2023新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.3空间向量及其运算的坐标表示1.3.2空间向量运算的坐标表示教师用书新人教A版选择性必修第一册

1.3.2　空间向量运算的坐标表示

知识点1　空间向量运算的坐标表示

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：

1．空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示有何联系？

[提示]　空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的．

1．已知空间向量m＝(1，－3,5)，n＝(－2,2，－4)，则m＋n＝________，3m－n＝________，(2m)·(－3n)＝________．

(－1，－1，1)　(5，－11，19)　168　[m＋n＝(1，－3，5)＋(－2，2，－4)＝(－1，－1，1)；

3m－n＝3(1，－3，5)－(－2，2，－4)＝(3，－9，15)－(－2，2，－4)＝(5，－11，19)；

(2m)·(－3n)＝(2，－6，10)·(6，－6，12)＝2×6＋(－6)×(－6)＋10×12＝168．]

知识点2　空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

2．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b一定有＝＝成立吗？

[提示]　当b1，b2，b3均不为0时，＝＝成立．

2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若a＝(1，－2,1)，a＋b＝(－1,2，－1)，则b＝(－2,4，－2)．                             (　　)

(2)若a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，则|a|＝|b|． (　　)

(3)若a＝(0,0,1)，b＝(1,0,0)，则a⊥b． (　　)

(4)在空间直角坐标系中，若A(1,2,3)，B(4,5,6)，则＝(－3，－3，－3)．               (　　)

(5)已知a＝(x1，y1，z1)，若x1＝y1＝z1＝1，则a为单位向量．                             (　　)

[提示]　 (1)√　b＝a＋b－a＝(－1,2，－1)－(1，－2,1)＝(－2,4，－2)．

(2)√　|a|＝＝，|b|＝＝，所以|a|＝|b|．

(3)√　由a·b＝0，得a⊥b．

(4)×　由A(1,2,3)，B(4,5,6)，得＝(4－1,5－2,6－3)＝(3,3,3)．

(5)×　若x1＝y1＝z1＝1，则|a|＝＝，所以a不是单位向量．

知识点3　向量的坐标及两点间的距离公式

在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则

(1)＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；

(2)dAB＝||＝．

3．已知点A(x，y，z)，则点A到原点的距离是多少？

[提示]　OA＝||＝．

3．若点A(0,1,2)，B(1,0,1)，则＝__________，||＝________．

(－1，－1)　　[＝(1，－1，－1)，||＝＝．]

类型1　空间向量的坐标运算

【例1】　(1)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·2b＝－2，则x＝________．

(2)已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别是(2，－1，2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)．求点P的坐标，使＝(－)．

(1)2　[c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，由(c－a)·2b＝－2得2(1－x)＝－2，解得x＝2．]

(2)[解]　＝(2,6，－3)，＝(－4,3,1)，

∴－＝(6,3，－4)．

设点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2)，

∵(－)＝＝，

∴x＝5，y＝，z＝0，则点P的坐标为．

关于空间向量坐标运算的两类问题

(1)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算；

(2)由条件求向量或点的坐标：首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标．

1．已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则a＝________，b＝________，a·b＝________．

(1，，)　(1，0，)　4　[∵a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，

∴2a＝(2，2，2)，2b＝(2，0，2)，

∴a＝(1，，)，b＝(1，0，)，

∴a·b＝1×1＋×0＋×＝4．]

类型2　利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题

【例2】　(1)已知a＝(λ＋1,1,2λ)，b＝(6,2m－1,2)．

①若a∥b，分别求λ与m的值；

②若|a|＝，且与c＝( 2，－2λ，－λ)垂直，求a．

(2)(对接教材P20例题)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD和A1C1的中点．求证：

①AB1∥GE，AB1⊥EH；

②A1G⊥平面EFD．

(1)[解]　①因为a∥b，所以设(λ＋1,1,2λ)＝k(6,2m－1,2)，

所以解得

所以λ＝，m＝3．

②因为|a|＝且a⊥c，

所以

化简得解得λ＝－1．

因此a＝(0,1，－2)．

(2)[证明]　如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0，0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)．由中点坐标公式，得E，F，G，H．

