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2023年山东省青岛市内四区中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年山东省青岛市内四区中考数学二模试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，八年级抽取成绩的平均数等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省青岛市内四区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在实数−1， 3，12，3.14中，无理数是( )
A. −1 B. 3 C. 12 D. 3.14
2. 党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五.将数据1040000000用科学记数法表示为( )
A. 104×107 B. 10.4×108 C. 1.04×109 D. 0.104×1010
3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 下列运算结果正确的是( )
A. x4+x4=2x8 B. (−2x2)3=−6x6 C. x6÷x3=x3 D. x2⋅x3=x6
5. 如图所示的几何体，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
6. 为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼.小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间(单位：分钟)，并制作了如图所示的统计图.根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是( )
A. 平均数为70分钟 B. 众数为67分钟 C. 中位数为67分钟 D. 方差为32
7. 如图，在△ABC中，AC=BC，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，连接CD交AB于点E，连接OD，若∠BOD=120°，则∠BED的度数为( )
A. 60° B. 75° C. 100° D. 105°
8. 蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点.若点P，Q的坐标分别为(−2 3,3)，(0,−3)，则点M的坐标为( )
A. (3 3,−2) B. (3 3,2) C. (2,−3 3) D. (−2,−3 3)
9. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为( )
A. 35
B. 2 55
C. 25
D. 55
10. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①abc>0；②方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有一个根大于2且小于3；③若(0,y1)，(32,y2)是抛物线上的两点，那么y1
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 计算：( 48−6 13)÷ 3= ______ ．
12. 在一个不透明的盒子里，装有6个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有区别，摇匀后从中摸出一球再放回，不断重复，共摸球50次，其中38次摸到白球，则估计白球有______ 个.
13. 某公司欲招聘一名职员.对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示：
应聘者
综合知识
工作经验
语言表达
甲
75
80
80
乙
85
80
70
丙
70
78
72
如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按5：2：3的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是______ ．
14. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞减压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p(kPa)与汽缸内气体的体积V(mL)成反比例，p关于V的函数图象如图所示.若压强由100kPa减压75kPa，则气体体积增大了______ mL．
15. 如图，扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=4，点C，D分别为OA，OB的中点，以OC，OD为边在扇形内部构造正方形OCED，延长DE交弧AB于点F，连接BE，则阴影部分的面积为______ ．
16. 如图，正方形ABCD中，点E是边CD上的动点(不与点C、D重合)，以CE为边向右作正方形CEFG，连接AF，点H是AF的中点，连接DH、CH.下列结论：①△ADH≌△CDH；②AF平分∠DFE；③若BC=4，CG=3，则AF=5；④若CGBC=12，则S△EFIS△DFI=14.其中正确的有______ .(填序号)
三、解答题（本大题共11小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题4.0分)
用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.如图是一块木板下脚料，小明想用这块木板做一个菱形学具；请你帮他在木板上画出以∠A为一个内角且面积最大的菱形．
18. (本小题8.0分)
(1)计算：(a+1a−1+2)÷2aa2−1；
(2)解不等式组4x−2≥3(x+1)1−x−12
已知关于x的一元二次方程kx2−(2k+4)x+k−6=0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)当k=1时，用配方法解方程．
20. (本小题6.0分)
某校举办以“疫情中的距离与联系”主题的知识竞赛，从七年级和八年级各随机抽取了50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：
a：七年级抽取成绩的频数分布直方图如图．
(数据分成5组，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x<100)
b：七年级抽取成绩在70≤x<80这一组的是：
70，72，73，73，75，75，75，76，
77，77，78，78，79，79，79，79．
c：七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如下：
年级
平均数
中位数
七年级
76.5
m
八年级
78.2
79
请结合以上信息完成下列问题：
(1)七年级抽取成绩在60≤x<90的人数是______ ，并补全频数分布直方图；
(2)表中m的值为______ ；
(3)七年级的学生共有400人，请你估计七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数．
21. (本小题6.0分)
从2至6的5个整数中随机取2个不同的数，用树状图或列表法求这2个数互质的概率．
(互质是公约数只有1的两个整数)
22. (本小题6.0分)
青岛大剧院与远处的石老人度假区遥相呼应.如图所示，楼B在楼A的正东方向520m处，石老人度假区C在楼B的正南方向1200m处.在青口大剧院P测得楼A在北偏东68.2°方向，石老人度假区C在南偏东56.31°方向(点A，B，C，P四点在同一平面内)，求青岛大剧院到石老人度假区BC的距离(结果精确到1m)．
(参考数据：sin68.2°≈0.928，cos68.2°≈0.371，tan68.2°≈2.50，sin56.31°≈0.832，cos56.31°≈0.555，tan56.31°≈1.50)
23. (本小题6.0分)
阅读材料：如图1，△ABC的周长为l，内切圆O的半径为r，连结OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形，用S△ABC表示△ABC的面积．
∵S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OCA
又∵S△OAB=12AB⋅r，S△OBC=12BC⋅r，S△OCA=12CA⋅r
∴S△ABC=12AB⋅r+12BC⋅r+12CA⋅r=12l⋅r(可作为三角形内切圆半径公式)
(1)理解与应用：利用公式计算边长分为5、12、13的三角形内切圆半径；
(2)类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆，如图2)且面积为S，各边长分别为a、b、c、d，试推导四边形的内切圆半径公式；
(3)拓展与延伸：若一个n边形(n为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1、a2、a3、…、an，合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由)．
24. (本小题8.0分)
如图，一次函数y1=kx+b(k≠0)与函数为y2=mx(x>0)的图象交于A(4,1),B(12,a)两点．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出满足y1−y2>0时x的取值范围；
(3)点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象于点Q，若△POQ面积为3，求点P的坐标．
25. (本小题8.0分)
如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E为OC中点，过点O作OH//BC交BE的延长线于H，连接CH与DH．
(1)求证：△BCE≌△HOE；
(2)当四边形ABCD是怎样的特殊四边形时，四边形OCHD为菱形？请说明理由．
26. (本小题10.0分)
近期，广州、东莞、佛山等地新冠病毒疫情再次小范围爆发，目前仍然要高度重视各项防疫措施.某药店用1200元购进KN95口罩及普通医用口罩各1000个，每个KN95口罩比普通医用口罩的进价多0.4元，在销售过程中发现，KN95口罩每天的销量y1(单位：个)与其销售单价x(单位：元)有如下关系：y1=−10x+40，普通医用口罩每天的销量y2(单位：个)与其销售单价z(单位：元)有如下关系：y2=−10z+66.药店按照单个普通医用口罩与单个KN95口罩利润相同的标准确定销售单价，并且销售单价均高于进价(利润率=销售单价−进价进价).
