2023新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.2空间向量基本定理教师用书新人教A版选择性必修第一册

1.2　空间向量基本定理1．了解空间向量基本定理及其意义．2．掌握空间向量的正交分解．(难点)3．会用基底表示空间向量．(重点)4．初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法．(难点)1．通过基底概念的学习，培养数学抽象素养．2．通过用空间向量基本定理解决简单的立体几何问题，提升直观想象、数学运算、逻辑推理等素养． 在平面内，任意给定两个不共线的向量a，b，根据平面向量基本定理，对于该平面内的任意一个向量p，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得p＝xa＋yb．特别地，当a，b为直角坐标平面内的向量时，向量p就与坐标(x，y)建立了一一对应关系，从而将向量运算用坐标表示，简化了向量运算，为研究问题带来了极大的方便．那么，对于空间向量，有没有类似平面向量基本定理的结论呢？如图所示，设a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，是否可以用向量a，b，c来表示向量p?知识点1　空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．对于基底{a，b，c}，三个基向量a，b，c中能否有一个为0？[提示]　因为向量0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，因此三个基向量均不为0．(1)空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底．(2)一个基底是指一个向量组，而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间向量的基底是唯一的．  (　　)(2)若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向量．                             (　　)(3)已知A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N共面．                            (　　)(4)若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则有x＝y＝z＝0．                            (　　)[提示]　(1)×　任意三个不共面向量都可以作为空间的一个基底．(2)√　若a，b，c中有一个零向量，则a，b，c三向量共面不能构成基底．(3)√　，，不能构成空间的一个基底，则三向量共面，且有公共起点B，因此A，B，M，N四点共面．(4)√　a，b，c不共面，则必有x＝y＝z＝0．2．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是(　　)A．，，   B．，，C．，，   D．，，C　[在长方体ABCD­A1B1C1D1中，只有C中的三个向量，，不共面，可以作为空间向量的一个基底．]3．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M是上底面对角线AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则可表示为(　　)A．a＋b＋c   B．a－b＋cC．－a－b＋c   D．－a＋b＋cD　[由于＝＋＝＋(＋)＝－a＋b＋c．]知识点2　空间向量的正交分解(1)单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．(2)向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使得a＝xi＋yj＋zk．像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．4．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间的单位正交基底是唯一的． (　　)(2)单位正交基底中每一个基向量是单位向量． (　　)(3)对于单位正交基底{i，j，k},2j＝0i＋2j＋0k． (　　)[提示]　(1)×　不唯一．(2)√　由单位正交基底的定义可知正确．(3)√　由向量正交分解知正确． 类型1　空间的基底【例1】　{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底．[解]　假设，，共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使＝x＋y成立，∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)，即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3，∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3不共面．∴此方程组无解．即不存在实数x，y使得＝x＋y，所以，，不共面．所以{，，}能作为空间的一个基底．基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a＝λb＋μ c，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．③依托正方体，用从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，构造所需向量，判断它们是否共面．1．已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间基底的是(　　)A．　　　　　　　　 B．C．   D．或C　[由＝(a－b)知与a，b共面．所以a，b，不能构成空间的基底，故选C．]2．若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为空间的一个基底？[解]　假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，即a＋b＝μa＋λb＋(λ＋μ)c．∵{a，b，c}是空间的一个基底，∴a，b，c不共面．∴此方程组无解．