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压轴题03 水平面和竖直面内的圆周运动-高考物理压轴题专项训练（全国通用）
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压轴题03 水平面和竖直面内的圆周运动
考向一/选择题：有关圆盘上无绳两物体的水平面圆周运动的临界问题
考向二/选择题：有关圆盘上有绳两物体的水平面圆周运动的临界问题
考向三/选择题：竖直面内的绳类（轨道内侧）问题
考向四/选择题：竖直面内的杆类（管类）问题
考向一：水平面内圆盘类圆周运动问题
①口诀：“谁远谁先飞”；
②a或b发生相对圆盘滑动的各自临界角速度：
；
①口诀：“谁远谁先飞”；
②轻绳出现拉力，先达到B的临界角速度：；
③AB一起相对圆盘滑动时，临界条件：
隔离A：T=μmAg；隔离B：T+μmBg=mBω22rB
整体：μmAg+μmBg=mBω22rB
AB相对圆盘滑动的临界条件：
①口诀：“谁远谁先飞”；
②轻绳出现拉力，先达到B的临界角速度：；
③同侧背离圆心，fAmax和fBmax指向圆心，一起相对圆盘滑动时，
临界条件：
隔离A：μmAg-T=mAω22rA；隔离B：T+μmBg=mBω22rB
整体：μmAg+μmBg=mAω22rA+mBω22rB
AB相对圆盘滑动的临界条
①口诀：“谁远谁先飞”（rB>rA）；
②轻绳出现拉力临界条件：；
此时B与面达到最大静摩擦力，A与面未达到最大静摩擦力。
此时隔离A：fA+T=mAω2rA；隔离B：T+μmBg=mBω2rB
消掉T：fA=μmBg-(mBrB-mArA)ω2
③当mBrB=mArA时，fA=μmBg，AB永不滑动，除非绳断；
④AB一起相对圆盘滑动时，临界条件：
1）当mBrB>mArA时，fA↓=μmBg-(mBrB-mArA)ω2↑→fA=0→反向→fA达到最大→从B侧飞出；
2）当mBrB
临界条件：
①，； ②，
临界条件：
①
②
考向二：竖直面内的圆周运动问题
轻绳模型
轻杆模型
情景图示
弹力特征
弹力可能向下，也可能等于零
弹力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力示意图
力学方程
mg＋FT＝m
mg±FN＝m
临界特征
FT＝0，即mg＝m，得v＝
v＝0，即F向＝0，
此时FN＝mg
模型关键
(1)“绳”只能对小球施加向下的力
(2)小球通过最高点的速度至少为
(1)“杆”对小球的作用力可以是拉力，也可以是支持力
(2)小球通过最高点的速度最小可以为0
1．如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为的细绳连接，木块与转的最大静摩擦力均为各自重力的倍，A放在距离转轴处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是（ ）
A．当时，A、B相对于转盘会滑动
B．当时，绳子一定有弹力
C．在范围内增大时，B所受摩擦力变大
D．在范围内增大时，A所受摩擦力一直不变
【答案】B
【详解】A．开始角速度较小，两木块都靠静摩擦力提供向心力，B先到达最大静摩擦力，角速度继续增大，则绳子出现拉力，角速度继续增大，A的静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，开始发生相对滑动，A、B相对于转盘会滑动，对A有对B有解得故A错误；
B．当B达到最大静摩擦力时，绳子开始出现弹力解得则当时，绳子一定有弹力，故B正确；
C．时B已经达到最大静摩擦力，则ω在内，B受到的摩擦力不变，故C错误；
D．绳子没有拉力时，对A有则随转盘角速度增大，静摩擦力增大，绳子出现拉力后，对A有
对B有联立有则当ω增大时，静摩擦力也增大，故D错误。
故选B。
2．如图所示，三个可视为质点的、相同的木块A、B和C放在转盘上，质量均为m，C放在A的上面，A和B两者用长为L的细绳连接，木块与转盘、木块与木块之间的动摩擦因数均为k，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴转动。开始时，绳恰好伸直，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，以下说法正确的是（ ）
A．当时，绳子拉力随增大
B．物块C会先发生相对滑动
C．当时，C受到的摩擦力为
D．当时，A受到转盘的摩擦力为
【答案】D
【详解】A．分析可知B先达到最大静摩擦力，对B有解得故当时，绳子才会有弹力，选项A错误；
BCD．当A也达到最大静摩擦力时，用系统牛顿第二定律解得则当时，A受到转盘的摩擦力为。当C达到最大静摩擦力时，有解得
则当时，C受到的摩擦力不为。由于所以A、B滑动之前，C未发生相对滑动。故D正确，BC错误。故选D。
3．如图所示，轻绳的一端系着物块A，另一端通过水平转盘中心的光滑小孔O吊着小球B，A随转盘一起绕通过小孔O的竖直轴匀速转动，小球B始终与转盘保持相对静止。已知：物块A与小球B质量均为m，物块A与转盘接触面的动摩擦因数为，物块A转动半径为r，重力加速度为g，则转盘转动的角速度可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】若物块A有沿细绳向里的运动趋势，则静摩擦力方向沿细绳向外，由于最大静摩擦力不小于滑动摩擦力，取最大静摩擦力等于滑动摩擦力，设静摩擦力达到最大静摩擦力时转盘角速度为，根据牛顿第二定律可得解得若物块A有沿细绳向外的运动趋势，则静摩擦力方向沿细绳向里，取最大静摩擦力等于滑动摩擦力，设静摩擦力达到最大静摩擦力时转盘角速度为，根据牛顿第二定律可得解得综合上述分析可得转盘转动的角速度满足故选C。
