2023新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.2空间向量的数量积运算教师用书新人教A版选择性必修第一册

1.1.2　空间向量的数量积运算

知识点1　空间向量的夹角

(1)夹角的定义已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．

(2)夹角的范围

空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，两向量垂直，记作a⊥b．

1．(1)对空间任意两个非零向量a，b，〈a，b〉，〈b，a〉，〈－a，－b〉有怎样的关系？

(2)对空间任意两个非零向量a，b，〈a，b〉，〈－a，b〉〈a，－b〉有怎样的关系？

[提示]　(1)〈a，b〉＝〈b，a〉＝〈－a，－b〉．

(2)〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉．

1．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，

(1)〈，〉＝________；

(2)〈，〉＝________；

(3)〈，〉＝________；

(4)〈，〉＝________．

(1)　(2)　(3)　(4)π　[(1)〈，〉＝〈，〉＝；

(2)〈，〉＝〈，〉＝π－〈，〉＝；

(3)〈，〉＝〈，〉＝；

(4)〈，〉＝〈，〉＝π．]

知识点2　空间向量的数量积

(1)定义

已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

规定：零向量与任意向量的数量积为0．

(2)空间向量的数量积的性质

①a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉(其中e为单位向量)；

②a⊥b⇔a·b＝0；

③当a与b同向时，a·b＝|a||b|，当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；

④a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝；

⑤若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝；

⑥|a·b|≤|a||b|(当且仅当a，b共线时等号成立)．

(3)空间向量的数量积的运算律

①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；

②a·b＝b·a(交换律)；

③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．

2．(1)对于向量a，b，c，由a·b＝a·c，能得到b＝c吗？

(2)对于向量a，b，c，(a·b)·c＝a·(b·c)成立吗？为什么？

[提示]　(1)不能．例如，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，·＝·＝0，但，不相等．

(2)不成立．例如，任取三个不共面向量a，b，c，(a·b)·c是一个数与向量c作数乘，a·(b·c)是一个数与向量a作数乘，而a，c不在同一个方向上，所以(a·b)·c与a·(b·c)不可能相等．

对于向量a，b，若a·b＝k，则不能写成a＝或b＝，向量没有除法．

2．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长等于2，则·＝________．

4　[||＝||＝2，〈，〉＝60°，

∴·＝||||cos 60°＝2×2×＝4．]

知识点3　向量a的投影

(1)向量a向向量b(直线l)的投影

如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②)．

(2)向量a向平面β的投影

如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．

①　　　　 　②　　　　　　③

3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)向量a在向量b上的投影向量与向量b的方向相同． (　　)

(2)向量a在直线l上的投影向量c与向量a－c垂直． (　　)

(3)向量a在平面β上的投影向量为c，则向量a所在直线与平面β所成的角为〈a，c〉．                            (　　)

[提示]　(1)×　当〈a，b〉>时，反向．

(2)√　根据向量向直线的投影定义可知，c与a－c垂直．

(3)√　根据向量向平面的投影定义及直线与平面所成的角的定义可知正确．

类型1　空间向量的数量积的计算

【例1】　(对接教材P7例题)如图所示，在棱长为1的正四面体A­BCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：

(1)·；

(2)·；

(3)·；

(4)·．

[解]　(1)·＝·

＝||||cos〈，〉

＝cos 60°＝．

(2)·＝·

＝||2＝．

(3)·＝·

＝||·||cos〈，〉

＝cos 120°＝－．

(4)·＝·(－)

＝·－·

＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉＝cos 60°－cos 60°＝0．

求空间向量的数量积的步骤

(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．

(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积．

(3)代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．

1．(2022·云南昆明高二月考)已知单位向量a，b满足|a|＝|a＋b|，则·b＝(　　)

A．  B．1  C．   D．0

D　[∵a，b是单位向量，∴a2＝b2＝1．

∵|a|＝|a＋b|，∴a2＋2a·b＋b2＝1，故a·b＝－，

∴·b＝a·b＋b2＝－＋＝0．故选D．]

2．已知空间四面体D­ABC的每条棱长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，则·等于(　　)

A．　　B．－　　C．　　D．－

B　[如图：∵点E，F分别是AB，AD的中点，∴＝，

∵空间四面体D­ABC的每条棱长都等于1，∴每个面都是等边三角形，

∴·＝·＝·＝－·＝－·||·||·cos ＝－×1×1×＝－，故选B．]

类型2　利用数量积证明空间中的垂直关系

【例2】　如图所示，已知三棱柱ABC­A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．证明：EF⊥BC．

[证明]　连接A1E(图略)，∵平面A1ACC1⊥平面ABC，A1A＝A1C，E是AC的中点，则有A1E⊥平面ABC，亦即有·＝0，∴·＝(＋)·＝－·＋·＝·．

