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2023年新八年级数学北师大版暑假自学预习——第02讲 勾股定理的逆定理
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这是一份2023年新八年级数学北师大版暑假自学预习——第02讲 勾股定理的逆定理，文件包含第02讲勾股定理的逆定理解析版docx、第02讲勾股定理的逆定理原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
第02讲 勾股定理的逆定理
学习目标
1. 经历勾股定理的逆定理的探索过程，知道勾股定理与逆定理的联系与区别.
2. 能用勾股定理的逆定理解决一些简单的实际问题.
3. 初步认识勾股定理的逆定理的重要意义，会用勾股定理就解决一些几何问题.
4. 通过具体例子，了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立时其逆命题不一定成立.
知识点1：勾股定理逆定理
1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
2.如何判定一个三角形是否是直角三角形
（1） 首先确定最大边（如）.
（2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.
注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.
知识点2：勾股数
像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数
考点一：直角三角形的判断
例1．（2023八下·怀集期中）下列各组数据为边的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A．2、3、7 B．5、4、8 C．3、5、4 D．2、3、5
【答案】C
【解答】解：A、(2)2+(3)2≠72，不能构成直角三角形，故不合题意；
B、52+42≠82，不能构成直角三角形，故不合题意；
C、32+42=52，能构成直角三角形，故符合题意；
D、(2)2+(5)2≠32，不能构成直角三角形，故不合题意．
故答案为：C．
【变式1-1】（2023八下·定州期中）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．9，12，15 B．6， 8， 10
C．5，2，3 D．1.5，2.5， 3.5
【答案】D
【解答】解：A、92+122=152，是直角三角形，故不符合题意；
B.62+82=102，是直角三角形，故不符合题意；
C．（5）2+22=32，是直角三角形，故不符合题意；
D.1.52+2.52≠3.52，故不是直角三角形，故符合题意．
故答案为：D．
【变式1-2】（2023八下·会昌期中）在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的为（ ）
A．1，2，3 B．4，7，5 C．5，13，12 D．2，3，5
【答案】B
【解答】A．12+(2)2=(3)2，是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．42+52=41≠49=72，不是直角三角形，故本选项符合题意；
C．52+122=132，是直角三角形，故本选项不符合题意；
D．22+(5)2=32，是直角三角形，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【变式1-3】（2023八上·开江期末）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A．2、3、4 B．4、5、6 C．5、11、12 D．8、15、17
【答案】D
【解答】解：A、∵22+32=13≠52=25，∴以2、3、5为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵42+52=41≠62=36，∴以4、5、6为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵52+112=146≠122=144，∴以5、11、12为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵82+152=289=172，∴以8、15、17为边长的三个木棍能围成直角三角形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
例2.（2023八上·达川期末）在 △ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c， 下列所给数据中， 能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a=32，b=42，c=52 B．a2−b2=c2
C．∠A=2∠B=3∠C D．∠A∶∠B∶∠C=2∶5∶2
【答案】B
【解答】解：A、∵a2+b2=(32)2+(42)2=91，c2=(52)2=125，∴a2+b2≠c2，∴△ABC不是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵a2−b2=c2，∴a2+c2=b2，∴∠B=90°，∴△ABC是直角三角形，故此选项符合题意；
C、∵∠A=2∠B=3∠C，设∠C=x，则∠A=3x，∠B=32x，∴3x+32x+x=180°，解得x=(36011)°，∴∠A=(108011)°，∠B=(54011)°，∠C=(36011)°，∴△ABC不是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵∠A∶∠B∶∠C=2∶5∶2，设∠A=2x，∠B=5x，∠C=2x，∴2x+5x+2x=180°，解得x=20°，∴∴∠A=40°，∠B=100°，∠C=40°，∴△ABC不是直角三角形，故此选项不符合题意；
故答案为：B.
【变式2-1】（2023八上·内江期末）已知△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A．a2=b2−c2 B．a=6，b=8，c=10
C．∠A=∠B+∠C D．∠A：∠B：∠C=5：12：13
【答案】D
【解答】解：∵a2=b2−c2，
∴a2+c2=b2，
∴△ABC是直角三角形，故A不符合题意；
∵a2+b2=62+82=100，c2=102=100，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，故B不符合题意；
∵∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠A=180°，
∴∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形，故C不符合题意；
∵∠A：∠B：∠C=5：12：13，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°×135+12+13=78°，
∴△ABC不是直角三角形，故D符合题意；
故答案为：D.
例3．（2023八下·咸宁期中）如图，每个小正方形的边长为1
（1）求四边形ABCD的周长；
（2）∠BCD是直角吗？说明理由.
【答案】（1）解：∵每个小正方形的边长为1
∴AB=12+72=52，BC=22+42=25，CD=12+22=5，AD=32+42=5
∴四边形ABCD的周长为52+25+5+5=52+35+5
（2）解：如图所示，连接BD，
∵BD=32+42=5，BC=25，CD=5，
∴BD2=25，BC2+CD2=25，
∴BD2=BC2+CD2，
∴△BCD是直角三角形，∠BCD是直角.