①＝(1,0,1)，＝，＝．

因为＝2，·＝1×＋1×＝0，

所以∥，⊥，即AB1∥GE，AB1⊥EH．

②＝，＝，＝．

因为·＝－＋0＝0，

·＝＋0－＝0，

所以⊥，⊥，所以A1G⊥DF，A1G⊥DE，

因为DF∩DE＝D，所以A1G⊥平面EFD．

1．判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解．

2．利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明．

2．已知a＝(3,2λ－1,1)，b＝(μ＋1,0,2μ)．

若a⊥b，则μ＝________；

若a∥b，则λ＋μ＝________．

－　　[由a⊥b，得a·b＝3(μ＋1)＋2μ＝0，

解得μ＝－．由a∥b，得＝，且2λ－1＝0，解得μ＝，λ＝，所以λ＋μ＝．]

类型3　利用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题

【例3】　在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，应用空间向量的方法求解下列问题：

(1)求EF与C1G所成角的余弦值；

(2)求FH的长．

[解]　建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则有

E，F，

C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G，H．

(1)＝－＝，

＝－(0,1,1)＝，

∴||＝．

又·＝×0＋×＋×(－1)＝，||＝，∴cos〈，〉＝＝＝．

即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为．

(2)∵F，H，

∴＝，

∴FH＝||＝＝．

用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题的基本思路是什么？

[提示]　(1)根据条件建立适当的空间直角坐标系；

(2)写出相关点的坐标，用向量表示相关元素；

(3)通过向量的坐标运算求夹角和距离．

3．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2，Q为A1A的中点．

(1)求的长；

(2)求cos〈，〉，cos〈，〉，并比较〈，〉，〈，〉的大小．

[解]　建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz．

由已知，得C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C1(0,0,2)，Q(1,0,1)，B1(0,1,2)，A1(1,0,2)．

∴＝(1，－1,1)，＝(0,1,2)，＝(1，－1,2)．

(1)||＝＝．

(2)∵·＝0－1＋2＝1，||＝，

||＝＝，

∴cos〈，〉＝＝．

∵·＝0－1＋4＝3，

||＝＝，||＝，

∴cos〈，〉＝＝．

∵0<<<1，∴〈，〉，〈，〉∈．

又y＝cos x在内单调递减，

∴〈，〉>〈，〉．

1．已知a＝(1，－2,1)，a＋b＝(－1,2，－1)，则b＝(　　)

A．(2，－4,2)　　　　　 B．(－2,4，－2)

C．(－2,0，－2)   D．(2,1，－3)

B　[b＝(a＋b)－a＝(－1,2，－1)－(1，－2,1)＝(－2,4，－2)，故选B．]

2．已知空间直角坐标系O­xyz中的点A(2，－1，－3)关于xOy平面的对称点为B，则|AB|的值为(　　)

A．　　　B．4　　　C．6　　　D．2

C　[A(2，－1，－3)关于xOy平面的对称点为B(2，－1,3)，

所以|AB|＝＝6．故选C．]

3．已知向量a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，则a·(a＋b)＝(　　)

A．21   B．－21

C．20   D．－20

A　[向量a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，

所以a＋b＝(4，－3,4)，

所以a·(a＋b)＝2×4－3×(－3)＋1×4＝21．故选A．]

4．已知a＝(1，x,3)，b＝(－2,4，y)，若a∥b，则x－y＝________．

4　[由a∥b得a＝λb，所以

解得

所以x－y＝4．]

5．已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则与的夹角的大小是________．

　[∵＝(－2，－1,3)，＝(－1,3，－2)，

∴||＝，||＝，

·＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)＝－7，

∴cos〈，〉＝＝＝－，

又〈，〉∈[0，π]，

∴〈，〉＝．]

回顾本节知识，自主完成以下问题：

1．如何用空间向量的坐标运算表示平行、垂直、模及夹角？

[提示]　设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，

则当b≠0时 ，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；

a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；

|a|＝＝；

cos〈a，b〉＝

＝．

2．你是如何用空间向量的坐标运算来研究平行、垂直、夹角和距离的？

[提示]　①根据条件建立适当的空间直角坐标系；

②求出相关点的坐标，用向量表示相关元素；

③通过向量的坐标运算研究平行、垂直、夹角和距离．