(1)求两种口罩的进价；
(2)市场监督管理局为了调控口罩市场价格，避免炒高口罩价格的现象出现，规定KN95口罩的利润率不得超过100%，同时KN95口罩的利润率在不低于50%时才能保证药店的合理收益，药店应该如何确定KN95口罩的销售单价范围呢？
(3)在(2)的条件下求这两种口罩每天销售总利润和的最大值．
27. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于D，且BD=8cm，点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ//AC，直线PQ交AB于P，交BC于Q，连接PM，设运动时间为t(s)，0
(2)设四边形PQCM的面积为y cm2，求y与t之间的函数关系式；
(3)是否存在时刻t，使以PM为直径的圆与△ABC的边相切？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：实数−1， 3，12，3.14中，无理数是 3，
故选：B．
无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
本题考查无理数的识别，其定义是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2.【答案】C
【解析】解：1040000000=1.04×109．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法—表示较大的数，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】A
【解析】解：左起第一个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第二个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；
第三个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第四个图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
所以既是轴对称图形，又是中心对称图形的有1个．
故选：A．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4.【答案】C
【解析】解：A.x4+x4=2x4，故此选项不合题意；
B.(−2x2)3=−8x6，故此选项不合题意；
C.x6÷x3=x3，故此选项符合题意；
D.x2⋅x3=x5，故此选项不合题意．
故选：C．
直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算，进而得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：该几何体的主视图如下：
．
故选：B．
根据主视图的定义，从几何体的正面看所得到的图形是主视图，即可进行解答．
本题主要考查简单组合体的三视图，熟练掌握简单组合体的三视图的知识是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：根据折线图小亮该周每天校外锻炼时间为：65、67、70、67、75、79、88，
A.平均数是65+67+70+67+75+79+887=73(分钟)，故选项错误，不符合题意；
B.这组数的众数是67分钟，故选项正确，符合题意；
C.将这组数由小到大排列为：65、67、67、70、75、79、88，中位数是70，故选项错误，不符合题意；
D.这组方差为：S2=17×[(65−73)2+(67−73)2+(70−73)2+(67−73)2+(75−73)2+(79−73)2+(88−73)2]=30，故选项错误，不符合题意；
故选：B．
根据折线图分别求出平均数、众数、中位数和方差进行判断即可．
本题考查了折线图，平均数、众数、中位数和方差的计算，掌握折线图的特点，平均数、众数、中位数和方差的计算方法是关键．
7.【答案】D
【解析】解：连接BD，
∵OD=OB，∠BOD=120°，
∴∠OBD=∠ODB=30°，∠AOD=180°−120°=60°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵AC=BC，
∴∠A=45°，
∴∠CDB=∠A=45°，
∴∠CDO=∠CDB−∠ODB=15°，
∴∠BED=180°−60°−15°=105°，
故选：D．
连接BD，根据等腰三角形的性质得到∠OBD=∠ODB=30°，根据平角的定义得到∠AOD=180°−120°=60°，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，求得∠A=45°，根据圆周角定理得到∠CDB=∠A=45°，根据三角形内角和定理即可得到结论．
本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：设中间正六边形的中心为D，连接DB．
∵点P，Q的坐标分别为(−2 3,3)，(0,−3)，图中是7个全等的正六边形，
∴AB=BC=2 3，OQ=3，
∴OA=OB= 3，
∴OC=3 3，
∵DQ=DB=2OD，
∴OD=1，QD=DB=CM=2，
∴M(3 3,−2)，
故选：A．
设中间正六边形的中心为D，连接DB.判断出OC，CM的长，可得结论．
本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9.【答案】B
【解析】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图．
则DE//AB，
∴∠APC=∠EDC．
在△DCE中，有EC= 22+1= 5，DC= 42+22=2 5，DE= 32+42=5，
∵EC2+DC2=DE2，
故△DCE为直角三角形，∠DCE=90°．
∴sin∠APC=sin∠EDC=ECDE= 55，
∴cos∠APC= 1−15=2 55．
故选：B．
把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE//AB，由勾股定理逆定理可以证明△DCE为直角三角形，所以sin∠APC=sin∠EDC即可得答案．
本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键．
10.【答案】C
【解析】解：①根据图象可知：a>0，c<0，
∵对称轴是直线x=1，
∴−b2a=1，即b=−2a，
∴b<0，
∴abc>0．
故①正确．
②方程ax²+bx+c=0，即为二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴的交点，
根据图象已知一个交点−1
③∵对称轴是直线x=1，
|0−1|>|32−1|，
∴点(32,y2)离对称轴更近，
∴y1>y2，
故③错误．
④∵−b2a=1，
∴b=−2a，
∴y=ax2−2ax+c，
根据图象，令x=−1，
y=a+2a+c=3a+c>0，
∴6a+2c>0，
∵a>0，
∴11a+2c>0，
故④错误．
⑤m(am+b)=am2+bm=am2−2am≥a−2a，
am2−2am≥−a，
即证：m2−2m+1≥0，
m2−2m+1=(m−1)2，
∴m为任意实数，m2−2m+1≥0恒成立．
故⑤正确．
综上①②⑤正确，
故选：C．
①根据函数图象分别判断a、b、c的正负，求出abc的正负；
②将方程转化为函数与x轴的交点，利用已知交点和对称轴找出另一交点的范围；
③根据二次函数图象的性质：当图象开口向上，离对称轴越近的点y值越小；
④用a来表示改变函数解析式，根据图象，令x=−1，得到3a+c>0，即6a+2c>，因为a>0，所以得出11a+2c>0；
⑤化简不等式，用a表示b，根据a>0及不等式的性质得到只含有m的不等式，解不等式即可．
本题以二次函数为背景考查了二次函数图象与系数的关系，考察学生在函数图象中数形结合的能力．运用待定系数法，二次函数图象与x轴的交点，利用图象求出a、b、c的范围以及用特殊值法代入解析式中得到特殊的式子是解决问题关键．这类题型是中考常考题，很有参考价值．
11.【答案】2
【解析】解：原式=(4 3−6× 33)÷ 3
=(4 3−2 3)÷ 3
=2 3÷ 3
=2．
故答案为：2．
直接化简二次根式，进而利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
12.【答案】19
【解析】解：∵共试验50次，其中38次摸到白球，
∴白球所占的比例为3850=1925，
设白球有x个，则
x6+x=1925，
解得：x=19．
故答案为：19．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．
本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．
13.【答案】乙
【解析】解：由题意可得，
甲的成绩为：75×5+80×2+80×35+2+3=77.5，
乙的成绩为：85×5+80×2+70×35+2+3=79.5，
丙的成绩为：70×5+78×2+72×35+2+3=72.2，
∵79.5>77.5>72.2，
∴乙将被录取，
故答案为：乙．
根据表格中的数据和加权平均数的计算方法，可以分别求出甲、乙、丙的成绩，然后比较大小即可．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的加权平均数．
