河南省周口市太康县2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案）

这是一份河南省周口市太康县2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案），共32页。试卷主要包含了m3等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年河南省周口市太康县八年级（下）期末数学试卷
一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如果把中的x与y都扩大到原来的3倍，那么这个代数式的值（　　）
A．不变 B．扩大为原来的3倍
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的9倍
2．（3分）中国芯是指由中国自主研发并生产制造的计算机处理芯片．目前最强的芯片制造企业是中芯，当前对外公开的，已经量产的工艺是14nm，2019年就已经量产了．其中14nm就是14纳米（nm）＝0.000000014米（m），请将0.000000014用科学记数法表示为（　　）
A．1.4×10﹣8 B．0.14×10﹣7 C．14×10﹣9 D．1.4×10﹣9
3．（3分）如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，AD＝2AB，交AD边于点E，且AE＝5，则AB的长为（　　）

A． B．3 C．4 D．5
4．（3分）正比例函数y＝2x和一次函数y＝kx+5（k为常数，且k≠0）的图象交于点A（m，2），则关于x的不等式2x＜kx+5的解集为（　　）
A．x＜1 B．x＜2 C．x＞1 D．x＞2
5．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD＝1，AD＝BC＝2，EF过四边形ABCD的对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，则下列结论不正确的是（　　）
​

A．四边形ABCD是平行四边形
B．OE＝OF
C．△AOD的周长比△AOB的周长大1
D．四边形BFDE是菱形
6．（3分）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，如图，当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球体积V应（　　）m3．

A．V B．V＜ C．V＜ D．V≥
7．（3分）为响应“双减”政策，进一步落实“立德树人、五育并举”的思想主张，某学校积极推进学生综合素质评价改革，小明在本学期德、智、体、美、劳的评价得分如图所示，其各项的得分分别为9，8，10，8，7，则该同学这五项评价得分的众数，中位数，平均数分别为（　　）

A．8，8，8 B．10，8，8.4 C．8，8，8.7 D．8，8，8.4
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，过对角线交点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，AE的长是（　　）

A． B． C．1 D．
9．（3分）现有一张平行四边形ABCD纸片，AD＞AB，要求用尺规作图的方法在边BC，AD上分别找点M．N，使得四边形AMCN为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（　　）
​
A．甲对、乙不对 B．甲不对、乙对
C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE交对角线于点F，连接DF，若∠ABE＝25°，则∠EFD的度数为（　　）

A．40° B．50° C．55° D．65°
二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）在▱ABCD中，若∠A+∠C＝100°，则∠A＝　 　．
12．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点O，添加一个条件：　 　，可使它成为正方形．

13．（3分）一组数据为6，8，7，7，a，b，c，唯一众数是8，平均数是7，则这组数据的中位数是 　 　．
14．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，AB＝2，延长BA至点E，使AE＝1，现以点D为圆心，以DE为半径画弧，与直线BC交于点M，则CM的长为 　 　．

15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：
①四边形AECF是菱形；
②∠AFB＝2∠ACB；
③AC•EF＝CF•CD；
④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的有 　 　．（填写正确结论的序号）

三.解答题（共8小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）解方程：．
17．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在边BC、AD上，且满足BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若AE平分∠BAD，AB＝4，BC＝6，求CE长．

18．（8分）学校将以班级为单位选拔参加市知识竞赛，在预赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如图的统计图．

请你根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）此次竞赛中，一班成绩在C级以上（包括C级）的人数为 　 　；
（2）将表格补充完整．
班级成绩
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
一班
　 　
90
　 　
二班
87
　 　
80
（3）请根据你在（2）中所求的统计量，你认为选哪个班级参加市知识竞赛？请简述理由．
19．（9分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A，点B，与x轴，y轴分别交于点C，点D（0，4），其中OC＝OD．
（1）求一次函数解析式；
（2）若S△BOC＝2，求反比例函数解析式．

20．（9分）如图，在矩形ABCD中，点E为对角线BD中点，过E作FH⊥BD，交AD于点F，交BC于点H，连接BF，DH．
（1）试判断四边形BFDH的形状，并说明理由；
（2）若AB＝12，AD＝18，求BH的长．

21．（9分）（1）如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP＝OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由．
（2）如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．
（3）如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．

