甘肃省靖远县第二中学2023-2024学年高二上学期12月期末考试数学模拟试题

这是一份甘肃省靖远县第二中学2023-2024学年高二上学期12月期末考试数学模拟试题，共10页。试卷主要包含了的展开式中，含的项的系数是等内容，欢迎下载使用。

考试范围：选择性必修第一册
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知数列的通项公式为，则该数列的第项为（ ）
A.1 B. C.-1 D.
2.若直线不经过第一象限，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.圆的圆心在直线上，且和轴相切于点，则圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
4.某科技小组有6名学生，其中男生4人，女生2人，现从中选出3人去参观展览，则至少有一名女生人选的不同选法种数为（ ）
A.12 B.16 C.18 D.24
5.的展开式中，含的项的系数是（ ）
A.-20 B.5 C.15 D.35
6.以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的渐近线的倾斜角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
7.已知为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于点，，且点在点的下方.若直线的斜率为，则（ ）
A.5 B.4 C. D.3
8.已知等差数列的前5项和为105，且.对任意的，将数列中不大于的项的个数记为，则数列的前项和等于（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若直线被两平行直线与直线所截的线段的长为，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
10.用种不同的颜色涂图中的矩形，要求相邻的矩形涂色不同，不同的涂色方法总种数记为，则（ ）
A. B.
C. D.
11.如图，在直角坐标系中，坐标轴将边长为4的正方形分割成四个小正方形.若大圆为正方形的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则下列方程是图中某个圆的方程的是（ ）
A. B.
C. D.
12.设椭圆的左､右焦点分别为是上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.的最大值为
C.离心率
D.以线段为直径的圆与直线相切
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若，则实数__________.
14.在等差数列中，前五项和为10，最后五项之和为90，前项之和为180，则项数__________.
15.已知实数满足，则的最小值为__________.
16.已知圆，点在抛物线上运动，过点作圆的切线，切点分别为，则的最小值为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知.
（1）求直线的全体方向向量和一个法向量；
（2）若点在线段（包括端点）上移动，求直线的斜率的取值范围.
18.（12分）
设数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
19.（12分）
课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男､女生各有一名队长，现从中选5人参加某项活动，依下列条件各有多少种选法？（用数字做答）
（1）至少有一名队长参加该活动；
（2）至多有两名女生参加该活动.
20.（12分）
已知双曲线是上的任意一点.
（1）设点的坐标为，求的最小值；
（2）若分别为双曲线的左､右焦点，，求的面积.
21.（12分）
在平面直角坐标系中，已知圆和圆.
（1）若直线过原点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程.
（2）是否存在点满足过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
22.（12分）
已知椭圆的左顶点为，过作两条互相垂直的直线且分别与椭圆交于两点（异于点），设直线的斜率为为坐标原点.
（1）用表示点的坐标.
（2）求证：直线过定点.
（3）求的面积的取值范围.
高二年级上学期期末考试模拟卷
1.A 当为奇数时，；当为偶数时，，.综上所述，.
2.C 直线方程可化为，因为直线不经过第一象限，所以，解得.所以实数的取值范围是.
3.B 因为圆心在直线上，故设圆心，又因为圆和轴相切于点，所以，即，则半径，故圆的标准方程为.
4.B 分两类：一类是选1个女生，则有种；另一类是选2个女生，则有种.所以不同选法种数共有.
5.D 二项式的展开式中的通项，含的项的系数为.
6.D 椭圆焦点坐标为，顶点坐标为，故，由，得到双曲线的方程为，渐近线的方程为，设倾斜角为，得，故.
7.B 如图，设在抛物线的准线上的射影分别为交抛物线的准线于点.设，由直线的斜率为，可得，且，即，化简得，可得.
8.C 设数列的公差为，前项和为.由，
得，解得，因此.对任意的，若，则.因此，所以数列是首项为1，公比为7的等比数列，故.
9.AD 两平行直线间的距离为，由图（图略）可知直线与直线的夹角为，因为直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为或.
10.AD 当时，分四步：第一步，涂处，有6种涂色方案；第二步，涂处，有5种涂色方案；第三步，涂处，有5种涂色方案；第四步，涂处，有4种涂色方案.不同的涂色方法共种数为，所以，同理.
11.ABC 由题可知小正方形边长为2，则内切圆半径为1，
可得第一象限的小圆的圆心为，方程为，
即；
第二象限的小圆的圆心为，方程为，
即；
第三象限的小圆的圆心为，方程为，
即；
第四象限的小圆的圆心为，方程为，
即.
12.ACD 由椭圆，可得，可得，所以焦点为，根据椭圆的定义知，所以A项正确；
的最大值为，所以项错误；
椭圆的离心率为，所以项正确；
由原点到直线的距离，知以线段为直径的圆与直线相切，所以项正确.
13. ，又，所以，即有.
14.18 因为，
所以，
所以，即.
因为，解得.
15.9 因为表示点到点的距离的平方，所以的最小值为点到直线的距离，即，所以的最小值为9.
16. 根据题意，可知，且.
由几何性质可得四边形的面积为Rt面积的2倍，
所以，
即.
易知，当为原点时，取得最小值2，故的最小值为.
17.解：（1）由斜率公式知直线的斜率为，
所以直线的全体方向向量为（为任意的非零实数）.
直线的方程为，化简得，
所以直线的一个法向量为.
（2）结合图象（图略）可知，当点为点时，直线的斜率最大，
直线的斜率为，当点为点时，直线的斜率最小，
由（1）知直线的斜率为，所以直线的斜率的取值范围为.
18.解：（1）当时，①，
②，
①-②，得，化简得.
显然也满足上式，故.
（2）由（1）得，于是③，
④，
③-④，得，即.
19.解：（1）至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和有两名队长.故共有825（种）情况，或采用排除法有种情况.
（2）至多有两名女生含有三种情况：有两名女生､只有一名女生､没有女生.故共有种情况.
20.解：（1）设点的坐标为，则，因为，所以当时，取得最小值.
（2）由双曲线的定义知①
由余弦定理得②
根据①②可得，所以.
21.解：（1）当直线的斜率不存在时，直线即是轴，此时直线被圆截得的弦长为，满足题意.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由直线被圆截得的弦长为6得.所以直线的方程为和.
（2）存在满足条件的点，点坐标为或.理由如下：
设，因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，
两圆半径相等，所以圆心到直线与到直线的距离相等，
当两直线斜率存在且不等于0时，设直线的方程分别为，即.
故有，
整理得或，关于的方程有无穷多解，
所以或，解得点的坐标为或.
当两直线斜率一个为0，另一个不存在时，点的坐标和也适合.
综上可知，存在点满足过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，此时点的坐标为或.
22.解：（1）由题意可得，直线的斜率都存在且不为0，故可设直线的方程为，由，可得，所以点，同理可得点.
（2）证明：当，即时，直线的方程为，经过点.
当，即时，直线的斜率为，
直线的方程为，令，可得，
直线也过点.综上可知，直线恒过定点.
（3）的面积，令，则，而在上单调递增，的值域为，所以的面积的取值范围是.