【变式3-1】2023八上·鄞州期末）如图：△ABC的三个顶点坐标分别是A(−2，0)，B(1，4)，C(5，1).
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由.
【答案】（1）解：如图，△ABC为所作；
（2）解：△ABC为等腰直角三角形.
理由如下：∵A(−2，0)，B(1，4)，C(5，1)，
∴AB=(1+2)2+42=5，BC=(5−1)2+(1−4)2=5，AC=(5+2)2+12=52，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，
∵AB=CB，
∴△ABC为等腰直角三角形.
【变式3-2】（2022八上·历城期中）如图，正方形网格的每个小正方形边长都是1，△ABC的顶点在格点上．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）△ABC面积是 ，AC边上的高是 ．
【答案】（1）解：△ABC为直角三角形，
理由：由题意得：AB2=22+32=13，CB2=42+62=52，AC2=12+82=65，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为直角三角形，
∴∠ABC=90°；
（2）13；2565
【解答】（2）设AC边上的高为h，
由（1）得：AB=13，BC=52=213，AC=65，
∴△ABC的面积=12×AB×BC=12×13×213=13，
∵△ABC的面积=12×AC×ℎ，
∴12×65×ℎ=13，
∴ℎ=2565．
∴△ABC的面积为13，AC边上的高为2565．
考点二：勾股数的应用
例4.（2021八上·灵石期中）设三角形的三边分别是下列各组数，则不是直角三角形勾股数的一组是（ ）
A．3，4，5 B．2，3，4 C．5，12，13 D．6，8，10
【答案】B
【解答】本题设三角形三边分别为 a ， b ， c ， ( 三边不确定 )
而分别试求：是否符合直角三角形三边关系： a2+b2=c2 ，
A、 32+42=52 ，故A选项符合；
B、 22+32≠42 ，故B选项不符合；
C、 52+122=132 ，故C选项符合；
D、 62+82=102 ，故D选项符合．
故答案为：B．
【变式4-1】（2021八上·城阳月考）下列各组数中不是勾股数的是（ ）
A．9，15，12 B．11，60，61
C．6，8，10 D．0.3，0.4，0.5
【答案】D
【解答】根据勾股数的含义知，A、B、C三个选项的三组数均是勾股数， 选项D中的三个数都不是整数，故不是勾股数．
故答案为：D．
【变式4-2】（2021八上·惠来期中）下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，13，18
【答案】D
【解答】A、32 +42=52，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；
B、52 +122=132，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；
C、62 +82=102，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；
D、72 +132≠182，不能构成直角三角形，故不是勾股数，
故答案为：D．
【变式4-3】（2020八上·昌平期末）下列是勾股数的有( )
① 3、4、5；② 5、12 、13；③ 9、40 、41；④ 13、14、15；⑤7、10、17 ；
⑥ 11 、60 、61
A．6组 B．5组 C．4组 D．3组
【答案】B
【解答】解：①32+42=52 ，故3、4、5是勾股数；
②52+122=132 ，故5、12 、13是勾股数；
③92+402=412 ，故9、40 、41是勾股数；
④132+142≠152 ，故13、14、15不是勾股数；
⑤(7)2+(10)2=(17)2 ，故 7、10、17 是勾股数；
⑥112+602=612 ，故11 、60 、61是勾股数
是勾股数的共5组
故答案为：B
考点三：勾股定理的逆定理应用
例5.（2022八上·北仑期中）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪.
（1）△ABC是直角三角形吗？为什么？
（2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？
【答案】（1）解：△ABC是直角三角形，
理由：连接AC，
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AD=4米，CD=3米，由勾股定理得：AC=32+42=5(米)，
∵AC2+BC2=52+122=169，AB2=132=169，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形；
（2）解：该空地面积S=S△ACB−S△ADC=12×5×12−12×3×4=24(平方米)，
即铺满这块空地共需花费=24×100=2400元.
【变式5-1】（2022八上·大丰期中）如图所示四边形ABCD，已知AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求：
（1）AC的长；
（2）该四边形ABCD的面积.
【答案】（1）解：∵△ABC中，AB=3，BC=4，∠B=90°，
∴AC=AB2+BC2=5；
（2）解：S△ABC=12AB⋅BC=12×3×4=6，
∵在△ACD中， CD=12，AD=13，AC=5，
∴CD2+AC2=122+52=132=AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，
∴S△ACD=12AC⋅CD=12×5×12=30.
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=6+30=36.
