2022年山东省青岛三十九中中考数学二模试卷（含解析）

2022年山东省青岛三十九中中考数学二模试卷

一．选择题（本题共8小题，共24分）

1. 用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

2. 观察下列图形，是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

3. 图中几何体的主视图是

A.
B.
C.
D.

4. 下列算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 在平面直角坐标系中，把点向右平移个单位得到点，再将点绕原点旋转得到点，则点的坐标是

A.  B.
C. 或 D. 或

6. 如图，是的直径，是的切线，点为切点，若，，则劣弧的长为

A.
B.
C.
D.

7. 如图，矩形中，，点是上的一点，，的垂直平分线交的延长线于点，连接交于点，若是的中点，则的长是

A.
B.
C.
D.

8. 在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是

A.  B.
C.  D.

二．填空题（本题共6小题，共18分）

9. 计算： ______ ．
10. 在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的个小球，其中个黑球．从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球．以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表：

根据列表，可以估计出的值是          ．

11. 一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数上的两个点，若，则 ______ 填“”或“”或“”．
12. 新冠疫情期间，小李同学连续两周居家健康检测，如图是小李记录的体温情况折线统计图，记第一周体温的方差为，第二周体温的方差为，试判断两者之间的大小关系：______用“”、“”、“”填空．

13. 如图，已知在矩形中，，以点为圆心，长为半径作，交于点，以为直径的半圆恰好与边相切，则图中阴影部分的面积为______ ．
14. 如图，正方形的边长为，点在边上运动不与点，重合，，点在射线上，且，与相交于点，连接、、则下列结论：；的周长为；；的面积的最大值是；当时，是线段的中点其中正确的结论是______ ．

三．解答题（本题共10小题，共78分）

15. 尺规作图要求：不写作法，保留作图痕迹
    如图，已知线段，，垂足为．
    求作：，使分别与、相切，圆心与点的距离等于．

16. 计算：
    化简：；
    解不等式组，并写出它的整数解的和．
17. 张相同的卡片上分别写有数字、、、，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的张卡片中任意抽取张，同样将卡片上的数字记录下来．
    第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为______ ；
    小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？请用树状图或列表等方法说明理由
18. 为了倡导“节约用水，从我做起”，某市政府决定对该市直属机关户家庭用水情况进行调查．市政府调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量单位：吨，调查中发现，每户家庭月平均用水量在吨范围内，并将调查结果制成了如下尚不完整的统计表：

请根据统计表中提供的信息解答下列问题：
填空：______，______．
这些家庭中月平均用水量数据的平均数是______，众数是______，中位数是______．
据样本数据，估计该市直属机关户家庭中月平均用水量不超过吨的约有______户．

19. 如图，为了测量河对岸两点，之间的距离，在河岸这边取点，测得，，，，设，，，在同一平面内，
    求的长；
    ，两点之间的距离．参考数据：，

20. 在抗击“新冠肺炎”战役中，某公司接到转产生产万个医用防护口罩补充防疫一线需要的任务，临时改造了甲、乙两条流水生产线．试产时甲生产线每天的产能每天的生产数量是乙生产线的倍，当甲生产万和乙生产万医用防护口罩时，甲比乙少用了天．
    求甲、乙两条生产线每天的产能各是多少万个？
    若甲、乙两条生产线每天的运行成本分别是万元和万元，要使完成这批任务总运行成本不超过万元，则至少应安排乙生产线生产多少天？
21. 如图，在四边形中，，，，交于点，过点作，垂足为，且．
    求证：四边形是菱形；
    若，求的面积．
22. 甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片如图，甲秀楼的桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是．
    按如图所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
    一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距点时，桥下水位刚好在处，有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由假设船底与水面齐平．
    如图，桥拱所在的函数图象是抛物线，该抛物线在轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，的值随值的增大而减小，结合函数图象，求的取值范围．