即不存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．故{a＋b，b＋c，c＋a}能作为空间的一个基底． 类型2　用空间的基底表示空间向量【例2】　(对接教材P12例题)如图，在三棱柱ABC­A′B′C′中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量，．[解]　连接A′N(图略)．＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋(－)＋＝＋＋＝(a＋b＋c)．＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)＝a＋b＋c．[母题探究]若把本例中“＝a”改为“＝a”，其他条件不变，则结果是什么？[解]　因为M为BC′的中点，N为B′C′的中点，所以＝(＋)＝a＋b．＝(＋)＝(＋＋)＝＋＋＝＋(－)＋＝＋－＝b＋a－c．基向量的选择和使用方法(1)尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量作为基底．(2)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑加法，否则考虑减法；如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘．3．如图，四棱锥P­OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC，PB的中点，试用a，b，c表示，，，．[解]　连接BO(图略)，则＝＝(＋)＝(c－b－a)＝－a－b＋c．＝＋＝＋＝＋(＋)＝－a－b＋c．＝＋＝＋＋(＋)＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c．＝＝＝a． 类型3　空间向量基本定理的应用【例3】　在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝CD．(1)证明：EF⊥B1C；(2)求EF与C1G所成角的余弦值．[解]　(1)证明：设＝i，＝j，＝k，则{i，j，k}构成空间的一个正交基底．所以＝＋＝－k＋(＋)＝i＋j－k，＝＋＝－i－k，所以·＝·(－i－k)＝－|i|2＋|k|2＝0，所以EF⊥B1C．(2)＝i＋j－k，＝＋＝－k－j，||2＝＝|i|2＋|j|2＋|k|2＝3，||＝，||2＝＝|k|2＋|j|2＝4＋＝，||＝，∴cos〈，〉＝＝＝＝．[母题探究]本例中设线段A1B的中点为M，证明：MF∥B1C．[解]　设＝i，＝j，＝k，则＝＋＝－i－k，＝－＝－＝－i－k＝(－i－k)＝，所以MF∥B1C．基向量法解决平行、垂直及夹角问题首先根据几何体的特点，选择一个基底，把题目中涉及的向量用基向量表示．(1)若证明线线垂直，只需证明两向量数量积为0；(2)若证明线线平行，只需证明两向量共线；(3)若要求异面直线所成的角，则转化为两向量的夹角(或其补角)．4．如图，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，E，F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰当的基底向量证明：(1)EG∥AC；(2)平面EFG∥平面AB′C．[证明]　取基底{，，}(1)因为＝＋＝＋，＝＋＝2，所以∥，又EG，AC无公共点，所以EG∥AC．(2)因为＝＋＝＋，＝＋＝2，所以∥，又FG，AB′无公共点，所以FG∥AB′．又FG⊄平面AB′C，AB′⊂平面AB′C，所以FG∥平面AB′C．又由(1)知EG∥AC，可得EG∥平面AB′C，又FG∩EG＝G，FG，EG⊂平面EFG，所以平面EFG∥平面AB′C．1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，可以作为空间向量的一个基底的是(　　)A．，，　　　 B．，，C．，，   D．，，C　[只有选项C中的三个向量是不共面的，可以作为一个基底．故选C．]2．(多选题)在空间四点O，A，B，C中，若{，，}是空间的一个基底，则下列命题正确的是(　　)A．O，A，B，C四点不共线B．O，A，B，C四点共面，但不共线C．O，A，B，C四点不共面D．O，A，B，C四点中任意三点不共线ACD　[选项A对应的命题是正确的，若四点共线，则向量，，共面，构不成基底；选项B对应的命题是错误的，若四点共面，则，，共面，构不成基底；选项C对应的命题是正确的，若四点共面，则，，构不成基底；选项D对应的命题是正确的，若有三点共线，则这四点共面，向量，，构不成基底，故选ACD．]3．正方体ABCD­A1B1C1D1中，取{，，}为基底，若G为平面BCC1B1的中心，且＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________．2　[如图，＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋．由条件知x＝1，y＝，z＝．∴x＋y＋z＝1＋＋＝2．]4．在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为基底，则＝________．－－＋　[设AC的中点为F，则＝＋＝＋＝－×(＋)＋＝－(－2)＋(－)＝－－＋．]5．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G，G1分别是棱CC1，BC，CD，A1B1的中点．求证：(1)AD1⊥G1G；(2)AD1∥EF．[证明]　设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1且a·b＝b·c＝a·c＝0．(1)因为＝b＋c，＝＋＋＋＝－a－c＋b＋a＝b－c，所以·＝(b＋c)·(b－c)＝b2－c2＝0，所以⊥，所以AD1⊥G1G．(2)因为＝b＋c，＝－＝－＝－b－c，所以＝－，所以AD1∥EF．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．若{a，b，c}是空间的基底，则a，b，c满足什么条件？[提示]　a，b，c不共面．2．叙述空间向量基本定理的内容．[提示]　如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．3．在用向量法解决平行、垂直、长度、夹角等问题时，如何选择空间的基底？[提示]　选择三个不共面的向量，且它们的长度和相互之间的角度已知．