4．一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙两物体质量分别为M和m（M>m），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为压力的倍，两物体用一根长为L（L
A．随着角速度的增大的过程中，物块m受到的摩擦力先增加再逐渐减少
B．随着角速度的增大的过程中，物块M始终受到摩擦力
C．则圆盘旋转的角速度最大不得超过
D．则圆盘旋转的角速度最大不得超过
【答案】D
【详解】AB．当圆盘角速度较小时，m的向心力由静摩擦力提供，绳子没拉力，由牛顿第二定律
m受的静摩擦力随角速度增大而增大，当角速度增大到时，静摩擦力达到最大静摩擦力，角速度再增大，绳子拉力出现，由牛顿第二定律随着角速度增大，m受的摩擦力保持不变，一直为最大静摩擦力。则随着角速度的增大的过程中，物块m受到的摩擦力先增加后保持不变，当绳子有力时，M开始受到摩擦力作用，故AB错误；
CD．当绳子的拉力增大到等于甲的最大静摩擦力时，角速度达到最大，对m和M，分别有;
联立可得故C错误，D正确。故选D。
5．如图所示有竖直平面内的圆轨道，轨道内外两侧均光滑，半径为，质量为的小滑块以、初速度分别在轨道最高点的内侧和外侧运动，以下关于滑块是否脱离轨道的说法正确的是（ ）
A．不管在轨道的内侧还是外侧运动，只要最高点不脱离则其它点一定不会脱离轨道
B．不管在轨道的内侧还是外侧运动，只要最高点的速度大于等于，一定不会脱离轨道
C．在轨道的内侧最高点的速度、外侧最高点的速度，都不会脱离轨道
D．在轨道的内侧只要一定脱离轨道，外侧无论多大都会脱离轨道
【答案】D
【详解】当小滑块在轨道内侧运动时，受力分析如图
小滑块所受指向轨道圆心的合力提供向心力，故从最高点滑下来，由机械能守恒定律
联立得所以当时，小滑块能够不脱离轨道在轨道内侧运动，需满足当θ=0°时，cosθ最大，所以需满足解得小滑块在轨道内侧运动不脱离轨道的条件是当小滑块在轨道外侧运动时，受力分析如图
小滑块所受指向轨道圆心的合力提供向心力，故从最高点滑下来，由机械能守恒定律
联立得所以当时，小滑块能够不脱离轨道在轨道外侧运动，需满足当θ=90°时，cosθ最小，所以需满足显然v2无解，所以无论小滑块以多大的速度在轨道外侧从最高点滑出，都会脱离轨道，所以A、B、C错误。故选D。
6．如图甲所示，可视为质点的小球用长为L、不可伸长的轻绳悬挂于O点。现对小球施加水平恒力F使其从静止开始运动，轻绳拉力FT大小随轻绳转过的角度θ变化的曲线如图乙所示，图中F0为已知量，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．水平恒力与重力的大小比值为2
B．当轻绳水平时，小球的速度最大
C．小球到达最高点时的加速度大小为2g
D．小球运动过程中轻绳拉力的最大值为4F0
【答案】D
【详解】A．设水平恒力F与重力的合力为Fʹ，Fʹ为等效重力，受力分析如图所示
由图可知，当时，轻绳拉力最大，此时小球处于等效最低点，根据几何关系可得，A错误；
B．当小球处于等效最低点时，小球的速度最大，此时，故B错误；
C．小球到达最高点时，速度为零，设其加速度为a，根据牛顿第二定律，沿半径方向，有沿切线方向得故C错误；
D．由图可知，当时，轻绳拉力达到最大值，轻绳的拉力与Fʹ的合力为小球运动提供向心力，则有；由动能定理得联立解得因为刚开始时小球是静止的，则有所以故D正确。故选D。
7．宇航员在空气稀薄的某星球上用一根不可伸长轻绳一端连接固定的拉力传感器，另一端连接质量为0.5kg的小钢球，如图所示。多次拉起小钢球使绳伸直至不同位置并由静止释放，每次释放后小球均在竖直平面内摆动，拉力传感器分别记录下每次释放小钢球后，小钢球在竖直平面内摆动过程中绳子拉力的最大值和最小值。做出图像，根据图像判断下列说法正确的是（ ）
A．增大小球质量，图像斜率会变大
B．随着释放高度增加，与的差值不变
C．该星球表面的重力加速度为6m/s2
D．该星球表面的重力加速度为8m/s2
【答案】D
【详解】B．设小钢球的质量为m，小钢球在高h处静止释放时，拉力最小为。释放时速度为零，所以有
其中为细线与竖直方向夹角。小球到达最低点时的速度大小为v，小钢球下摆过程中机械能守恒，由机械能守恒定律得小球到达最低点时细线拉力最大，最大拉力为，则有
联立可得由题意可知故随着释放高度增加，增大，差值增大，故B错误；
A．由可知，图像斜率与质量无关，故A错误；
CD．纵轴截距计算可得该星球重力加速度为故C错误，D正确。故选D。
8．如图甲所示，轻杆一端与质量为、可视为质点的小球相连，另一端可绕光滑固定轴在竖直平面内自由转动。现使小球在竖直平面内做圆周运动，经最高点开始计时，取水平向右为正方向，小球的水平分速度v随时间t的变化关系如图乙所示，A、B、C三点分别是图线与纵轴、横轴的交点、图线上第一周期内的最低点，该三点的纵坐标分别是1、0、，g取，不计空气阻力。下列说法中正确的是（ ）
A．轻杆的长度为
B．小球经最高点时，杆对它的作用力方向竖直向上
C．B点对应时刻小球的速度为
D．曲线段与坐标轴所围图形的面积为
【答案】B
【详解】A．设杆的长度为L，小球从A到C的过程中机械能守恒有代入数据求解得杆的长度为故A项错误。
B．若小球在A点恰好对杆作用力为零，则有临界速度求得临界速度大于。由于小球在A点的速度小于临界速度，故小球做圆周运动向心力小于重力，杆对小球的作用力方向竖直向上，故B项正确。
C．小球从A到B的过程中机械能守恒，有所以B的速度求解可得故C项错误。
D．因y轴表示的是小球在水平方向上的分速度，故曲线段与坐标轴所围成图形面积表示A到B的过程小球在水平方向的位移，大小等于杆的长度即所围面积为，故D项错误。故选B。
9．某同学根据打夯机（一种用于夯实路面的机械，多用于建设时对地基进行打平、夯实）原理制成了如图所示仪器，底座与支架连在一起，支架的上方有一转轴，轴上连有一根轻杆，杆的另一端固定一铁球，球转动半径为r，底座和支架的质量为M，铁球的质量为m，其余各部件的质量都忽略不计，忽略空气阻力和转轴摩擦力，重力加速度为g。铁球在最低点时给铁球一水平初速度v0，铁球在竖直平面内做圆周运动，底座始终处于静止状态，则（ ）