23. 【阅读】
    通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．
    【理解】
    如图，，，垂足分别为、，是的中点，连接已知，．
    分别求线段、的长用含、的代数式表示；
    比较大小： ______ 填“”、“”或“”，并用含、的代数式表示该大小关系．
    【应用】
    如图，在平面直角坐标系中，点、在反比例函数的图象上，横坐标分别为、设，，记．
    当，时， ______ ；当，时， ______ ；
    通过归纳猜想，可得的最小值是______ 请利用图构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．

24. 如图，已知，，，斜边，将绕点顺时针旋转，得到，连接点从点出发，沿方向匀速行动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．连接，，交于点设运动时间为，解答下列问题：
    当为何值时，平分？
    设四边形的面积为，求与的函教关系式；
    在运动过程中，当时，求四边形的面积；
    在运动过程中，是否存在某一时刻，使点为线段的中点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值是易错点，由于第一个不是的数字前面有个，所以可以确定．
此题考查科学记数法表示较小的数的方法，准确确定值是关键．
 

2.【答案】

【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】

【解析】解：从正面看有两层，底层是一个矩形，上层右边是一个五边形．
故选：．
根据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可．
本题考查的是简单组合体的三视图的作图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形．
 

4.【答案】

【解析】解：、，此选项错误；
B、，此选项正确；
C、，此选项错误；
D、，此选项错误；
故选：．
根据合并同类项法则、幂的乘方、同底数幂的除法及完全平方公式计算可得．
本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、幂的乘方、同底数幂的除法及完全平方公式．
 

5.【答案】

【解析】解：如图，的坐标为或．

故选：．
根据题意画出图形，可得结论．
本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型．
 

6.【答案】

【解析】解：连接，
是的直径，
，
是的切线，，，
，，
，
，
，
，，
圆的周长为：，
劣弧的长为：，
故选：．
连接，可判断，根据是的切线，，，可知，，，则劣弧的长为圆的周长的．
本题主要考查了切线的性质，圆心角的性质，直角三角形的性质以及弧长公式，注意数形结合思想的应用是解答此题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：矩形中，是的中点，，
，
在和中，
，
≌，
，，
设，
则，
在中，，
，
垂直平分，
，
，
解得，
，
．
故选：．
根据线段中点的定义可得，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，设，表示出，再利用勾股定理列式求，然后表示出，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，然后列出方程求出的值，从而求出，再根据矩形的对边相等可得．
本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：由方程组得，

，该方程无实数根，
故二次函数与一次函数图象无交点，排除．
：二次函数开口向上，说明，对称轴在轴右侧，则；但是一次函数为一次项系数，图象显示从左向右上升，，两者矛盾，故A错；
：二次函数开口向上，说明，对称轴在轴右侧，则；为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，，两者相符，故C正确；
：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．
故选：．
直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象由交点，若无解，则图象无交点；
根据二次函数的对称轴在左侧，，同号，对称轴在轴右侧，异号，以及当大于时开口向上，当小于时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交轴于正半轴，常数项为负，交轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．
本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与的正负的关系，，的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数图象得相关性质进行分析，本题中等难度偏上．
 

9.【答案】

【解析】解：原式

，
故答案为：．
先化简括号内二次根式，再计算括号内的减法，最后计算乘法即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
 

10.【答案】

【解析】解：通过大量重复试验后发现，摸到黑球的频率稳定于，
，
解得：．
故答案为：．
利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率求解即可．
此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系．
 

11.【答案】

【解析】解：一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得，
，
反比例函数图象在一三象限，在每个象限随的增大而减小，
，
，
故答案为．
由一元二次方程根的情况，求得的值，确定反比例函数图象经过的象限，然后根据反比例函数的性质即可求得结论．
本题考查了一元二次方程根的判别式，反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：根据折线统计图很容易看出小李第一周居家体温在之间，第二周居家体温在之间，
小李第一周居家体温数值波动小于其第二周居家体温数值波动，
．
故答案为：．
根据折线统计图很容易看出小李第一周居家体温在之间，第二周居家体温在之间，从而推出．
本题考查是折线统计图和方差的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，如图中虚线表示小丽第一周居家体温，在之间，实线表示小丽第二周居家体温，在之间．
 

