天津市南开区2022-2023学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

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2022-2023学年度第二学期阶段性质量监测
高一年级 数学学科
2023．06
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共100分，考试时间100分钟．
参考公式：
球的表面积公式，其中R表示球的半径．
锥体的体积公式，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高．
如果事件A，B互斥，那么
如果事件A，B相互独立，那么．
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是（ ）
A. 所取的3个球中至少有一个白球 B. 所取的3个球中恰有2个白球1个黑球
C. 所取的3个球都是黑球 D. 所取的3个球中恰有1个白球2个黑球
【答案】B
【解析】
【分析】
根据互斥事件的定义即可判断．
【详解】将事件的结果分为三类：白，白，黑；白，黑，黑；黑，黑，黑.
事件包含：白，黑，黑；黑，黑，黑.根据互斥事件的定义可知，
只有事件“所取的3个球中恰有2个白球1个黑球”与事件互斥．
故选：B．
2. 设复数，则复数的模为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数模的定义求解即可.
【详解】,.
故选：B
3. 已知，，且与的夹角，则等于（ ）
A. B. 6 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量数量积的定义进行求解.
【详解】因为，，且与的夹角，
所以.
故选：A
4. 某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图（如图所示），则a的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意结合频率和为1列式求解.
【详解】由频率分布直方图可知：每组频率依次为，
则，解得.
故选：C.
5. 如图，在正三棱柱中，，，则四棱锥的体积是（ ）．

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用割补法，结合柱体、锥体的体积公式运算求解.
【详解】由题意可知：正三棱柱的体积，
三棱锥的体积，
所以四棱锥的体积.
故选：A.
6. 某校高一年级随机抽取15名男生，测得他们的身高数据，如下表所示：
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
身高
173
179
175
173
170
169
177
175
174
182
168
175
172
169
176
那么这组数据的第80百分位数是（ ）．
A. 170 B. 175 C. 176 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据百分位数的定义运算求解.
【详解】将身高按升序排列得：，
因为，所以这组数据的第80百分位数是.
故选：D.
7. 从数字中任取三个不同的数字，则所抽取的三个数字之和能被整除的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】从数字中任取三个不同的数字，方法有：共种，
其中所抽取的三个数字之和能被整除的有：共种，
故所求概率为.
故选：C
8. 已知正四面体的棱长为2，则其外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由正四面体的棱长，求出正四面体的高，设外接球半径为，利用勾股定理求出的值，可求外接球的表面积.
【详解】因为正四面体的棱长为2，所以底面三角形的高，
棱锥的高为，
设外接球半径为，则
，解得.
所以外接球的表面积为.
故选：B.
9. 已知三条不同的直线和两个不同的平面，下列四个命题中正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据线线、线面、面面位置关系及平行垂直性质判断逐一判断.
【详解】若,可以有或相交，故A错；
若，可以有或异面，故B错；
若，可以有、与斜交、，故C错；
过作平面，则，又，得，，
所以，故D正确.
故选:D

【点睛】本题考查空间线、面的位置关系，属于基础题.
10. 已知为的一个内角，向量.若，则角
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】 带入计算即可．
【详解】

即 ,选C.
【点睛】本题考查向量向量垂直的坐标运算，属于基础题．
二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分
11. 某个年级有男生180人，女生160人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一介容量为68的样本，则此样本中女生人数为________．
【答案】32
【解析】
【分析】根据分层抽样的性质运算求解.
【详解】由题意可得：样本中女生人数为.
故答案为：32.
12. 已知为虚数单位，复数的共轭复数为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的运算结合共轭复数的概念求解.
【详解】由题意可得：，
所以复数的共轭复数为.
故答案为：.
13. 已知向量，，则在方向上的投影向量为________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据向量的坐标运算求，进而求投影向量.
【详解】由题意可得：，
所以在方向上的投影向量为.
故答案：.
14. 已知正三棱柱，O为的外心，则异面直线与OB所成角的大小为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据异面直线夹角的定义结合线面垂直分析求解.
【详解】延长交于点，
因为为正三角形，则点为的中点，可得，
又因为平面，平面，可得，
且，平面，可得平面，
由于平面，所以，即，
所以异面直线与OB所成角的大小为.
故答案为：.