A．铁球在最低点时，底座对地面的压力大小为
B．铁球在最高点时，底座对地面的压力大小为
C．初速度的最大值为
D．底座与地面之间始终没有摩擦力
【答案】C
【详解】A．铁球在最低点时受杆向上的拉力F和重力，由牛顿第二定律解得杆的拉力F为则轴受杆向下的拉力为F，对底座受力分析，由平衡条件由牛顿第三定律，底座对地面的压力大小为，故A错误；
B．铁球在最高点时受杆向下的拉力和重力，由牛顿第二定律又由机械能守恒解得则杆对轴的拉力大小为，方向向上，对底座受力分析，由平衡条件由牛顿第三定律，底座对地面的压力大小为，当时初速度的值最大，为故B错误，C正确；
D．当小球不在最低点和最高点时，小球水平方向有分加速度，杆对小球水平方向有作用力，则轴就受到水平方向的作用力，对底座由平衡条件知，底座与地面之间有摩擦力，故D错误。故选C。
10．如图所示，竖直面内的圆形管道半径R远大于横截面的半径，有一小球的直径比管横截面直径略小，在管道内做圆周运动．小球过最高点时，小球对管壁的弹力大小用F表示、速度大小用v表示，当小球以不同速度经过管道最高点时，其图象如图所示．则（ ）
A．小球的质量为 B．当地的重力加速度大小为
C．时，小球对管壁的弹力方向竖直向下 D．时，小球受到的弹力大小是重力大小的三倍
【答案】D
【详解】AB. 在最高点，若，则若F=0，则v2=a解得小球的质量
当地的重力加速度大小故AB错误；
C．若F=0，则v2=a，则时，小球所受的弹力方向向下，所以小球对管壁的弹力方向竖直向上，故C错误；
D．当v2=b时，根据； 解得 当v2=2b时，根据解得
故D正确。故选D。
11．如图所示，两相同木块A和B放在水平转盘上，二者用长为的不可伸长的细绳连接，A到转盘中心的距离为L，两木块与转盘的最大静摩擦力等于各自重力的k倍，重力加速度为g。整个装置能绕通过转盘中心的竖直转轴转动，开始时绳刚好伸直，现使装置的角速度由零开始缓慢增大，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（ ）
A．当时，绳上开始产生张力
B．当时，A所受的摩擦力为零
C．当时，A、B相对转盘开始滑动
D．从转盘开始转动到A、B相对转盘开始滑动，A的摩擦力先增大后减小，再增大
【答案】CD
【详解】A．由题A到转盘中心的距离为L，B到转盘中心的距离为2L。当B达到最大静摩擦力时，绳上开始出现张力，此时对B有解得故A错误；
BD．由A知，当时两木块相对转盘静止，由各自静摩擦力提供向心力，且静摩擦力随着角速度的增大而增大；当后，绳上开始出现张力且在增大，A的向心力由绳张力和静摩擦力提供，因而静摩擦力开始减小，直到减小为0。此时；可得可知当时A的摩擦力随角速度的增大而减小。当后A的摩擦力开始反向增大，达到最大静摩擦力后A、B相对转盘开始滑动，故B错误，D正确；
C．当A达到最大静摩擦力时，A、B相对转盘开始滑动；此时对A有对B有
解得故C正确。故选CD。
12．如图甲所示，两个完全一样的小木块a和b（可视为质点）用轻绳连接置于水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l。圆盘从静止开始绕转轴极缓慢地加速转动，木块和圆盘保持相对静止。ω表示圆盘转动的角速度，a、b与圆盘保持相对静止的过程中所受摩擦力与ω2满足如图乙所示关系，图中f2= 3f1，下列判断正确的是（ ）
A．图线（1）对应物体b B．绳长为2l
C． D．ω = ω2时绳上张力大小为
【答案】ABD
【详解】A．根据图像刚开始为过原点的直线，可得开始时有f = mω2r则刚开始时绳子无拉力，摩擦力提供各自的向心力为，因为，所以有则图线（1）对应物体b，A正确；
B．当时，对物体ab有，，可得解得
所以绳子长度为，B正确；
CD．当时，对b有得当时，设此时绳子拉力为，对物体ab有
，联立解得，，C错误，D正确。故选ABD。
13．如图所示，两个可视为质点的质量不等的木块A和B，A的质量大于B的质量，放在水平转盘上，A与圆心O、A与B距离都为L。木块与转盘间的最大静摩擦力均为各自重力的k倍，整个装置能绕通过转盘中心的转轴ab转动。现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是（ ）
A．当角速度增大过程中，B先滑动
B．当，A一定出现滑动
C．当，A与B都出现滑动
D．将A与B的位置兑换后，由于A的质量大于B，还是B先滑动
【答案】AC
【详解】A．A、B均由静摩擦力提供向心力，即将滑动时可得由于A距离O点较远，可知当角速度增大过程中，B先滑动，故A正确；
B．A出现滑动的临界条件为所以当时，还未发生滑动，故B错误；
C．B发生滑动的临界条件为由B选项分析可知，当时，B发生滑动，且A也一定发生滑动，故C正确；
D．由发生滑动的临界条件可知将A与B的位置兑换后，是A先滑动，故D错误。故选AC。
14．某种工业中测试平台离心性能时，会使平台绕竖直轴在水平面上加速转动，如图所示。把质量为m的物块放置在距转轴为r处，平台绕转轴由角速度为零开始加速转动，小物块随平台一起转动。已知小物块切线方向加速度恒为a0，当平台转动角速度达时，物块恰好开始相对平台滑动，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．平台对物块做功大于 B．平台对物块做功等于
C．平台和物块间的动摩擦因数为 D．平台和物块间的动摩擦因数为
【答案】BD
【详解】AB．由题意知平台对物体做功即为物块获得的动能其中解得
故A错误，B正确；
C．由题意知，物块转动时有切线方向加速度和向心加速度，合加速度为其中
物块恰好开始相对平台滑动时满足解得故C错误，D正确。故选BD。
