详解】根据导数的定义可知，
.
故选：B
5. 若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据基本初等函数导数公式，即可求解.
【详解】.
故选：A.
【点睛】本题考查函数的导数，熟记基本初等函数的导数公式是解题的关键，属于基础题.
6. 已知函数图像在处的切线垂直于直线，则实数a的值为（ ）
A. B. C. 10 D. -10
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数的几何意义求切线的斜率，再利用两直线垂直，根据斜率的关系，列式求值.
【详解】，，根据导数的几何意义可知，函数的图象在点处切线的斜率为5，直线的斜率为，
由题意可知，，得.
故选：A
7. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,则该椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由椭圆与抛物线的性质求解
【详解】抛物线的焦点为，
所以椭圆中
故选：D
8. 双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】代入双曲线的渐近线方程公式，即可求解.
【详解】双曲线化简为标准形式是，
其中，，焦点在轴，
所以渐近线方程.
故选：B
9. 已知函数导函数为，若的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据导函数大于，原函数单调递增；导函数小于，原函数单调递减；即可得出正确答案.
【详解】由导函数得图象可得：时，，所以在单调递减，
排除选项A、B，
当时，先正后负，所以在先增后减，
因选项C是先减后增再减，故排除选项C，
故选：D.
10. 若函数在区间(0，2)内单调递减，则实数a的取值范围是( )
A. 0
【解析】
【分析】求出导函数，令导函数小于等于0在内恒成立，分离出参数，求出函数的范围，得到的范围．
【详解】∵函数在区间内单调递减，∴在(0，2)内恒成立，即在(0，2)内恒成立．∵，∴.
故选：C
11. 椭圆的长轴端点为M，N，不同于M，N的点P在此椭圆上，那么PM，PN的斜率之积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆方程求得M，N的坐标，设P的坐标为，进而表示出PM，PN的斜率，二者相乘整理可求得答案．
【详解】依题意可知，，P是椭圆上任意一点，设坐标为，
则，PM，PN的斜率分别是，，
.
故选：A．
12. 已知函数的定义域为，为的导函数，且，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先化简得到，再构造函数分析得到.
【详解】由题得，设，所以函数g(x)在R上单调递增，
因为g(1)=0,所以当x＜1时，g(x)＜0；当x＞1时，g(x)＞0.
当x＜1时，g(x)＜0，（x-1）f(x)＜0，所以f(x)＞0.
当x＞1时，g(x)＞0, （x-1）f(x)＞0，所以f(x)＞0.
当x=1时，，所以f(1)＞0.
综上所述，故答案为C
【点睛】(1)本题主要考查导数的运算和利用导数研究函数的单调性，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)解答本题的关键是发现g(1)=0,结合函数的单调性得到函数的性质.
二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13. 命题“”的否定是___________
【答案】
【解析】
【分析】全称命题的否定是特称命题.
【详解】
否定是：
【点睛】全称命题的否定是特称命题，注意要将全称量词否定为存在量词，结论也要否定.
14. 已知函数的图像在点处的切线方程是，则＝______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据导数的几何意义，可得的值，根据点M在切线上，可求得的值，即可得答案.
【详解】由导数的几何意义可得，，
又在切线上，
所以，则=3，
故答案为：3
【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，考查分析理解的能力，属基础题.
15. 函数的单调递减区间是_______．
【答案】
【解析】
【详解】函数的定义域为 ，且： ，
求解不等式 可得函数的单调递减区间是 .
16. 已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为_______.
【答案】2
【解析】
【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与p＝2c，b2＝c2﹣a2，联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e．
【详解】∵抛物线y2＝8x的焦点坐标F（2，0），p＝4，
∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，
∴p＝2c，c＝2，
∵设P（m，n），由抛物线定义知：
|PF|＝mm+2＝5，∴m＝3．
∴P点的坐标为（3，）
∴|
解得：，c＝2
则双曲线的离心率为2，
故答案为2．
【点睛】本题主要考查了双曲线，抛物线的简单性质．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．解答关键是利用性质列出方程组．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知
（1）若，且为真命题，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据的值可求为真时对应的不等式的解，再求出为真时对应的不等式的解，再根据为真可求实数x的取值范围；
（2根据条件关系可得条件对应的集合的包含关系，故可得关于的不等式组，从而可求实数的取值范围；
【小问1详解】
为真时对应的不等式的解为，
对应的不等式为，
为真时对应的不等式的解为，
因为为真命题，故.
【小问2详解】
因为p是q的充分不必要条件，故为集合的真子集，
故（等号不同时成立），故或.
而，故.
18. 已知曲线C的方程：
（1）当m为何值时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆？
（2）当m为何值时，曲线C表示焦点在y轴上的双曲线？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据焦点在轴上的椭圆的标准方程的特征，列不等式求参数范围即可；（2）根据焦点在轴上的双曲线方程的特征，列不等式求解.
【小问1详解】
根据题意可得，解得：，
所以当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆.
【小问2详解】
由题可知，，得，
所以当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线.
19. 已知椭圆（）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若是该椭圆上的一个动点，、分别是椭圆的左、右焦点，求的最大值与最小值.
【答案】(1)；(2) 最大值为，最小值为.
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出的方程组，解方程组即可求得方程；
（2）设出点的坐标，根据点在椭圆上则点的坐标满足椭圆方程，结合向量的数量积运算，即可求得.
【详解】（1）由题可知：，，，
解得，
故椭圆方程为.
（2）设点的坐标为，则.
根据（1）可得焦点坐标分别为，
则
.
根据椭圆的几何性质，可知，即，
故可得.
故的最大值为，最小值为.
【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中范围问题的求解，属综合基础题.
20. 已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若方程有两个根，求a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）当时，求出函数的导数，再利用导数的几何意义直接求出切线方程作答.
（2）求出函数的导数，构造函数，再探讨其性质，利用直线与曲线有两个公共点求解作答.
【小问1详解】
当时，函数定义域为，求导得：，
则，而，则有，即，
所以所求切线方程为：．
【小问2详解】
函数定义域为，求导得：，
而方程，则有两个根即直线与曲线有两个公共点，
令，，则，当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，，
因为，且当时，，在同一坐标系内作出直线及函数的图象，如图，
观察图象得，直线与曲线有两个公共点时，，
所以a的取值范围是．
21. 已知函数．
（Ⅰ）讨论函数在定义域内的极值点的个数；
（Ⅱ）若函数在处取得极值，对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点．（Ⅱ）．
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）显然函数的定义域为.
因为，所以，
当时，在上恒成立，函数在单调递减，
∴在上没有极值点；
当时，由得，由得，
∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．
∴当时在上没有极值点，当时在上有一个极值点
（Ⅱ）∵函数在处取得极值，由（Ⅰ）结论知，
∴，
令，所以，
令可得在上递减，令可得在上递增，
∴，即.
考点：本小题主要考查函数的求导、函数的单调性、函数的极值最值和恒成立问题，考查学生分析问题、解决问题的能力和分类讨论思想的应用以及运算求解能力.
点评：导数是研究函数问题的有力工具，常常用来解决函数的单调性、极值、最值等问题.对于题目条件较复杂，设问较多的题目审题时，应该细致严谨，将题目条件条目化，一一分析，细心推敲.对于设问较多的题目，一般前面的问题较简单，问题难度阶梯式上升，先由条件将前面的问题正确解答，然后将前面问题的结论作为后面问题解答的条件，注意问题之间的相互联系，使问题化难为易，层层解决.
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