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2023年山东省青岛市局属学校中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年山东省青岛市局属学校中考数学二模试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省青岛市局属学校中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 2020年，在全球经济受到新冠疫情的影响下，我国GDP仍逆势增长2.3%，经济总量达到1016000亿元.数1016000用科学记数法表示为( )
A. 1.016×107 B. 1.016×106 C. 1.016×105 D. 10.16×105
2. 下列计算正确的是( )
A. a2+a3=2a5 B. a2⋅a3=a6
C. (−2a2)3=−8a6 D. (a+b)2=a2+b2
3. 如图，将一个圆柱体垂直切去右边一部分，左边部分的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
4. 若关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为( )
A. 2 B. 1 C. 0 D. −1
5. △ABC在如图所示的平面直角坐标系中，将△ABC向右平移2个单位长度后得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点O旋转180°后得到△A2B2C2，那么点C2的坐标是( )
A. (1,2)
B. (−1,−2)
C. (−2,−1)
D. (1,−2)
6. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD=25°，则∠DHO的度数是( )
A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°
7. 如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的一部分，抛物线的顶点坐标是A(1,3)，与x轴的一个交点是B(4,0)，点P在抛物线上，且在直线AB上方，则下列结论正确的是( )
A. abc>0
B. 方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根
C. x(ax+b)≤a+b
D. 点P到直线AB的最大距离3 28
8. 已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm.点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t(s)(0
C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. 计算 12−(12)−1+(2−2 5)0=______．
10. 一个不透明的袋子中装有若干个只有颜色不同的小球，随机摸出一个白色小球的概率是12；如果再往袋子中放入9个同样的红色小球，随钒摸出一个白色小球的概率变为15，则原来袋子中有白色小球______ 个.
11. 甲、乙两射击运动员进行10次射击，甲的成绩是7，7，8，9，8，9，10，9，9，9，乙的成绩如图所示．则甲、乙射击成绩的方差之间关系是S甲2______S乙2(填“<”，“=”，“>”)．
12. 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．若⊙O的半径为2，∠B=50°，AC=4.8，则阴影部分的面积为______．
13. 如图①，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点．设PC的长度为x，PE与PB的长度和为y，图②是y关于x的函数图象，则图象上最低点H的坐标为______．
14. 在平面直角坐标系中，抛物线y=x2的图象如图所示.已知A点坐标为(1,1)，过点A作AA1//x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2//OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3//x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4//OA交抛物线于点A4…，依次进行下去，则点A2023的坐标为______ ．
三、解答题（本大题共11小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题4.0分)
如图，已知矩形ABCD，请用尺规作图法在矩形内部找一点P使得∠APB=90°(要求：作出符题意的一点即可，保留作图痕迹，不写作法)．
16. (本小题8.0分)
计算：
(1)(1−3a+2)÷a2−2a+1a2−4；
(2)解不等式组4(x+1)≤7x+13x−4
某数学兴趣小组准备了4张卡片，正面图案如图所示，它们除正面图案不同之外其他完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，用列表或画树状图的方法，求这两张卡片的正面图案都是轴对称图形的概率．
18. (本小题6.0分)
为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动.如图，大楼的顶部竖有一块广告牌CD，同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1： 3，AB=12米，AE=27米，求广告牌CD的高度.(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73，sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43)
19. (本小题6.0分)
电信诈骗，严重危害着人民群众的财产安全，为提高大家的防范意识，某校举行了主题为“防电信诈骗，保财产安全”的知识测试.七、八年级各有600名学生，现从这两个年级各随机抽取50名学生参加测试，为了解本次测试成绩的分布情况，将两个年级的测试成绩x按A：90≤x≤100，B：80≤x<90，C：70≤x<80，D：60≤x<70四个评价等级进行整理，得到了不完整的统计图表.七年级成绩统计表：
评价等级
成绩x/分
频数
频率
A
90≤x≤100
20
0.4
B
80≤x<90
b
0.22
C
70≤x<80
15
0.3
D
60≤x<70
4
0.08
八年级测试成绩评价等级为B的全部分数(单位分)如下：80，81，82，82，84，86，86，87，88，88，89，89，89．
(1)表格中，b= ______ ；
(2)八年级测试成绩的中位数是______ ；
(3)若测试成绩不低于80分，则认为该学生对防电信诈骗意识较强，请估计该校七、八两个年级对防电信诈骗意识较强的学生一共有多少人？
20. (本小题6.0分)
如图，AB为⊙O的直径，AD、BE是⊙O的弦，延长AD、BE交于点C，连接BD，DE．
(1)若DE平分∠BDC，求∠ABE的度数；
(2)若点E为BD的中点，CD=2，CE= 3，求⊙O的半径．
21. (本小题8.0分)
如图，一次函数y=kx+b的图象交反比例函数y=nx图象于A(32,4)，B(3,m)两点．
(1)求m，n的值；
(2)点E是y轴上一点，且S△AOB=S△EOB，求E点的坐标；
22. (本小题8.0分)
已知：在△ABC中，CB=CA，点D、E分别是AB、AC的中点，连接DE并延长交外角∠ACM的平分线CN与点F．
(1)求证：AD=CF；
(2)连接CD，AF，当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF为正方形？请证明你的结论．
23. (本小题8.0分)
(1)探究发现
下面是一道例题及其解答过程，请补充完整．
如图1，在等边三角形ABC内部有一点P，PA=3，PB=4，PC=5.求∠APB的度数．
解：将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，则△APP′为等边三角形．
∵P′P=PA=3，PB=4，P′B=PC=5，
∴P′P2+PB2=P′B2
△BPP′为______ 三角形
∴∠APB的度数为______ ．
(2)类比延伸
如图2，在正方形ABCD内部有一点P，若∠APD=135°，试判断线段PA、PB、PD之间的数量关系，并说明理由．
(3)联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC.点P在直线AB上方且∠APB=60°，试判断是否存在常数k，满足(kPA)2+PB2=PC2.若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
24. (本小题10.0分)
跳台滑雪是以滑雪板为工具，在专设的跳台上以自身的体重通过助滑坡获得的速度比跳跃距离和动作姿势的一种雪上竞技项目．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线C1：y=−112x2+76x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方3米的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=−18x2+bx+c运动，当运动员运动到例A处的水平距离为4米时，例水平线的高度为7米．
(1)求抛物线C2的函数解析式；
(2)当运动员与点A的水平距离是多少米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同；
