2023年新八年级数学北师大版暑假自学预习——第11讲 变量与函数

第11讲 变量与函数

学习目标

1. 理解变量与常量概念，并会辨别自变量与因变量

2. 掌握自变量的取值范围运算方法

3. 理解函数定义，并能根据生活实际列出相关的函数解析式

4. 通过函数图像的学习，培养学生读取图像信息能力，学会归纳总结。

知识点1：变量与常量

定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量．

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和 y，并且对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量， y是因变量，y 是x 的函数．如果 当 x=a时，y=b ，b那么 a叫做当自变量 x的值为a 时的函数值．

知识点2：自变量取值范围

初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：

（1）函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；

（2）函数关系式为分式形式：分母0

（3）函数关系式含算术平方根：被开方数0；

（4）函数关系式含0指数：底数0。

知识点3：函数定义

像这样，用关于自变量的数学式子表示

函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式

知识点4：函数的图像

考点一：变量与常量

例1．（2022秋•武义县期末）笔记本每本a元，买3本笔记本共支出y元，下列选项判断正确的有（　　）

A．a是常量时，y是变量 

B．a是变量时，y是常量 

C．a是变量时，y也是变量 

D．无论a是常量还是变量，y都是变量

【变式1-1】（2023•南海区校级模拟）球的体积是V，球的半径为R，则V＝πR3，其中变量和常量分别是（　　）

A．变量是V，R；常量是，π B．变量是R，π；常量是 

C．变量是V，R，π；常量是 D．变量是V，R3；常量是π

【变式1-2】（2023•惠来县模拟）某人要在规定的时间内加工100个零件，如果用n表示工作效率，用t表示规定的时间，下列说法正确的是（　　）

A．数100和n，t都是常量 B．数100和n都是变量 

C．n和t都是变量 D．数100和t都是变量

【变式1-3】（2022春•清镇市校级期中）树的高度h随时间t的变化而变化，下列说法正确的是（　　）

A．h，t都是常量 B．t是自变量，h是因变量 

C．h，t都是自变量 D．h是自变量，t是因变量

考点二： 函数的定义

例2.（2023春•淮阳区月考）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（　　）

A． B． C． D．

【变式2-1】（2023春•原阳县月考）下列等式中，y不是x的函数的是（　　）

A．3x﹣2y＝0 B．x2﹣y2＝1 C． D．y＝|x|

【变式2-2】（2023春•偃师市校级月考）下列图形中，表示y是x的函数的是（　　）

A．B．C．D．

【变式2-3】（2022秋•余姚市校级期末）如图图象中，表示y是x的函数的个数有（　　）

A．1 B．2个 C．3个 D．4个

考点三： 函数的关系式

例3.（2022秋•晋中期末）如图是一支温度计的示意图，图中左边是用摄氏温度表示的温度值，右边是用华氏温度表示的温度值，下表是这两个温度值之间的部分对应关系：

根据以上信息，可以得到y与x之间的关系式为（　　）

A． B．y＝x+32 C．y＝x+40 D．

【变式3-1】（2022秋•肇源县期末）一个长方形的周长为30cm，长为xcm，宽为ycm，则用x表示y的关系式为（　　）

A．y＝30﹣x B．y＝ C．x＝15﹣y D．y＝15﹣x

【变式3-2】（2022秋•沈河区期末）小明一家自驾车到离家500km的某景点旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了行驶路程x（km）与油箱余油量y（L）之间的部分数据：

下列说法不正确的是（　　）

A．该车的油箱容量为45L 

B．该车每行驶100km耗油8L 

C．油箱余油量y（L）与行驶路程x（km）之间的关系式为y＝45﹣8x 

D．当小明一家到达景点时，油箱中剩余5L油

考点四：函数的自变量取值范围

例4.（2023春•鹿城区校级月考）在函数中，自变量x的取值范围是（　　）

A．x≠0 B．x＞2 C．x≥2 D．x＞0

【变式4-1】（2022秋•桂平市期末）函数y＝，自变量x的取值范围是（　　）

A．x＜0 B．x＞0 

C．x取任意实数 D．x≠0的一切实数

【变式4-2】（2023•惠山区校级模拟）函数中，自变量x的取值范围是（　　）

A．x≤2 B．x＜2 C．x＞2 D．x≥2

【变式4-3】（2022秋•贵池区期末）函数中，自变量x的取值范围是（　　）

A． B．x≠﹣3 

C．且x≠﹣3 D．且x≠﹣3

考点五：函数值

例5.（2022秋•沙坪坝区校级期末）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值为1，则输出y的值为2；若输入x的值为﹣2，则输出y的值为（　　）

