2023新教材高中数学第2章直线和圆的方程2.2直线的方程2.2.2直线的两点式方程教师用书新人教A版选择性必修第一册

2.2.2　直线的两点式方程1．掌握直线的两点式方程的形式、特点及适用范围．(重点、易混点)2．了解直线的截距式方程的形式、特点及适用范围．(重点)3．能用直线的两点式方程和截距式方程解决有关问题．(难点)1．通过直线两点式方程的推导，提升逻辑推理素养．2．借助直线的两点式方程和截距式方程的学习，培养直观想象和数学运算素养． 我们知道，两点可以确定一条直线，因此，直线上其他的任意一点的位置都可以由已知两点确定，即直线上任意其他点的坐标和已知两点的坐标都存在着恒定的数量关系．如图所示，已知直线l上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，对于直线l上其他的任意一点Q(x，y)，A，B，Q三点坐标间的数量关系是怎样的呢？知识点1　直线的两点式方程名称两点式已知条件P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2示意图方程＝使用范围斜率存在且不为01．不能用直线的两点式方程表示的直线有什么特点？[提示]　平行于坐标轴或与坐标轴重合．1．已知直线l过点A(3,1)，B(2,0)，则直线l的方程为________．x－y－2＝0　[过A(3,1)，B(2,0)两点的直线方程为＝，整理得x－y－2＝0．]知识点2　直线的截距式方程(1)直线在x轴上的截距把直线l与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距．(2)直线的截距式方程名称截距式已知条件在x，y轴上的截距分别为a，b示意图方程＋＝1使用范围a≠0，b≠02．一条直线的方程不能用两点式表示，同样也不能用截距式表示，反之，若一条直线的方程不能用截距式表示，是否也不能用两点式表示？[提示]　当一条直线过原点且斜率存在时，不能用截距式表示，但可用两点式表示．2．直线－＝1在y轴上的截距是________．－b2　[直线的截距式方程为＋＝1，因此直线在y轴上的截距是－b2．] 类型1　直线的两点式方程【例1】　(对接教材P63例题)(1)过点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距是(　　)A．－　　　B．－　　　C．　　　D．2(2)△ABC的三个顶点分别为A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，求这个三角形的三边及AB边上的中线所在直线的方程．(1)A　[由直线的两点式方程得过点(－1,1)和(3,9)的直线方程为＝，即2x－y＋3＝0．令y＝0，得x＝－，故选A．](2)[解]　直线AB过A(－5,0)，B(3，－3)两点，由两点式得＝，整理得3x＋8y＋15＝0，这就是AB所在直线的方程．直线AC过A(－5，0)，C(0,2)两点，由两点式得＝，整理得2x－5y＋10＝0，这就是AC所在直线的方程．直线BC过B(3，－3)，C(0，2)两点，斜率k＝＝－，由点斜式得y－2＝－(x－0)，整理得5x＋3y－6＝0，这就是BC所在直线的方程．因为A(－5,0)，B(3，－3)，所以AB的中点M的坐标为，即M，于是AB边上的中线所在直线的方程即为MC所在直线的方程．由直线的两点式方程得＝，即＝，所以y－2＝x，即7x－2y＋4＝0．利用两点式求直线方程的步骤(1)首先判断所给两点的横坐标与纵坐标是否分别相等．(2)若两点的横坐标与纵坐标均不相等，可直接代入公式求解．提醒：代入点的坐标时要注意横、纵坐标的对应关系．1．已知直线经过点A(1,0)，B(m,1)，求直线的方程．[解]　由直线经过点A(1,0)，B(m,1)知，该直线斜率不可能为零，但有可能不存在．(1)当m＝1时，直线斜率不存在，直线方程为x＝1.(2)当m≠1时，直线斜率存在，利用两点式，可得直线方程为＝，即x－(m－1)y－1＝0．综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1；当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0． 类型2　直线的截距式方程【例2】　(1)一条光线从A处射到点B(0,1)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程为(　　)A．y＝2x＋1　　 B．y＝－2x＋1C．y＝x－   D．y＝－x－(2)求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程．(1)B　[由光的反射定律可得，点A关于y轴的对称点M在反射光线所在的直线上．再由点B(0,1)也在反射光线所在的直线上，由截距式可得反射光线所在的直线方程为＋＝1，整理得y＝－2x＋1，故选B．](2)[解]　①当直线l过原点时，直线l在两坐标轴上的截距相等且为0，此时直线l的斜率k＝－，直线l的方程为y＝－x，即3x＋4y＝0．②当直线l在两坐标轴上的截距均不为0且相等时，设直线l的方程为＋＝1，由点(4，－3)在直线l上得＋＝1，解得a＝1．此时直线l的方程为x＋y－1＝0．综上知，所求直线l的方程为3x＋4y＝0或x＋y－1＝0．