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2023年新八年级数学人教版暑假弯道超车自学预习——第01讲 与三角形有关的线段
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·模块一 三角形的边
·模块二 三角形的高、中线和角平分线
·模块三 三角形的稳定性
·模块四 课后作业
模块一
三角形的边
1.三角形的基本概念
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.三角形的分类
①按边之间的关系分：
三边都不相等的三角形叫做不等边三角形；有两边相等的三角形叫做等腰三角形；三边都相等的三角形叫做等边三角形。
②按角分类：
三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。
3.三角形的三边之间的关系
三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。
【考点1 三角形的有关概念】
【例1.1】一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是（ ）
A．B．
C．D．
【例1.2】如图，图中的三角形共有（ ）个．
A．3B．4C．5D．6
【例1.3】如图，以点A、B、C、D、E中的任意3点为顶点的三角形共有几个，请在图中画出这些三角形.
【变式1.1】如图，以∠B为内角的三角形有_______个
【变式1.2】已知：如图，试回答下列问题：
（1）图中有_______个三角形，其中直角三角形是______．
（2）以线段AC为公共边的三角形是___________．
（3）线段CD所在的三角形是_______，BD边所对的角是________．
【考点2 三角形的分类】
【例2.1】关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（ ）
A．甲、乙两种分法均正确B．甲、乙两种分法均错误
C．甲的分法错误，乙的分法正确D．甲的分法正确，乙的分法错误
【例2.2】图中的三角形被木板遮住了一部分，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能
【变式2.1】设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形．下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2.2】下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，如果按角的大小来进行分类，其中不能判断三角形类型的是（ ）
A．B．C．D．
【考点3 三角形的三边关系】
【例3.1】下列长度的三条线段，能构成三角形的是（ ）
A．2，3，6B．2，3，5C．3，4，5D．3，6，3
【例3.2】已知三条线段的长分别是3，7，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是（ ）
A．11B．10C．9D．7
【例3.3】如果a，b，c为一个三角形的三边长，那么点Pa+b−c，a−b−c在第____________象限．
【变式3.1】三角形三边长为3，7和x，且x是偶数，则这个三角形的周长为（ ）
A．14B．16C．14或16D．16或18
【变式3.2】已知a，b，c是△ABC的三边长，且a=4，b=6，若三角形的周长是小于18的偶数．
（1）求c的值；
（2）判断△ABC的形状．
模块二
三角形的高、中线和角平分线
高
从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
2.中线
在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
3.角平分线
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
【考点1 三角形的高】
【例1.1】如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
B．
C． D．
【例1.2】下列各组图形中，表示线段AD是△ABC中BC边上的高的图形为（ ）
A． B．
C．D．
【例1.3】如图，△ABC中，∠C=90∘，CD⊥AB于D，图中线段中可以作为△ACD的高的有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
【变式1.1】如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，线段的交点称作格点，请按下列要求作图并填空
(1)画出△ABC中，AC边上的高BE；
(2)画出△ABC中，BC边上的高AD；
(3)直接写出△ABC的面积是______.
【变式1.2】如图，△ABC中，AD⊥BC于D，E是CD上一点，则以AD为高的三角形的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式1.3】如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，DE⊥BC于点E，则下列说法正确的是( )
A．DE是△ACE的高
B．BD是△ADE的高
C．AB是△BCD的高
D．DE是△BCD的高
【考点2 三角形的中线】
【例2.1】如图，在△ABC中，点D在边BC上，并给出部分数据，则AD是△ABC的（ ）
A．角平分线B．中线C．高线D．垂直平分线
【例2.2】如图，AD是△ABC的中线，△ABC的面积为6cm2，则△ABD面积为（ ）
A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm2
【例2.3】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，则AC的长为（ ）
A．3B．5C．8D．6
【变式2.1】如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，G为线段EC的中点，下列四条线段中，是△ABC的中线的是（ ）
A．线段DEB．线段BEC．线段EFD．线段FG
【变式2.2】如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，若AD=3，S△ABC=12，则BE的长为（ ）．
A．1B．32C．2D．4
【考点3 三角形的角平分线】
【例3.1】如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（ ）
A．中线B．高线C．角平分线D．任意一条线段
【例3.2】如图，在△ABC中，∠1=∠2=∠3=∠4，则下列说法中，正确的是（ ）
A．AD是△ABE的中线B．AE是△ABC的角平分线
C．AF是△ACE的高线D．AE是△ABC的中线
【变式3.1】下列正确的有（ ）
①三角形的三条角平分线的交点在三角形内②三角形三条中线的交点在三角形内③三角形的三条高线的交点在三角形内 ④三角形的三条高线的交点在三角形外
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式3.2】如图，AD、BE、CF为△ABC的三条角平分线，则：∠1+∠2+∠3＝_____．
模块三
三角形的稳定性
1.三角形的稳定性
三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。
【考点1 三角形的稳定性】
【例1.1】下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A．直角三角形B．长方形C．五边形D．正六边形
【例1.2】下列图形具有稳定性的是_______（填序号）．
【变式1.1】下列图形中不具有稳定性的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1.2】王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图，要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（ ）