15．如图所示，在水平圆盘上放有质量分别为的三个物体（均可视为质点），圆盘可绕垂直圆盘的中心轴转动。三个物体与圆盘之间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为。三个物体与轴心共线，且关于中心轴对称，，现将三个物体用轻质细线相连，保持细线伸直且恰无张力。圆盘从静止开始转动，角速度缓慢地增大，直到三个物体与圆盘将要发生相对滑动，则对于这个过程，下列说法正确的是（ ）
A．当物体达到最大静摩擦力时，物体也一定同时达到最大静摩擦力
B．在发生相对滑动前，两个物体的静摩擦力先增大后不变，物体的静摩擦力先增大后减小再增大
C．当时整体会发生滑动
D．当时，在增大的过程中间的拉力先增大后减小
【答案】BC
【详解】ABC．开始阶段当圆盘转速增大时，由静摩擦力提供向心力，三个物体的角速度相等，由
知，由于C的半径最大，质量最大，故C所需要的向心力增加最快，最先达到最大静摩擦力，此时
解得当C的摩擦力达到最大静摩擦力之后，BC之间的细线开始提供拉力，随着角速度的增大，B的摩擦力增大；当B的摩擦力达到最大静摩擦力之后，A、B之间的细线开始有力的作用，随着角速度的增大，A的摩擦力将减小到零然后反向增大；当A的摩擦力达到最大时，整体将会出现相对滑动，对A、B整体有对C有解得即当时整体会发生相对滑动，故A错误，BC正确；
D．当，C受到的摩擦力方向沿着半径向里，且没有出现相对滑动，故在增大的过程中，由于向心力不断增大，故B，C间的拉力不断增大，故D错误。故选BC。
16．如图甲、乙所示为自行车气嘴灯，气嘴灯由接触式开关控制，其结构如图丙所示，弹簧一端固定在顶部，另一端与小物块P连接，当车轮转动的角速度达到一定值时，P拉伸弹簧后使触点A、B接触，从而接通电路使气嘴灯发光。触点B与车轮圆心距离为R，车轮静止且气嘴灯在最低点时触点A、B距离为d，已知P与触点A的总质量为m，弹簧劲度系数为k，重力加速度大小为g，不计接触式开关中的一切摩擦，小物块P和触点A、B均视为质点，则（ ）
A．要使气嘴灯能发光，车轮匀速转动的最小角速度为
B．要使气嘴灯能发光，车轮匀速转动的最小角速度为
C．要使气嘴灯一直发光，车轮匀速转动的最小角速度为
D．要使气嘴灯一直发光，车轮匀速转动的最小角速度为
【答案】AC
【详解】AB．当气嘴灯运动到最低点时发光，此时车轮匀速转动的角速度最小，则有得
故A正确，B错误；
CD．当气嘴灯运动到最高点时能发光，则得即要使气嘴灯一直发光，车轮匀速转动的最小角速度为，故C正确，D错误。故选AC。
17．如图所示，在竖直平面内有水平向右、电场强度为的匀强电场。在匀强电场中有一根长的绝缘细线，一端固定在O点，另一端系一质量的带电小球，静止时悬线与竖直方向成37°角。若小球获得初速度恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，取小球静止时的位置为电势能零点和重力势能零点，，g取10 m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．小球的电荷量
B．小球动能的最小值为1 J
C．小球在运动至圆周轨迹上的最高点时有机械能的最小值
D．小球绕O点在竖直平面内做圆周运动的电势能和机械能之和保持不变，且为4 J
【答案】AB
【详解】
A．开始时，小球处于静止状态，对小球进行受力分析，如图所示，由平衡条件可得解得小球的电荷量为故A正确；
B．由于重力和电场力都是恒力，所以它们的合力也是恒力，在圆周轨迹上各点中，小球在平衡位置A点时的势能（重力势能和电势能之和）最小，在平衡位置关于O点的对称点B点，小球的势能最大，由于小球的总能量不变，所以小球在B点的动能EkB最小，对应速度vB最小;根据题意，在B点时小球只受重力和电场力，其合力为小球做圆周运动提供向心力，而细线的拉力恰为零又得故B正确；
C．由于总能量保持不变，即当小球在圆周轨迹上最左侧的C点时，电势能EpE最大，所以在该点时机械能最小，C错误；
D．小球由B运动到A所以小球在B点的势能总能量故D错误。
故选AB。
18．如图所示，外轨道光滑，内轨道粗糙（粗糙程度处处相同）的圆环轧道固定在竖直平面内，完全相同的小球A、B（直径略小于轨道间距）以相同的速率从与圆心与高处分别向上、向下运动，两球相遇时发生的碰撞可看作弹性碰撞，重力加速度为g。下列说法中正确的是（ ）
A．当时，小球A通过最高点和小球B通过最低点时对轨道的压力差为6mg
B．当时，第一次碰撞前瞬间，A球机械能一定小于B球机械能
C．当时，第一次碰撞的位置一定在轨道的最低点
D．当时，第一次碰撞后瞬间，两球速度一定等大反向
【答案】AD
【详解】A．当时，A球在最高点所受弹力为零时，只有重力提供向心力得
假设A球上升到最高点过程中外轨道对A球有弹力，则满足机械能守恒得说明假设成立，根据牛顿第二定律得，B球到最低点过程，由机械能守恒和牛顿第二定律，得球A通过最高点和球B通过最低点时对轨道的压力差为故A正确；
B．使A球在最高点弹力为零，根据机械能守恒小球初速度为当则
，A球与内轨道存在摩擦力，机械能有损失，由于不知道摩擦力做功多少，故现不确定A球是否能经过最高点，若A球能先通过最高点，虽然不能确定两球相碰的位置，但是A球与内轨道接触过程运动的路程更大，损失的机械能更多，所以两球第一次相碰时A球机械能小于B球机械能；
若A球不能经过最高点，则两球在上半圆与内轨道接触时，相同高度的速度大小相同，故摩擦力等大，可知机械能损失一样多。两球一定是在下半圆轨道上相碰，而当二者相碰时一定在相同高度，则此时速度等大、反向，此时两球相碰时机械能等大。故B错误；
C．假设内轨道光滑，使A球恰好到达最高点，根据机械能守恒得当
则，A、B两球无法到达最高点。因为A球先返回，所以第一次碰撞不在最低点，故C错误；
D．当情况与选项C相似，两球在上半圆与内轨道接触时，相同高度的速度大小相同，故摩擦力等大，可知机械能损失一样多。两球一定是在下半圆轨道上相碰，而当二者相碰时一定在相同高度，则此时速度等大、反向，设为v3.根据动量守恒和机械能守恒，
