2023新教材高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念第1课时集合的含义教师用书新人教A版必修第一册

1.1　集合的概念第1课时　集合的含义1．通过实例了解集合的含义．(难点)2．理解元素与集合的“属于”关系，掌握常用数集的表示符号并会应用．(重点、易混点)1．通过集合概念的学习，逐步形成数学抽象素养．2．借助集合中元素的互异性的应用，培养逻辑推理素养．在生活与学习中，为了方便，我们要经常对事物进行分类．例如图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的(如图所示)；三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；到目前为止，我们学的数可以分为有理数和无理数……你还可以举出一些数学中有关分类的实例吗？知识点1　元素与集合的相关概念(1)元素：(2)集合：(3)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．(1)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？(2)某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？[提示]　(1)某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”没有明确的标准．(2)某班身高高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定．集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三个特性，则这组对象也就不能构成集合．知识点2　元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．1．已知集合A中的元素x满足x<1，则下列各式正确的是(　　)A．3∈A　　B．1∈A　　C．0∈A　　D．－1∉AC　[∵0<1，∴0是集合A中的元素，∴0∈A，故选C．]知识点3　常见的数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N＋ZQR2．用“∈”或“∉”填空：________N；－3________Z；________Q；0________N*；________R．[答案]　∉　∈　∉　∉　∈ 类型1　集合的基本概念【例1】　(对接教材P2引例(1)～(6))2022年9月，我们踏入了心仪的高中校园，找到了自己的班级．则下列对象中能构成一个集合的是哪些？并说明你的理由．(1)你所在班级中的全体同学；(2)班级中比较高的同学；(3)班级中身高超过178 cm的同学；(4)班级中比较胖的同学；(5)班级中体重超过75 kg的同学；(6)学习成绩比较好的同学．[解]　(1)班级中的全体同学是确定的，所以可以构成一个集合．(2)因为“比较高”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合．(3)因为“身高超过178 cm”是确定的，所以可以构成一个集合．(4)“比较胖”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合．(5)“体重超过75 kg”是确定的，所以可以构成一个集合．(6)“学习成绩比较好”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合．一组对象能组成集合的标准是什么？[提示]　判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性和无序性．[跟进训练]1．(多选)下列各组对象能组成集合的是(　　)A．中国古典文学四大名著B．中国最美乡村C．清华大学2022年入校的全体学生D．的近似值的全体AC　[B选项中“最美”的标准不明确，不符合确定性，不能组成集合，D选项中“的近似值”的标准不确定，不能构成集合．故选AC．] 类型2　元素与集合的关系【例2】　(1)(多选)下列所给关系正确的是(　　)A．π∈R　　　　　 B．∉QC．0∈N* D．|－5|∉N*(2)集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．(1)AB　(2)0，1，2　[(1)π是实数，所以π∈R正确；是无理数，所以∉Q正确；0不是正整数，所以0∈N*错误；|－5|＝5为正整数，所以|－5|∉N*错误．故选AB．(2)∵∈N，∴3－x＝1或2或3或6，即x＝2或1或0或－3．又x∈N，故x＝0或1或2．即集合A中的元素为0，1，2．]判断元素与集合关系的2种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．[跟进训练]2．(多选)已知集合A中元素满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是(　　)A．－2∈A   B．－11∉AC．3k2－1∈A   D．－34∉ABC　[若－2∈A，则3k－1＝－2，即k＝－∉Z，故A错误；若－11∈A，则3k－1＝－11，即k＝－∉Z，故B正确；因为k∈Z，故k2∈Z，故3k2－1∈A，故C正确；若－34＝3k－1，则k＝－11∈Z，故D错误．故选BC．] 类型3　集合中元素的特性及应用【例3】　已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．以集合中元素的确定性和互异性为切入点，思考求解a值的方法．[解]　由题意可知，a＝1或a2＝a，(1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1．(2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．综上可知，实数a的值为0．[母题探究]本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围．[解]　由集合中元素的互异性可知a2≠1，即a≠±1．根据集合中元素的特性求值的3个步骤[跟进训练]3．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x．(1)求实数x应满足的条件；(2)若－2∈A，求实数x的值．[解]　(1)由集合中元素的互异性可知，x≠3，且x≠x2－2x，x2－2x≠3．解得x≠－1且x≠0，x≠3．(2)∵－2∈A，∴x＝－2或x2－2x＝－2．由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，即x2－2x＝－2无解．∴x＝－2．1．(多选)下列给出的对象中，不能构成集合的是(　　)A．一切很大的数　　 B．好心人C．漂亮的小女孩 D．不小于3的自然数ABC　[“很大”“好”“漂亮”等词没有严格的标准，故选项A、B、C中的元素均不能构成集合，故选ABC．]2．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为(　　)A．1　　B．2　　C．3　　D．4C　[由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b” “o” “k”三个元素．故选C．]3．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是(　　)A．3.14　　B．－5　　C．　　D．D　[由题意可知，a∈R且a∉Q，所以a是无理数，故选D．]4．若1∈A，且集合A与集合B相等，则1________B(填“∈”或“∉”)．∈　[由集合相等的定义可知，1∈B．]5．已知集合A由a2－a＋1，|a＋1|两个元素构成，若3∈A，则a的值为________．－1或－4　[∵3∈A，∴a2－a＋1＝3或|a＋1|＝3．①若a2－a＋1＝3，则a＝2或a＝－1．当a＝2时，|a＋1|＝3，此时与集合的互异性相矛盾，因此应舍去．当a＝－1时，|a＋1|＝0≠3，满足题意．②若|a＋1|＝3，则a＝－4或a＝2(舍去)．当a＝－4时，a2－a＋1＝21≠3，满足题意．综上可知a＝－1或a＝－4．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．集合中的元素有哪些特性，判断一组对象能否构成集合的关键是什么？[提示]　集合中的元素有确定性、互异性和无序性，其中确定性是判断一组对象能否构成集合的关键．2．元素与集合间存在哪些关系？[提示]　元素与集合间只有“属于”和“不属于”两种关系．3．学习了哪些常用数集？[提示]　自然数集(或非负整数集)(N)、正整数集(N*或N＋)、整数集(Z)，有理数集(Q)和实数集(R)．