A．0根B．1根C．2根D．3根
【考点2 三角形稳定性的实际应用】
【例2.1】如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB即可固定，这里所用的几何原理是（ ）
A．两点之间线段最短B．垂线段最短
C．两定确定一条直线D．三角形具有稳定性
【例2.2】在手工课上，小杰用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个如图所示的木框，小杰发现相邻两木条的夹角均可调整，所以很容易变形，为了使木框不易变形，下列方案中最好的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2.1】造房子时屋顶常用三角结构，从数学角度来看，是根据三角形具有_________．
【变式2.2】如图，手机支架采用了三角形结构，这是利用三角形的（ ）
A．灵活性B．全等形C．稳定性D．对称性
模块四
课后作业
1．在下列各图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知三角形的一个最大角的度数，（ ）判断出它是什么三角形．
A．能B．不能C．不一定D．无法确定
3．如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E，F为AB上的一点，CF⊥AD于H．下列判断正确的是（ ）
A．线段AD是△ABE的角平分线B．线段CH为△ACD边AD上的高
C．线段BE是△ABD边AD上的中线D．线段AH为△ABC的角平分线
4．我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是（ ）
A．三角形的内角和为180°B．三角形的稳定性
C．两点之间线段最短D．垂线段最短
5．有四根木条，长度分别是5cm、6cm、11cm、16cm，选其中三根组成三角形，能组成三角形的个数是（ ）个
A．1B．9C．3D．10
6．如图，在ΔACE中，∠CEA的对边是___________．
7．在下列四个图形中，①正方形；②长方形；③直角三角形；④平行四边形；具有稳定性的是_____（填序号）
8．一个三角形的两条边长分别为3，5，周长为11，那么它的第三边长为__________．
9．如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，若BE=3，则BC=_____．
10．如图，AD，AE分别是△ABC的高和中线，已知AD=5cm，CE=6cm，则△ABC的面积为_____________．
11．如图，以点A为顶点的三角形有_____个，它们分别是_____．
12．已知a，b，c是△ABC三边的长，化简|a+b−c+a−b−c+c−a−b+b−a−c|=_____．
13．已知：△ABC中，AB=5，BC=2a+1，AC=12，求a的范围．
14．如图为8×9的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，已知△ABC的三个顶点均在格点上．按要求画图：
(1)画出△ABC的边BC上的高AD；
(2)连接格点，用一条线段将△ABC分成面积相等的两部分；
(3)直接写出△ABC的面积________．
15．如图，已知AD,AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm，∠CAB=90°，求：
(1)△ABC的面积；
(2)AD的长；
(3)△ACE和△ABE的周长的差．
·模块一 三角形的边
·模块二 三角形的高、中线和角平分线
·模块三 三角形的稳定性
·模块四 课后作业
模块一
三角形的边
1.三角形的基本概念
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.三角形的分类
①按边之间的关系分：
三边都不相等的三角形叫做不等边三角形；有两边相等的三角形叫做等腰三角形；三边都相等的三角形叫做等边三角形。
②按角分类：
三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。
3.三角形的三边之间的关系
三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。
【考点1 三角形的有关概念】
【例1.1】一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是（ ）
A．B．
C．D．
【例1.2】如图，图中的三角形共有（ ）个．
A．3B．4C．5D．6
【例1.3】如图，以点A、B、C、D、E中的任意3点为顶点的三角形共有几个，请在图中画出这些三角形.
【变式1.1】如图，以∠B为内角的三角形有_______个
【变式1.2】已知：如图，试回答下列问题：
（1）图中有_______个三角形，其中直角三角形是______．
（2）以线段AC为公共边的三角形是___________．
（3）线段CD所在的三角形是_______，BD边所对的角是________．
【考点2 三角形的分类】
【例2.1】关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（ ）
A．甲、乙两种分法均正确B．甲、乙两种分法均错误
C．甲的分法错误，乙的分法正确D．甲的分法正确，乙的分法错误
【例2.2】图中的三角形被木板遮住了一部分，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能
【变式2.1】设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形．下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2.2】下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，如果按角的大小来进行分类，其中不能判断三角形类型的是（ ）
A．B．C．D．
【考点3 三角形的三边关系】
【例3.1】下列长度的三条线段，能构成三角形的是（ ）
A．2，3，6B．2，3，5C．3，4，5D．3，6，3
【例3.2】已知三条线段的长分别是3，7，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是（ ）
A．11B．10C．9D．7
【例3.3】如果a，b，c为一个三角形的三边长，那么点Pa+b−c，a−b−c在第____________象限．
【变式3.1】三角形三边长为3，7和x，且x是偶数，则这个三角形的周长为（ ）
A．14B．16C．14或16D．16或18
【变式3.2】已知a，b，c是△ABC的三边长，且a=4，b=6，若三角形的周长是小于18的偶数．
（1）求c的值；
（2）判断△ABC的形状．
模块二
三角形的高、中线和角平分线
高
从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
2.中线
在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
3.角平分线
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
【考点1 三角形的高】
【例1.1】如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
B．
C． D．
【例1.2】下列各组图形中，表示线段AD是△ABC中BC边上的高的图形为（ ）
A． B．
C．D．
【例1.3】如图，△ABC中，∠C=90∘，CD⊥AB于D，图中线段中可以作为△ACD的高的有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
【变式1.1】如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，线段的交点称作格点，请按下列要求作图并填空
(1)画出△ABC中，AC边上的高BE；
(2)画出△ABC中，BC边上的高AD；
(3)直接写出△ABC的面积是______.