【变式5-2】（2021八上·嵩县期末）2021年10月10日是辛亥革命110周年纪念日．为进一步弘扬辛亥革命中体现的中华民族的伟大革命精神，社区开展了系列纪念活动．如图，有一块四边形空地，社区计划将其布置成展区，陈列有关辛亥革命的历史图片．现测得 AB=AD=26m ， BC=16m ， CD=12m ，且 BD=20m ．
（1）试说明 ∠BCD=90° ；
（2）求四边形展区（阴影部分）的面积．
【答案】（1）解：∵△BCD 中，BC=16m，CD=12m，BD=20m，
∴BC2+CD2=162+122=400 ， BD2=202=400 ，
∴BC2+CD2=BD2 ，
∴△BCD 是直角三角形， ∠BCD=90 ；
（2）解：过点A作 AE⊥BD 于点E，
∴∠AEB=90° ，
∵AB=AD ，
∴BE=DE=12BD=10(m) ，
在 Rt△ABE 中，AB=26m，
∴AE=AB2−BE2=262−102=24(m) ，
∴S△ABD=12BD⋅AE=12×20×24=240(m2) ，
∵S△BCD=12BC⋅CD=12×16×12=96(m2) ，
∴S阴影面积=S△ABD−S△BCD=240−96=144(m2) ．
1．（南通）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．5，11，12 B．2，3，4 C．4，6，7 D．3，4，5
【解答】解：A、52+112≠122，不能组成直角三角形，故此选项错误；
B、22+32≠42，不能组成直角三角形，故此选项错误；
C、42+62≠72，不能组成直角三角形，故此选项错误；
D、32+42＝52，能组成直角三角形，故此选项正确．
故选：D．
2．（2020•河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4
【解答】解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是＝，
当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是＝；
当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；
当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是＝，
∵，
∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，
故选：B．
3．（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 （结果用含m的式子表示）．
【解答】解：∵m为正整数，
∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，
根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，
解得a＝m2﹣1，
∴弦是a+2＝m2﹣1+2＝m2+1，
故答案为：m2+1．
4．（北京）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝ °（点A，B，P是网格线交点）．
【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，
∴PD2+DB2＝PB2，
∴∠PDB＝90°，
∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，
故答案为：45．
5．（贵阳）在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边，当a2+b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）．
（1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为 三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为 三角形．
（2）猜想，当a2+b2 c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2 c2时，△ABC为钝角三角形．
（3）判断当a＝2，b＝4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．
【解答】解：（1）两直角边分别为6、8时，斜边＝＝10，
∴△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；
当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形；
故答案为：锐角；钝角；
（2）当a2+b2＞c2时，△ABC为锐角三角形；
当a2+b2＜c2时，△ABC为钝角三角形；
故答案为：＞；＜；
（3）∵c为最长边，2+4＝6，
∴4≤c＜6，
a2+b2＝22+42＝20，
①a2+b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜2，
∴当4≤c＜2时，这个三角形是锐角三角形；
②a2+b2＝c2，即c2＝20，c＝2，
∴当c＝2时，这个三角形是直角三角形；
③a2+b2＜c2，即c2＞20，c＞2，
∴当2＜c＜6时，这个三角形是钝角三角形．
6．（河北）已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．
尝试 化简整式A．
发现 A＝B2，求整式B．
联想 由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值：
直角三角形三边
n2﹣1
2n
B
勾股数组Ⅰ
/
8
17
勾股数组Ⅱ
35
/
37
【解答】解：尝试：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1，
发现∵n4+2n2+1＝（n2+1）2，A＝B2，B＞0，
∴B＝n2+1，
当2n＝8时，n＝4，∴n2+1＝42+1＝17；
当n2﹣1＝35时，n2+1＝37．
故答案为：17；37．
1．（2023八下·咸宁期中）以下列各组线段为边作三角形，能构成直角三角形的是（ ）
A．6，12，13 B．6，8，9 C．3，4，5 D．5，12，15
【答案】C
【解析】【解答】解：A、62+122=180≠132，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、62+82=100≠92，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、32+42=25=52，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
D、52+122=169≠152，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故答案为：C.
2．（2023八下·洪山期中）下列条件中，能够判断△ABC为直角三角形的是（ ）
A．AB=6，BC=8，AC=10 B．AB：BC：AC=1：2：3
C．∠A=∠B=∠C D．∠A：∠B：∠C=3：4：5
【答案】A
【解析】【解答】解：A.∵AB2+BC2=102=AC2，
∴△ABC是直角三角形，故此选项符合题意；
B.∵AB：BC：AC=1：2：3，
设AB=a，则BC=2a，AC=3a，
则AB+BC=a+2a=3a=AC，
不能构成三角形，故此选项不符合题意；
C.∵∠A=∠B=∠C，
∴∠A=∠B=∠C=60∘，
∴△ABC是等边三角形，故此选项不符合题意；
D.∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，
∴△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；
故答案为：A.