14.【答案】20
【解析】解：设这个反比例函数的解析式为p=kV，
∵V=100时，p=60，
∴k=pV=100×60=6000，
∴p=6000V，
当P=75时，V=600075=80，
当P=100时，V=6000100=60，
∴80−60=20(mL)，
∴气体体积增大了20mL，
故答案为：20．
设这个反比例函数的解析式为p=kV，求得p=6000V，当P=75kPa时，求得V=80mL，当P=100kPa时求得，V=60mL，于是得到结论．
本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意，得出反比例函数的解析式是解本题的关键．
15.【答案】23π−2−2 3
【解析】解：如图，连接OF，
∵OA=OB=OF=4，点C，D分别为OA，OB的中点，
∴OC=OD=BD=DE=2，
∴DF= OF2−OD2= 42−22=2 3，
∵∠ODF=90°，
∵OF=2OD，
∴∠DFO=30°，
∴∠BOF=60°，
∴阴影部分的面积为60π×22360−12×2×2−12×2×2 3=23π−2−2 3．
故答案为：23π−2−2 3．
连接OF，利用正方形的性质和勾股定理可求出DF= 3，∠BOF=60°，再根据阴影部分的面积为扇形BOF的面积减去△BDE的面积再减去△ODF的面积，即可得出答案．
本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：S=nπr2360．
16.【答案】①
【解析】解：∵连接AC、CF，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴AD=CD，CE=FE，∠ADC=∠CEF=90°，
∴∠DCA=∠DAC=∠ECF=∠EFC=45°，
∴∠ACF=90°，
∵点H是AF的中点，
∴AH=CH=12AF，
在△ADH和△CDH中，
AD=CDAH=CHDH=DH，
∴△ADH≌△CDH(SSS)，
故①符合题意；
∵∠DEF=∠ADE=90°，
∴EF//AD，
∴∠AFE=∠FAD，
若AF平分∠DFE，则∠AFE=∠AFD，
∴∠FAD=∠AFD，
∴AD=FD，
∵AD与FD不一定相等，
∴AF不一定平分∠DFE，
故②不符合题意；
延长FE交AB于点L，
∵点E在边CD上，∠BCD=∠GCE=∠GCD=90°，
∴∠BCD+∠GCD=180°，
∴B、C、G三点在同一条直线上，
∵∠B=∠G=∠GFL=90°，
∴四边形BGFL是矩形，
∴LF=BG=BC+CG=4+3=7，BL=FG=CG=3，FL//BC，
∴AL=AB−BL=BC−BL=4−3=1，∠ALF=90°
∴AF= LF2+AL2= 72+12=5 2≠5，
故③不符合题意；
∵AD=BC，FE=CG，
∴FEAD=CGBC=12，
∵EF//AD，
∴△FIE∽△AID，
∴IEID=FEAD=12，
∴S△EFIS△DFI=IEID=12≠14，
故④不符合题意，
故答案为：①．
连接AC、CF，由正方形的性质证明∠DCA=∠DAC=∠ECF=∠EFC=45°，则∠ACF=90°，由点H是AF的中点，得AH=CH=12AF，即可证明△ADH≌△CDH，可判断①符合题意；假设AF平分∠DFE，可推导出∠FAD=∠AFD，则AD=FD，而AD与FD不一定相等，所以AF不一定平分∠DFE，可判断②不符合题意；延长FE交AB于点L，可证明四边形BGFL是矩形，则LF=BG=BC+CG=7，BL=FG=CG=3，所以AL=1，根据勾股定理可求得AF= LF2+AL2= 72+12=5 2，可判断③不符合题意；由EF//AD，证明△FIE∽△AID，则IEID=FEAD=12，所以S△EFIS△DFI=IEID=12，可判断④不符合题意，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大．
17.【答案】解：如下图：
菱形ABCD即为所求．
【解析】根据对角线互相垂直平分且一条对角线平分一个内角的四边形是菱形．
本题考查了作图的应用和设计，掌握菱形的应用和设计是解题的关键．
18.【答案】解：(1)原式=a+1+2a−2a−1⋅(a−1)(a+1)2a
=3a−1a−1⋅(a−1)(a+1)2a
=(3a−1)(a+1)2a
=3a2+2a−12a；
(2)4x−2≥3(x+1)①1−x−12
解②得：x>2，
故不等式组的解集为：x≥5．
【解析】(1)直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案；
(2)分别解不等式，进而得出答案．
此题主要考查了分式的混合运算以及不等式组的解法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
19.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程kx2−(2k+4)x+k−6=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(2k+4)2−4k(k−6)>0，且k≠0，
解得：k>−25且k≠0；
(2)当k=1时，
原方程为x2−(2×1+4)x+1−6=0，
即x2−6x−5=0，
移项得：x2−6x=5，
配方得：x2−6x+9=5+9，
即(x−3)2=14，
直接开平方得：x−3=± 14
解得：x1=3+ 14，x2=3− 14．
【解析】(1)结合已知条件，根据一元二次方程的定义及根的判别式即可求得k的取值范围；
(2)将k=1代入方程，利用配方法解方程即可．
本题考查一元二次方程的定义，根的判别式及配方法解一元二次方程，(1)中需特别注意二次项的系数不为0．
20.【答案】38 77
【解析】解：(1)成绩在60≤x<90的人数为12+16+10=38，
故答案为：38；
(2)第25，26名学生的成绩分别为77，77，所以m=77+772=77，
故答案为：77；
(3)400×850=64(人)，
即估计七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数为64．
(1)根据各组人数求出60≤x<90的人数，并补全频数分布直方图；
(2)根据中位数的定义求解即可；
(3)用样本估计总体的思想解决问题．
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．
21.【答案】解：画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中这2个数互质的结果有12种，
即(2,3)、(2,5)、(3,2)、(3,4)、(3,5)、(4,3)、(4,5)、(5,2)、(5,3)、(5,4)、(5,6)、(6,5)，
∴这2个数互质的概率为1220=35．
【解析】画树状图，共有20种等可能的结果，其中这2个数互质的结果有12种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解：由题意知四边形ADEB是矩形，
∴DE=AB=520m，
设PD=x m，
在Rt△APD中，∠PAD=68.2°，
∴AD=PDtan68.2∘≈x2.5，
∴BE=AD=x2.5m，
∴PE=PD+DE=(x+520)m，CE=BC−BE=(1200−2x5)m，
在Rt△PCE中，tanC=tan56.31°=PECE=x+5201200−2x5≈1.5，
解得x=800，
∴PD=800m，
∴PE=PD+DE=800+520=1320(m)，
答：青岛大剧院到石老人度假区BC的距离约为1320m．
【解析】根据矩形的性质得到DE=AB=520m，设PD=x m，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，矩形的判定和性质，把问题转化为解直角三角形问题是解题的关键，
23.【答案】解：(1)∵5，12，13为边长的三角形为直角三角形，
∴S=12×5×12=30，周长l=5+12+13=30，
∵S=12l⋅r，
∴30=12×30×r，
解得：r=2；
(2)连接OA，OB，OC，OD，并设内接圆半径为r，
∵S四边形ABCD=S△OAB+S△OBC+S△OCD+S△ODA=12a⋅r+12b⋅r+12c⋅r+12d⋅r=12(a+b+c+d)⋅r．
∴r=2Sa+b+c+d；
(3)猜想：r=2Sa1+a2+⋯+an．
【解析】(1)根据上述三角形的内切圆的半径公式，由已知条件，结合勾股定理的逆定理得该三角形是直角三角形．可以首先求得其面积与周长，再根据其公式代入计算；
(2)同样连接圆心和四边形的各个顶点以及圆心和各切点，根据四边形的面积等于四个三角形的面积进行计算；
(3)根据上述方法和结论，即可猜想到：任意多边形的内切圆的半径等于其面积的2倍除以多边形的周长．
此题属于圆的综合题．考查了内切圆的性质、勾股定理的逆定理以及三角形面积问题．注意把n边形分成n个三角形进行计算是关键．
24.【答案】解：(1)∵反比例函数y2=mx(x>0)的图象经过点A(4,1)，
∴1=m4．
∴m=4．
∴反比例函数解析式为y2=4x(x>0)．
把B(12,a)代入y2=4x(x>0)，得a=8．
∴点B坐标为(12,8)，
∵一次函数解析式y1=kx+b，经过A(4,1)，B(12,8)，
∴4k+b=112k+b=8．
∴k=−2b=9．
故一次函数解析式为：y1=−2x+9．
(2)由y1−y2>0，
∴y1>y2，即反比例函数值小于一次函数值．
由图象可得，12
∴Q(p,4p).
