2023新教材高中数学第2章直线和圆的方程2.3直线的交点坐标与距离公式2.3.1两条直线的交点坐标2.3.2两点间的距离公式教师用书新人教A版选择性必修第一册

2.3.1　两条直线的交点坐标

2.3.2　两点间的距离公式

知识点1　两条直线的交点

已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组的解．

1．直线x＋y＝5与直线x－y＝3交点坐标是(　　)

A．(1,2)　　 B．(4,1)

C．(3,2)   D．(2,1)

B　[解方程组得因此交点坐标为(4,1)，故选B．]

知识点2　两直线的位置关系和方程组解的个数的关系

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)；l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的位置关系如表所示．

2．若方程组无解，则直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系是________．

l1∥l2　[方程组无解，则l1与l2无公共点，从而l1∥l2．]

3．直线l1：4x－y＋3＝0与直线l2：3x＋12y－11＝0的位置关系是________．

l1⊥l2　[由4×3＋(－1)×12＝0得l1⊥l2．]

知识点3　两点间的距离公式

(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝．

(2)两点间距离的特殊情况

①原点O(0,0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝．

②当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|．

③当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|．

两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2|＝的形式？

[提示]　可以，原因是＝，也就是说公式中P1，P2两点的位置没有先后之分．

4．已知点P1(4,2)，P2(2，－2)，则|P1P2|＝________．

2　[|P1P2|＝＝＝2．]

类型1　两条直线的交点问题

【例1】　(1)若直线x＋by＋9＝0经过直线5x－6y－17＝0与直线4x＋3y＋2＝0的交点，则b等于(　　)

A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5

(2)直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k的值为(　　)

A．－24    B．24    C．6    D．±6

(1)D　(2)A　[(1)解方程组得

则直线x＋by＋9＝0经过点(1，－2)，

所以1－2b＋9＝0，解得b＝5，故选D．

(2)设交点坐标为(a,0)，则有

解得故选A．]

当两直线的交点在坐标轴上时，可设出交点坐标为(a,0)或(0，b)，然后代入直线方程求解．

1．三条直线ax＋2y＋7＝0,4x＋y＝14和2x－3y＝14相交于一点，则a＝________．

－　[解方程组得

所以两条直线的交点坐标为(4，－2)．

由题意知点(4，－2)也在直线ax＋2y＋7＝0上，将(4，－2)代入，得a×4＋2×(－2)＋7＝0，解得a＝－．]

类型2　过定点(两条直线交点)的直线

【例2】　(1)直线mx－3y＋2m＋3＝0，当m变动时，所有直线都经过的定点坐标为(　　)

A．(－2,1)　 B．(1,2)　 C．(1，－2)　 D．(2,1)

(2)过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程为________．

(1)A　(2)15x＋5y＋16＝0　[(1)方程mx－3y＋2m＋3＝0可化为m(x＋2)－3y＋3＝0，

令得

即直线mx－3y＋2m＋3＝0过定点(－2,1)，故选A．

(2)法一：解方程组

得所以两直线的交点坐标为．

又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3．

故所求直线方程为y＋＝－3，

即15x＋5y＋16＝0．

法二：设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，

即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0．(*)

由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，

所以有(2＋λ)×1－(λ－3)×3＝0, 得λ＝．

代入(*)式，得x＋y＋＝0，

即15x＋5y＋16＝0．符合条件．]

[母题探究]

本例(2)中若将“平行”改为“垂直”，如何求解？

[解]　设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，

即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0，

由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，

则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－，

所以所求直线方程为5x－15y－18＝0．

1．含有参数的直线恒过定点的问题

(1)法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．

(2)法二：若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的直线必过定点(x0，y0)．

2．经过两直线交点的直线方程

经过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程可写为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(它不能表示直线l2)．反之，当直线的方程写为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0时，直线一定过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点．

2．(1)经过点P(1,0)和两直线l1：x＋2y－2＝0，l2：3x－2y＋2＝0交点的直线方程为________．

(2)若a∈R，则直线(a－1)x－y＋2a－1＝0恒过定点________．

(1)x＋y－1＝0　(2)(－2,1)　[(1)设所求直线方程为x＋2y－2＋λ(3x－2y＋2)＝0．

∵点P(1,0)在直线上，∴1－2＋λ(3＋2)＝0．∴λ＝．

∴所求方程为x＋2y－2＋(3x－2y＋2)＝0，即x＋y－1＝0．

(2)方程(a－1)x－y＋2a－1＝0可化为a(x＋2)－x－y－1＝0，

令得

即直线(a－1)x－y＋2a－1恒过定点(－2,1)．]