解得第一次碰撞后瞬间，两球速度等大反向，故D正确。故选AD。
压轴题03 水平面和竖直面内的圆周运动
考向一/选择题：有关圆盘上无绳两物体的水平面圆周运动的临界问题
考向二/选择题：有关圆盘上有绳两物体的水平面圆周运动的临界问题
考向三/选择题：竖直面内的绳类（轨道内侧）问题
考向四/选择题：竖直面内的杆类（管类）问题
考向一：水平面内圆盘类圆周运动问题
①口诀：“谁远谁先飞”；
②a或b发生相对圆盘滑动的各自临界角速度：
；
①口诀：“谁远谁先飞”；
②轻绳出现拉力，先达到B的临界角速度：；
③AB一起相对圆盘滑动时，临界条件：
隔离A：T=μmAg；隔离B：T+μmBg=mBω22rB
整体：μmAg+μmBg=mBω22rB
AB相对圆盘滑动的临界条件：
①口诀：“谁远谁先飞”；
②轻绳出现拉力，先达到B的临界角速度：；
③同侧背离圆心，fAmax和fBmax指向圆心，一起相对圆盘滑动时，
临界条件：
隔离A：μmAg-T=mAω22rA；隔离B：T+μmBg=mBω22rB
整体：μmAg+μmBg=mAω22rA+mBω22rB
AB相对圆盘滑动的临界条
①口诀：“谁远谁先飞”（rB>rA）；
②轻绳出现拉力临界条件：；
此时B与面达到最大静摩擦力，A与面未达到最大静摩擦力。
此时隔离A：fA+T=mAω2rA；隔离B：T+μmBg=mBω2rB
消掉T：fA=μmBg-(mBrB-mArA)ω2
③当mBrB=mArA时，fA=μmBg，AB永不滑动，除非绳断；
④AB一起相对圆盘滑动时，临界条件：
1）当mBrB>mArA时，fA↓=μmBg-(mBrB-mArA)ω2↑→fA=0→反向→fA达到最大→从B侧飞出；
2）当mBrB
临界条件：
①，； ②，
临界条件：
①
②
考向二：竖直面内的圆周运动问题
轻绳模型
轻杆模型
情景图示
弹力特征
弹力可能向下，也可能等于零
弹力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力示意图
力学方程
mg＋FT＝m
mg±FN＝m
临界特征
FT＝0，即mg＝m，得v＝
v＝0，即F向＝0，
此时FN＝mg
模型关键
(1)“绳”只能对小球施加向下的力
(2)小球通过最高点的速度至少为
(1)“杆”对小球的作用力可以是拉力，也可以是支持力
(2)小球通过最高点的速度最小可以为0
1．如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为的细绳连接，木块与转的最大静摩擦力均为各自重力的倍，A放在距离转轴处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是（ ）
A．当时，A、B相对于转盘会滑动
B．当时，绳子一定有弹力
C．在范围内增大时，B所受摩擦力变大
D．在范围内增大时，A所受摩擦力一直不变
【答案】B
【详解】A．开始角速度较小，两木块都靠静摩擦力提供向心力，B先到达最大静摩擦力，角速度继续增大，则绳子出现拉力，角速度继续增大，A的静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，开始发生相对滑动，A、B相对于转盘会滑动，对A有对B有解得故A错误；
B．当B达到最大静摩擦力时，绳子开始出现弹力解得则当时，绳子一定有弹力，故B正确；
C．时B已经达到最大静摩擦力，则ω在内，B受到的摩擦力不变，故C错误；
D．绳子没有拉力时，对A有则随转盘角速度增大，静摩擦力增大，绳子出现拉力后，对A有
对B有联立有则当ω增大时，静摩擦力也增大，故D错误。
故选B。
2．如图所示，三个可视为质点的、相同的木块A、B和C放在转盘上，质量均为m，C放在A的上面，A和B两者用长为L的细绳连接，木块与转盘、木块与木块之间的动摩擦因数均为k，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴转动。开始时，绳恰好伸直，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，以下说法正确的是（ ）
A．当时，绳子拉力随增大
B．物块C会先发生相对滑动
C．当时，C受到的摩擦力为
D．当时，A受到转盘的摩擦力为
【答案】D
【详解】A．分析可知B先达到最大静摩擦力，对B有解得故当时，绳子才会有弹力，选项A错误；
BCD．当A也达到最大静摩擦力时，用系统牛顿第二定律解得则当时，A受到转盘的摩擦力为。当C达到最大静摩擦力时，有解得
则当时，C受到的摩擦力不为。由于所以A、B滑动之前，C未发生相对滑动。故D正确，BC错误。故选D。
3．如图所示，轻绳的一端系着物块A，另一端通过水平转盘中心的光滑小孔O吊着小球B，A随转盘一起绕通过小孔O的竖直轴匀速转动，小球B始终与转盘保持相对静止。已知：物块A与小球B质量均为m，物块A与转盘接触面的动摩擦因数为，物块A转动半径为r，重力加速度为g，则转盘转动的角速度可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】若物块A有沿细绳向里的运动趋势，则静摩擦力方向沿细绳向外，由于最大静摩擦力不小于滑动摩擦力，取最大静摩擦力等于滑动摩擦力，设静摩擦力达到最大静摩擦力时转盘角速度为，根据牛顿第二定律可得解得若物块A有沿细绳向外的运动趋势，则静摩擦力方向沿细绳向里，取最大静摩擦力等于滑动摩擦力，设静摩擦力达到最大静摩擦力时转盘角速度为，根据牛顿第二定律可得解得综合上述分析可得转盘转动的角速度满足故选C。
4．一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙两物体质量分别为M和m（M>m），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为压力的倍，两物体用一根长为L（L