22．（11分）【问题提出】
学习了平行四边形的判定方法（即“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”、“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”、“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”、“对角线互相平分的四边形是平行四边形”）后，我们继续对“一组对边相等和一组对角相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在四边形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C．然后，对∠A和∠C进行分类，可分为“∠A和∠C是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
第一种情况：如图①，当∠A＝∠C＝90°时，求证：四边形ABCD是矩形．
第二种情况：如图②，当∠A＝∠C＞90°时，求证：四边形ABCD是平行四边形．
第三种情况：如图③，当∠A＝∠C＜90°时，小明同学研究后认为四边形ABCD不一定是平行四边形，请在图中画出大致图形，并写出必要的文字说明．


23．（11分）如图，点A是反比例函数y＝（m＜0）位于第二象限的图象上的一个动点，过点A作AC⊥x轴于点C；M为是线段AC的中点，过点M作AC的垂线，与反比例函数的图象及y轴分别交于B、D两点．顺次连接A、B、C、D．设点A的横坐标为n．
（1）求点B的坐标（用含有m、n的代数式表示）；
（2）求证：四边形ABCD是菱形；
（3）若△ABM的面积为2，当四边形ABCD是正方形时，求直线AB的函数表达式．


2022-2023学年河南省周口市太康县八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如果把中的x与y都扩大到原来的3倍，那么这个代数式的值（　　）
A．不变 B．扩大为原来的3倍
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的9倍
【分析】把中的x与y都扩大为原来的3倍，根据分式的基本性质化简即可判断．
【解答】解：若x与y都扩大为原来的3倍，
则，
∴扩大为原来的3倍，
故选：B．
【点评】本题主要考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，要熟练掌握，注意弄清楚分子、分母的变化情况．
2．（3分）中国芯是指由中国自主研发并生产制造的计算机处理芯片．目前最强的芯片制造企业是中芯，当前对外公开的，已经量产的工艺是14nm，2019年就已经量产了．其中14nm就是14纳米（nm）＝0.000000014米（m），请将0.000000014用科学记数法表示为（　　）
A．1.4×10﹣8 B．0.14×10﹣7 C．14×10﹣9 D．1.4×10﹣9
【分析】根据科学记数法的表示方法，进行表示即可．
【解答】解：0.000000014＝1.4×10﹣8；
故选：A．
【点评】本题考查科学记数法．熟练掌握用科学记数法的表示绝对值小于1的数的方法：a×10﹣n，1≤|a|＜10，n是整数，为第一个不为0的数的前面的0的个数，是解题的关键．
3．（3分）如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，AD＝2AB，交AD边于点E，且AE＝5，则AB的长为（　　）

A． B．3 C．4 D．5
【分析】证明△DEC是等腰三角形，再根据AD＝2AB，即可解答．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，
∴∠DEC＝∠ECB，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠ECB＝∠DEC，
∴CD＝DE，
∵AD＝2AB，
∴AD＝2CD＝2ED＝2AE＝10，
∴AB＝5．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，熟练运用性质是解题的关键．
4．（3分）正比例函数y＝2x和一次函数y＝kx+5（k为常数，且k≠0）的图象交于点A（m，2），则关于x的不等式2x＜kx+5的解集为（　　）
A．x＜1 B．x＜2 C．x＞1 D．x＞2
【分析】先利用正比例函数解析式确定A点坐标，即可利用待定系数法求得k的值，然后观察函数图得到当x＜1时，y＝kx+5的图象都在直线y＝2x的上方，由此得到不等式2x＜kx+5的解集．
【解答】解：把A（m，2）代入y＝2x，得2m＝2，
解得m＝1，
∴A（1，2），
把A的坐标代入y＝kx+5得，k+5＝2，
解得k＝﹣3，
∴y＝﹣3x+5，
∴当x＜1时，2x＜kx+5．
故选：A．

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
5．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD＝1，AD＝BC＝2，EF过四边形ABCD的对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，则下列结论不正确的是（　　）
​

A．四边形ABCD是平行四边形
B．OE＝OF
C．△AOD的周长比△AOB的周长大1
D．四边形BFDE是菱形
【分析】根据平行四边形的判定可得A正确，AD∥BC，根据全等三角形的性质得到OE＝OF；由三角形的周长可得出C正确；由菱形的判定可得出D不正确．
【解答】解：∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故A结论正确，不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC，AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCA，∠AEO＝∠CFO，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE＝OF；故B正确，不符合题意，
∵OB＝OD，
∴△AOD的周长＝AD+OA+OD，△OAB的周长＝AB+OA+OB，
∴△AOD的周长﹣△ODC的周长＝AD﹣AB＝2﹣1＝1，所以C正确，不符合题意；
∵△AEO≌△CFO，
∴AE＝CF，
∴DE＝BF，
∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵BD不一定垂直EF，
∴四边形BFDE不一定是菱形．
故D不正确；符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
6．（3分）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，如图，当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球体积V应（　　）m3．