3.下面各组数中，是勾股数的是（ ）
A．9，16，25 B．0.3，0.4，0.5
C．1，3，2 D．7，24，25
【答案】D
【解答】解：A．∵92+162≠252，∴不是勾股数，不符合题意；
B．∵0.3，0.4，0.5不是整数，∴不是勾股数，不符合题意；
C．∵12+22≠32，∴不是勾股数，不符合题意；
D．∵72+242＝252，∴是勾股数，符合题意．
故选：D．
4．我们把符合等式a2+b2=c2的a、b、c三个称为勾股数．现请你用计算器验证下列各组的数是否勾股数．你能发现其中规律吗？请完成下列空格．
3，4，5；
5，12，13；
7，24，25；
9，40，41；
11， ， ；…
【答案】60；61
【解析】【解答】勾股数的第一个数是奇数，第三个数比第二个数大1，且第二个数是偶数，注意到
4=2×1×2；
12=2×2×3，
24=2×3×4；
40=2×4×5；
60=2×5×6，60+1=61.
故答案为(1).60；(2).61
5．（2020八上·柯桥期末）《九章算术》提供了许多整勾股数，如 (3，4，5) ， (5,12，13) ， (7,24,25) ， (8，15，17) 等等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”.后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若 m 是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么 m 与这两个整数构成一组勾股数；若 m 是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加l得到两个整数，那么 m 与这两个整数构成一组勾股数.由上述方法得到的勾股数称为“由 m 生成的勾股数”.若“由9生成的勾股数”的“弦数“记为 A ，“由20生成的勾股数”的“弦数“记为 B ，则 A+B= .
【答案】142
【解析】【解答】解：∵92=81，81=40+41
∴“由9生成的勾股数”的“弦数“记为41，即A=41，
∵(202)2+1=101 ，
∴“由20生成的勾股数”的“弦数“记为101，即B=101，
∴A+B=41+101=142 .
故答案为：142.
6．（2023八上·榆林期末）如图，在△ABC中，D是BC上一点，若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17.
（1）求证：∠ADB=90°；
（2）求△ADC的面积.
【答案】（1）证明：∵AB=10 ， BD=6 ， AD=8 ，
∴BD2+AD2=62+82=100 ， AB2=102=100 ，
∴BD2+AD2=AB2 ，
∴△ABD 是直角三角形，
∴∠ADB=90° .
（2）解：∵∠ADB=90° ，
∴∠ADC=180°−∠ADB=90° ，
∵AC=17 ， AD=8 ，
∴CD=AC2−AD2=172−82=15
∴△ADC 的面积为 =12AD⋅CD=12×8×15=60 .
∴△ADC 的面积为60.
7．（2023八下·洪山期中）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=3，BC=7，CD=5，∠B=90∘，求四边形ABCD的面积.
【答案】解：连接AC，
在△ACB中，∠B=90°，AB=3，BC=7，
∴AC=AB2+BC2=32+(7)2=4，
在△ACD中，AC2+AD2=42+32=25=CD2，
∴△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°，
∴四边形ABCD的面积=12AB×BC+12AC×AD
=12×3×7+12×3×4
=6+327.
故四边形ABCD的面积为6+327
8．（2021八上·六盘水月考）如图所示，六盘水市某中学有一块不规则四边形的空地ABCD，学校计划在空地上铺悬浮地板，经测量，∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，AD＝26m，CD＝24m.
（1）求空地ABCD的面积.
（2）若每铺1平方米悬浮地板需要120元，问总共需投入多少元？
【答案】（1）解：如图，连接AC，
在直角三角形ABC中，
∵∠ABC=90°，BC=6m，AB=8m，
∴AC=BC2+AB2=10m，
∵AC2+CD2=102+242=676=AD2，
∴∠ACD=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12×6×8+12×10×24＝144，
答：空地ABCD的面积是144m2.
（2）解：144×120=17280（元），
答：总共需投入17280元.
9．（2022八上·太原期中）为庆祝中华人民共和国成立73周年，喜迎党的二十大胜利召开，学校组织了“献礼二十大”小制作展示活动．小彬计划制作一架飞机模型，如图的四边形材料是飞机垂直尾翼的雏形．小彬测量发现AB=25cm，BC=18cm，AD=7cm，CD=30cm．根据设计要求，还需保证AD∥BC．由于手头工具有限，小彬只能测得BD=24cm．根据以上数据，请你判断该材料是否符合设计要求，并说明理由．
【答案】解：该材料符合设计要求，理由如下：
在△ABD中，AB=25cm，AD=7cm，BD=24cm，
∴AD2+BD2=72+242=625=252=AB2，
∴∠ADB=90°，
在△CBD中，BC=18cm，CD=30cm，BD=24cm，
∴BC2+BD2=182+242=900=302=CD2，
∴∠CBD=90°，
∴∠CBD=∠ADB，
∴AD∥BC，
∴该材料符合设计要求．
10．（2022八上·衢州期中）如图，一个零件的形状如图所示，∠A=90°，工人师傅量的这个零件各边的尺寸如图所示．
（1）求证：BC⊥BD
（2）求这个四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵∠A=90°，
∴AD2+AB2=DB2即122+92=DB2，
解之：DB=15；
∵DB2+BC2=152+82=289，DC2=172=289，
∴DB2+BC2=DC2，
∴∠DBC=90°，
∴BC⊥BD
（2）解：S四边形=S△ADB+S△DBC= 12×12×9 + 12×8×15 =114
第02讲 勾股定理的逆定理
学习目标
1. 经历勾股定理的逆定理的探索过程，知道勾股定理与逆定理的联系与区别.