A．随着角速度的增大的过程中，物块m受到的摩擦力先增加再逐渐减少
B．随着角速度的增大的过程中，物块M始终受到摩擦力
C．则圆盘旋转的角速度最大不得超过
D．则圆盘旋转的角速度最大不得超过
【答案】D
【详解】AB．当圆盘角速度较小时，m的向心力由静摩擦力提供，绳子没拉力，由牛顿第二定律
m受的静摩擦力随角速度增大而增大，当角速度增大到时，静摩擦力达到最大静摩擦力，角速度再增大，绳子拉力出现，由牛顿第二定律随着角速度增大，m受的摩擦力保持不变，一直为最大静摩擦力。则随着角速度的增大的过程中，物块m受到的摩擦力先增加后保持不变，当绳子有力时，M开始受到摩擦力作用，故AB错误；
CD．当绳子的拉力增大到等于甲的最大静摩擦力时，角速度达到最大，对m和M，分别有;
联立可得故C错误，D正确。故选D。
5．如图所示有竖直平面内的圆轨道，轨道内外两侧均光滑，半径为，质量为的小滑块以、初速度分别在轨道最高点的内侧和外侧运动，以下关于滑块是否脱离轨道的说法正确的是（ ）
A．不管在轨道的内侧还是外侧运动，只要最高点不脱离则其它点一定不会脱离轨道
B．不管在轨道的内侧还是外侧运动，只要最高点的速度大于等于，一定不会脱离轨道
C．在轨道的内侧最高点的速度、外侧最高点的速度，都不会脱离轨道
D．在轨道的内侧只要一定脱离轨道，外侧无论多大都会脱离轨道
【答案】D
【详解】当小滑块在轨道内侧运动时，受力分析如图
小滑块所受指向轨道圆心的合力提供向心力，故从最高点滑下来，由机械能守恒定律
联立得所以当时，小滑块能够不脱离轨道在轨道内侧运动，需满足当θ=0°时，cosθ最大，所以需满足解得小滑块在轨道内侧运动不脱离轨道的条件是当小滑块在轨道外侧运动时，受力分析如图
小滑块所受指向轨道圆心的合力提供向心力，故从最高点滑下来，由机械能守恒定律
联立得所以当时，小滑块能够不脱离轨道在轨道外侧运动，需满足当θ=90°时，cosθ最小，所以需满足显然v2无解，所以无论小滑块以多大的速度在轨道外侧从最高点滑出，都会脱离轨道，所以A、B、C错误。故选D。
6．如图甲所示，可视为质点的小球用长为L、不可伸长的轻绳悬挂于O点。现对小球施加水平恒力F使其从静止开始运动，轻绳拉力FT大小随轻绳转过的角度θ变化的曲线如图乙所示，图中F0为已知量，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．水平恒力与重力的大小比值为2
B．当轻绳水平时，小球的速度最大
C．小球到达最高点时的加速度大小为2g
D．小球运动过程中轻绳拉力的最大值为4F0
【答案】D
【详解】A．设水平恒力F与重力的合力为Fʹ，Fʹ为等效重力，受力分析如图所示
由图可知，当时，轻绳拉力最大，此时小球处于等效最低点，根据几何关系可得，A错误；
B．当小球处于等效最低点时，小球的速度最大，此时，故B错误；
C．小球到达最高点时，速度为零，设其加速度为a，根据牛顿第二定律，沿半径方向，有沿切线方向得故C错误；
D．由图可知，当时，轻绳拉力达到最大值，轻绳的拉力与Fʹ的合力为小球运动提供向心力，则有；由动能定理得联立解得因为刚开始时小球是静止的，则有所以故D正确。故选D。
7．宇航员在空气稀薄的某星球上用一根不可伸长轻绳一端连接固定的拉力传感器，另一端连接质量为0.5kg的小钢球，如图所示。多次拉起小钢球使绳伸直至不同位置并由静止释放，每次释放后小球均在竖直平面内摆动，拉力传感器分别记录下每次释放小钢球后，小钢球在竖直平面内摆动过程中绳子拉力的最大值和最小值。做出图像，根据图像判断下列说法正确的是（ ）
A．增大小球质量，图像斜率会变大
B．随着释放高度增加，与的差值不变
C．该星球表面的重力加速度为6m/s2
D．该星球表面的重力加速度为8m/s2
【答案】D
【详解】B．设小钢球的质量为m，小钢球在高h处静止释放时，拉力最小为。释放时速度为零，所以有
其中为细线与竖直方向夹角。小球到达最低点时的速度大小为v，小钢球下摆过程中机械能守恒，由机械能守恒定律得小球到达最低点时细线拉力最大，最大拉力为，则有
联立可得由题意可知故随着释放高度增加，增大，差值增大，故B错误；
A．由可知，图像斜率与质量无关，故A错误；
CD．纵轴截距计算可得该星球重力加速度为故C错误，D正确。故选D。
8．如图甲所示，轻杆一端与质量为、可视为质点的小球相连，另一端可绕光滑固定轴在竖直平面内自由转动。现使小球在竖直平面内做圆周运动，经最高点开始计时，取水平向右为正方向，小球的水平分速度v随时间t的变化关系如图乙所示，A、B、C三点分别是图线与纵轴、横轴的交点、图线上第一周期内的最低点，该三点的纵坐标分别是1、0、，g取，不计空气阻力。下列说法中正确的是（ ）
A．轻杆的长度为
B．小球经最高点时，杆对它的作用力方向竖直向上
C．B点对应时刻小球的速度为
D．曲线段与坐标轴所围图形的面积为
【答案】B
【详解】A．设杆的长度为L，小球从A到C的过程中机械能守恒有代入数据求解得杆的长度为故A项错误。
B．若小球在A点恰好对杆作用力为零，则有临界速度求得临界速度大于。由于小球在A点的速度小于临界速度，故小球做圆周运动向心力小于重力，杆对小球的作用力方向竖直向上，故B项正确。
C．小球从A到B的过程中机械能守恒，有所以B的速度求解可得故C项错误。
D．因y轴表示的是小球在水平方向上的分速度，故曲线段与坐标轴所围成图形面积表示A到B的过程小球在水平方向的位移，大小等于杆的长度即所围面积为，故D项错误。故选B。
9．某同学根据打夯机（一种用于夯实路面的机械，多用于建设时对地基进行打平、夯实）原理制成了如图所示仪器，底座与支架连在一起，支架的上方有一转轴，轴上连有一根轻杆，杆的另一端固定一铁球，球转动半径为r，底座和支架的质量为M，铁球的质量为m，其余各部件的质量都忽略不计，忽略空气阻力和转轴摩擦力，重力加速度为g。铁球在最低点时给铁球一水平初速度v0，铁球在竖直平面内做圆周运动，底座始终处于静止状态，则（ ）
A．铁球在最低点时，底座对地面的压力大小为