(3)运动员从A点滑出后直至和小山坡到水平线的高度相同时，运动员与小山坡的高度差最大是多少米？
25. (本小题10.0分)
如图，已知抛物线y=ax2+3ax+c(a>0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，点B的坐标为(1,0)，OC=3OB．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)若点D是x轴上的一点，在抛物线上是否存在点E，使以A，C，D，E为顶点且以AC为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：1016000=1.016×106．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2.【答案】C
【解析】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B、a2⋅a3=a5，原计算错误，故不符合题意；
C、(−2a2)3=−8a6，故符合题意；
D、(a+b)2=a2+2ab+b2，原计算错误，故不符合题意；
故选：C．
根据合并同类项法则，同底数幂乘法，幂的乘方及完全平方公式分别计算并判断．
本题考查了合并同类项法则，同底数幂乘法，幂的乘方及完全平方公式，掌握各计算法则是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：左边部分的左视图是：
．
故选：C．
左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．
此题考查了简单几何体的三视图，解答本题的关键是掌握左视图的观察位置．
4.【答案】C
【解析】解：∵关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+2=0有实数根，
∴a−1≠0Δ=(−2)2−4×(a−1)×2≥0，
解得：a≤32且a≠1，
又∵a为整数，
∴a的最大值为0．
故选：C．
由二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，可得出关于a的一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：如图所示：
点C2的坐标(−1,−2)，
故选：B．
根据题意，画出图形，即可得出答案．
本题考查平移、旋转的性质．
(1)平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等，对应线段平行(或在同一条直线上)且相等，对应角相等．
(2)旋转的性质是：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的垂直平分线的交点是旋转中心．
6.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO=OD，∠DAO=∠BAO=25°，AC⊥BD，
∴∠ABD=90°−∠BAO=65°，
∵DH⊥AB，BO=DO，
∴∠BDH=90°−∠ABD=25°，HO=12BD=DO，
∴∠DHO=∠BDH=25°，故选：A．
本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题。
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息，结合函数的性质对选项进行判断是解题的关键．
根据图象可知a<0，c>0，再由对称轴可知b=−2a>0，可判断①；根据抛物线的顶点可知方程ax2+bx+c=3有且只有一个实数根，可判断②；当x=1时函数有最大值a+b+c，由此可判断③；求出函数的解析式和直线AB的解析式，当△PAB的面积最大值时，P点到AB的距离最大．
【解答】
解：由图象可知开口向下，
∴a<0，
∵函数与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c>0，
∵对称轴为直线x=1，
∴b=−2a>0，
∴abc<0，
故A不符合题意；
∵抛物线的顶点坐标是A(1,3)，
∴ax2+bx+c=3时，方程的解为x=1，
∴方程ax2+bx+c=3有且只有一个实数根，
故B不符合题意；
当x=1时，a+b+c=3，
∴ax2+bx+c≤a+b+c，即ax2+bx≤a+b，
故C符合题意；
设直线AB的解析式为y=kx+m，
∴4k+m=0k+m=3，解得k=−1m=4，
∴y=−x+4，
设抛物线y=a(x−1)2+3，将点B(4,0)代入，
∴9a+3=0，解得a=−13，
∴y=−13(x−1)2+3=−13x2+23x+103，
过P点作PG//y轴交AB于点G，
设P点坐标为(t,−13t2+23t+103)，则G(t,−t+4)，
∴PG=−13t2+23t+103+t−4=−13t2+53t−23=−13(t−52)2+1712，
∴当t=52时，△ABP的面积有最大值，
∵A(1,3)，B(4,0)，
∴AB= 4−12+32=3 2，
∵S=12×3×1712=12×3 2h，
∴h=17 224，
∴点P到直线AB的最大距离17 224，
故D不符合题意，
故选：C．
8.【答案】D
【解析】解：如图，过点C作CG⊥AB于点G，
∵S菱形ABCD=AB⋅CG=12AC⋅BD，
即10⋅CG=12×12×16，
∴CG=485．
∴S梯形APFD=12(AP+DF)⋅CG
=12(10−t+54t)⋅485=65t+48．
∵△DFQ∽△DCO，
∴QDOD=QFOC，
即t8=QF6，
∴QF=34t.
同理，EQ=34t.
∴EF=QF+EQ=32t.
∴S△EFD=12EF⋅QD=12×32t×t=34t2．
∴y=(65t+48)−34t2=−34t2+65t+48．
是二次函数，开口向下，D答案符合，
故选：D．
过点C作CG⊥AB于点G，由S菱形ABCD=AB⋅CG=12AC⋅BD，求出CG.据S梯形APFD=12(AP+DF)⋅CG.S△EFD=12EF⋅QD.得出y与t之间的函数关系式；
本题主要考查了四边形的面积，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，二次函数图象的性质，解题的关键是根据三角形相似比求出相关线段．
9.【答案】2 3−1
【解析】解： 12−(12)−1+(2−2 5)0
=2 3−2+1
=2 3−1．
故答案为：2 3−1．
首先把 12化成2 3，然后根据负整数指数幂、零指数幂的运算方法，分别求出(12)−1、(2−2 5)0的值各是多少；最后根据实数的运算顺序，从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
(1)此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
(2)此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1(a≠0)；②00≠1．
(3)此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a−p=1ap(a≠0,p为正整数)；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
10.【答案】3
【解析】解：设袋子中有白球x个，
∵随机摸出一个白色小球的概率是12，
∴袋子中原有小球2x个，
又∵再往袋子中放入9个同样的红色小球，随机摸出一个白色小球的概率变为15，
∴x2x+9=15，
解得：x=3，
经检验x=3是原分式方程的解，
∴袋子中有白球3个，
故答案为：3．
设袋子中有白球x个，可得袋子中原有小球2x个，添加9个红色小球后根据概率公式可得方程，解方程即可得答案．
本题主要考查概率公式的应用，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P(A)=mn．
11.【答案】<
【解析】解：由图中知，甲的成绩为7，7，8，9，8，9，10，9，9，9，
乙的成绩为8，9，7，10，7，9，10，7，10，8，
x甲=(7+7+8+9+8+9+10+9+9+9)÷10=8.5，
x乙=(8+9+7+8+10+7+9+10+7+10)÷10=8.5，
甲的方差S甲2=[2×(7−8.5)2+2×(8−8.5)2+(10−8.5)2+5×(9−8.5)2]÷10=0.85，
乙的方差S乙2=[3×(7−8.5)2+2×(8−8.5)2+2×(9−8.5)2+3×(10−8.5)2]÷10=1.35
∴S甲2
从折线图中得出乙的射击成绩，再利用方差的公式计算，最后进行比较即可解答．
本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x，则方差S2=1n[(x1−x)2+(x2−x)2+…+(xn−x)2，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
12.【答案】4.8−109π
【解析】解：连接OE，OD，
∵AC是⊙O的切线，
∴AB⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，
∴OE//BC，
∴∠AOE=∠B，∠DOE=∠ODB，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠AOE=∠DOE，
在△AOE和△DOE中，
AO=DO∠AOE=∠DOEOE=OE，
∴△AOE≌△DOE(SAS)，
∴∠ODE=∠OAE=90°，
∴OD⊥DE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵点E是AC的中点，
∴AE=12AC=2.4，
∵∠AOD=2∠B=2×50°=100°，
∴图中阴影部分的面积=2×12×2×2.4−100⋅π⋅22360=4.8−109π.