截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用直线的截距式方程，用待定系数法确定其系数即可；(2)选用直线的截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直；(3)要注意直线的截距式方程的逆向应用．2．求经过点P(－2,3)，且满足下列条件的直线方程：(1)在x轴，y轴上的截距之和等于6；(2)在x轴，y轴上的截距分别为a，b，且满足b＝2a．[解]　(1)设直线方程为＋＝1，因为直线过点P(－2,3)，所以＋＝1，整理得a2－a－12＝0，解得a＝－3或4．于是所求直线方程为＋＝1或＋＝1．即3x－y＋9＝0或x＋2y－4＝0．(2)①当a≠0时，设直线方程为＋＝1，将P(－2,3)代入，得＋＝1，解得a＝－，此时直线方程为＋＝1；即2x＋y＋1＝0．②当a＝0时，直线过点(0,0)和(－2,3)，所以直线的斜率为－，此时直线的方程为y＝－x．即3x＋2y＝0．综上可知，所求直线方程为2x＋y＋1＝0或3x＋2y＝0． 类型3　直线方程的灵活应用【例3】　(1)两条直线－＝1与－＝1的图形可能是(　　)A　　　　B　　　　C　　　　D(2)已知直线l过点P(－2,1)．①当直线l与点B(－5,4)，C(3,2)的距离相等时，求直线l的方程．②当直线l与x轴，y轴围成的三角形的面积为时，求直线l的方程．直线的截距式方程有明显的几何意义，由此思考如何解决与直线在x轴，y轴上的截距有关的问题.(1)B　[两直线方程可分别化为＋＝1和＋＝1，由此可知两直线在x轴，y轴上的截距互为相反数，结合图形知选B．](2)[解]　①(ⅰ)当直线l∥BC时，kl＝kBC＝＝－．所以直线l的方程为y－1＝－(x＋2)，即x＋4y－2＝0．(ⅱ)当直线l过线段BC的中点时，由线段BC的中点为M(－1,3)，所以直线l的方程为y－1＝(x＋2)，即2x－y＋5＝0．综上可知，直线l的方程为x＋4y－2＝0或2x－y＋5＝0．②设直线l的方程为＋＝1．则解得或所以直线l的方程为x＋y＋1＝0或x＋4y－2＝0．直线方程的选择技巧(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取直线的点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率；(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的点斜式或斜截式方程，再由其他条件确定直线的一个点或者截距；(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用直线的截距式方程．注意：不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决．3．已知A(－2,0)，P(1,3)，B(5,0)．(1)求过点B且与直线AP垂直的直线方程．(2)经过点P的直线l把△PAB的面积分割成3∶4两部分，求直线l的方程．[解]　(1)∵A(－2,0)，P(1,3)∴kAP＝＝1，∴过点B(5,0)且与直线AP垂直的直线方程为y＝－(x－5)，即x＋y－5＝0．(2)设直线l与x轴相交于点M(x,0)，∵经过点P的直线l把△PAB的面积分割成3∶4两部分，∴＝或．∴＝或＝，解得x＝1或x＝2．∴M(1,0)或M(2,0)，∴直线l的方程为x＝1或3x＋y－6＝0．1．过两点(1,2)和(3,4)的直线的两点式方程为(　　)A．＝　　　 　 B．＝C．＝   D．＝C　[由直线的两点式方程知，选C．]2．已知直角坐标系xOy平面上的直线＋＝1经过第一、第二和第四象限，则a，b满足(　　)A．a>0，b>0   B．a>0，b<0C．a<0，b>0   D．a<0，b<0A　[直线经过第一、二、四象限，则a>0，b>0，故选A．]3．在x轴，y轴上的截距分别是2，－3的直线的截距式方程为(　　)A．＋＝1   B．－＝1C．－＝1   D．＋＝－1B　[直线的截距式方程为＋＝1，即－＝1，故选B．]4．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是(　　)A．1   B．－1C．－2或－1   D．－2或1D　[由题意知a≠0，令x＝0，得y＝a＋2，令y＝0，得x＝1＋，由已知得a＋2＝1＋，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2，故选D．]5．过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为________．2x－y＝0或x－y＋1＝0　[当直线过原点时，得直线方程为2x－y＝0．当在坐标轴上的截距不为零时，可设直线方程为－＝1，将x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1，得直线方程为x－y＋1＝0．∴直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．试写出直线的两点式方程．[提示]　＝．2．试写出直线的截距式方程．[提示]　＋＝1．3．如何解决与直线在x轴、y轴上的截距有关的问题？[提示]　可设直线的截距式方程求解，应注意当截距为0时，直线过原点，不能用截距式方程表示．