类型3　两点间的距离公式及其应用

【例3】　(1)(对接教材P73例题)在直线2x－3y＋5＝0上求一点P，使点P到点A(2,3)的距离为，则点P的坐标是(　　)

A．(5,5)   B．(－1,1)

C．(5,5)或(－1,1)   D．(5,5)或(1，－1)

(2)如图，在△ABC中，|AB|＝|AC|，D是BC边上异于B，C的任意一点，求证：|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|．

(1)C　[设点P(x，y)，则y＝．由|PA|＝，得(x－2)2＋＝13，即(x－2)2＝9，解得x＝－1或x＝5．当x＝－1时，y＝1；当x＝5时，y＝5，

∴P(－1,1)或(5,5)，故选C．]

(2)[证明]　如图，以BC的中点为原点O，BC所在的直线为x轴，建立直角坐标系．设A(0，a)，B(－b,0)，C(b,0)，D(m,0)(－b<m<b)．

则|AB|2＝(－b－0)2＋(0－a)2＝a2＋b2，|AD|2＝(m－0)2＋(0－a)2＝m2＋a2，

|BD|·|DC|＝|m＋b|·|b－m|＝(b＋m)(b－m)＝b2－m2，∴|AD|2＋|BD|·|DC|＝a2＋b2，

∴|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|．

坐标法及其应用

(1)坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系．坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决．建系的原则主要有两点：

①让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；

②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴．

(2)利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：

①建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；

②用坐标表示有关的量；

③将几何关系转化为坐标运算；

④把代数运算结果“翻译”成几何关系．

3．(1)△ABC三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)，B(2,2)，C(4，－2)，则三角形AB边上的中线长为(　　)

A．    B．    C．    D．

(2)如图所示，已知BD是△ABC边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AB|2＋|BC|2－|AC|2＝2|BD|2．

(1)A　[AB的中点D的坐标为D(－1，－1)，

∴|CD|＝＝．]

(2)[证明]　如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐标系xDy．

设B(b，c)，C(a,0)，依题意得A(－a,0)．

|AB|2＋|BC|2－|AC|2

＝(a＋b)2＋c2＋(a－b)2＋c2－(2a)2

＝2a2＋2b2＋2c2－2a2＝2b2＋2c2，

2|BD|2＝2(b2＋c2)＝2b2＋2c2，

所以|AB|2＋|BC|2－|AC|2＝2|BD|2．

1．直线2x＋y＋1＝0与直线x－y＋2＝0的交点在(　　)

A．第一象限　　　　　　 B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

B　[联立解得

∴交点(－1,1)在第二象限．故选B．]

2．已知A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则的值为(　　)

A．   B．

C．3   D．2

D　[由两点间的距离公式，得

|AC|＝＝4，

|CB|＝＝2，

故＝＝2．]

3．若直线ax＋by－11＝0与3x＋4y－2＝0平行，并且经过直线2x＋3y－8＝0和x－2y＋3＝0的交点，则a，b的值分别为(　　)

A．－3，－4   B．3,4

C．4,3   D．－4，－3

B　[由得

由题意得得]

4．若两直线l1：x＋my＋12＝0与l2：2x＋3y＋m＝0的交点在y轴上，则m＝________．

±6　[分别令x＝0，求得两直线与y轴的交点分别为：－和－，由题意得－＝－，解得m＝±6．]

5．已知直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，若l1⊥l2，则点P的坐标为________．

(3,3)　[∵直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，且l1⊥l2，

∴a×1＋1×(a－2)＝0，解得a＝1，

联立方程易得x＝3，y＝3，

∴点P的坐标为(3,3)．]

回顾本节知识，自主完成以下问题：

1．如何求两直线的交点坐标？

[提示]　解两直线方程组成的方程组，方程组的解就是交点的坐标．

2．直线方程具有什么特点时，直线恒过定点？

[提示]　当x或y的系数含有字母参数时，直线恒过定点．

3．对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0．两直线相交、平行或重合、垂直的充要条件是什么？

[提示]　l1与l2相交⇔A1B2≠A2B1；

l1与l2平行或重合⇔A1B2＝A2B1；

l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0．

4．试写出两点间的距离公式．

[提示]　P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式|P1P2|＝．