A．V B．V＜ C．V＜ D．V≥
【分析】由题意得P与V成反比例，设气球内气体的气压P和气体的体积V之间的函数关系式为P＝（k＞0），代入（1.6，），求出解析式，由P≤120，求出V的范围即可．
【解答】解：设气球内气体的气压P和气体的体积V之间的函数关系式为P＝（k＞0），
∵图象过（1.6，60），
∴60＝，
解得，k＝96，
∴P＝，
∵在第一象限内P随V的增大而减小，
∴当P≤120时，V≥，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据图象上已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式．
7．（3分）为响应“双减”政策，进一步落实“立德树人、五育并举”的思想主张，某学校积极推进学生综合素质评价改革，小明在本学期德、智、体、美、劳的评价得分如图所示，其各项的得分分别为9，8，10，8，7，则该同学这五项评价得分的众数，中位数，平均数分别为（　　）

A．8，8，8 B．10，8，8.4 C．8，8，8.7 D．8，8，8.4
【分析】利用众数、中位数及平均数的定义写出答案即可．
【解答】解：该同学五项评价得分从小到大排列分别为7，8，8，9，10，
出现次数最多的数是8，所以众数为8，
位于中间位置的数是8，所以中位数是8，
平均数为＝8.4．
故选：D．
【点评】本题考查了统计的知识，掌握众数、中位数及平均数的计算方法是关键．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，过对角线交点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，AE的长是（　　）

A． B． C．1 D．
【分析】连接CE，由矩形的性质得出∠ADC＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，OB＝OD，由线段垂直平分线的性质得出DE＝BE，设AE＝x，则DE＝BE＝4﹣x，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：连接CE，如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，OB＝OD，
∵EF⊥BD，
∴DE＝BE，
设AE＝x，则DE＝BE＝4﹣x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：x2+32＝（4﹣x）2，
解得：x＝，
即AE＝．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
9．（3分）现有一张平行四边形ABCD纸片，AD＞AB，要求用尺规作图的方法在边BC，AD上分别找点M．N，使得四边形AMCN为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（　　）
​
A．甲对、乙不对 B．甲不对、乙对
C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对
【分析】根据作图以及平行四边形的性质与判定分别分析甲，乙证明ANCM是平行四边形即可．
【解答】解：甲：由作图可知，BM＝BA，DN＝DC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴BM＝DN，
∴CM＝AN，CM∥AN，
∴ANCM是平行四边形；
乙：由作图可知，AM平分∠BAD，CN平分∠BCD，
∴∠BAM＝∠DAM，∠BCN＝∠DCN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAM＝∠BMA，∠DNC＝∠BCN，
∴∠BAM＝∠BMA，∠DNC＝∠DCN，
∴AB＝BM，CD＝DN，
∴BM＝DN，
∴AN＝CM，AN∥CM，
∴ANCM是平行四边形；
故选：C．
【点评】本题考查了作线段的垂直平分线，作线段，平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定并弄懂作图能使得哪些线段相等是解题的关键．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE交对角线于点F，连接DF，若∠ABE＝25°，则∠EFD的度数为（　　）

A．40° B．50° C．55° D．65°
【分析】利用正方形的性质结合三角形全等求得∠ADF及∠AEB，再由三角形外角求得∠EFD．
【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，∠BAD＝90°，
在△ABF和△ADF中，
，
∴△ABF≌△ADF（SAS），
∴∠ADF＝∠ABE＝25°，
∵∠AEB＝90°﹣∠ABF＝65°，
∴∠EFD＝∠AEB﹣∠ADF＝65°﹣25°＝40°，
故选：A．
【点评】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，熟悉正方形的性质是解题的关键．
二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）在▱ABCD中，若∠A+∠C＝100°，则∠A＝　50°　．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得∠A＝∠C，又由∠A+∠C＝100°，即可求得∠C的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵∠A+∠C＝100°，
∴∠A＝∠C＝50°，
故答案为：50°．
【点评】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，熟记平行四边形的各种性质是解题的关键．
12．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点O，添加一个条件：　∠BAD＝90°（答案不唯一）　，可使它成为正方形．

