天津市耀华中学2022-2023学年高一数学上学期期末试题（Word版附解析）

天津市耀华中学2022-2023学年度第一学期期末考试

高一年级数学学科

一､选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知点在第一象限，则在内的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由第一象限点的坐标的符号列出三角函数的不等式，根据三角函数的性质结合，求出角的取值范围．

【详解】由已知点在第一象限得：

，，即，，

由，可得，所以，

当，可得或．

所以或．

故选：A．

2. 函数的单调增区间为（    ）

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据二倍角公式和诱导公式化简函数解析式，再根据正弦函数的单调性结论即可求出答案.

【详解】可化为，

令，可得，

所以函数单调增区间为.

故选：C.

3. 函数的图象（    ）

A. 关于原点对称 B. 关于轴对称

C. 关于直线对称 D. 关于直线对称

【答案】D

【解析】

【分析】利用代入验证的方式，对比正弦函数的图象与性质可得结果.

【详解】对于，当时，，所以原点不是函数的对称中心，错误；

对于B，当时，，所以轴不是函数的对称轴，B错误；

对于，当时，，所以 不是函数的对称轴，C错误；

对于D，当时，，是函数的对称轴，D正确.

故选：D.

4. 计算等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先利用角的变换将转化为，再用两角差的正弦展开，化简后，逆用两角和的正弦求解.

【详解】

故选：A

【点睛】本题主要考查了两角和与差的正弦的正用和逆用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.全科免费下载公众号-《高中僧课堂》

5. 函数的最大值是（    ）

A  B.  C. 7 D. 8

【答案】C

【解析】

【分析】化简函数解析式，结合正弦函数性质求其最大值.

【详解】可化为，

所以，

，

设，则，

所以当即时，函数取最大值，最大值为7，

所以函数的最大值为7，

故选：C.

6. 函数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先证明函数为周期函数，再求其在一个周期的值域即可.

【详解】因为，所以，

所以函数是周期函数，周期为，

当时，，因为，所以，所以，即，

所以函数的值域为，

故选：D.

7. 不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用绝对值几何意义即可求解.

【详解】由得， 或，

解得或，

所以不等式的解集为.

故选：B.

8. 若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有（    ）

A. f（2）<f(3)<g(0) B. g(0)<f(3)<f（2）

C. f（2）<g(0)<f(3) D. g(0)<f（2）<f(3)

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数奇偶性得，进而得，从而利用函数的单调性及正负可比较大小.

【详解】函数分别是上的奇函数、偶函数,

，

由，得，

，

，

解方程组得，

易知在上单调递增，所以，

又

所以.

故选：D

9. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先判断函数在上单调递增，由,利用零点存在定理可得结果.

【详解】因为函数在上连续单调递增，

且,

所以函数的零点在区间内，故选C.

【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.

10. 函数的值域为.则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】令，由题意知，函数的值域包含，结合已知列关于的不等式，解不等式得的取值范围.

【详解】令，由于函数的值域为，

所以，函数的值域包含.

所以，解得或.

综上所述，实数的取值范围是.

故选：D.

11. 函数的图象的大致形状为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】分析函数的奇偶性以及在上的函数值符号，可得出合适的选项.

【详解】，该函数定义域为，

因为，所以函数为偶函数，所以函数的图象关于轴对称，排除C，D，

当时，，，，此时，排除B，

因此，函数图象的大致形状是A选项中的函数图象.

故选：A.

12. 若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用作差法，再结合对数函数的单调性分别判断和的大小关系，即可判断出的大小关系.

【详解】，；又，，故.

故选：C.

13. 若实数满足，且，则的最小值为（    ）

A. 4 B.  C.  D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】根据对数运算化简条件得，再利用基本不等式求的最小值，

【详解】因为，所以，

实数、满足，

所以（当且仅当，时等式成立），

故选：B．

14. 已知函数，则函数的零点个数为（    ）.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】通过解法方程来求得的零点个数.

【详解】由可得.

当时，，或（舍去），

当时，或.

故是的零点，

是的零点，

是的零点.

综上所述，共有个零点.

故选：C

二､填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

15. 函数的定义域为_________．

【答案】

【解析】

【详解】由题知：；解得：x≥3.

故答案为：

16. 已知函数，则的最小正周期是_________．

【答案】

【解析】

【详解】，故函数的最小正周期．

17. 计算：＝________．

【答案】1

【解析】

【分析】

根据对数的运算法则求解即可.

【详解】原式＝

＝

＝＝＝＝1．

故答案为：1.

【点睛】该题考查的是有关对数的运算，涉及到的知识点有对数的运算法则，属于简单题目.

18. 已知则___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据二倍角正切公式，计算，再根据两角和的正切公式，计算，由题意可知，求解即可.

【详解】

，即

，即

则

故答案为：

【点睛】本题考查三角函数给值求角，属于中档题.

三､解答题：本大题共3小题，共28分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

19. 已知函数

（1）求的值；

（2）求函数的最小正周期及其图像的对称轴方程；

【答案】（1）；   

（2）函数的最小正周期为，其图像的对称轴方程为.

【解析】

【分析】(1)根据特殊角三角函数求的值；

(2)化简函数的解析式，结合正弦型函数的周期公式和正弦函数的对称性求解.

【小问1详解】

因为，所以，

所以；

【小问2详解】

由可得

，

，

，

所以，

函数的最小正周期，

令可得，

所以函数的对称轴方程为.

20. 已知，.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（Ⅰ）2（Ⅱ）

【解析】

【分析】（I）由题意利用同角三角函数的基本关系求得的值，可得的值.（II）先求得的值,再利用二倍角公式结合齐次式计算求得、的值,再利用两角和的正弦公式求得的值.

【详解】解：（I）∵已知，，

∴，

∴.

（II）∵，∴，

∴，

.

【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，考查齐次式的计算，考查两角和的正弦公式，属于中档题.

21. 已知函数，其中是自然对数的底数.

（1）证明是上的偶函数；

（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）由函数奇偶性的定义即可得是上的偶函数；

（2）利用参数分离法，将不等式在上恒成立，转化为对任意恒成立,利用函数的单调性求最值即可求实数的取值范围.

【小问1详解】

因为对任意,都有，

所以是上的偶函数.

【小问2详解】

由条件知在上恒成立,

因为，所以.

所以上恒成立.

令，

所以对任意成立,

由对勾函数的单调性知 ,    

所以,

因此，实数的取值范围是.

【点睛】方法点睛：

不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.