∴PQ=−2p+9−4p．
∴S△POQ=12(−2p+9−4p)⋅p=3．
解得p1=52，p2=2．
∴P(52,4)或(2,5)．
【解析】(1)将A点坐标代入即可得出反比例函数y2=mx(x>0)，求得函数的解析式，进而求得B的坐标，再将A、B两点坐标分别代入y1=kx+b，可用待定系数法确定一次函数的解析式；
(2)由题意即求y1>y2的x的取值范围，由函数的图象即可得出反比例函数的值小于一次函数值的x的取值范围；
(3)由题意，设P(p,−2p+9)且12≤p≤4，则Q(p,4p)，求得PQ=−2p+9−4p，根据三角形面积公式得到S△POQ=12(−2p+9−4p)⋅p=3，解得即可．
本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵OH//BC，
∴∠BCE=∠HOE，
∵E是OC的中点，
∴CE=OE，
在△BCE和△HOE中，
∠BCE=∠HOECE=OE∠BEC=∠HEO，
∴△BCE≌△HOE(ASA)；
(2)解：当四边形ABCD是矩形时，四边形OCHD为菱形，理由如下：
由(1)可知，△BCE≌△HOE，
∴BE=HE，
∵CE=OE，
∴四边形BCHO是平行四边形，
∴CH=OB，CH//OB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴CH=OD，OC=OD，
∴四边形OCHD是平行四边形，
又∵OC=OD，
∴平行四边形OCHD是菱形．
【解析】(1)由ASA证明△BCE≌△HOE即可；
(2)先证四边形BCHO是平行四边形，得CH=OB，CH//OB，再证四边形OCHD是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论．
本题考查了菱形的判定、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
26.【答案】解：(1)设KN95口罩的进价为a元，普通医用口罩的进价为(a−0.4)元，
由题意得：1000a+1000(a−0.4)=1200，
解得：a=0.8，
则a−0.4=0.4(元)，
答：KN95口罩的进价为0.8元，普通医用口罩的进价为0.4元；
(2)由题意得：0.5≤x−0.80.8≤1，
解得：1.2≤x≤1.6，
答：药店KN95口罩的销售单价范围为1.2≤x≤1.6；
(3)∵单个普通医用口罩与单个KN95口罩利润相同，
∴z−0.4=x−0.8
解得：z=x−0.4，
设两种口罩每天销售总利润和为w元，
根据题意，得：w=(−10x+40)(x−0.8)+(−10z+66)(z−0.4)
=(−10x+40)(x−0.8)+[−10(x−0.4)+66](x−0.4−0.4)
=(−10x+40)(x−0.8)+(−10x+70)(x−0.8)
=−20x2+126x−88，
对称轴x=1262×20=3.15，w的图象关于x=3.15对称，
又∵−20<0，w的开口方向向下，
∴当1.2≤x≤1.6，w随x的增大而增大，
∴当x=1.6时，w最大=−20×(85)2+126×85−88=62.4(元)．
答：两种口罩每天销售总利润和的最大值为62.4元．
【解析】(1)设KN95口罩的进价为a元，普通医用口罩的进价为(a−0.4)元，根据“用1200元购进KN95口罩及普通医用口罩各1000个，每个KN95口罩比普通医用口罩的进价多0.4元”列方程解答即可；
(2)根据KN95口罩的利润率不得超过100%，同时KN95口罩的利润率在不低于50%列出不等式组求解即可；
(3)根据单个普通医用口罩与单个KN95口罩利润相同的标准确定销售单价，求出z=x−0.4，再根据口罩每天销售总利润和为w元，根据题意得出w与x的函数关系式，再根据二次函数的最值解答即可．
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出函数解析式．
27.【答案】解：(1)假设PQCM为平行四边形，则PM//QC，
∴APAB=AMAC，
∵AB=AC，
∴AP=AM，即10−t=2t，
解得：t=103，
∴当t=103时四边形PQCM是平行四边形，
(2)∵PQ//AC，
∴△PBQ∽△ABC，
∴△PBQ为等腰三角形，BP=PQ=t，
∴BFBD=BPBA，即BF8=t10，
解得BF=45t，
∴DF=BD−BF=8−45t，
∵CM=AC−AM=10−2t，
∴y=12(PQ+MC)⋅MD=12(t+10−2t)(8−45t)=25t2−8t+40，
(3)存在，理由如下：
①与AC相切时，即PM⊥AC，
∴AMAP=35，即2t10−t=35，
解得t=3013s，
②与AB相切，即MP⊥AB，
∴APAM=35，
∴10−t2t=35，
解得t=5011，
③与BC相切，
设圆心为E，与BC的切点为K，连接EK，则EK⊥BC，
作PG⊥BC于G，AS⊥BC于S，MH⊥BC于H，如图：
则EK//PG//MH，
∵BC= 42+82=4 5cm，
∴BS=2 5cm，
∴AS=4 5cm，
∴PGBP=ASAB=4 510=2 55，
∴PG=2 55t，
∴MHMC=ASAC=4 510=2 55，
∴MH=2 55(10−2t)，
∵E是中点，
∴K为GH的中点，
∴EK为梯形的中位线，
∴EK=12(PG+MH)= 55(10−t)，
∴PM=2KE，
∴(8−45t)2+(6−135t)2=[2 5(10−t0]2,
解得t=103或1011．
综上所述，t的值为3013或5011或103或1011．
【解析】(1)假设PQCM为平行四边形，根据平行四边形的性质得到对边平行，进而得到AP=AM，列出关于t的方程，求出方程的解得到满足题意t的值；
(2)根据PQ//AC，利用相似三角形的性质可得三角形BPQ也为等腰三角形，即BP=PQ=t，用含t的代数式就可以表示出BF，进而得到梯形的高DF=8−45t，又点M的运动速度和时间可知点M走过的路程AM=2t，所以梯形的下底CM=10−2t，最后根据梯形的面积公式即可得到y与t的关系式．
(3)分3种情况进行讨论，根据切线的性质即可解答．
本题综合考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，第二问的解题关键是相似三角形的性质列出关系式，进而求出函数关系式，第三问需要分类讨论．
2023年山东省青岛市内四区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在实数−1， 3，12，3.14中，无理数是( )
A. −1 B. 3 C. 12 D. 3.14
2. 党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五.将数据1040000000用科学记数法表示为( )
A. 104×107 B. 10.4×108 C. 1.04×109 D. 0.104×1010
3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 下列运算结果正确的是( )
A. x4+x4=2x8 B. (−2x2)3=−6x6 C. x6÷x3=x3 D. x2⋅x3=x6
5. 如图所示的几何体，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
6. 为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼.小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间(单位：分钟)，并制作了如图所示的统计图.根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是( )
A. 平均数为70分钟 B. 众数为67分钟 C. 中位数为67分钟 D. 方差为32
7. 如图，在△ABC中，AC=BC，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，连接CD交AB于点E，连接OD，若∠BOD=120°，则∠BED的度数为( )
A. 60° B. 75° C. 100° D. 105°
8. 蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点.若点P，Q的坐标分别为(−2 3,3)，(0,−3)，则点M的坐标为( )
A. (3 3,−2) B. (3 3,2) C. (2,−3 3) D. (−2,−3 3)
9. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为( )
A. 35
B. 2 55
C. 25
D. 55
10. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①abc>0；②方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有一个根大于2且小于3；③若(0,y1)，(32,y2)是抛物线上的两点，那么y1
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 计算：( 48−6 13)÷ 3= ______ ．
12. 在一个不透明的盒子里，装有6个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有区别，摇匀后从中摸出一球再放回，不断重复，共摸球50次，其中38次摸到白球，则估计白球有______ 个.