故答案为：4.8−109π.
连接OE，OD，由切线的性质及圆周角定理证出∠EAO=∠EDO=90°，求出AE=2.4，∠AOD=100°，由扇形的面积公式可得出答案．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．
13.【答案】(4 23, 5)
【解析】解：如图，连接PD．
∵B、D关于AC对称，
∴PB=PD，
∴PB+PE=PD+PE，
∴当D、P、E共线时，PE+PB的值最小，如下图：
观察图象可知，当点P与A重合时，PE+PB=3，
∴AE=EB=1，AD=AB=2，
在Rt△AED中，DE= 5，
∴PB+PE的最小值为 5，
∴点H的纵坐标为 5，
∵AE//CD，
∴PCPA=CDAE=2，
∵AC=2 2，
∴PC=2 2×23=4 23，
∴点H的横坐标为4 23，
∴H(4 23, 5).
故答案为：(4 23, 5).
如图，连接PD.由B、D关于AC对称，推出PB=PD，推出PB+PE=PD+PE，推出当D、P、E共线时，PE+PB的值最小，观察图象可知，当点P与A重合时，PE+PB=3，推出AE=EB=1，AD=AB=2，分别求出PB+PE的最小值，PC的长即可解决问题．
本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
14.【答案】(−1012,10122)
【解析】解：∵A点坐标为(1,1)，
∴直线OA为y=x，A1(−1,1)，
∵A1A2//OA，
∴直线A1A2为y=x+2，
解y=x+2y=x2得x=−1y=1或x=2y=4，
∴A2(2,4)，
∴A3(−2,4)，
∵A3A4//OA，
∴直线A3A4为y=x+6，
解y=x+6y=x2得x=−2y=4或x=3y=9，
∴A4(3,9)，
∴A5(−3,9)
…，
∴A2023(−1012,10122)，
故答案为：(−1012,10122).
根据二次函数性质可得出点A1的坐标，求得直线A1A2为y=x+2，联立方程求得A2的坐标，即可求得A3的坐标，同理求得A4的坐标，即可求得A5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点A2021的坐标．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．
15.【答案】解：作AB的垂直平分线交AB于O点，再以O点为圆心，OA为半径作⊙O，接着再矩形ABCD内部的圆上任意取点P，
则点P为所作．
【解析】先作AB的垂直平分线得到AB的中点O，再以O点为圆心，OA为半径作⊙O，接着再矩形ABCD内部的圆上任意取点P，根据圆周角定理得到∠APB=90°．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的性质和圆周角定理．
16.【答案】解：(1)(1−3a+2)÷a2−2a+1a2−4
=a+2−3a+2⋅(a+2)(a−2)(a−1)2
=a−1a+2⋅(a+2)(a−2)(a−1)2
=a−2a−1；
(2)4(x+1)≤7x+13①x−4
解不等式②得：x<2，
∴原不等式组的解集为：−3≤x<2，
∴该不等式组的所有整数解为：−3，−2，−1，0，1，
∴−3−2−1+0+1=−5，
∴它的所有整数解的和为−5．
【解析】(1)先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；
(2)按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了分式的混合运算，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】解：四幅图A、B、C、D中轴对称图形为A、C，画树状图如图：
共有12种可能的结果，这两张卡片的正面图案都是轴对称图形的结果有2种，则这两张卡片的正面图案都是轴对称图形的概率为212=16．
【解析】找出四幅图中轴对称图形为A、C，画树状图，共有12种等可能的结果，其中A、C正面朝上的有2种，再用概率公式求解即可．
本题考查了树状图求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，涉及到概率公式，正确画出树状图是解题的关键．
18.【答案】解：如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M，N，
根据题意可知，∠CBN=45°，∠DAE=53°，i=1： 3，AB=12米，AE=27米，
∵i=1： 3=BMAM=tan∠BAM，
∴∠BAM=30°，
∴BM=12AB=6(米)，AM= 32AB=6 3(米)，
∴ME=AM+AE=(6 3+27)米，
∵∠CBN=45°，
∴CN=BN=ME=(6 3+27)米，
∴CE=CN+NE=(6 3+33)米，
在Rt△ADE中，∠DAE=53°，AE=27米，
∴DE=AE⋅tan53°≈27×43=36(米)，
∴CD=CE−DE=6 3+33−36=6 3−3≈10.38−3≈7.4(米)，
答：广告牌CD的高约为7.4米．
【解析】根据坡度的意义，求出∠BAM=30°，再利用直角三角形的边角关系求出BM，进而求出AM与ME，以及BN，最后结合直角三角形ADE中的边角关系求出DE，进而求出CD．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，理解坡度的意义是解决问题的关键．
19.【答案】11 86.5
【解析】解：(1)b=50×0.22=11，
故答案为：11；
(2)把八年级50名学生的测试成绩从大到小排列，排在中间的两个数分别是87，86，故中位数为87+862=86.5，
故答案为：86.5；
(3)600×(0.4+0.22)+600×(44%+26%)=372+420=792(人)，
答：估计该校七、八两个年级对防电信诈骗意识较强的学生一共约有792人．
(1)用总数乘B等级的频率可得b的值；
(2)根据中位数的定义解答即可；
(3)用样本估计总体即可．
本题考查了频数分布分布表、扇形统计图、用样本估计总体等知识，掌握数形结合的思想解答是关键．
20.【答案】解：(1)∵AB为⊙O的直径．
∴∠ADB=90°，∠BDC=90°，
又∵DE平分∠BDC．
∴∠EDB=45°，
∴∠ADE=∠ADB+∠BDE=90°+45°=135°，
又∵四边形ABED是⊙O的内接四边形．
∴∠ABE=180°−∠ADE=180°−135°=45°，
答：∠ABE的度数为45°；
(2)连接OE，
∵点E为BD弧的中点，
∴DE=BE，
∴OE⊥BD，
又∵AD⊥BD，
∴OE//AD，
∴OBOA=BECE，
∴BE=CE= 3，
∴DE=12BC= 3，
∵∠ABE=180°−∠ADE=∠CDE，
∴△CDE∽△CBA，
∴CDCB=DEBA，
∴22 3= 3BA，
∴AB=3，
∴OB=32，
答：⊙O的半径为32．
【解析】(1)由圆周角定理求得∠BDC=90°，推出∠EDB=45°，再根据圆内接四边形的性质求解即可；
(2)连接OE，由垂径定理和圆周角定理推出OE//AD，根据平行线分线段成比例得到BE=CE= 3，DE=12BC= 3，再证明△CDE∽△CBA，据此求解即可．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】解：(1)把点A(32,4)，代入y=nx中，得：n=32×4=6，
∴反比例函数的解析式为y=6x，
将点B(3,m)代入y=6x得m=2；
(2)设直线AB的表达式为y=kx+b，
把A(32,4)，B(3,2)代入得32k+b=43k+b=2，
解得k=−43b=6，
∴直线AB的表达式为y=−43x+6，
∴D点的坐标为(0,6)，
∴S△AOB=S△BOD−S△AOD=12×6×3−12×6×32=92，
设E点的坐标为(0,b)，
∵S△AOB=S△EOB，
∴12|b|×3=92，
解得：|b|=3，
∴E点的坐标为(0,3)或(0,−3)．
【解析】(1)把点A(32,4)代入y=nx中，利用待定系数法求得n的值，即可求得反比例函数的解析式，进而把B(3,m)代入求得的解析式，即可求得m的值；
(2)根据待定系数法即可求得直线AB的表达式，即可求得直线与y轴的交点，根据S△AOB=S△BOD−S△AOD求得△AOB的面积，设E点的坐标为(0,b)，根据S△AOB=S△EOB得到关于b的方程，解方程求得b，从而求得E点的坐标．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：也考查了待定系数法求函数的解析式以及观察函数图象的能力．
22.【答案】(1)证明：∵CB=CA，
∴∠A=∠B，
∵∠ACM=∠A+∠B，
∴∠A=12∠ACM，
∵CN平分∠ACM，
∴∠ACF=12∠ACM，
∴∠A=∠ACF，
∵E是AC的中点，
∴AE=CE，
在△ADE与△CFE中，
∠A=∠ECFAE=CE∠AED=∠CEF，
∴△ADE≌△CFE(ASA)，
∴AD=CF；
(2)解：当∠ACB=90°，四边形ADCF是正方形，