【分析】根据“有一个角是直角的菱形是正方形”可得到添加的条件．
【解答】解：由于四边形ABCD是菱形，
如果∠BAD＝90°，
那么四边形ABCD是正方形．
故答案为：∠BAD＝90°．
【点评】本题考查了正方形的判定，解决本题的关键是熟练掌握正方形的判定定理．
13．（3分）一组数据为6，8，7，7，a，b，c，唯一众数是8，平均数是7，则这组数据的中位数是 　7　．
【分析】由于众数为8，表示8的个数最多，因为7出现的次数为两次，所以8的个数最少为三个，则可设a，b，c中有两个数值为8，另一个未知数利用平均数定义求得，从而根据中位数的定义求解．
【解答】解：∵众数为8，
∴可设a＝8，b＝8，c未知，
∵平均数，
∴c＝5，
将这组数据按从小到大的顺序排列：5，6，7，7，8，8，8，
位于最中间的一个数是7，所以中位数是7，
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了平均数、中位数、众数的定义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，熟练掌握平均数、中位数、众数的定义是解题的关键．
14．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，AB＝2，延长BA至点E，使AE＝1，现以点D为圆心，以DE为半径画弧，与直线BC交于点M，则CM的长为 　1或3　．

【分析】分两种情况，当点M在CB的延长线上时，连接BD，过点D作DF⊥AB于点F，DG⊥BC于点G，由菱形的性质及全等三角形的性质可得出答案；如图2，当点M在BC的延长线上时，同理可得出△DEA≌△DMC，则可得出答案．
【解答】解：如图1，当点M在CB的延长线上时，连接BD，过点D作DF⊥AB于点F，DG⊥BC于点G，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝AB＝BC＝CD，
∵∠C＝∠DAB＝60°，
∴△DAB和△DBC都是等边三角形，
∴DA＝DB，∠DBA＝∠DBC，
又∵DF⊥AB，DG⊥BC，
∴DF＝DG，
由作图可知DE＝DM，
∴Rt△DFE≌Rt△DGM（HL），
∴∠E＝∠M，
∵∠DAB＝∠DBC＝60°，
∴∠DAE＝∠DBM＝120°，
∴△DEA≌△DMB（AAS），
∴AE＝BM＝1，
∴CM＝BM+BC＝1+2＝3；
如图2，当点M在BC的延长线上时，同理可得出△DEA≌△DMC，
∴AE＝CM＝1，
综上所述，CM的长为1或3．
故答案为：1或3．


【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：
①四边形AECF是菱形；
②∠AFB＝2∠ACB；
③AC•EF＝CF•CD；
④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的有 　①②④　．（填写正确结论的序号）

【分析】根据作图可得MN⊥AC，且平分AC，设AC与MN的交点为O，证明四边形AECF为菱形，即可判断①，进而根据等边对等角即可判断②，根据菱形的性质求面积即可求解．判断③，根据角平分线的性质和菱形的对角线平分每一组对角求出∠BAF＝30°，再根据含30度角的直角三角形的性质可得AF＝2BF，由即可AF＝CF求解．
【解答】解：如图，设AC与MN的交点为O，

根据作图可得MN⊥AC，且平分AC，
∴AO＝OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠OCF，
又∵∠AOE＝∠COF，AO＝CO，
∴△AOE≌△COF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵MN垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∴四边形AECF是菱形，故①正确；
②∵FA＝FC，
∴∠ACB＝∠FAC，
∴∠AFB＝2∠ACB；故②正确；
③由菱形的面积可得，故③不正确，
④∵四边形AECF是菱形，
∴∠FAC＝∠EAC，AF＝CF
又∵∠BAF＝∠FAC，
∴∠BAF＝∠FAC
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴∠BAF+∠FAC+∠EAC＝90°，
∴∠BAF＝30°，
∴AF＝2BF，
∴CF＝2BF．故④正确；
综上所述：正确的结论是①②④．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
三.解答题（共8小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）解方程：．
【分析】（1）根据分式运算法则计算即可；
（2）先去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，最后检验即可．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝
＝a+1；
（2），
，
方程两边乘以（x+1）（x﹣1）得，
x（x+1）﹣（x+1）（x﹣1）＝2，
x2+x﹣x2+1＝2，
x+1＝2，
x＝1，
检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
∴x＝1是增根，舍去，
∴原分式方程无解．
【点评】本题主要考查了分式的加法运算，分式方程的解法，解分式方程时注意要检验．
17．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在边BC、AD上，且满足BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若AE平分∠BAD，AB＝4，BC＝6，求CE长．