13. 某公司欲招聘一名职员.对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示：
应聘者
综合知识
工作经验
语言表达
甲
75
80
80
乙
85
80
70
丙
70
78
72
如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按5：2：3的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是______ ．
14. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞减压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p(kPa)与汽缸内气体的体积V(mL)成反比例，p关于V的函数图象如图所示.若压强由100kPa减压75kPa，则气体体积增大了______ mL．
15. 如图，扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=4，点C，D分别为OA，OB的中点，以OC，OD为边在扇形内部构造正方形OCED，延长DE交弧AB于点F，连接BE，则阴影部分的面积为______ ．
16. 如图，正方形ABCD中，点E是边CD上的动点(不与点C、D重合)，以CE为边向右作正方形CEFG，连接AF，点H是AF的中点，连接DH、CH.下列结论：①△ADH≌△CDH；②AF平分∠DFE；③若BC=4，CG=3，则AF=5；④若CGBC=12，则S△EFIS△DFI=14.其中正确的有______ .(填序号)
三、解答题（本大题共11小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题4.0分)
用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.如图是一块木板下脚料，小明想用这块木板做一个菱形学具；请你帮他在木板上画出以∠A为一个内角且面积最大的菱形．
18. (本小题8.0分)
(1)计算：(a+1a−1+2)÷2aa2−1；
(2)解不等式组4x−2≥3(x+1)1−x−12
已知关于x的一元二次方程kx2−(2k+4)x+k−6=0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)当k=1时，用配方法解方程．
20. (本小题6.0分)
某校举办以“疫情中的距离与联系”主题的知识竞赛，从七年级和八年级各随机抽取了50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：
a：七年级抽取成绩的频数分布直方图如图．
(数据分成5组，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x<100)
b：七年级抽取成绩在70≤x<80这一组的是：
70，72，73，73，75，75，75，76，
77，77，78，78，79，79，79，79．
c：七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如下：
年级
平均数
中位数
七年级
76.5
m
八年级
78.2
79
请结合以上信息完成下列问题：
(1)七年级抽取成绩在60≤x<90的人数是______ ，并补全频数分布直方图；
(2)表中m的值为______ ；
(3)七年级的学生共有400人，请你估计七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数．
21. (本小题6.0分)
从2至6的5个整数中随机取2个不同的数，用树状图或列表法求这2个数互质的概率．
(互质是公约数只有1的两个整数)
22. (本小题6.0分)
青岛大剧院与远处的石老人度假区遥相呼应.如图所示，楼B在楼A的正东方向520m处，石老人度假区C在楼B的正南方向1200m处.在青口大剧院P测得楼A在北偏东68.2°方向，石老人度假区C在南偏东56.31°方向(点A，B，C，P四点在同一平面内)，求青岛大剧院到石老人度假区BC的距离(结果精确到1m)．
(参考数据：sin68.2°≈0.928，cos68.2°≈0.371，tan68.2°≈2.50，sin56.31°≈0.832，cos56.31°≈0.555，tan56.31°≈1.50)
23. (本小题6.0分)
阅读材料：如图1，△ABC的周长为l，内切圆O的半径为r，连结OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形，用S△ABC表示△ABC的面积．
∵S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OCA
又∵S△OAB=12AB⋅r，S△OBC=12BC⋅r，S△OCA=12CA⋅r
∴S△ABC=12AB⋅r+12BC⋅r+12CA⋅r=12l⋅r(可作为三角形内切圆半径公式)
(1)理解与应用：利用公式计算边长分为5、12、13的三角形内切圆半径；
(2)类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆，如图2)且面积为S，各边长分别为a、b、c、d，试推导四边形的内切圆半径公式；
(3)拓展与延伸：若一个n边形(n为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1、a2、a3、…、an，合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由)．
24. (本小题8.0分)
如图，一次函数y1=kx+b(k≠0)与函数为y2=mx(x>0)的图象交于A(4,1),B(12,a)两点．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出满足y1−y2>0时x的取值范围；
(3)点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象于点Q，若△POQ面积为3，求点P的坐标．
25. (本小题8.0分)
如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E为OC中点，过点O作OH//BC交BE的延长线于H，连接CH与DH．
(1)求证：△BCE≌△HOE；
(2)当四边形ABCD是怎样的特殊四边形时，四边形OCHD为菱形？请说明理由．
26. (本小题10.0分)
近期，广州、东莞、佛山等地新冠病毒疫情再次小范围爆发，目前仍然要高度重视各项防疫措施.某药店用1200元购进KN95口罩及普通医用口罩各1000个，每个KN95口罩比普通医用口罩的进价多0.4元，在销售过程中发现，KN95口罩每天的销量y1(单位：个)与其销售单价x(单位：元)有如下关系：y1=−10x+40，普通医用口罩每天的销量y2(单位：个)与其销售单价z(单位：元)有如下关系：y2=−10z+66.药店按照单个普通医用口罩与单个KN95口罩利润相同的标准确定销售单价，并且销售单价均高于进价(利润率=销售单价−进价进价).