理由：∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∵CN平分∠ACM，
∴∠ACF=12∠ACM=45°，
∴∠DAC=∠ACF，
∴AD//CF，
由(1)知AD=CF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵点D是AB的中点，
∴AD=CD，
∴∠ACD=∠CAD=45°，
∴∠DCF=90°，
∴矩形ADCF是正方形．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，根据外角的性质定理得到∠A=12∠ACM，由角平分线的定义得到∠ACF=12∠ACM，求得∠A=∠ACF，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
(2)由已知条件得到△ACB是等腰直角三角形，求得∠BAC=45°，推出AD//CF，由(1)知AD=CF，得到四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形的性质得到AD=CD，求得∠ACD=∠CAD=45°，根据正方形的判定定理得到结论．
本题考差了正方形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
23.【答案】直角 150°
【解析】解：(1)如图1，将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，则△APP′为等边三角形．
∵PP′=PA=3，PB=4，P′B=PC=5，
∴P′P2+PB2=P′B2．
∴△BPP′为直角三角形．
∴∠APB的度数为90°+60°=150°．
故答案为：直角；150°；
(2)2PA2+PD2=PB2.理由如下：
如图2，把△ADP绕点A顺时针旋转90°得到△ABP′，连接PP′．
则P′B=PD，P′A=PA，∠PAP′=90°，
∴△APP′是等腰直角三角形，
∴PP′2=PA2+P′A2=2PA2，∠PP′A=45°，
∵∠APD=135°，
∴∠AP′B=∠APD=135°，
∴∠PP′B=135°−45°=90°，
在Rt△PP′B中，由勾股定理得，PP′2+P′B2=PB2，
∴2PA2+PD2=PB2．
(3)k=± 3．
证明：如图③
将△APC 绕A点顺时针旋转120°得到△AP′B，连接PP′，过点A作AH⊥PP′，
可得∠APP′=30°，PP′= 3PA，PC=P′B，
∵∠APB=60°，
∴∠BPP′=90°，
∴P′P2+BP2=P′B2，
∴( 3PA)2+PB2=PC2
∵(kPA)2+PB2=PC2，
∴k=± 3．
(1)根据勾股定理的逆定理可得到△BPP′为直角三角形，且∠BPP′=90°，即可得到∠APB的度数；
(2)把△ADP绕点A顺时针旋转90°得到△ABP′，根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状可得P′B=PD，P′A=PA，然后求出△APP′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出PP′2=2PA2，∠PP′A=45°，再求出∠PP′B=90°，然后利用勾股定理得出PP′2+P′B2=PB2，等量代换得出2PA2+PD2=PB2．
(3)将△APC 绕A点顺时针旋转120°得到△AP′B，连接PP′，过点A作AH⊥PP′，论证PP′= 3PA，再根据勾股定理代换即可．
本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．
24.【答案】解：(1)由题意可知抛物线C2：y=−18x2+bx+c过点(0,3)和(4,7)，将其代入得：
−18×16+4b+c=7c=3，
解得：b=32c=3，
∴抛物线C2的函数解析式为：y=−18x2+32x+3；
(2)当运动员和小山坡到水平线的高度相同时，
−112x2+76x+1=−18x2+32x+3，
整理得：x2−8x−48=0，
解得：x1=12，x2=−4(舍去)，
∴当运动员与点A的水平距离是12，运动员和小山坡到水平线的高度相同；
(3)设运动员与小山坡的高度差为h，
则h=−18x2+32x+3−(−112x2+76x+1)=−124x2+13x+2=−124(x−4)2+83，
∵−124<0，
∴当x=4时，h有最大值，最大值为83，
∴运动员与小山坡的高度差最大是83米．
【解析】(1)根据题意将点(0,3)和(4,7)代入C2：y=−18x2+bx+c求出b、c的值即可写出C2的函数解析式；
(2)令−112x2+76x+1=−18x2+32x+4，解方程即可；
(3)设运动员与小山坡的高度差为h，根据题意得h=−18x2+32x+4−(−112x2+76x+1)=−124x2+13x+3=−124(x−4)2+133，由函数的性质可以求出h的最大值．
本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．
25.【答案】解：(1)∵点B的坐标为(1,0)，
∴OB=1，
∵OC=3OB，
∴OC=3，
∴点C(0,−3)，
∴a+3a+c=0c=−3，解得：a=34c=−3，
∴抛物线的函数关系式为：y=34x2+94x−3；
(2)存在，理由：
①如图1，当点E在x轴下方时，则点E的纵坐标为−3，
令y=−3，则y=34x2+94x−3=−3，
解得：x=−3或0，
∴点E的坐标为：(−3,−3)；
②如图2，当点E在x轴上方时，由点C到x轴的距离为3，可得点E到x轴的距离为3，
令y=3，则y=34x2+94x−3=3，
解得：x=−3± 412，
∴点E的坐标为：(−3− 412,3)或(−3+ 412,3)，
综上可得，点E的坐标为：(−3,−3)或(−3− 412,3)或(−3+ 412,3)．
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)①如图1，当点E在x轴下方时，则点E的纵坐标为−3，则y=34x2+94x−3=−3，即可求解；②如图2，当点E在x轴上方时，同理可解．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，平移的性质，分类讨论是解本题的关键．
2023年山东省青岛市局属学校中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 2020年，在全球经济受到新冠疫情的影响下，我国GDP仍逆势增长2.3%，经济总量达到1016000亿元.数1016000用科学记数法表示为( )
A. 1.016×107 B. 1.016×106 C. 1.016×105 D. 10.16×105
2. 下列计算正确的是( )
A. a2+a3=2a5 B. a2⋅a3=a6
C. (−2a2)3=−8a6 D. (a+b)2=a2+b2
3. 如图，将一个圆柱体垂直切去右边一部分，左边部分的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
4. 若关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为( )
A. 2 B. 1 C. 0 D. −1
5. △ABC在如图所示的平面直角坐标系中，将△ABC向右平移2个单位长度后得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点O旋转180°后得到△A2B2C2，那么点C2的坐标是( )
A. (1,2)
B. (−1,−2)
C. (−2,−1)
D. (1,−2)
6. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD=25°，则∠DHO的度数是( )
A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°
7. 如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的一部分，抛物线的顶点坐标是A(1,3)，与x轴的一个交点是B(4,0)，点P在抛物线上，且在直线AB上方，则下列结论正确的是( )
A. abc>0
B. 方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根
C. x(ax+b)≤a+b
D. 点P到直线AB的最大距离3 28
8. 已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm.点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t(s)(0
C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. 计算 12−(12)−1+(2−2 5)0=______．
10. 一个不透明的袋子中装有若干个只有颜色不同的小球，随机摸出一个白色小球的概率是12；如果再往袋子中放入9个同样的红色小球，随钒摸出一个白色小球的概率变为15，则原来袋子中有白色小球______ 个.