【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，再证AF＝CE，即可得出结论．
（2）根据平行四边形的性质和角平分线的定义解答即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝DF，
∴AD﹣DF＝BC﹣BE，
即AF＝CE，
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：∵四边形AECF是平行四边形，
∴AD∥BC，AF＝CE，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠EAB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∴EC＝AF，
∵AB＝4，BC＝6，
∴CE＝BC﹣BE＝6﹣4＝2．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证出AF＝CE是解题的关键．
18．（8分）学校将以班级为单位选拔参加市知识竞赛，在预赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如图的统计图．

请你根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）此次竞赛中，一班成绩在C级以上（包括C级）的人数为 　18　；
（2）将表格补充完整．
班级成绩
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
一班
　87　
90
　90　
二班
87
　85　
80
（3）请根据你在（2）中所求的统计量，你认为选哪个班级参加市知识竞赛？请简述理由．
【分析】（1）根据条形图即可得出答案；
（2）分别根据平均数、众数和中位数的定义求解即可；
（3）只要答案符合题意即可．（答案不唯一）
【解答】解：（1）一班成绩在C级以上（包括C级）的人数为3+10+5＝18（人），
故答案为：18；
（2）

平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
一班
87
90
90
二班
87
85
80
（3）选一班级参加市知识竞赛，
理由：从平均数的角度看两班成绩一样；从中位数和众数的角度看一班比二班的成绩好，所以一班成绩好（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时考查了平均数、中位数、众数的定义及其应用．
19．（9分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A，点B，与x轴，y轴分别交于点C，点D（0，4），其中OC＝OD．
（1）求一次函数解析式；
（2）若S△BOC＝2，求反比例函数解析式．

【分析】（1）由题意C（4，0），然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）由S△BOC＝2，求得B的纵坐标，进一步求得点B的坐标，代入求得m的值，从而求得反比例函数解析式．
【解答】解：（1）∵D（0，4），
∴OC＝OD＝4，
∴C（4，0），
将C（4，0），D（0，4）代入y＝kx+b（k≠0）得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+4；
（2）如图所示，过B作BE⊥OC于点E．
∵S△BOC＝2，OC＝4，
∴，
∴BE＝1，即yB＝1，
∵点B在直线y＝﹣x+4上，
∴1＝﹣x+4，解得x＝3，
∴B（3，1），
∵反比例函数的图象过点B，
∴m＝3×1＝3，
∴反比例函数解析式为．

【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积，求得B点的坐标是解决本题的关键．
20．（9分）如图，在矩形ABCD中，点E为对角线BD中点，过E作FH⊥BD，交AD于点F，交BC于点H，连接BF，DH．
（1）试判断四边形BFDH的形状，并说明理由；
（2）若AB＝12，AD＝18，求BH的长．

【分析】（1）根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定即可；
（2）设BH的长度为x，根据菱形的性质和勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）四边形FBHD为菱形，理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FDB＝∠HBD，
∵E为BD中点
∴BE＝DE，
∵FH⊥BD，
∴∠FED＝∠HEB，
∴△FED≌△HEB（ASA），
∴FE＝HE，
又BE＝DE，
∴四边形FBHD为平行四边形，
∵FH⊥BD，
∴平行四边形FBHD为菱形；
（2）设BH的长度为x，
由（1）得四边形FBHD为菱形，
∴BH＝FD＝BF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝90°，
∵AB＝12，AD＝18，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+AF2＝BF2，
∴122+（18﹣x）2＝x2，
解得：x＝13，
∴BH的长度为13．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和菱形的性质，灵活运用所学知识是解题关键．
21．（9分）（1）如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP＝OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由．
（2）如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．
（3）如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．

【分析】（1）根据矩形的性质得出OD＝OC，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形CODP是平行四边形，根据菱形的判定推出即可；
（2）根据菱形的性质得出∠DOC＝90°，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形CODP是平行四边形，根据矩形的判定推出即可；
（3）根据正方形的性质得出OD＝OC，∠DOC＝90°，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形CODP是平行四边形，根据正方形的判定推出即可；
【解答】解：（1）四边形CODP的形状是菱形，
理由是：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∴OC＝OD，
∵DP∥OC，DP＝OC，
∴四边形CODP是平行四边形，
∵OC＝OD，
∴平行四边形CODP是菱形；

（2）四边形CODP的形状是矩形，
理由是：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∵DP∥OC，DP＝OC，
∴四边形CODP是平行四边形，
∵∠DOC＝90°，
∴平行四边形CODP是矩形；