2. 能用勾股定理的逆定理解决一些简单的实际问题.
3. 初步认识勾股定理的逆定理的重要意义，会用勾股定理就解决一些几何问题.
4. 通过具体例子，了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立时其逆命题不一定成立.
知识点1：勾股定理逆定理
1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
2.如何判定一个三角形是否是直角三角形
（1） 首先确定最大边（如）.
（2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.
注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.
知识点2：勾股数
像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数
考点一：直角三角形的判断
例1．（2023八下·怀集期中）下列各组数据为边的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A．2、3、7 B．5、4、8 C．3、5、4 D．2、3、5
【答案】C
【解答】解：A、(2)2+(3)2≠72，不能构成直角三角形，故不合题意；
B、52+42≠82，不能构成直角三角形，故不合题意；
C、32+42=52，能构成直角三角形，故符合题意；
D、(2)2+(5)2≠32，不能构成直角三角形，故不合题意．
故答案为：C．
【变式1-1】（2023八下·定州期中）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．9，12，15 B．6， 8， 10
C．5，2，3 D．1.5，2.5， 3.5
【答案】D
【解答】解：A、92+122=152，是直角三角形，故不符合题意；
B.62+82=102，是直角三角形，故不符合题意；
C．（5）2+22=32，是直角三角形，故不符合题意；
D.1.52+2.52≠3.52，故不是直角三角形，故符合题意．
故答案为：D．
【变式1-2】（2023八下·会昌期中）在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的为（ ）
A．1，2，3 B．4，7，5 C．5，13，12 D．2，3，5
【答案】B
【解答】A．12+(2)2=(3)2，是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．42+52=41≠49=72，不是直角三角形，故本选项符合题意；
C．52+122=132，是直角三角形，故本选项不符合题意；
D．22+(5)2=32，是直角三角形，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【变式1-3】（2023八上·开江期末）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A．2、3、4 B．4、5、6 C．5、11、12 D．8、15、17
【答案】D
【解答】解：A、∵22+32=13≠52=25，∴以2、3、5为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵42+52=41≠62=36，∴以4、5、6为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵52+112=146≠122=144，∴以5、11、12为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵82+152=289=172，∴以8、15、17为边长的三个木棍能围成直角三角形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
例2.（2023八上·达川期末）在 △ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c， 下列所给数据中， 能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a=32，b=42，c=52 B．a2−b2=c2
C．∠A=2∠B=3∠C D．∠A∶∠B∶∠C=2∶5∶2
【答案】B
【解答】解：A、∵a2+b2=(32)2+(42)2=91，c2=(52)2=125，∴a2+b2≠c2，∴△ABC不是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵a2−b2=c2，∴a2+c2=b2，∴∠B=90°，∴△ABC是直角三角形，故此选项符合题意；
C、∵∠A=2∠B=3∠C，设∠C=x，则∠A=3x，∠B=32x，∴3x+32x+x=180°，解得x=(36011)°，∴∠A=(108011)°，∠B=(54011)°，∠C=(36011)°，∴△ABC不是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵∠A∶∠B∶∠C=2∶5∶2，设∠A=2x，∠B=5x，∠C=2x，∴2x+5x+2x=180°，解得x=20°，∴∴∠A=40°，∠B=100°，∠C=40°，∴△ABC不是直角三角形，故此选项不符合题意；
故答案为：B.
【变式2-1】（2023八上·内江期末）已知△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A．a2=b2−c2 B．a=6，b=8，c=10
C．∠A=∠B+∠C D．∠A：∠B：∠C=5：12：13
【答案】D
【解答】解：∵a2=b2−c2，
∴a2+c2=b2，
∴△ABC是直角三角形，故A不符合题意；
∵a2+b2=62+82=100，c2=102=100，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，故B不符合题意；
∵∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠A=180°，
∴∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形，故C不符合题意；
∵∠A：∠B：∠C=5：12：13，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°×135+12+13=78°，
∴△ABC不是直角三角形，故D符合题意；
故答案为：D.
例3．（2023八下·咸宁期中）如图，每个小正方形的边长为1
（1）求四边形ABCD的周长；
（2）∠BCD是直角吗？说明理由.
【答案】（1）解：∵每个小正方形的边长为1
∴AB=12+72=52，BC=22+42=25，CD=12+22=5，AD=32+42=5
∴四边形ABCD的周长为52+25+5+5=52+35+5
（2）解：如图所示，连接BD，
∵BD=32+42=5，BC=25，CD=5，
∴BD2=25，BC2+CD2=25，
∴BD2=BC2+CD2，
∴△BCD是直角三角形，∠BCD是直角.