11. 甲、乙两射击运动员进行10次射击，甲的成绩是7，7，8，9，8，9，10，9，9，9，乙的成绩如图所示．则甲、乙射击成绩的方差之间关系是S甲2______S乙2(填“<”，“=”，“>”)．
12. 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．若⊙O的半径为2，∠B=50°，AC=4.8，则阴影部分的面积为______．
13. 如图①，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点．设PC的长度为x，PE与PB的长度和为y，图②是y关于x的函数图象，则图象上最低点H的坐标为______．
14. 在平面直角坐标系中，抛物线y=x2的图象如图所示.已知A点坐标为(1,1)，过点A作AA1//x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2//OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3//x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4//OA交抛物线于点A4…，依次进行下去，则点A2023的坐标为______ ．
三、解答题（本大题共11小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题4.0分)
如图，已知矩形ABCD，请用尺规作图法在矩形内部找一点P使得∠APB=90°(要求：作出符题意的一点即可，保留作图痕迹，不写作法)．
16. (本小题8.0分)
计算：
(1)(1−3a+2)÷a2−2a+1a2−4；
(2)解不等式组4(x+1)≤7x+13x−4
某数学兴趣小组准备了4张卡片，正面图案如图所示，它们除正面图案不同之外其他完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，用列表或画树状图的方法，求这两张卡片的正面图案都是轴对称图形的概率．
18. (本小题6.0分)
为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动.如图，大楼的顶部竖有一块广告牌CD，同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1： 3，AB=12米，AE=27米，求广告牌CD的高度.(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73，sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43)
19. (本小题6.0分)
电信诈骗，严重危害着人民群众的财产安全，为提高大家的防范意识，某校举行了主题为“防电信诈骗，保财产安全”的知识测试.七、八年级各有600名学生，现从这两个年级各随机抽取50名学生参加测试，为了解本次测试成绩的分布情况，将两个年级的测试成绩x按A：90≤x≤100，B：80≤x<90，C：70≤x<80，D：60≤x<70四个评价等级进行整理，得到了不完整的统计图表.七年级成绩统计表：
评价等级
成绩x/分
频数
频率
A
90≤x≤100
20
0.4
B
80≤x<90
b
0.22
C
70≤x<80
15
0.3
D
60≤x<70
4
0.08
八年级测试成绩评价等级为B的全部分数(单位分)如下：80，81，82，82，84，86，86，87，88，88，89，89，89．
(1)表格中，b= ______ ；
(2)八年级测试成绩的中位数是______ ；
(3)若测试成绩不低于80分，则认为该学生对防电信诈骗意识较强，请估计该校七、八两个年级对防电信诈骗意识较强的学生一共有多少人？
20. (本小题6.0分)
如图，AB为⊙O的直径，AD、BE是⊙O的弦，延长AD、BE交于点C，连接BD，DE．
(1)若DE平分∠BDC，求∠ABE的度数；
(2)若点E为BD的中点，CD=2，CE= 3，求⊙O的半径．
21. (本小题8.0分)
如图，一次函数y=kx+b的图象交反比例函数y=nx图象于A(32,4)，B(3,m)两点．
(1)求m，n的值；
(2)点E是y轴上一点，且S△AOB=S△EOB，求E点的坐标；
22. (本小题8.0分)
已知：在△ABC中，CB=CA，点D、E分别是AB、AC的中点，连接DE并延长交外角∠ACM的平分线CN与点F．
(1)求证：AD=CF；
(2)连接CD，AF，当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF为正方形？请证明你的结论．
23. (本小题8.0分)
(1)探究发现
下面是一道例题及其解答过程，请补充完整．
如图1，在等边三角形ABC内部有一点P，PA=3，PB=4，PC=5.求∠APB的度数．
解：将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，则△APP′为等边三角形．
∵P′P=PA=3，PB=4，P′B=PC=5，
∴P′P2+PB2=P′B2
△BPP′为______ 三角形
∴∠APB的度数为______ ．
(2)类比延伸
如图2，在正方形ABCD内部有一点P，若∠APD=135°，试判断线段PA、PB、PD之间的数量关系，并说明理由．
(3)联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC.点P在直线AB上方且∠APB=60°，试判断是否存在常数k，满足(kPA)2+PB2=PC2.若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
24. (本小题10.0分)
跳台滑雪是以滑雪板为工具，在专设的跳台上以自身的体重通过助滑坡获得的速度比跳跃距离和动作姿势的一种雪上竞技项目．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线C1：y=−112x2+76x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方3米的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=−18x2+bx+c运动，当运动员运动到例A处的水平距离为4米时，例水平线的高度为7米．
(1)求抛物线C2的函数解析式；
(2)当运动员与点A的水平距离是多少米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同；
(3)运动员从A点滑出后直至和小山坡到水平线的高度相同时，运动员与小山坡的高度差最大是多少米？
25. (本小题10.0分)
如图，已知抛物线y=ax2+3ax+c(a>0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，点B的坐标为(1,0)，OC=3OB．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)若点D是x轴上的一点，在抛物线上是否存在点E，使以A，C，D，E为顶点且以AC为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：1016000=1.016×106．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2.【答案】C
【解析】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B、a2⋅a3=a5，原计算错误，故不符合题意；
C、(−2a2)3=−8a6，故符合题意；
D、(a+b)2=a2+2ab+b2，原计算错误，故不符合题意；
故选：C．
根据合并同类项法则，同底数幂乘法，幂的乘方及完全平方公式分别计算并判断．
本题考查了合并同类项法则，同底数幂乘法，幂的乘方及完全平方公式，掌握各计算法则是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：左边部分的左视图是：
．
故选：C．
左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．
