2023年新八年级数学人教版暑假弯道超车自学预习——第14讲 等腰三角形常用作辅助线的方法

第14讲  等腰三角形常用作辅助线的方法

【人教版】

·模块一  作平行线

·模块二  作垂线

·模块三  倍长中线法

·模块四  截长补短法

·模块五  课后作业

【例1】如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（    ）

A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.25

【例2】P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D．

（1）证明：PD＝DQ．

（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．

【变式1】如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点．

求让：

【例1】如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°．

【例2】如图，中，，则点B的坐标为________．

【例3】如图，在中，，，，，延长交于.求证：.

【变式1】如图，是延长线上一点，且，是上一点，，求证：.

【变式2】如图，已知AD为△ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且AE＝FE.

求证：BF＝AC．

【例1】如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，，则的长为____________．

【例2】已知三角形的两边长分别是2和4，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是______．

【例3】如图，在中，，BE是AC的中线，点D在AC的延长线上，连接BD，若．

(1)猜想BD=________BE；

(2)完成（1）的证明过程．

【变式1】如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，且BE＝AC，求证：∠BED＝∠CAD．

【变式2】如图，已知，点是的中点，且，求证：．

【例1】如图，在中，平分交于点D，若，求的度数．

【例2】如图，四边形中，， ，，M、N分别为AB、AD上的动点，且．求证： ．

【变式1】如图，为等边三角形，若，则__________（用含的式子表示）．

【变式2】如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60°．试探BM，MN，CN之间的数量关系，并给出证明．

1．如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，AC＝BD＝CD，点P是△OCD角平分线的交点，点M是AB的中点，给出下列结论：①∠CPD＝135°；②BA＝BP；③△PAC≌△PDB；④S△ABP＝S△DCP；⑤PM＝CD．其中正确的是___．（填序号）

2．如图，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分线，求证：AE+BE=BC．

3．如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．

已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE． 求证：AB=CD．

分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明．

4．【阅读理解】数学兴趣小组活动时，老师提出如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明提出了如下解决方法，延长线段至点E，使，连接．请根据小明的方法回答下列问题．

(1)由已知和作图能得到的理由是____________．

A．        B．        C．        D．

(2)探究得出的取值范围___________．

A．        B．        C．        D．

【问题解决】

(3)如图2，在中，，，是的中线，求证：．

5．如图，为的中线，在上，交于，且．求证：．

6．已知：如图，在中，，、分别为、上的点，且、交于点．若、为的角平分线．

(1)求的度数；

(2)若，，求的长．