B．铁球在最高点时，底座对地面的压力大小为
C．初速度的最大值为
D．底座与地面之间始终没有摩擦力
【答案】C
【详解】A．铁球在最低点时受杆向上的拉力F和重力，由牛顿第二定律解得杆的拉力F为则轴受杆向下的拉力为F，对底座受力分析，由平衡条件由牛顿第三定律，底座对地面的压力大小为，故A错误；
B．铁球在最高点时受杆向下的拉力和重力，由牛顿第二定律又由机械能守恒解得则杆对轴的拉力大小为，方向向上，对底座受力分析，由平衡条件由牛顿第三定律，底座对地面的压力大小为，当时初速度的值最大，为故B错误，C正确；
D．当小球不在最低点和最高点时，小球水平方向有分加速度，杆对小球水平方向有作用力，则轴就受到水平方向的作用力，对底座由平衡条件知，底座与地面之间有摩擦力，故D错误。故选C。
10．如图所示，竖直面内的圆形管道半径R远大于横截面的半径，有一小球的直径比管横截面直径略小，在管道内做圆周运动．小球过最高点时，小球对管壁的弹力大小用F表示、速度大小用v表示，当小球以不同速度经过管道最高点时，其图象如图所示．则（ ）
A．小球的质量为 B．当地的重力加速度大小为
C．时，小球对管壁的弹力方向竖直向下 D．时，小球受到的弹力大小是重力大小的三倍
【答案】D
【详解】AB. 在最高点，若，则若F=0，则v2=a解得小球的质量
当地的重力加速度大小故AB错误；
C．若F=0，则v2=a，则时，小球所受的弹力方向向下，所以小球对管壁的弹力方向竖直向上，故C错误；
D．当v2=b时，根据； 解得 当v2=2b时，根据解得
故D正确。故选D。
11．如图所示，两相同木块A和B放在水平转盘上，二者用长为的不可伸长的细绳连接，A到转盘中心的距离为L，两木块与转盘的最大静摩擦力等于各自重力的k倍，重力加速度为g。整个装置能绕通过转盘中心的竖直转轴转动，开始时绳刚好伸直，现使装置的角速度由零开始缓慢增大，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（ ）
A．当时，绳上开始产生张力
B．当时，A所受的摩擦力为零
C．当时，A、B相对转盘开始滑动
D．从转盘开始转动到A、B相对转盘开始滑动，A的摩擦力先增大后减小，再增大
【答案】CD
【详解】A．由题A到转盘中心的距离为L，B到转盘中心的距离为2L。当B达到最大静摩擦力时，绳上开始出现张力，此时对B有解得故A错误；
BD．由A知，当时两木块相对转盘静止，由各自静摩擦力提供向心力，且静摩擦力随着角速度的增大而增大；当后，绳上开始出现张力且在增大，A的向心力由绳张力和静摩擦力提供，因而静摩擦力开始减小，直到减小为0。此时；可得可知当时A的摩擦力随角速度的增大而减小。当后A的摩擦力开始反向增大，达到最大静摩擦力后A、B相对转盘开始滑动，故B错误，D正确；
C．当A达到最大静摩擦力时，A、B相对转盘开始滑动；此时对A有对B有
解得故C正确。故选CD。
12．如图甲所示，两个完全一样的小木块a和b（可视为质点）用轻绳连接置于水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l。圆盘从静止开始绕转轴极缓慢地加速转动，木块和圆盘保持相对静止。ω表示圆盘转动的角速度，a、b与圆盘保持相对静止的过程中所受摩擦力与ω2满足如图乙所示关系，图中f2= 3f1，下列判断正确的是（ ）
A．图线（1）对应物体b B．绳长为2l
C． D．ω = ω2时绳上张力大小为
【答案】ABD
【详解】A．根据图像刚开始为过原点的直线，可得开始时有f = mω2r则刚开始时绳子无拉力，摩擦力提供各自的向心力为，因为，所以有则图线（1）对应物体b，A正确；
B．当时，对物体ab有，，可得解得
所以绳子长度为，B正确；
CD．当时，对b有得当时，设此时绳子拉力为，对物体ab有
，联立解得，，C错误，D正确。故选ABD。
13．如图所示，两个可视为质点的质量不等的木块A和B，A的质量大于B的质量，放在水平转盘上，A与圆心O、A与B距离都为L。木块与转盘间的最大静摩擦力均为各自重力的k倍，整个装置能绕通过转盘中心的转轴ab转动。现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是（ ）
A．当角速度增大过程中，B先滑动
B．当，A一定出现滑动
C．当，A与B都出现滑动
D．将A与B的位置兑换后，由于A的质量大于B，还是B先滑动
【答案】AC
【详解】A．A、B均由静摩擦力提供向心力，即将滑动时可得由于A距离O点较远，可知当角速度增大过程中，B先滑动，故A正确；
B．A出现滑动的临界条件为所以当时，还未发生滑动，故B错误；
C．B发生滑动的临界条件为由B选项分析可知，当时，B发生滑动，且A也一定发生滑动，故C正确；
D．由发生滑动的临界条件可知将A与B的位置兑换后，是A先滑动，故D错误。故选AC。
14．某种工业中测试平台离心性能时，会使平台绕竖直轴在水平面上加速转动，如图所示。把质量为m的物块放置在距转轴为r处，平台绕转轴由角速度为零开始加速转动，小物块随平台一起转动。已知小物块切线方向加速度恒为a0，当平台转动角速度达时，物块恰好开始相对平台滑动，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．平台对物块做功大于 B．平台对物块做功等于
C．平台和物块间的动摩擦因数为 D．平台和物块间的动摩擦因数为
【答案】BD
【详解】AB．由题意知平台对物体做功即为物块获得的动能其中解得
故A错误，B正确；
C．由题意知，物块转动时有切线方向加速度和向心加速度，合加速度为其中
物块恰好开始相对平台滑动时满足解得故C错误，D正确。故选BD。
15．如图所示，在水平圆盘上放有质量分别为的三个物体（均可视为质点），圆盘可绕垂直圆盘的中心轴转动。三个物体与圆盘之间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为。三个物体与轴心共线，且关于中心轴对称，，现将三个物体用轻质细线相连，保持细线伸直且恰无张力。圆盘从静止开始转动，角速度缓慢地增大，直到三个物体与圆盘将要发生相对滑动，则对于这个过程，下列说法正确的是（ ）