【变式3-1】2023八上·鄞州期末）如图：△ABC的三个顶点坐标分别是A(−2，0)，B(1，4)，C(5，1).
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由.
【答案】（1）解：如图，△ABC为所作；
（2）解：△ABC为等腰直角三角形.
理由如下：∵A(−2，0)，B(1，4)，C(5，1)，
∴AB=(1+2)2+42=5，BC=(5−1)2+(1−4)2=5，AC=(5+2)2+12=52，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，
∵AB=CB，
∴△ABC为等腰直角三角形.
【变式3-2】（2022八上·历城期中）如图，正方形网格的每个小正方形边长都是1，△ABC的顶点在格点上．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）△ABC面积是 ，AC边上的高是 ．
【答案】（1）解：△ABC为直角三角形，
理由：由题意得：AB2=22+32=13，CB2=42+62=52，AC2=12+82=65，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为直角三角形，
∴∠ABC=90°；
（2）13；2565
【解答】（2）设AC边上的高为h，
由（1）得：AB=13，BC=52=213，AC=65，
∴△ABC的面积=12×AB×BC=12×13×213=13，
∵△ABC的面积=12×AC×ℎ，
∴12×65×ℎ=13，
∴ℎ=2565．
∴△ABC的面积为13，AC边上的高为2565．
考点二：勾股数的应用
例4.（2021八上·灵石期中）设三角形的三边分别是下列各组数，则不是直角三角形勾股数的一组是（ ）
A．3，4，5 B．2，3，4 C．5，12，13 D．6，8，10
【答案】B
【解答】本题设三角形三边分别为 a ， b ， c ， ( 三边不确定 )
而分别试求：是否符合直角三角形三边关系： a2+b2=c2 ，
A、 32+42=52 ，故A选项符合；
B、 22+32≠42 ，故B选项不符合；
C、 52+122=132 ，故C选项符合；
D、 62+82=102 ，故D选项符合．
故答案为：B．
【变式4-1】（2021八上·城阳月考）下列各组数中不是勾股数的是（ ）
A．9，15，12 B．11，60，61
C．6，8，10 D．0.3，0.4，0.5
【答案】D
【解答】根据勾股数的含义知，A、B、C三个选项的三组数均是勾股数， 选项D中的三个数都不是整数，故不是勾股数．
故答案为：D．
【变式4-2】（2021八上·惠来期中）下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，13，18
【答案】D
【解答】A、32 +42=52，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；
B、52 +122=132，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；
C、62 +82=102，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；
D、72 +132≠182，不能构成直角三角形，故不是勾股数，
故答案为：D．
【变式4-3】（2020八上·昌平期末）下列是勾股数的有( )
① 3、4、5；② 5、12 、13；③ 9、40 、41；④ 13、14、15；⑤7、10、17 ；
⑥ 11 、60 、61
A．6组 B．5组 C．4组 D．3组
【答案】B
【解答】解：①32+42=52 ，故3、4、5是勾股数；
②52+122=132 ，故5、12 、13是勾股数；
③92+402=412 ，故9、40 、41是勾股数；
④132+142≠152 ，故13、14、15不是勾股数；
⑤(7)2+(10)2=(17)2 ，故 7、10、17 是勾股数；
⑥112+602=612 ，故11 、60 、61是勾股数
是勾股数的共5组
故答案为：B
考点三：勾股定理的逆定理应用
例5.（2022八上·北仑期中）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪.
（1）△ABC是直角三角形吗？为什么？
（2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？
【答案】（1）解：△ABC是直角三角形，
理由：连接AC，
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AD=4米，CD=3米，由勾股定理得：AC=32+42=5(米)，
∵AC2+BC2=52+122=169，AB2=132=169，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形；
（2）解：该空地面积S=S△ACB−S△ADC=12×5×12−12×3×4=24(平方米)，
即铺满这块空地共需花费=24×100=2400元.
【变式5-1】（2022八上·大丰期中）如图所示四边形ABCD，已知AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求：
（1）AC的长；
（2）该四边形ABCD的面积.
【答案】（1）解：∵△ABC中，AB=3，BC=4，∠B=90°，
∴AC=AB2+BC2=5；
（2）解：S△ABC=12AB⋅BC=12×3×4=6，
∵在△ACD中， CD=12，AD=13，AC=5，
∴CD2+AC2=122+52=132=AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，
∴S△ACD=12AC⋅CD=12×5×12=30.
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=6+30=36.