（3）四边形CODP的形状是正方形，
理由是：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∴∠DOC＝90°，OD＝OC，
∵DP∥OC，DP＝OC，
∴四边形CODP是平行四边形，
∵∠DOC＝90°，OD＝OC
∴平行四边形CODP是正方形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，矩形、菱形、正方形的性质和判定，主要考查学生的猜想能力和推理能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
22．（11分）【问题提出】
学习了平行四边形的判定方法（即“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”、“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”、“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”、“对角线互相平分的四边形是平行四边形”）后，我们继续对“一组对边相等和一组对角相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在四边形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C．然后，对∠A和∠C进行分类，可分为“∠A和∠C是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
第一种情况：如图①，当∠A＝∠C＝90°时，求证：四边形ABCD是矩形．
第二种情况：如图②，当∠A＝∠C＞90°时，求证：四边形ABCD是平行四边形．
第三种情况：如图③，当∠A＝∠C＜90°时，小明同学研究后认为四边形ABCD不一定是平行四边形，请在图中画出大致图形，并写出必要的文字说明．


【分析】（1）连接BD，证明Rt△ABD≌Rt△CDB，根据全等三角形的性质得到BC＝AD，根据平行四边形的性质判定定理证明结论；
（2）别过点B、D作BE⊥AD交AD的延长线于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F，证明△ABE≌△CDF，得到BE＝DF，AE＝CF，证明结论；
（3）以B为圆心，BD为半径作弧，交AD于D′，以B为圆心，BA为半径作弧交以D为圆心，AD′为半径的弧于A′，根据图形证明结论．
【解答】（1）证明：如图①，连接BD，
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
∴BC＝AD，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）证明如图②，分别过点B、D作BE⊥AD交AD的延长线于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F，
则∠E＝∠F＝90°．
∵∠DAB＝∠BCD，
∴180°﹣∠DAB＝180°﹣∠BCD，即∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF，AE＝CF，
∵∠E＝∠F＝90°，BE＝DF，
∴四边形EBFD是矩形，
∴ED＝BF，
∴ED﹣AE＝BF﹣CF．即AD＝BC，
∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（3）解：如图③，以B为圆心，BD为半径作弧，交AD于D′，以B为圆心，BA为半径作弧交以D为圆心，AD′为半径的弧于A′，
则△ABD′≌△A′BD，
∴∠A＝∠A′，
而四边形A′BCD不是平行四边形．



【点评】本题考查的是平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质以及尺规作图，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
23．（11分）如图，点A是反比例函数y＝（m＜0）位于第二象限的图象上的一个动点，过点A作AC⊥x轴于点C；M为是线段AC的中点，过点M作AC的垂线，与反比例函数的图象及y轴分别交于B、D两点．顺次连接A、B、C、D．设点A的横坐标为n．
（1）求点B的坐标（用含有m、n的代数式表示）；
（2）求证：四边形ABCD是菱形；
（3）若△ABM的面积为2，当四边形ABCD是正方形时，求直线AB的函数表达式．

【分析】（1）由点A在双曲线上，确定出A坐标，进而得出点B的纵坐标，即可得出结论；
（2）由（1）得到的点B，D，M的坐标判断出MB＝MD，AM＝MC，得出四边形ABCD是平行四边形，再用BD⊥AC即可；
（3）由（2）结合AC＝BD建立方程求出n，m，从而得到点B，A坐标即可．
【解答】解：（1）当x＝n时，y＝，
∴A（n，）．
由题意知，BD是AC的中垂线，
∴点B的纵坐标为．
∴把y＝代入y＝得x＝2n，
∴B（2n，）．
（2）证明：∵BD⊥AC，AC⊥x轴，
∴BD⊥y轴，由（1）知，B（2n，），A（n，），
∴D（0，），M（n，），
∴BM＝MD＝﹣n，
∵AC⊥x轴，
∴C（n，0），
∴AM＝CM，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵BD⊥AC，
∴平行四边形ABCD是菱形．

（3）当四边形ABCD是正方形时，△ABM为等腰直角三角形．
∴AM＝BM，
∵△ABM的面积为2，
∴S△ABM＝AM2＝2，
∴AM＝BM＝2．
∵M为线段AC的中点，
∴AC＝2AM＝4，BD＝2BM＝4，
∴2n＝﹣4，＝4，
∴A（﹣2，4），B（﹣4，2）．
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
直线AB的函数表达式为y＝x+6．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，解本题的关键是用m，n表示出点A，B，D，M的坐标．
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