【变式1.2】如图，△ABC中，AD⊥BC于D，E是CD上一点，则以AD为高的三角形的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式1.3】如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，DE⊥BC于点E，则下列说法正确的是( )
A．DE是△ACE的高
B．BD是△ADE的高
C．AB是△BCD的高
D．DE是△BCD的高
【考点2 三角形的中线】
【例2.1】如图，在△ABC中，点D在边BC上，并给出部分数据，则AD是△ABC的（ ）
A．角平分线B．中线C．高线D．垂直平分线
【例2.2】如图，AD是△ABC的中线，△ABC的面积为6cm2，则△ABD面积为（ ）
A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm2
【例2.3】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，则AC的长为（ ）
A．3B．5C．8D．6
【变式2.1】如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，G为线段EC的中点，下列四条线段中，是△ABC的中线的是（ ）
A．线段DEB．线段BEC．线段EFD．线段FG
【变式2.2】如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，若AD=3，S△ABC=12，则BE的长为（ ）．
A．1B．32C．2D．4
【考点3 三角形的角平分线】
【例3.1】如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（ ）
A．中线B．高线C．角平分线D．任意一条线段
【例3.2】如图，在△ABC中，∠1=∠2=∠3=∠4，则下列说法中，正确的是（ ）
A．AD是△ABE的中线B．AE是△ABC的角平分线
C．AF是△ACE的高线D．AE是△ABC的中线
【变式3.1】下列正确的有（ ）
①三角形的三条角平分线的交点在三角形内②三角形三条中线的交点在三角形内③三角形的三条高线的交点在三角形内 ④三角形的三条高线的交点在三角形外
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式3.2】如图，AD、BE、CF为△ABC的三条角平分线，则：∠1+∠2+∠3＝_____．
模块三
三角形的稳定性
1.三角形的稳定性
三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。
【考点1 三角形的稳定性】
【例1.1】下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A．直角三角形B．长方形C．五边形D．正六边形
【例1.2】下列图形具有稳定性的是_______（填序号）．
【变式1.1】下列图形中不具有稳定性的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1.2】王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图，要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（ ）
A．0根B．1根C．2根D．3根
【考点2 三角形稳定性的实际应用】
【例2.1】如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB即可固定，这里所用的几何原理是（ ）
A．两点之间线段最短B．垂线段最短
C．两定确定一条直线D．三角形具有稳定性
【例2.2】在手工课上，小杰用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个如图所示的木框，小杰发现相邻两木条的夹角均可调整，所以很容易变形，为了使木框不易变形，下列方案中最好的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2.1】造房子时屋顶常用三角结构，从数学角度来看，是根据三角形具有_________．
【变式2.2】如图，手机支架采用了三角形结构，这是利用三角形的（ ）
A．灵活性B．全等形C．稳定性D．对称性
模块四
课后作业
1．在下列各图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知三角形的一个最大角的度数，（ ）判断出它是什么三角形．
A．能B．不能C．不一定D．无法确定
3．如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E，F为AB上的一点，CF⊥AD于H．下列判断正确的是（ ）
A．线段AD是△ABE的角平分线B．线段CH为△ACD边AD上的高
C．线段BE是△ABD边AD上的中线D．线段AH为△ABC的角平分线
4．我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是（ ）
A．三角形的内角和为180°B．三角形的稳定性
C．两点之间线段最短D．垂线段最短
5．有四根木条，长度分别是5cm、6cm、11cm、16cm，选其中三根组成三角形，能组成三角形的个数是（ ）个
A．1B．9C．3D．10
6．如图，在ΔACE中，∠CEA的对边是___________．
7．在下列四个图形中，①正方形；②长方形；③直角三角形；④平行四边形；具有稳定性的是_____（填序号）
8．一个三角形的两条边长分别为3，5，周长为11，那么它的第三边长为__________．
9．如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，若BE=3，则BC=_____．
10．如图，AD，AE分别是△ABC的高和中线，已知AD=5cm，CE=6cm，则△ABC的面积为_____________．
11．如图，以点A为顶点的三角形有_____个，它们分别是_____．
12．已知a，b，c是△ABC三边的长，化简|a+b−c+a−b−c+c−a−b+b−a−c|=_____．
13．已知：△ABC中，AB=5，BC=2a+1，AC=12，求a的范围．
14．如图为8×9的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，已知△ABC的三个顶点均在格点上．按要求画图：
(1)画出△ABC的边BC上的高AD；
(2)连接格点，用一条线段将△ABC分成面积相等的两部分；
(3)直接写出△ABC的面积________．
15．如图，已知AD,AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm，∠CAB=90°，求：
(1)△ABC的面积；
(2)AD的长；
(3)△ACE和△ABE的周长的差．
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