又∵A1B1AB，F是A1B1的中点，∴＝＝－．

∵∠ABC＝90°，∴·＝0，

∴·＝－·＝0，

∴⊥，即EF⊥BC．

用数量积证明线线垂直的步骤是什么？

[提示]　(1)把几何问题转化为向量问题；

(2)用已知模和夹角的向量表示所证向量；

(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0；

(4)将向量问题回归到几何问题．

3．已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．

[证明]　连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，

又设＝a，＝b，＝c，

则|a|＝|b|＝|c|．

又＝(＋)

＝

＝(a＋b＋c)，＝c－b．

∴·＝(a＋b＋c)·(c－b)

＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)

＝(|a|2·cos θ－|a|2·cos θ－|a|2＋|a|2)＝0．

∴⊥，即OG⊥BC．

类型3　利用数量积求夹角

【例3】　已知BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，四边形ABB1A1和BB1C1C都是正方形，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角．

[解]　如图所示，因为＝＋，＝＋，

所以·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·．因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，所以·＝0，·＝0，·＝0且·＝－a2．所以·＝－a2．

又·＝||·||cos〈，〉，

所以cos〈，〉＝＝－．

又因为〈，〉∈[0，π]，所以〈，〉＝120°，又因为异面直线所成的角是锐角或直角，

所以异面直线BA1与AC所成的角为60°．

利用向量求异面直线夹角的步骤

4．已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，则异面直线OE与BF所成角的余弦值为________．

　[如图，设＝a，＝b，＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝，则a·b＝b·c＝c·a＝．

因为＝(＋)＝(a＋b)，

＝－＝－＝c－b，

所以·＝(a＋b)·＝a·c＋b·c－a·b－b2＝－．

又因为||＝||＝，

所以cos〈，〉＝＝－．

所以异面直线OE与BF所成角的余弦值为．]

类型4　利用数量积求两点间的距离

【例4】　如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．

B，D间的距离可用||表示，结合题中已知的条件，如何转化向量？

[解]　∵∠ACD＝90°，∴·CD＝0，同理可得·＝0．∵AB与CD成60°角，∴〈，〉＝60°或〈，〉＝120°．又＝＋＋，

∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×1×1×cos〈，〉．

∴当〈，〉＝60°时，||2＝4，此时B，D间的距离为2；当〈，〉＝120°时，||2＝2，此时B，D间的距离为．

求两点间距离的方法

(1)取以两点为起点和终点的向量；

(2)用已知夹角和模的向量表示该向量；

(3)利用a2＝|a|2，计算出|a|，|a|即为所求距离．

5．如图所示，在平面角为120°的二面角α­AB­β中，AC⊂α，BD⊂β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B．已知AC＝AB＝BD＝6，求线段CD的长．

[解]　∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴·＝0，·＝0．

∵二面角α­AB­β的平面角为120°，∴〈，〉＝180°－120°＝60°．

∴2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝3×62＋2×62×cos 60°＝144，

∴CD＝12．

1．(多选题)设a，b为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有(　　)

A．a2＝|a|2

B．＝

C．(a·b)2＝a2·b2

D．(a－b)2＝a2－2a·b＋b2

AD　[由数量积的性质和运算律可知AD是正确的．]

2．在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则·等于(　　)

A．0　　　　B．　　　　C．－　　　　D．

D　[·＝(＋)·＝(·＋·)＝＝，故选D．]

3．若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，则(　　)

A．m∥n

B．m⊥n

C．m既不平行于n，也不垂直于n

D．以上三种情况都有可能

B　[由已知得m·a＝0，m·b＝0，

所以m·n＝m·(λa＋μb)＝λm·a＋μm·b＝0．

因此m⊥n，故选B．]

4．已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则两直线的夹角为________．

60°　[设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝－，所以θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°．]

5．如图，在三棱锥A­BCD中，底面边长与侧棱长均为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且MB＝2AM，CN＝ND，则MN的长为________．

a　[因为＝＋＋＝＋(－)＋(－)＝－＋＋，

所以2＝2

＝2－·－·＋·＋2＋2

＝a2－a2－a2＋a2＋a2＋a2

＝a2．

所以||＝a，即MN＝a．]

回顾本节知识，自主完成以下问题：

1．空间向量的夹角和数量积的定义与平面向量的夹角和数量积的定义是否一致？

[提示]　一致．

2．向量a在向量b上的投影向量为向量c，则如何求|c|？试列举出你知道的方法．

[提示]　|c|＝|a|cos〈a，b〉或|c|＝．

3．利用空间向量的数量积可研究哪些问题？

[提示]　可以解决立体几何问题中涉及垂直、距离、夹角的一些问题．