A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8

【变式5-1】（2023•奉贤区一模）已知，那么f（﹣1）的值是 　  　．

【变式5-2】（2022秋•隆回县期末）如图，若输入x的值为﹣5，则输出的结果为（　　）

A．﹣6 B．﹣5 C．5 D．6

【变式5-3】（2023•灞桥区校级自主招生）f（x）＝，求f（﹣1）＝　  　．

考点六：函数的图像

例6.（2022秋•海淀区校级期末）小明家、食堂、图书馆在同一条直线上．小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．小明离家的距离与时间之间的对应关系如图所示．

根据如图回答下列问题：

（1）食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？

（2）小明吃早餐用了多少时间？在图书馆停留了多少时间？

（3）图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？

【变式6-1】（2023春•沙坪坝区校级月考）周末，小陈出去购物；如图是他离家的距离y（千米）与时间x（分钟）的关系图象，根据图示信息：下列说法正确的是（　　）

A．小陈去时的速度为6千米/小时 

B．小陈在超市停留了15分钟 

C．小陈去时花的时间少于回家所花的时间 

D．小陈去时走下坡路，回家时走上坡路

【变式6-2】（2022秋•肇源县期末）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校．如图所示是小明从家到学校这一过程中所走的路程s（米）与时间t（分）之间的关系．

（1）小明从家到学校的路程共　  　米，从家出发到学校，小明共用了　　分钟；

（2）小明修车用了多长时间？

（3）小明修车以前和修车后的平均速度分别是多少？

【变式6-3】（2022春•织金县期中）如图是某汽车从A地去B地（行驶过程中，速度相同），再返回行驶过程中路程与时间的关系，回答下列问题：

（1）A地与B地之间的距离是 　 　千米；汽车中途共休息了 　 　小时；

（2）在前3小时汽车的行驶速度是多少？汽车在返回时的平均速度是多少？

考点七：动点问题的函数图像

例7.（2022春•牡丹区校级期中）如图，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动到点A停止，设点P运动路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则长方形ABCD的周长是（　　）

A．24 B．18 C．20 D．40

【变式7-1】（2022春•朝阳区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（　　）

A． B． 

C． D．

【变式7-2】（2022春•东营区校级月考）如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A→B→C匀速运动到点C，图2是点P运动时线段CP的长度y随时间x变化的关系图象，其中点Q为曲线部分的最低点，则△ABC的面积为（　　）

A．50 B．60 C．65 D．70

【变式7-3】（2022秋•涡阳县校级月考）如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿B→C→D→A方向匀速运动至点A停止．已知点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为x（s），△PAB的面积为y（cm2），若y关于x的函数图象如图2所示，则长方形ABCD面积为（　　）cm2

A．20 B．28 C．48 D．24

1．（2023•广元）向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深h与注水量v的函数关系的大致图象是（　　）

A． B． 

C． D．

2．（2023•广安）如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高度，则下列能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的时间x（单位：s）之间的函数关系的大致图象是（　　）

A． B． 

C． D．

3．（2022•巴中）甲、乙两人沿同一直道从A地到B地，在整个行程中，甲、乙离A地的距离S与时间t之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（　　）

A．甲比乙早1分钟出发 

B．乙的速度是甲的速度的2倍 

C．若甲比乙晚5分钟到达，则甲用时10分钟 

D．若甲出发时的速度为原来的2倍，则甲比乙提前1分钟到达B地

4．（2022•益阳）已知一个函数的因变量y与自变量x的几组对应值如表，则这个函数的表达式可以是（　　）

A．y＝2x B．y＝x﹣1 C．y＝ D．y＝x2

5．（2022•大连）汽车油箱中有汽油30L．如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km．当0≤x≤300时，y与x的函数解析式是（　　）

A．y＝0.1x B．y＝﹣0.1x+30 

C．y＝ D．y＝﹣0.1x2+30x

6．（2022•常州）某城市市区人口x万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地y平方米，则y与x之间的函数表达式为（　　）

A．y＝x+50 B．y＝50x C．y＝ D．y＝

7．（2022•北京）下面的三个问题中都有两个变量：

①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；

②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；

③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x．

其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

8．（2022•武汉）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线）．这个容器的形状可能是（　　）