(1)求两种口罩的进价；
(2)市场监督管理局为了调控口罩市场价格，避免炒高口罩价格的现象出现，规定KN95口罩的利润率不得超过100%，同时KN95口罩的利润率在不低于50%时才能保证药店的合理收益，药店应该如何确定KN95口罩的销售单价范围呢？
(3)在(2)的条件下求这两种口罩每天销售总利润和的最大值．
27. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于D，且BD=8cm，点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ//AC，直线PQ交AB于P，交BC于Q，连接PM，设运动时间为t(s)，0
(2)设四边形PQCM的面积为y cm2，求y与t之间的函数关系式；
(3)是否存在时刻t，使以PM为直径的圆与△ABC的边相切？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：实数−1， 3，12，3.14中，无理数是 3，
故选：B．
无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
本题考查无理数的识别，其定义是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2.【答案】C
【解析】解：1040000000=1.04×109．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法—表示较大的数，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】A
【解析】解：左起第一个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第二个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；
第三个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第四个图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
所以既是轴对称图形，又是中心对称图形的有1个．
故选：A．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4.【答案】C
【解析】解：A.x4+x4=2x4，故此选项不合题意；
B.(−2x2)3=−8x6，故此选项不合题意；
C.x6÷x3=x3，故此选项符合题意；
D.x2⋅x3=x5，故此选项不合题意．
故选：C．
直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算，进而得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：该几何体的主视图如下：
．
故选：B．
根据主视图的定义，从几何体的正面看所得到的图形是主视图，即可进行解答．
本题主要考查简单组合体的三视图，熟练掌握简单组合体的三视图的知识是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：根据折线图小亮该周每天校外锻炼时间为：65、67、70、67、75、79、88，
A.平均数是65+67+70+67+75+79+887=73(分钟)，故选项错误，不符合题意；
B.这组数的众数是67分钟，故选项正确，符合题意；
C.将这组数由小到大排列为：65、67、67、70、75、79、88，中位数是70，故选项错误，不符合题意；
D.这组方差为：S2=17×[(65−73)2+(67−73)2+(70−73)2+(67−73)2+(75−73)2+(79−73)2+(88−73)2]=30，故选项错误，不符合题意；
故选：B．
根据折线图分别求出平均数、众数、中位数和方差进行判断即可．
本题考查了折线图，平均数、众数、中位数和方差的计算，掌握折线图的特点，平均数、众数、中位数和方差的计算方法是关键．
7.【答案】D
【解析】解：连接BD，
∵OD=OB，∠BOD=120°，
∴∠OBD=∠ODB=30°，∠AOD=180°−120°=60°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵AC=BC，
∴∠A=45°，
∴∠CDB=∠A=45°，
∴∠CDO=∠CDB−∠ODB=15°，
∴∠BED=180°−60°−15°=105°，
故选：D．
连接BD，根据等腰三角形的性质得到∠OBD=∠ODB=30°，根据平角的定义得到∠AOD=180°−120°=60°，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，求得∠A=45°，根据圆周角定理得到∠CDB=∠A=45°，根据三角形内角和定理即可得到结论．
本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：设中间正六边形的中心为D，连接DB．
∵点P，Q的坐标分别为(−2 3,3)，(0,−3)，图中是7个全等的正六边形，
∴AB=BC=2 3，OQ=3，
∴OA=OB= 3，
∴OC=3 3，
∵DQ=DB=2OD，
∴OD=1，QD=DB=CM=2，
∴M(3 3,−2)，
故选：A．
设中间正六边形的中心为D，连接DB.判断出OC，CM的长，可得结论．
本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9.【答案】B
【解析】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图．
则DE//AB，
∴∠APC=∠EDC．
在△DCE中，有EC= 22+1= 5，DC= 42+22=2 5，DE= 32+42=5，
∵EC2+DC2=DE2，
故△DCE为直角三角形，∠DCE=90°．
∴sin∠APC=sin∠EDC=ECDE= 55，
∴cos∠APC= 1−15=2 55．
故选：B．
把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE//AB，由勾股定理逆定理可以证明△DCE为直角三角形，所以sin∠APC=sin∠EDC即可得答案．
本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键．
10.【答案】C
【解析】解：①根据图象可知：a>0，c<0，
∵对称轴是直线x=1，
∴−b2a=1，即b=−2a，
∴b<0，
∴abc>0．
故①正确．
②方程ax²+bx+c=0，即为二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴的交点，
根据图象已知一个交点−1
③∵对称轴是直线x=1，
|0−1|>|32−1|，
∴点(32,y2)离对称轴更近，
∴y1>y2，
故③错误．
④∵−b2a=1，
∴b=−2a，
∴y=ax2−2ax+c，
根据图象，令x=−1，
y=a+2a+c=3a+c>0，
∴6a+2c>0，
∵a>0，
∴11a+2c>0，
故④错误．
⑤m(am+b)=am2+bm=am2−2am≥a−2a，
am2−2am≥−a，
即证：m2−2m+1≥0，
m2−2m+1=(m−1)2，
∴m为任意实数，m2−2m+1≥0恒成立．
故⑤正确．
综上①②⑤正确，
故选：C．
①根据函数图象分别判断a、b、c的正负，求出abc的正负；
②将方程转化为函数与x轴的交点，利用已知交点和对称轴找出另一交点的范围；
③根据二次函数图象的性质：当图象开口向上，离对称轴越近的点y值越小；
④用a来表示改变函数解析式，根据图象，令x=−1，得到3a+c>0，即6a+2c>，因为a>0，所以得出11a+2c>0；
⑤化简不等式，用a表示b，根据a>0及不等式的性质得到只含有m的不等式，解不等式即可．
本题以二次函数为背景考查了二次函数图象与系数的关系，考察学生在函数图象中数形结合的能力．运用待定系数法，二次函数图象与x轴的交点，利用图象求出a、b、c的范围以及用特殊值法代入解析式中得到特殊的式子是解决问题关键．这类题型是中考常考题，很有参考价值．
11.【答案】2
【解析】解：原式=(4 3−6× 33)÷ 3
=(4 3−2 3)÷ 3
=2 3÷ 3
=2．
故答案为：2．
直接化简二次根式，进而利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
12.【答案】19
【解析】解：∵共试验50次，其中38次摸到白球，
∴白球所占的比例为3850=1925，
设白球有x个，则
x6+x=1925，
解得：x=19．
故答案为：19．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．
本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．
13.【答案】乙
【解析】解：由题意可得，
甲的成绩为：75×5+80×2+80×35+2+3=77.5，
乙的成绩为：85×5+80×2+70×35+2+3=79.5，
丙的成绩为：70×5+78×2+72×35+2+3=72.2，
∵79.5>77.5>72.2，
∴乙将被录取，
故答案为：乙．
根据表格中的数据和加权平均数的计算方法，可以分别求出甲、乙、丙的成绩，然后比较大小即可．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的加权平均数．