A．当物体达到最大静摩擦力时，物体也一定同时达到最大静摩擦力
B．在发生相对滑动前，两个物体的静摩擦力先增大后不变，物体的静摩擦力先增大后减小再增大
C．当时整体会发生滑动
D．当时，在增大的过程中间的拉力先增大后减小
【答案】BC
【详解】ABC．开始阶段当圆盘转速增大时，由静摩擦力提供向心力，三个物体的角速度相等，由
知，由于C的半径最大，质量最大，故C所需要的向心力增加最快，最先达到最大静摩擦力，此时
解得当C的摩擦力达到最大静摩擦力之后，BC之间的细线开始提供拉力，随着角速度的增大，B的摩擦力增大；当B的摩擦力达到最大静摩擦力之后，A、B之间的细线开始有力的作用，随着角速度的增大，A的摩擦力将减小到零然后反向增大；当A的摩擦力达到最大时，整体将会出现相对滑动，对A、B整体有对C有解得即当时整体会发生相对滑动，故A错误，BC正确；
D．当，C受到的摩擦力方向沿着半径向里，且没有出现相对滑动，故在增大的过程中，由于向心力不断增大，故B，C间的拉力不断增大，故D错误。故选BC。
16．如图甲、乙所示为自行车气嘴灯，气嘴灯由接触式开关控制，其结构如图丙所示，弹簧一端固定在顶部，另一端与小物块P连接，当车轮转动的角速度达到一定值时，P拉伸弹簧后使触点A、B接触，从而接通电路使气嘴灯发光。触点B与车轮圆心距离为R，车轮静止且气嘴灯在最低点时触点A、B距离为d，已知P与触点A的总质量为m，弹簧劲度系数为k，重力加速度大小为g，不计接触式开关中的一切摩擦，小物块P和触点A、B均视为质点，则（ ）
A．要使气嘴灯能发光，车轮匀速转动的最小角速度为
B．要使气嘴灯能发光，车轮匀速转动的最小角速度为
C．要使气嘴灯一直发光，车轮匀速转动的最小角速度为
D．要使气嘴灯一直发光，车轮匀速转动的最小角速度为
【答案】AC
【详解】AB．当气嘴灯运动到最低点时发光，此时车轮匀速转动的角速度最小，则有得
故A正确，B错误；
CD．当气嘴灯运动到最高点时能发光，则得即要使气嘴灯一直发光，车轮匀速转动的最小角速度为，故C正确，D错误。故选AC。
17．如图所示，在竖直平面内有水平向右、电场强度为的匀强电场。在匀强电场中有一根长的绝缘细线，一端固定在O点，另一端系一质量的带电小球，静止时悬线与竖直方向成37°角。若小球获得初速度恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，取小球静止时的位置为电势能零点和重力势能零点，，g取10 m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．小球的电荷量
B．小球动能的最小值为1 J
C．小球在运动至圆周轨迹上的最高点时有机械能的最小值
D．小球绕O点在竖直平面内做圆周运动的电势能和机械能之和保持不变，且为4 J
【答案】AB
【详解】
A．开始时，小球处于静止状态，对小球进行受力分析，如图所示，由平衡条件可得解得小球的电荷量为故A正确；
B．由于重力和电场力都是恒力，所以它们的合力也是恒力，在圆周轨迹上各点中，小球在平衡位置A点时的势能（重力势能和电势能之和）最小，在平衡位置关于O点的对称点B点，小球的势能最大，由于小球的总能量不变，所以小球在B点的动能EkB最小，对应速度vB最小;根据题意，在B点时小球只受重力和电场力，其合力为小球做圆周运动提供向心力，而细线的拉力恰为零又得故B正确；
C．由于总能量保持不变，即当小球在圆周轨迹上最左侧的C点时，电势能EpE最大，所以在该点时机械能最小，C错误；
D．小球由B运动到A所以小球在B点的势能总能量故D错误。
故选AB。
18．如图所示，外轨道光滑，内轨道粗糙（粗糙程度处处相同）的圆环轧道固定在竖直平面内，完全相同的小球A、B（直径略小于轨道间距）以相同的速率从与圆心与高处分别向上、向下运动，两球相遇时发生的碰撞可看作弹性碰撞，重力加速度为g。下列说法中正确的是（ ）
A．当时，小球A通过最高点和小球B通过最低点时对轨道的压力差为6mg
B．当时，第一次碰撞前瞬间，A球机械能一定小于B球机械能
C．当时，第一次碰撞的位置一定在轨道的最低点
D．当时，第一次碰撞后瞬间，两球速度一定等大反向
【答案】AD
【详解】A．当时，A球在最高点所受弹力为零时，只有重力提供向心力得
假设A球上升到最高点过程中外轨道对A球有弹力，则满足机械能守恒得说明假设成立，根据牛顿第二定律得，B球到最低点过程，由机械能守恒和牛顿第二定律，得球A通过最高点和球B通过最低点时对轨道的压力差为故A正确；
B．使A球在最高点弹力为零，根据机械能守恒小球初速度为当则
，A球与内轨道存在摩擦力，机械能有损失，由于不知道摩擦力做功多少，故现不确定A球是否能经过最高点，若A球能先通过最高点，虽然不能确定两球相碰的位置，但是A球与内轨道接触过程运动的路程更大，损失的机械能更多，所以两球第一次相碰时A球机械能小于B球机械能；
若A球不能经过最高点，则两球在上半圆与内轨道接触时，相同高度的速度大小相同，故摩擦力等大，可知机械能损失一样多。两球一定是在下半圆轨道上相碰，而当二者相碰时一定在相同高度，则此时速度等大、反向，此时两球相碰时机械能等大。故B错误；
C．假设内轨道光滑，使A球恰好到达最高点，根据机械能守恒得当
则，A、B两球无法到达最高点。因为A球先返回，所以第一次碰撞不在最低点，故C错误；
D．当情况与选项C相似，两球在上半圆与内轨道接触时，相同高度的速度大小相同，故摩擦力等大，可知机械能损失一样多。两球一定是在下半圆轨道上相碰，而当二者相碰时一定在相同高度，则此时速度等大、反向，设为v3.根据动量守恒和机械能守恒，
解得第一次碰撞后瞬间，两球速度等大反向，故D正确。故选AD。
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