13.【答案】

【解析】解：如图，连接、．

由题意易知是等边三角形，

，

故答案为：
如图，连接、、由题意易知是等边三角形，根据计算即可解决问题．
本题考查切线的性质、等边三角形的判定和性质、扇形的面积，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积，属于中考常考题型．
 

14.【答案】

【解析】解：如图中，在上截取，连接．
，，
，
，
，
，，
，
，，
，
≌，
，，
，
，
，
，故正确，
如图中，延长到，使得，则≌，
，
，
，
，，
≌，
，
，，
，故错误，
的周长，故错误，
设，则，，
，
，
时，的面积的最大值为故正确，
当时，设，则，
在中，则有，
解得，
，故正确，
故答案为：．
正确．如图中，在上截取，连接证明≌即可解决问题．
错误．如图中，延长到，使得，则≌，再证明≌即可解决问题．
正确．设，则，，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．
正确．当时，设，则，利用勾股定理构建方程可得即可解决问题．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

15.【答案】解：如图，即为所求．
 

【解析】以为圆心，为半径作弧分别交，于点，，分别以，为圆心，为半径作弧两弧交于点，以为圆心，为半径作即可．
本题考查作图复杂作图，切线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

16.【答案】解：


；
，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
故原不等式组的解集是，
该不等式组的整数解是：，，，，，
，
该不等式组的整数解的和为．

【解析】先计算括号内的减法，然后计算括号外的除法即可；
先解出每个不等式的解集，即可得到该不等式组的解集，再写出所有整数解，将它们相加即可．
本题考查分式的混合运算、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式的方法是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：

列表如下：

由表可知，共有种等可能结果，其中结果为非负数的有种结果，结果为负数的有种结果，
所以甲获胜的概率乙获胜的概率，
此游戏公平．

【解析】解：张卡片只有一张卡片上的数字是负数，
第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为，
故答案为：．
利用概率公式求解即可；
利用列表法法列举出所有可能，进而利用概率公式进而得出甲、乙获胜的概率即可得出答案．
本题考查的是游戏公平性的判断及列表法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

18.【答案】         

【解析】解：抽查的户数为：户，
，，
故答案为：，；
这些家庭中月平均用水量数据的平均数吨，
众数是吨，中位数为吨，
故答案为：，，；
户，
估计该市直属机关户家庭中月平均用水量不超过吨的约有：户．
故答案为：．
求出抽查的户数，即可解决问题；
由平均数、众数、中位数的定义求解即可；
由总户数乘以月平均用水量不超过吨的户数所占的比例即可．
本题考查了平均数、众数、中位数以及频数分布表等知识点，掌握相关定义是解此题的关键．
 

19.【答案】解：在中，
，，，
．
过点作，垂足为，过点作，垂足为．
，
四边形是矩形．
，．
，，
是等腰直角三角形．
设，则，．
在中，
，，
，即，
，即．
．
在中，
．
答：，两点之间的距离为．

【解析】在中利用直角三角形的边角间关系直接求出；
过点作，过点作，构造矩形和直角三角形．先说明是等腰直角三角形，再利用等腰三角形的性质得到、间关系，在中，利用直角三角形的边角间关系求出、，再利用线段的和差关系求出，最后在中利用勾股定理求出．
本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系、等腰三角形的性质和判定、矩形的性质和判定及勾股定理是解决本题的关键．
 

20.【答案】解：设乙条生产线每天的产能是万个，则甲条生产线每天的产能是万个，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：甲条生产线每天的产能是万个，乙条生产线每天的产能是万个；
设安排乙生产线生产天，
依题意得：，
解得：．
答：至少应安排乙生产线生产天．