此题考查了简单几何体的三视图，解答本题的关键是掌握左视图的观察位置．
4.【答案】C
【解析】解：∵关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+2=0有实数根，
∴a−1≠0Δ=(−2)2−4×(a−1)×2≥0，
解得：a≤32且a≠1，
又∵a为整数，
∴a的最大值为0．
故选：C．
由二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，可得出关于a的一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：如图所示：
点C2的坐标(−1,−2)，
故选：B．
根据题意，画出图形，即可得出答案．
本题考查平移、旋转的性质．
(1)平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等，对应线段平行(或在同一条直线上)且相等，对应角相等．
(2)旋转的性质是：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的垂直平分线的交点是旋转中心．
6.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO=OD，∠DAO=∠BAO=25°，AC⊥BD，
∴∠ABD=90°−∠BAO=65°，
∵DH⊥AB，BO=DO，
∴∠BDH=90°−∠ABD=25°，HO=12BD=DO，
∴∠DHO=∠BDH=25°，故选：A．
本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题。
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息，结合函数的性质对选项进行判断是解题的关键．
根据图象可知a<0，c>0，再由对称轴可知b=−2a>0，可判断①；根据抛物线的顶点可知方程ax2+bx+c=3有且只有一个实数根，可判断②；当x=1时函数有最大值a+b+c，由此可判断③；求出函数的解析式和直线AB的解析式，当△PAB的面积最大值时，P点到AB的距离最大．
【解答】
解：由图象可知开口向下，
∴a<0，
∵函数与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c>0，
∵对称轴为直线x=1，
∴b=−2a>0，
∴abc<0，
故A不符合题意；
∵抛物线的顶点坐标是A(1,3)，
∴ax2+bx+c=3时，方程的解为x=1，
∴方程ax2+bx+c=3有且只有一个实数根，
故B不符合题意；
当x=1时，a+b+c=3，
∴ax2+bx+c≤a+b+c，即ax2+bx≤a+b，
故C符合题意；
设直线AB的解析式为y=kx+m，
∴4k+m=0k+m=3，解得k=−1m=4，
∴y=−x+4，
设抛物线y=a(x−1)2+3，将点B(4,0)代入，
∴9a+3=0，解得a=−13，
∴y=−13(x−1)2+3=−13x2+23x+103，
过P点作PG//y轴交AB于点G，
设P点坐标为(t,−13t2+23t+103)，则G(t,−t+4)，
∴PG=−13t2+23t+103+t−4=−13t2+53t−23=−13(t−52)2+1712，
∴当t=52时，△ABP的面积有最大值，
∵A(1,3)，B(4,0)，
∴AB= 4−12+32=3 2，
∵S=12×3×1712=12×3 2h，
∴h=17 224，
∴点P到直线AB的最大距离17 224，
故D不符合题意，
故选：C．
8.【答案】D
【解析】解：如图，过点C作CG⊥AB于点G，
∵S菱形ABCD=AB⋅CG=12AC⋅BD，
即10⋅CG=12×12×16，
∴CG=485．
∴S梯形APFD=12(AP+DF)⋅CG
=12(10−t+54t)⋅485=65t+48．
∵△DFQ∽△DCO，
∴QDOD=QFOC，
即t8=QF6，
∴QF=34t.
同理，EQ=34t.
∴EF=QF+EQ=32t.
∴S△EFD=12EF⋅QD=12×32t×t=34t2．
∴y=(65t+48)−34t2=−34t2+65t+48．
是二次函数，开口向下，D答案符合，
故选：D．
过点C作CG⊥AB于点G，由S菱形ABCD=AB⋅CG=12AC⋅BD，求出CG.据S梯形APFD=12(AP+DF)⋅CG.S△EFD=12EF⋅QD.得出y与t之间的函数关系式；
本题主要考查了四边形的面积，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，二次函数图象的性质，解题的关键是根据三角形相似比求出相关线段．
9.【答案】2 3−1
【解析】解： 12−(12)−1+(2−2 5)0
=2 3−2+1
=2 3−1．
故答案为：2 3−1．
首先把 12化成2 3，然后根据负整数指数幂、零指数幂的运算方法，分别求出(12)−1、(2−2 5)0的值各是多少；最后根据实数的运算顺序，从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
(1)此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
(2)此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1(a≠0)；②00≠1．
(3)此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a−p=1ap(a≠0,p为正整数)；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
10.【答案】3
【解析】解：设袋子中有白球x个，
∵随机摸出一个白色小球的概率是12，
∴袋子中原有小球2x个，
又∵再往袋子中放入9个同样的红色小球，随机摸出一个白色小球的概率变为15，
∴x2x+9=15，
解得：x=3，
经检验x=3是原分式方程的解，
∴袋子中有白球3个，
故答案为：3．
设袋子中有白球x个，可得袋子中原有小球2x个，添加9个红色小球后根据概率公式可得方程，解方程即可得答案．
本题主要考查概率公式的应用，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P(A)=mn．
11.【答案】<
【解析】解：由图中知，甲的成绩为7，7，8，9，8，9，10，9，9，9，
乙的成绩为8，9，7，10，7，9，10，7，10，8，
x甲=(7+7+8+9+8+9+10+9+9+9)÷10=8.5，
x乙=(8+9+7+8+10+7+9+10+7+10)÷10=8.5，
甲的方差S甲2=[2×(7−8.5)2+2×(8−8.5)2+(10−8.5)2+5×(9−8.5)2]÷10=0.85，
乙的方差S乙2=[3×(7−8.5)2+2×(8−8.5)2+2×(9−8.5)2+3×(10−8.5)2]÷10=1.35
∴S甲2
从折线图中得出乙的射击成绩，再利用方差的公式计算，最后进行比较即可解答．
本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x，则方差S2=1n[(x1−x)2+(x2−x)2+…+(xn−x)2，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
12.【答案】4.8−109π
【解析】解：连接OE，OD，
∵AC是⊙O的切线，
∴AB⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，
∴OE//BC，
∴∠AOE=∠B，∠DOE=∠ODB，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠AOE=∠DOE，
在△AOE和△DOE中，
AO=DO∠AOE=∠DOEOE=OE，
∴△AOE≌△DOE(SAS)，
∴∠ODE=∠OAE=90°，
∴OD⊥DE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵点E是AC的中点，
∴AE=12AC=2.4，
∵∠AOD=2∠B=2×50°=100°，
∴图中阴影部分的面积=2×12×2×2.4−100⋅π⋅22360=4.8−109π.