15. 矩形中，，，点在对角线上，点在边上，且，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】以为基底向量表示，再根据垂直关系结合数量积的运算律运算求解.
【详解】以为基底向量，
则，
因为，，且，则，
所以.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5个小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 复数（）.
（1）若为纯虚数求实数的值，及在复平面内对应的点的坐标；
（2）若在复平面内对应的点位于第三象限，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先化简出的代数形式，再根据题意求实数的值和在复平面内对应的点的坐标；
（2）先化简出的代数形式，再根据题意建立不等式求实数的取值范围即可.
【详解】解：因为，所以
（1）若为纯虚数，则，解得：，
此时，在复平面内对应的点的坐标为：，
所以为纯虚数时实数，在复平面内对应的点的坐标为：
（2）若在复平面内对应的点位于三象限，
则，解得
所以在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围：.
【点睛】本题考查复数的代数形式、利用复数的几何意义求对应的点的坐标与求参数、利用复数的分类求参数的范围，是基础题.
17. 甲、乙、丙三人进行投球练习，每人投球一次．已知甲命中的概率是，甲、丙都未命中的概率是，乙、丙都命中的概率是．若每人是否命中互不影响，
（1）求乙、丙两人各自命中的概率；
（2）求甲、乙、丙三人中不少于2人命中的概率．
【答案】（1）乙、丙两人各自命中的概率分别为、
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合独立事件的概率乘法公式运算求解；
（2）分甲、乙、丙三人中2人命中和甲、乙、丙三人中都命中两种情况，结合独立事件概率乘法公式运算求解.
【小问1详解】
记“甲投球命中”为事件A，“乙投球命中”为事件B，“丙投球命中”为事件C，
则，解得，
，解得，
所以乙、丙两人各自命中的概率分别为、.
【小问2详解】
甲、乙、丙三人中2人命中的概率
，
甲、乙、丙三人中都命中的概率，
所以甲、乙、丙三人中不少于2人命中的概率.
18. 已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线．
（1）求实数的值；
（2）若，，求的坐标；
（3）已知，在（2）的条件下，若四边形是平行四边形，求点A的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意求，结合向量共线的判定定理运算求解；
（2）根据题意结合向量的线性运算以及坐标运算求解；
（3）根据题意结合向量相等运算求解.
【小问1详解】
由题意可得：，
若三点共线，则存在唯一实数，使得，
即，
可得，解得，
即实数的值为.
【小问2详解】
由（1）可知：，
则，
因为，，则，
所以的坐标为.
【小问3详解】
设点A的坐标为，则，
若四边形是平行四边形，则，
可得，解得，
所以点A的坐标.
19. 已知的内角的对边分别是，，，且，．
（1）求角A；
（2）求周长的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合正、余弦定理运算求解；
（2）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，再根据三角函数性质运算求解.
【小问1详解】
因为，由正弦定理可得，
整理得，
由余弦定理可得，
且，所以.
【小问2详解】
由正弦定理，可得，
则周长

，
因为，则，可得，
所以周长
即周长的取值范围为.
20. 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PB＝PD，E，F分别为AB和PD的中点.

（1）求证：EF∥平面PBC；
（2）求证：平面PBD⊥平面PAC.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）取PC的中点G，连接FG，BG，则FG为中位线，根据题意，可证明四边形BEFG是平行四边形，利用线面平行的判定定理，即可得证；
（2）设AC∩BD＝O，连接PO，根据题意可证BD⊥PO，BD⊥AC，利用面面垂直的判定定理，即可得证.
【详解】证明：（1）取PC的中点G，连接FG，BG，如图所示：

∵F是PD的中点，
∴FG∥CD，且，
又∵底面ABCD是菱形，E是AB中点，
∴BE∥CD，且，
∴BE∥FG，且BE＝FG，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∴EF∥BG，
又EF⊄平面PBC，BG⊂平面PBC，
∴EF∥平面PBC；

（2）设AC∩BD＝O，则O是BD中点，连接PO，
∵底面ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
又∵PB＝PD，O是BD中点，
∴BD⊥PO，
又AC∩PO＝O，AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，
∵BD⊂平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC.

【点睛】本题考查线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理，需熟悉各个定理所需的条件，才能进行分析和证明，考查逻辑分析、推理证明的能力，属中档题.