14.【答案】20
【解析】解：设这个反比例函数的解析式为p=kV，
∵V=100时，p=60，
∴k=pV=100×60=6000，
∴p=6000V，
当P=75时，V=600075=80，
当P=100时，V=6000100=60，
∴80−60=20(mL)，
∴气体体积增大了20mL，
故答案为：20．
设这个反比例函数的解析式为p=kV，求得p=6000V，当P=75kPa时，求得V=80mL，当P=100kPa时求得，V=60mL，于是得到结论．
本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意，得出反比例函数的解析式是解本题的关键．
15.【答案】23π−2−2 3
【解析】解：如图，连接OF，
∵OA=OB=OF=4，点C，D分别为OA，OB的中点，
∴OC=OD=BD=DE=2，
∴DF= OF2−OD2= 42−22=2 3，
∵∠ODF=90°，
∵OF=2OD，
∴∠DFO=30°，
∴∠BOF=60°，
∴阴影部分的面积为60π×22360−12×2×2−12×2×2 3=23π−2−2 3．
故答案为：23π−2−2 3．
连接OF，利用正方形的性质和勾股定理可求出DF= 3，∠BOF=60°，再根据阴影部分的面积为扇形BOF的面积减去△BDE的面积再减去△ODF的面积，即可得出答案．
本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：S=nπr2360．
16.【答案】①
【解析】解：∵连接AC、CF，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴AD=CD，CE=FE，∠ADC=∠CEF=90°，
∴∠DCA=∠DAC=∠ECF=∠EFC=45°，
∴∠ACF=90°，
∵点H是AF的中点，
∴AH=CH=12AF，
在△ADH和△CDH中，
AD=CDAH=CHDH=DH，
∴△ADH≌△CDH(SSS)，
故①符合题意；
∵∠DEF=∠ADE=90°，
∴EF//AD，
∴∠AFE=∠FAD，
若AF平分∠DFE，则∠AFE=∠AFD，
∴∠FAD=∠AFD，
∴AD=FD，
∵AD与FD不一定相等，
∴AF不一定平分∠DFE，
故②不符合题意；
延长FE交AB于点L，
∵点E在边CD上，∠BCD=∠GCE=∠GCD=90°，
∴∠BCD+∠GCD=180°，
∴B、C、G三点在同一条直线上，
∵∠B=∠G=∠GFL=90°，
∴四边形BGFL是矩形，
∴LF=BG=BC+CG=4+3=7，BL=FG=CG=3，FL//BC，
∴AL=AB−BL=BC−BL=4−3=1，∠ALF=90°
∴AF= LF2+AL2= 72+12=5 2≠5，
故③不符合题意；
∵AD=BC，FE=CG，
∴FEAD=CGBC=12，
∵EF//AD，
∴△FIE∽△AID，
∴IEID=FEAD=12，
∴S△EFIS△DFI=IEID=12≠14，
故④不符合题意，
故答案为：①．
连接AC、CF，由正方形的性质证明∠DCA=∠DAC=∠ECF=∠EFC=45°，则∠ACF=90°，由点H是AF的中点，得AH=CH=12AF，即可证明△ADH≌△CDH，可判断①符合题意；假设AF平分∠DFE，可推导出∠FAD=∠AFD，则AD=FD，而AD与FD不一定相等，所以AF不一定平分∠DFE，可判断②不符合题意；延长FE交AB于点L，可证明四边形BGFL是矩形，则LF=BG=BC+CG=7，BL=FG=CG=3，所以AL=1，根据勾股定理可求得AF= LF2+AL2= 72+12=5 2，可判断③不符合题意；由EF//AD，证明△FIE∽△AID，则IEID=FEAD=12，所以S△EFIS△DFI=IEID=12，可判断④不符合题意，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大．
17.【答案】解：如下图：
菱形ABCD即为所求．
【解析】根据对角线互相垂直平分且一条对角线平分一个内角的四边形是菱形．
本题考查了作图的应用和设计，掌握菱形的应用和设计是解题的关键．
18.【答案】解：(1)原式=a+1+2a−2a−1⋅(a−1)(a+1)2a
=3a−1a−1⋅(a−1)(a+1)2a
=(3a−1)(a+1)2a
=3a2+2a−12a；
(2)4x−2≥3(x+1)①1−x−12
解②得：x>2，
故不等式组的解集为：x≥5．
【解析】(1)直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案；
(2)分别解不等式，进而得出答案．
此题主要考查了分式的混合运算以及不等式组的解法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
19.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程kx2−(2k+4)x+k−6=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(2k+4)2−4k(k−6)>0，且k≠0，
解得：k>−25且k≠0；
(2)当k=1时，
原方程为x2−(2×1+4)x+1−6=0，
即x2−6x−5=0，
移项得：x2−6x=5，
配方得：x2−6x+9=5+9，
即(x−3)2=14，
直接开平方得：x−3=± 14
解得：x1=3+ 14，x2=3− 14．
【解析】(1)结合已知条件，根据一元二次方程的定义及根的判别式即可求得k的取值范围；
(2)将k=1代入方程，利用配方法解方程即可．
本题考查一元二次方程的定义，根的判别式及配方法解一元二次方程，(1)中需特别注意二次项的系数不为0．
20.【答案】38 77
【解析】解：(1)成绩在60≤x<90的人数为12+16+10=38，
故答案为：38；
(2)第25，26名学生的成绩分别为77，77，所以m=77+772=77，
故答案为：77；
(3)400×850=64(人)，
即估计七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数为64．
(1)根据各组人数求出60≤x<90的人数，并补全频数分布直方图；
(2)根据中位数的定义求解即可；
(3)用样本估计总体的思想解决问题．
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．
21.【答案】解：画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中这2个数互质的结果有12种，
即(2,3)、(2,5)、(3,2)、(3,4)、(3,5)、(4,3)、(4,5)、(5,2)、(5,3)、(5,4)、(5,6)、(6,5)，
∴这2个数互质的概率为1220=35．
【解析】画树状图，共有20种等可能的结果，其中这2个数互质的结果有12种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解：由题意知四边形ADEB是矩形，
∴DE=AB=520m，
设PD=x m，
在Rt△APD中，∠PAD=68.2°，
∴AD=PDtan68.2∘≈x2.5，
∴BE=AD=x2.5m，
∴PE=PD+DE=(x+520)m，CE=BC−BE=(1200−2x5)m，
在Rt△PCE中，tanC=tan56.31°=PECE=x+5201200−2x5≈1.5，
解得x=800，
∴PD=800m，
∴PE=PD+DE=800+520=1320(m)，
答：青岛大剧院到石老人度假区BC的距离约为1320m．
【解析】根据矩形的性质得到DE=AB=520m，设PD=x m，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，矩形的判定和性质，把问题转化为解直角三角形问题是解题的关键，
23.【答案】解：(1)∵5，12，13为边长的三角形为直角三角形，
∴S=12×5×12=30，周长l=5+12+13=30，
∵S=12l⋅r，
∴30=12×30×r，
解得：r=2；
(2)连接OA，OB，OC，OD，并设内接圆半径为r，
∵S四边形ABCD=S△OAB+S△OBC+S△OCD+S△ODA=12a⋅r+12b⋅r+12c⋅r+12d⋅r=12(a+b+c+d)⋅r．
∴r=2Sa+b+c+d；
(3)猜想：r=2Sa1+a2+⋯+an．
【解析】(1)根据上述三角形的内切圆的半径公式，由已知条件，结合勾股定理的逆定理得该三角形是直角三角形．可以首先求得其面积与周长，再根据其公式代入计算；
(2)同样连接圆心和四边形的各个顶点以及圆心和各切点，根据四边形的面积等于四个三角形的面积进行计算；
(3)根据上述方法和结论，即可猜想到：任意多边形的内切圆的半径等于其面积的2倍除以多边形的周长．
此题属于圆的综合题．考查了内切圆的性质、勾股定理的逆定理以及三角形面积问题．注意把n边形分成n个三角形进行计算是关键．
24.【答案】解：(1)∵反比例函数y2=mx(x>0)的图象经过点A(4,1)，
∴1=m4．
∴m=4．
∴反比例函数解析式为y2=4x(x>0)．
把B(12,a)代入y2=4x(x>0)，得a=8．
∴点B坐标为(12,8)，
∵一次函数解析式y1=kx+b，经过A(4,1)，B(12,8)，
∴4k+b=112k+b=8．
∴k=−2b=9．
故一次函数解析式为：y1=−2x+9．
(2)由y1−y2>0，
∴y1>y2，即反比例函数值小于一次函数值．
由图象可得，12
∴Q(p,4p).