故答案为：4.8−109π.
连接OE，OD，由切线的性质及圆周角定理证出∠EAO=∠EDO=90°，求出AE=2.4，∠AOD=100°，由扇形的面积公式可得出答案．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．
13.【答案】(4 23, 5)
【解析】解：如图，连接PD．
∵B、D关于AC对称，
∴PB=PD，
∴PB+PE=PD+PE，
∴当D、P、E共线时，PE+PB的值最小，如下图：
观察图象可知，当点P与A重合时，PE+PB=3，
∴AE=EB=1，AD=AB=2，
在Rt△AED中，DE= 5，
∴PB+PE的最小值为 5，
∴点H的纵坐标为 5，
∵AE//CD，
∴PCPA=CDAE=2，
∵AC=2 2，
∴PC=2 2×23=4 23，
∴点H的横坐标为4 23，
∴H(4 23, 5).
故答案为：(4 23, 5).
如图，连接PD.由B、D关于AC对称，推出PB=PD，推出PB+PE=PD+PE，推出当D、P、E共线时，PE+PB的值最小，观察图象可知，当点P与A重合时，PE+PB=3，推出AE=EB=1，AD=AB=2，分别求出PB+PE的最小值，PC的长即可解决问题．
本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
14.【答案】(−1012,10122)
【解析】解：∵A点坐标为(1,1)，
∴直线OA为y=x，A1(−1,1)，
∵A1A2//OA，
∴直线A1A2为y=x+2，
解y=x+2y=x2得x=−1y=1或x=2y=4，
∴A2(2,4)，
∴A3(−2,4)，
∵A3A4//OA，
∴直线A3A4为y=x+6，
解y=x+6y=x2得x=−2y=4或x=3y=9，
∴A4(3,9)，
∴A5(−3,9)
…，
∴A2023(−1012,10122)，
故答案为：(−1012,10122).
根据二次函数性质可得出点A1的坐标，求得直线A1A2为y=x+2，联立方程求得A2的坐标，即可求得A3的坐标，同理求得A4的坐标，即可求得A5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点A2021的坐标．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．
15.【答案】解：作AB的垂直平分线交AB于O点，再以O点为圆心，OA为半径作⊙O，接着再矩形ABCD内部的圆上任意取点P，
则点P为所作．
【解析】先作AB的垂直平分线得到AB的中点O，再以O点为圆心，OA为半径作⊙O，接着再矩形ABCD内部的圆上任意取点P，根据圆周角定理得到∠APB=90°．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的性质和圆周角定理．
16.【答案】解：(1)(1−3a+2)÷a2−2a+1a2−4
=a+2−3a+2⋅(a+2)(a−2)(a−1)2
=a−1a+2⋅(a+2)(a−2)(a−1)2
=a−2a−1；
(2)4(x+1)≤7x+13①x−4
解不等式②得：x<2，
∴原不等式组的解集为：−3≤x<2，
∴该不等式组的所有整数解为：−3，−2，−1，0，1，
∴−3−2−1+0+1=−5，
∴它的所有整数解的和为−5．
【解析】(1)先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；
(2)按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了分式的混合运算，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】解：四幅图A、B、C、D中轴对称图形为A、C，画树状图如图：
共有12种可能的结果，这两张卡片的正面图案都是轴对称图形的结果有2种，则这两张卡片的正面图案都是轴对称图形的概率为212=16．
【解析】找出四幅图中轴对称图形为A、C，画树状图，共有12种等可能的结果，其中A、C正面朝上的有2种，再用概率公式求解即可．
本题考查了树状图求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，涉及到概率公式，正确画出树状图是解题的关键．
18.【答案】解：如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M，N，
根据题意可知，∠CBN=45°，∠DAE=53°，i=1： 3，AB=12米，AE=27米，
∵i=1： 3=BMAM=tan∠BAM，
∴∠BAM=30°，
∴BM=12AB=6(米)，AM= 32AB=6 3(米)，
∴ME=AM+AE=(6 3+27)米，
∵∠CBN=45°，
∴CN=BN=ME=(6 3+27)米，
∴CE=CN+NE=(6 3+33)米，
在Rt△ADE中，∠DAE=53°，AE=27米，
∴DE=AE⋅tan53°≈27×43=36(米)，
∴CD=CE−DE=6 3+33−36=6 3−3≈10.38−3≈7.4(米)，
答：广告牌CD的高约为7.4米．
【解析】根据坡度的意义，求出∠BAM=30°，再利用直角三角形的边角关系求出BM，进而求出AM与ME，以及BN，最后结合直角三角形ADE中的边角关系求出DE，进而求出CD．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，理解坡度的意义是解决问题的关键．
19.【答案】11 86.5
【解析】解：(1)b=50×0.22=11，
故答案为：11；
(2)把八年级50名学生的测试成绩从大到小排列，排在中间的两个数分别是87，86，故中位数为87+862=86.5，
故答案为：86.5；
(3)600×(0.4+0.22)+600×(44%+26%)=372+420=792(人)，
答：估计该校七、八两个年级对防电信诈骗意识较强的学生一共约有792人．
(1)用总数乘B等级的频率可得b的值；
(2)根据中位数的定义解答即可；
(3)用样本估计总体即可．
本题考查了频数分布分布表、扇形统计图、用样本估计总体等知识，掌握数形结合的思想解答是关键．
20.【答案】解：(1)∵AB为⊙O的直径．
∴∠ADB=90°，∠BDC=90°，
又∵DE平分∠BDC．
∴∠EDB=45°，
∴∠ADE=∠ADB+∠BDE=90°+45°=135°，
又∵四边形ABED是⊙O的内接四边形．
∴∠ABE=180°−∠ADE=180°−135°=45°，
答：∠ABE的度数为45°；
(2)连接OE，
∵点E为BD弧的中点，
∴DE=BE，
∴OE⊥BD，
又∵AD⊥BD，
∴OE//AD，
∴OBOA=BECE，
∴BE=CE= 3，
∴DE=12BC= 3，
∵∠ABE=180°−∠ADE=∠CDE，
∴△CDE∽△CBA，
∴CDCB=DEBA，
∴22 3= 3BA，
∴AB=3，
∴OB=32，
答：⊙O的半径为32．
【解析】(1)由圆周角定理求得∠BDC=90°，推出∠EDB=45°，再根据圆内接四边形的性质求解即可；
(2)连接OE，由垂径定理和圆周角定理推出OE//AD，根据平行线分线段成比例得到BE=CE= 3，DE=12BC= 3，再证明△CDE∽△CBA，据此求解即可．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】解：(1)把点A(32,4)，代入y=nx中，得：n=32×4=6，
∴反比例函数的解析式为y=6x，
将点B(3,m)代入y=6x得m=2；
(2)设直线AB的表达式为y=kx+b，
把A(32,4)，B(3,2)代入得32k+b=43k+b=2，
解得k=−43b=6，
∴直线AB的表达式为y=−43x+6，
∴D点的坐标为(0,6)，