【变式5-2】（2021八上·嵩县期末）2021年10月10日是辛亥革命110周年纪念日．为进一步弘扬辛亥革命中体现的中华民族的伟大革命精神，社区开展了系列纪念活动．如图，有一块四边形空地，社区计划将其布置成展区，陈列有关辛亥革命的历史图片．现测得 AB=AD=26m ， BC=16m ， CD=12m ，且 BD=20m ．
（1）试说明 ∠BCD=90° ；
（2）求四边形展区（阴影部分）的面积．
【答案】（1）解：∵△BCD 中，BC=16m，CD=12m，BD=20m，
∴BC2+CD2=162+122=400 ， BD2=202=400 ，
∴BC2+CD2=BD2 ，
∴△BCD 是直角三角形， ∠BCD=90 ；
（2）解：过点A作 AE⊥BD 于点E，
∴∠AEB=90° ，
∵AB=AD ，
∴BE=DE=12BD=10(m) ，
在 Rt△ABE 中，AB=26m，
∴AE=AB2−BE2=262−102=24(m) ，
∴S△ABD=12BD⋅AE=12×20×24=240(m2) ，
∵S△BCD=12BC⋅CD=12×16×12=96(m2) ，
∴S阴影面积=S△ABD−S△BCD=240−96=144(m2) ．
1．（南通）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．5，11，12 B．2，3，4 C．4，6，7 D．3，4，5
【解答】解：A、52+112≠122，不能组成直角三角形，故此选项错误；
B、22+32≠42，不能组成直角三角形，故此选项错误；
C、42+62≠72，不能组成直角三角形，故此选项错误；
D、32+42＝52，能组成直角三角形，故此选项正确．
故选：D．
2．（2020•河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4
【解答】解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是＝，
当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是＝；
当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；
当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是＝，
∵，
∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，
故选：B．
3．（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 （结果用含m的式子表示）．
【解答】解：∵m为正整数，
∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，
根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，
解得a＝m2﹣1，
∴弦是a+2＝m2﹣1+2＝m2+1，
故答案为：m2+1．
4．（北京）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝ °（点A，B，P是网格线交点）．
【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，
∴PD2+DB2＝PB2，
∴∠PDB＝90°，
∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，
故答案为：45．
5．（贵阳）在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边，当a2+b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）．
（1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为 三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为 三角形．
（2）猜想，当a2+b2 c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2 c2时，△ABC为钝角三角形．
（3）判断当a＝2，b＝4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．
【解答】解：（1）两直角边分别为6、8时，斜边＝＝10，
∴△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；
当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形；
故答案为：锐角；钝角；
（2）当a2+b2＞c2时，△ABC为锐角三角形；
当a2+b2＜c2时，△ABC为钝角三角形；
故答案为：＞；＜；
（3）∵c为最长边，2+4＝6，
∴4≤c＜6，
a2+b2＝22+42＝20，
①a2+b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜2，
∴当4≤c＜2时，这个三角形是锐角三角形；
②a2+b2＝c2，即c2＝20，c＝2，
∴当c＝2时，这个三角形是直角三角形；
③a2+b2＜c2，即c2＞20，c＞2，
∴当2＜c＜6时，这个三角形是钝角三角形．
6．（河北）已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．
尝试 化简整式A．
发现 A＝B2，求整式B．
联想 由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值：
直角三角形三边
n2﹣1
2n
B
勾股数组Ⅰ
/
8
17
勾股数组Ⅱ
35
/
37
【解答】解：尝试：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1，
发现∵n4+2n2+1＝（n2+1）2，A＝B2，B＞0，
∴B＝n2+1，
当2n＝8时，n＝4，∴n2+1＝42+1＝17；
当n2﹣1＝35时，n2+1＝37．
故答案为：17；37．
1．（2023八下·咸宁期中）以下列各组线段为边作三角形，能构成直角三角形的是（ ）
A．6，12，13 B．6，8，9 C．3，4，5 D．5，12，15
【答案】C
【解析】【解答】解：A、62+122=180≠132，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、62+82=100≠92，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、32+42=25=52，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
D、52+122=169≠152，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故答案为：C.
2．（2023八下·洪山期中）下列条件中，能够判断△ABC为直角三角形的是（ ）
A．AB=6，BC=8，AC=10 B．AB：BC：AC=1：2：3
C．∠A=∠B=∠C D．∠A：∠B：∠C=3：4：5
【答案】A
【解析】【解答】解：A.∵AB2+BC2=102=AC2，
∴△ABC是直角三角形，故此选项符合题意；
B.∵AB：BC：AC=1：2：3，
设AB=a，则BC=2a，AC=3a，
则AB+BC=a+2a=3a=AC，
不能构成三角形，故此选项不符合题意；
C.∵∠A=∠B=∠C，
∴∠A=∠B=∠C=60∘，
∴△ABC是等边三角形，故此选项不符合题意；
D.∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，
∴△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；
故答案为：A.
3.下面各组数中，是勾股数的是（ ）
A．9，16，25 B．0.3，0.4，0.5
C．1，3，2 D．7，24，25
【答案】D
【解答】解：A．∵92+162≠252，∴不是勾股数，不符合题意；
B．∵0.3，0.4，0.5不是整数，∴不是勾股数，不符合题意；
C．∵12+22≠32，∴不是勾股数，不符合题意；
D．∵72+242＝252，∴是勾股数，符合题意．
故选：D．
4．我们把符合等式a2+b2=c2的a、b、c三个称为勾股数．现请你用计算器验证下列各组的数是否勾股数．你能发现其中规律吗？请完成下列空格．
3，4，5；
5，12，13；
7，24，25；
9，40，41；
11， ， ；…
【答案】60；61
【解析】【解答】勾股数的第一个数是奇数，第三个数比第二个数大1，且第二个数是偶数，注意到
4=2×1×2；
12=2×2×3，
24=2×3×4；
40=2×4×5；
60=2×5×6，60+1=61.