∴PQ=−2p+9−4p．
∴S△POQ=12(−2p+9−4p)⋅p=3．
解得p1=52，p2=2．
∴P(52,4)或(2,5)．
【解析】(1)将A点坐标代入即可得出反比例函数y2=mx(x>0)，求得函数的解析式，进而求得B的坐标，再将A、B两点坐标分别代入y1=kx+b，可用待定系数法确定一次函数的解析式；
(2)由题意即求y1>y2的x的取值范围，由函数的图象即可得出反比例函数的值小于一次函数值的x的取值范围；
(3)由题意，设P(p,−2p+9)且12≤p≤4，则Q(p,4p)，求得PQ=−2p+9−4p，根据三角形面积公式得到S△POQ=12(−2p+9−4p)⋅p=3，解得即可．
本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵OH//BC，
∴∠BCE=∠HOE，
∵E是OC的中点，
∴CE=OE，
在△BCE和△HOE中，
∠BCE=∠HOECE=OE∠BEC=∠HEO，
∴△BCE≌△HOE(ASA)；
(2)解：当四边形ABCD是矩形时，四边形OCHD为菱形，理由如下：
由(1)可知，△BCE≌△HOE，
∴BE=HE，
∵CE=OE，
∴四边形BCHO是平行四边形，
∴CH=OB，CH//OB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴CH=OD，OC=OD，
∴四边形OCHD是平行四边形，
又∵OC=OD，
∴平行四边形OCHD是菱形．
【解析】(1)由ASA证明△BCE≌△HOE即可；
(2)先证四边形BCHO是平行四边形，得CH=OB，CH//OB，再证四边形OCHD是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论．
本题考查了菱形的判定、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
26.【答案】解：(1)设KN95口罩的进价为a元，普通医用口罩的进价为(a−0.4)元，
由题意得：1000a+1000(a−0.4)=1200，
解得：a=0.8，
则a−0.4=0.4(元)，
答：KN95口罩的进价为0.8元，普通医用口罩的进价为0.4元；
(2)由题意得：0.5≤x−0.80.8≤1，
解得：1.2≤x≤1.6，
答：药店KN95口罩的销售单价范围为1.2≤x≤1.6；
(3)∵单个普通医用口罩与单个KN95口罩利润相同，
∴z−0.4=x−0.8
解得：z=x−0.4，
设两种口罩每天销售总利润和为w元，
根据题意，得：w=(−10x+40)(x−0.8)+(−10z+66)(z−0.4)
=(−10x+40)(x−0.8)+[−10(x−0.4)+66](x−0.4−0.4)
=(−10x+40)(x−0.8)+(−10x+70)(x−0.8)
=−20x2+126x−88，
对称轴x=1262×20=3.15，w的图象关于x=3.15对称，
又∵−20<0，w的开口方向向下，
∴当1.2≤x≤1.6，w随x的增大而增大，
∴当x=1.6时，w最大=−20×(85)2+126×85−88=62.4(元)．
答：两种口罩每天销售总利润和的最大值为62.4元．
【解析】(1)设KN95口罩的进价为a元，普通医用口罩的进价为(a−0.4)元，根据“用1200元购进KN95口罩及普通医用口罩各1000个，每个KN95口罩比普通医用口罩的进价多0.4元”列方程解答即可；
(2)根据KN95口罩的利润率不得超过100%，同时KN95口罩的利润率在不低于50%列出不等式组求解即可；
(3)根据单个普通医用口罩与单个KN95口罩利润相同的标准确定销售单价，求出z=x−0.4，再根据口罩每天销售总利润和为w元，根据题意得出w与x的函数关系式，再根据二次函数的最值解答即可．
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出函数解析式．
27.【答案】解：(1)假设PQCM为平行四边形，则PM//QC，
∴APAB=AMAC，
∵AB=AC，
∴AP=AM，即10−t=2t，
解得：t=103，
∴当t=103时四边形PQCM是平行四边形，
(2)∵PQ//AC，
∴△PBQ∽△ABC，
∴△PBQ为等腰三角形，BP=PQ=t，
∴BFBD=BPBA，即BF8=t10，
解得BF=45t，
∴DF=BD−BF=8−45t，
∵CM=AC−AM=10−2t，
∴y=12(PQ+MC)⋅MD=12(t+10−2t)(8−45t)=25t2−8t+40，
(3)存在，理由如下：
①与AC相切时，即PM⊥AC，
∴AMAP=35，即2t10−t=35，
解得t=3013s，
②与AB相切，即MP⊥AB，
∴APAM=35，
∴10−t2t=35，
解得t=5011，
③与BC相切，
设圆心为E，与BC的切点为K，连接EK，则EK⊥BC，
作PG⊥BC于G，AS⊥BC于S，MH⊥BC于H，如图：
则EK//PG//MH，
∵BC= 42+82=4 5cm，
∴BS=2 5cm，
∴AS=4 5cm，
∴PGBP=ASAB=4 510=2 55，
∴PG=2 55t，
∴MHMC=ASAC=4 510=2 55，
∴MH=2 55(10−2t)，
∵E是中点，
∴K为GH的中点，
∴EK为梯形的中位线，
∴EK=12(PG+MH)= 55(10−t)，
∴PM=2KE，
∴(8−45t)2+(6−135t)2=[2 5(10−t0]2,
解得t=103或1011．
综上所述，t的值为3013或5011或103或1011．
【解析】(1)假设PQCM为平行四边形，根据平行四边形的性质得到对边平行，进而得到AP=AM，列出关于t的方程，求出方程的解得到满足题意t的值；
(2)根据PQ//AC，利用相似三角形的性质可得三角形BPQ也为等腰三角形，即BP=PQ=t，用含t的代数式就可以表示出BF，进而得到梯形的高DF=8−45t，又点M的运动速度和时间可知点M走过的路程AM=2t，所以梯形的下底CM=10−2t，最后根据梯形的面积公式即可得到y与t的关系式．
(3)分3种情况进行讨论，根据切线的性质即可解答．
本题综合考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，第二问的解题关键是相似三角形的性质列出关系式，进而求出函数关系式，第三问需要分类讨论．
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