【解析】可设乙条生产线每天的产能是万个，则甲条生产线每天的产能是万个，根据等量关系：乙用了的天数甲用了的天数，列出方程即可求解；
可设安排乙生产线生产天，根据完成这批任务总运行成本不超过万元列出不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

21.【答案】证明：，
，
，，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是菱形；
解：由知，四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
．

【解析】本题主要考查了菱形的判定和性质，三角形的面积公式，角平分线的判定，由角平分线的性质结合已知条件推出是解决问题的关键．
根据已知条件证得是的平分线，得到，进而证得，得到，根据平行四边形的判定证得四边形是平行四边形，再证得，可得四边形是菱形；
根据平行线的性质证得，进而推出，由三角函数的定义求出，根据三角形的面积公式即可求出的面积．
 

22.【答案】解：如图，由题意得：水面宽是，桥拱顶点到水面的距离是，
结合函数图象可知，顶点，点，
设二次函数的表达式为，
将点代入函数表达式，
解得：，
二次函数的表达式为，
即；
工人不会碰到头，理由如下：
小船距点，小船宽，工人直立在小船中间，
由题意得：工人距点距离为，
将代入，
解得：，
，
此时工人不会碰到头；
抛物线在轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于轴成轴对称．
如图所示，

新函数图象的对称轴也是直线，
此时，当或时，的值随值的增大而减小，
将新函数图象向右平移个单位长度，可得平移后的函数图象，
如图所示，

平移不改变图形形状和大小，
平移后函数图象的对称轴是直线，
当或时，的值随值的增大而减小，
当时，的值随值的增大而减小，结合函数图象，
得的取值范围是：
且，得，
，得，
由题意知，
不符合题意，舍去，
综上所述，的取值范围是．

【解析】根据题意结合图象可以求出函数的顶点，先设抛物线的顶点式，再根据图象过原点，求出的值即可；
先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出的值，然后和比较即可；
根据倒影与桥对称，先求出倒影的解析式，再平移各单位，根据二次函数的性质求出的取值范围．
本题考查二次函数的应用、轴对称以及平移等知识，关键是利用平移后的函数对称轴，函数的增减性求的取值范围．
 

23.【答案】如图中，

，，
，
，，
，
∽，
，
，
，，，
，
，，
；
；
；；
．
猜想：的最小值为．
理由：如图中，过点作轴于，轴于，过点作轴于，轴于，连接，取的中点，过点作轴于，轴于，则，

当时，点在反比例函数图象的上方，
矩形的面积，
当时，点落在反比例函数的图象上，矩形的面积，
矩形的面积，
，
即，
的最小值为．
故答案为：．

【解析】解：，
根据垂线段最短可知，，即，
，
故答案为：．
当，时，；当，时，，
故答案为：，．
见答案．
本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是理解反比例函数的几何意义，属于中考压轴题．
利用相似三角形的性质求出，利用直角三角形斜边中线的性质求出．
根据垂线段最短，可得结论．
根据，的值代入计算即可．
如图中，过点作轴于，轴于，过点作轴于，轴于，连接，取的中点，过点作轴于，轴于，则，根据反比例函数的几何意义，求解即可．
 

24.【答案】解：，，，斜边，
，，，
由旋转的性质得：，，，
当平分时，即，
在和中，，
≌，
，
，
当为时，平分；
过点作于，过点作于，如图所示：
，
，，
，
；
当时，则为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
存在某一时刻，使点为线段的中点，理由如下：
过点作于，如图所示：
为线段的中点，
，
，
，，
，
，
，
，
，
整理得：，
，
即存在时，使点为线段的中点．

【解析】当平分时，即，由证得≌，得出，即可得出结果；
过点作于，过点作于，求出，，，由，即可得出结果；
当时，为等腰直角三角形，得出，求出，则，得出，代入的与的函教关系式即可得出结果；过点作于，求出，，，，由，，代入即可得出结果．
本题是四边形综合题，主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、三角函数、三角形面积的计算、梯形面积的计算等知识；熟练掌握三角函数定义与三角形面积的计算是解题的关键．