∴S△AOB=S△BOD−S△AOD=12×6×3−12×6×32=92，
设E点的坐标为(0,b)，
∵S△AOB=S△EOB，
∴12|b|×3=92，
解得：|b|=3，
∴E点的坐标为(0,3)或(0,−3)．
【解析】(1)把点A(32,4)代入y=nx中，利用待定系数法求得n的值，即可求得反比例函数的解析式，进而把B(3,m)代入求得的解析式，即可求得m的值；
(2)根据待定系数法即可求得直线AB的表达式，即可求得直线与y轴的交点，根据S△AOB=S△BOD−S△AOD求得△AOB的面积，设E点的坐标为(0,b)，根据S△AOB=S△EOB得到关于b的方程，解方程求得b，从而求得E点的坐标．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：也考查了待定系数法求函数的解析式以及观察函数图象的能力．
22.【答案】(1)证明：∵CB=CA，
∴∠A=∠B，
∵∠ACM=∠A+∠B，
∴∠A=12∠ACM，
∵CN平分∠ACM，
∴∠ACF=12∠ACM，
∴∠A=∠ACF，
∵E是AC的中点，
∴AE=CE，
在△ADE与△CFE中，
∠A=∠ECFAE=CE∠AED=∠CEF，
∴△ADE≌△CFE(ASA)，
∴AD=CF；
(2)解：当∠ACB=90°，四边形ADCF是正方形，
理由：∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∵CN平分∠ACM，
∴∠ACF=12∠ACM=45°，
∴∠DAC=∠ACF，
∴AD//CF，
由(1)知AD=CF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵点D是AB的中点，
∴AD=CD，
∴∠ACD=∠CAD=45°，
∴∠DCF=90°，
∴矩形ADCF是正方形．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，根据外角的性质定理得到∠A=12∠ACM，由角平分线的定义得到∠ACF=12∠ACM，求得∠A=∠ACF，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
(2)由已知条件得到△ACB是等腰直角三角形，求得∠BAC=45°，推出AD//CF，由(1)知AD=CF，得到四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形的性质得到AD=CD，求得∠ACD=∠CAD=45°，根据正方形的判定定理得到结论．
本题考差了正方形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
23.【答案】直角 150°
【解析】解：(1)如图1，将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，则△APP′为等边三角形．
∵PP′=PA=3，PB=4，P′B=PC=5，
∴P′P2+PB2=P′B2．
∴△BPP′为直角三角形．
∴∠APB的度数为90°+60°=150°．
故答案为：直角；150°；
(2)2PA2+PD2=PB2.理由如下：
如图2，把△ADP绕点A顺时针旋转90°得到△ABP′，连接PP′．
则P′B=PD，P′A=PA，∠PAP′=90°，
∴△APP′是等腰直角三角形，
∴PP′2=PA2+P′A2=2PA2，∠PP′A=45°，
∵∠APD=135°，
∴∠AP′B=∠APD=135°，
∴∠PP′B=135°−45°=90°，
在Rt△PP′B中，由勾股定理得，PP′2+P′B2=PB2，
∴2PA2+PD2=PB2．
(3)k=± 3．
证明：如图③
将△APC 绕A点顺时针旋转120°得到△AP′B，连接PP′，过点A作AH⊥PP′，
可得∠APP′=30°，PP′= 3PA，PC=P′B，
∵∠APB=60°，
∴∠BPP′=90°，
∴P′P2+BP2=P′B2，
∴( 3PA)2+PB2=PC2
∵(kPA)2+PB2=PC2，
∴k=± 3．
(1)根据勾股定理的逆定理可得到△BPP′为直角三角形，且∠BPP′=90°，即可得到∠APB的度数；
(2)把△ADP绕点A顺时针旋转90°得到△ABP′，根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状可得P′B=PD，P′A=PA，然后求出△APP′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出PP′2=2PA2，∠PP′A=45°，再求出∠PP′B=90°，然后利用勾股定理得出PP′2+P′B2=PB2，等量代换得出2PA2+PD2=PB2．
(3)将△APC 绕A点顺时针旋转120°得到△AP′B，连接PP′，过点A作AH⊥PP′，论证PP′= 3PA，再根据勾股定理代换即可．
本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．
24.【答案】解：(1)由题意可知抛物线C2：y=−18x2+bx+c过点(0,3)和(4,7)，将其代入得：
−18×16+4b+c=7c=3，
解得：b=32c=3，
∴抛物线C2的函数解析式为：y=−18x2+32x+3；
(2)当运动员和小山坡到水平线的高度相同时，
−112x2+76x+1=−18x2+32x+3，
整理得：x2−8x−48=0，
解得：x1=12，x2=−4(舍去)，
∴当运动员与点A的水平距离是12，运动员和小山坡到水平线的高度相同；
(3)设运动员与小山坡的高度差为h，
则h=−18x2+32x+3−(−112x2+76x+1)=−124x2+13x+2=−124(x−4)2+83，
∵−124<0，
∴当x=4时，h有最大值，最大值为83，
∴运动员与小山坡的高度差最大是83米．
【解析】(1)根据题意将点(0,3)和(4,7)代入C2：y=−18x2+bx+c求出b、c的值即可写出C2的函数解析式；
(2)令−112x2+76x+1=−18x2+32x+4，解方程即可；
(3)设运动员与小山坡的高度差为h，根据题意得h=−18x2+32x+4−(−112x2+76x+1)=−124x2+13x+3=−124(x−4)2+133，由函数的性质可以求出h的最大值．
本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．
25.【答案】解：(1)∵点B的坐标为(1,0)，
∴OB=1，
∵OC=3OB，
∴OC=3，
∴点C(0,−3)，
∴a+3a+c=0c=−3，解得：a=34c=−3，
∴抛物线的函数关系式为：y=34x2+94x−3；
(2)存在，理由：
①如图1，当点E在x轴下方时，则点E的纵坐标为−3，
令y=−3，则y=34x2+94x−3=−3，
解得：x=−3或0，
∴点E的坐标为：(−3,−3)；
②如图2，当点E在x轴上方时，由点C到x轴的距离为3，可得点E到x轴的距离为3，
令y=3，则y=34x2+94x−3=3，
解得：x=−3± 412，
∴点E的坐标为：(−3− 412,3)或(−3+ 412,3)，
综上可得，点E的坐标为：(−3,−3)或(−3− 412,3)或(−3+ 412,3)．
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)①如图1，当点E在x轴下方时，则点E的纵坐标为−3，则y=34x2+94x−3=−3，即可求解；②如图2，当点E在x轴上方时，同理可解．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，平移的性质，分类讨论是解本题的关键．
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