故答案为(1).60；(2).61
5．（2020八上·柯桥期末）《九章算术》提供了许多整勾股数，如 (3，4，5) ， (5,12，13) ， (7,24,25) ， (8，15，17) 等等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”.后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若 m 是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么 m 与这两个整数构成一组勾股数；若 m 是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加l得到两个整数，那么 m 与这两个整数构成一组勾股数.由上述方法得到的勾股数称为“由 m 生成的勾股数”.若“由9生成的勾股数”的“弦数“记为 A ，“由20生成的勾股数”的“弦数“记为 B ，则 A+B= .
【答案】142
【解析】【解答】解：∵92=81，81=40+41
∴“由9生成的勾股数”的“弦数“记为41，即A=41，
∵(202)2+1=101 ，
∴“由20生成的勾股数”的“弦数“记为101，即B=101，
∴A+B=41+101=142 .
故答案为：142.
6．（2023八上·榆林期末）如图，在△ABC中，D是BC上一点，若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17.
（1）求证：∠ADB=90°；
（2）求△ADC的面积.
【答案】（1）证明：∵AB=10 ， BD=6 ， AD=8 ，
∴BD2+AD2=62+82=100 ， AB2=102=100 ，
∴BD2+AD2=AB2 ，
∴△ABD 是直角三角形，
∴∠ADB=90° .
（2）解：∵∠ADB=90° ，
∴∠ADC=180°−∠ADB=90° ，
∵AC=17 ， AD=8 ，
∴CD=AC2−AD2=172−82=15
∴△ADC 的面积为 =12AD⋅CD=12×8×15=60 .
∴△ADC 的面积为60.
7．（2023八下·洪山期中）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=3，BC=7，CD=5，∠B=90∘，求四边形ABCD的面积.
【答案】解：连接AC，
在△ACB中，∠B=90°，AB=3，BC=7，
∴AC=AB2+BC2=32+(7)2=4，
在△ACD中，AC2+AD2=42+32=25=CD2，
∴△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°，
∴四边形ABCD的面积=12AB×BC+12AC×AD
=12×3×7+12×3×4
=6+327.
故四边形ABCD的面积为6+327
8．（2021八上·六盘水月考）如图所示，六盘水市某中学有一块不规则四边形的空地ABCD，学校计划在空地上铺悬浮地板，经测量，∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，AD＝26m，CD＝24m.
（1）求空地ABCD的面积.
（2）若每铺1平方米悬浮地板需要120元，问总共需投入多少元？
【答案】（1）解：如图，连接AC，
在直角三角形ABC中，
∵∠ABC=90°，BC=6m，AB=8m，
∴AC=BC2+AB2=10m，
∵AC2+CD2=102+242=676=AD2，
∴∠ACD=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12×6×8+12×10×24＝144，
答：空地ABCD的面积是144m2.
（2）解：144×120=17280（元），
答：总共需投入17280元.
9．（2022八上·太原期中）为庆祝中华人民共和国成立73周年，喜迎党的二十大胜利召开，学校组织了“献礼二十大”小制作展示活动．小彬计划制作一架飞机模型，如图的四边形材料是飞机垂直尾翼的雏形．小彬测量发现AB=25cm，BC=18cm，AD=7cm，CD=30cm．根据设计要求，还需保证AD∥BC．由于手头工具有限，小彬只能测得BD=24cm．根据以上数据，请你判断该材料是否符合设计要求，并说明理由．
【答案】解：该材料符合设计要求，理由如下：
在△ABD中，AB=25cm，AD=7cm，BD=24cm，
∴AD2+BD2=72+242=625=252=AB2，
∴∠ADB=90°，
在△CBD中，BC=18cm，CD=30cm，BD=24cm，
∴BC2+BD2=182+242=900=302=CD2，
∴∠CBD=90°，
∴∠CBD=∠ADB，
∴AD∥BC，
∴该材料符合设计要求．
10．（2022八上·衢州期中）如图，一个零件的形状如图所示，∠A=90°，工人师傅量的这个零件各边的尺寸如图所示．
（1）求证：BC⊥BD
（2）求这个四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵∠A=90°，
∴AD2+AB2=DB2即122+92=DB2，
解之：DB=15；
∵DB2+BC2=152+82=289，DC2=172=289，
∴DB2+BC2=DC2，
∴∠DBC=90°，
∴BC⊥BD
（2）解：S四边形=S△ADB+S△DBC= 12×12×9 + 12×8×15 =114
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