A． B． C． D．

9．（2023•岳阳）函数y＝中，自变量x的取值范围是 　     　．

10．（2023•黑龙江）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　     ．

1．（2022秋•东平县校级期末）下列各图能表示y是x的函数是（　　）

A．        B． C．     D．

2．（2023春•桥西区校级期中）在圆的周长C＝2πR中，常量与变量分别是（　　）

A．2是常量，C、π、R是变量 B．2π是常量，C、R是变量 

C．C、2是常量，R是变量 D．2是常量，C、R是变量

3．（2023春•铁西区期中）李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为24米．要围成的菜园是如图所示的长方形ABCD．设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是（　　）

A．y＝x+12 B．y＝﹣2x+24 C．y＝2x﹣24 D．y＝x﹣12

4．（2023春•昌平区期中）已知函数y＝，当x＝2时，函数值y为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8

5．（2023春•白银期中）在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中因变量是（　　）

A．太阳光强弱 B．水的温度 C．所晒时间 D．热水器

6．（2023春•揭东区月考）周末小丽从家里出发骑单车去公园，因为她家与公园之间是一条笔直的自行车道，所以小丽骑得特别放松．途中，她在路边的便利店挑选一瓶矿泉水，耽误了一段时间后继续骑行，愉快地到了公园．图中描述了小丽路上的情景，下列说法中错误的是（　　）

A．小丽从家到达公园共用时间20分钟 

B．公园离小丽家的距离为2000米 

C．小丽在便利店时间为15分钟 

D．便利店离小丽家的距离为1000米

7．（2023•青山区模拟）新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（　　）

A． B． 

C． D．

8．（2023春•禅城区校级期中）变量x与y之间的关系是y＝2x+1，当y＝5时，自变量x的值是（　　）

A．13 B．5 C．2 D．3.5

9．（2022秋•渠县校级期末）根据如图所示的计算程序，若输入的值x＝﹣3，则输出y的值为（　　）

A．﹣2 B．﹣8 C．10 D．13

10．（2023•平远县校级开学）碚碚用新买的50元5G电话卡打长途电话，按通话时间3分钟内收1.2元，3分钟后每超过1分钟加收0.3元钱的方式缴纳话费．若通话时间为t分钟（t大于等于3分钟），那么电话费用w（元）与时间t（分钟）的关系式可以表示为　        　．

11．（2023春•郓城县期中）甲、乙两家蓝莓采摘园的蓝莓品质相同，销售价格都是每千克30元，“五一”假期，两家均推出了优惠方案：甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买60元的门票，采摘的蓝莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘的蓝莓超过10千克后，超过部分五折优惠，优惠期间，设某游客的蓝莓采摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为y1（元），在乙采摘园所需总费用为y2（元）．

（1）当蓝莓采摘量超过10千克时，求y1、y2与x的关系式；

（2）若要采摘40千克蓝莓，去哪家比较合算？请计算说明．

12．（2023春•驿城区期中）为了解某种车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成如表：

（1）如表反映的两个变量中，自变量是　             ，因变量是　                　．

（2）根据表可知，汽车行驶3小时时，该车油箱的剩余油量为　　升，汽车每小时耗油　　升．

（3）请直接写出两个变量之间的关系式（用t来表示Q）．

13．（2023春•电白区期中）如图所示，图象反映的是：小明从家里跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家，其中x表示时间，y表示小明离家的距离．根据图象回答下列问题：

（1）体育场离小明家多远，小明从家到体育场用了多少时间？

（2）体育场离文具店多远？

（3）小明在文具店逗留了多少时间？

（4）小明从文具店回家的平均速度是多少？

14．（2023春•永春县期中）小明某天离家，先在A处办事后，再到B处购物，购物后回家．下图描述了他离家的距离s（米）与离家后的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：

（1）A处与小明家的距离是　　米，小明在从家到A处过程中的速度是　　米/分；

（2）小明在B处购物所用的时间是　　分钟，他从B处回家过程中的速度是　　米/分；

（3）如果小明家、A处和B处在一条直线上，那么小明从离家到回家这一过程（包括停留时间）的平均速度是　   　米/分．

15．（2023春•碑林区校级期中）小明家距离学校8千米．一天早晨，小明骑车上学途中自行车出现故障，他于原地修车，车修好后，立即在确保安全的前提下以更快的速度匀速骑行到达学校．如图反映的是小明上学过程中骑行的路程（千米）与他所用的时间（分钟）之间的关系，请根据图象，解答下列问题：

（1）小明骑行了 　　千米时，自行车出现故障；修车用了 　　分钟；

（2）自行车出现故障前小明骑行的平均速度为 　   千米/分，修好车后骑行的平均速度为 　 　千米/分；

（3）若自行车不发生故障，小明一直按故障前的速度匀速骑行，与他实际所用时间相比，将早到或晚到学校多少分钟？