2023年新七年级数学北师大版暑假预习——第08讲 整式-单项式和多项式

第08讲 整式-单项式和多项式

学习目标

1.理解单项式，多项式和整式的概念，并能判定单项式，多项式和整式；

2.掌握单项式，多项式的系数和次数求法；

3.经历用含有字母的式子表示实际问题数量关系的过程，体会从具体到抽象的认识过程，发展符号意识，数到字母的转变过程。

知识点1 单项式

1.单项式定义

（1）定义： 由数或字母的积组成的式子叫做单项式。

 说明： 单独的一个数或者单独的一个字母也是单项式.

2、单项式的系数：

 单项式中的数字因数叫这个单项式的系数.

  说明：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如的系数是3；的系数是；的系数是4.8；

（2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号

如的系数是；的系数是；

（3）对于只含有字母因数的单项式，其系数是1或-1，不能认为是0，如的系数是-1；的系数是1；

（4）表示圆周率的π，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。如2πxy的系数就是2.

 3、单项式的次数：

 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.

  说明：

（1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况。如单项式的次数是字母z，y，x的指数和，即4＋3＋1=8，而不是7次，应注意字母的指数是1而不是0；

 （2）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式的次数是2＋3＋4=9而不是13次；

（3）单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数；

  4、在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“ ”或者省略不写。

      例如：可以写成或

 5、在书写单项式时，数字因数写在字母因数的前面，数字因数是带分数时转化成假分数.

知识点2：多项式

  1、定义： 几个单项式的和叫多项式.

  2、多项式的项：

     多项式中的每个单项式叫做多项式的项.

  3、多项式的次数：

     多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数.

  4、多项式的项数：

     多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数.

  5、常数项：  多项式里，不含字母的项叫做常数项.

知识点3：整式

（1）单项式和多项式统称为整式。

（2）单项式或多项式都是整式。

（3）整式不一定是单项式。

（4）整式不一定是多项式。

（5）分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。

考点1：单项式和多项式的概念

例1.（2022秋•万州区期末）代数式a，m+6，，中，单项式有几（　　）个．

A．2 B．3 C．4 D．5

【变式1-1】（2022秋•南昌期末）下列各式中，不是单项式的是（　　）

A．2x3 B．2023 C．a D．x+1

【变式1-2】（2022秋•宁波期末）下列代数式：①a+1，②，③5，④﹣2a+5b，⑤a，⑥．其中单项式有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【变式1-3】（2022秋•藁城区期末）在式子，，2x﹣y，﹣5中，不是单项式的是（　　）

A．2x﹣y B． C． D．﹣5

例2.（2022秋•增城区期末）下列整式中，属于多项式的是（　　）

A．a﹣2b B．﹣2ab C．2+ D．a

【变式2-1】（2023•龙川县校级开学）在下列代数式：，，ab2+b+1，，x3+x2﹣3，π+2，中，多项式有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【变式2-2】（2022秋•天河区校级期末）代数式2x﹣y，ab，，，中，多项式的个数有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

考点2：直接确定单项式的系数与次数

例3.（2022秋•大连期末）单项式﹣7a3b4c的系数和次数分别是（　　）

A．﹣7，7 B．﹣7，8 C．7.7 D．7，8

【变式3-1】（2022秋•泗阳县期末）代数式﹣4πxy2的系数与次数分别是（　　）

A．﹣4π，3 B．﹣4π，4 C．﹣4，3 D．﹣4，4

【变式3-2】（2023春•长沙月考）单项式5a2b的次数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【变式3-3】（2023春•惠阳区校级月考）下面说法正确的是（　　）

A．πx2的系数是 B．xy2的次数是2 

C．﹣5x2的系数是5 D．3x2的次数是2

考点3：根据单项式的次数求参数

例4.（2022秋•开江县校级期末）若xa+2y4与﹣2x3y2b和仍为一个单项式，则（a﹣b）2022的值是 　　．

【变式4-1】（2022秋•东莞市校级期末）已知单项式﹣2xmy2的次数为5，求m的值 　　．

【变式4-2】（2022秋•新兴县期末）若是一个六次单项式，那么这单项式的系数为 　　，m的值是 　　．

考点4： 直接确定多项式的项与次数

例5.（2022秋•衡南县期末）多项式x2y3﹣3xy3﹣2的次数和项数分别为（　　）

A．5，3 B．5，2 C．2，3 D．3，3

【变式5-1】（2022秋•甘井子区校级期末）在多项式﹣3x2﹣5x2y2+xy中，次数最高的项的系数为（　　）

A．3 B．5 C．﹣5 D．1

【变式5-2】（2022秋•淮南期末）下列关于多项式5ab2﹣2a2bc﹣1的说法中，正确的是（　　）

A．它是三次三项式 B．它是二次四项式 

C．它的最高次项是﹣2a2bc D．它的常数项是1

考点5： 根据多项式的项与次数求参数

例6.（2022秋•孝昌县期末）已知（m﹣2）xy|m|+1是关于x，y的四次单项式，则m的值是 　　．

【变式6-2】（2020•绵阳）若多项式xy|m﹣n|+（n﹣2）x2y2+1是关于x，y的三次多项式，则mn＝　　．

【变式6-2】（2023•东丽区一模）若是五次多项式，则m的值为 　　．

【变式6-3】（2022秋•礼泉县期末）若关于x、y的多项式x5﹣m+5y2﹣2x2+3的次数是3，则式子m2﹣3m的值为 　　．

考点6： 单项式与多项式的综合运用

例7.（2022秋•梁山县期末）已知x、y互为相反数，m、n互为倒数，a是单项式﹣3bc的系数，求a2﹣4（x+y+2mn）的值．

【变式7-1】（2022秋•松原期末）单项式﹣amb的次数与多项式a4+2a3﹣1的次数相同，则m的值为 　　．

【变式7-2】（2022秋•绥德县期末）下列说法中，错误的是（　　）

A．多项式2﹣x3+3x2是三次三项式 

B．多项式的一次项为﹣2x 

C．多项式3x2y+5x﹣2的次数是3 

D．单项式的系数为﹣2

【变式7-3】（2022秋•鹤壁期末）下列说法错误的是（　　）

A．2x2﹣3xy﹣1是二次三项式 

B．a是单项式 

C．的系数是 

D．﹣22xab2的次数是6

考点7： 单项式中的规律探究

例8.（2022秋•金华期末）观察下面的一列单项式：x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，16x5…根据你发现的规律，第7个单项式为 　   　．

【变式8-1】（2022秋•香洲区期末）按一定规律排列的单项式：3x，﹣5x2，7x3，﹣9x4，⋯，则第8个单项式为 　     ．

【变式8-2】（2022秋•郸城县期末）给出一列式子x2y，，，，⋯，观察上式的规律，这一列式子中的第8个式子是 　    　．

考点8： 多项式中的规律探究

例9.（2021秋•崆峒区校级月考）一组按规律排列的代数式：a+2b，a2﹣2b3，a3+2b5，a4﹣2b7，……则第7个式子是 　   　．

【变式9-1】（青岛模拟）有一组多项式：a﹣b2，a3+b4，a5﹣b6，a7+b8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n个多项式为　           　．

【变式9-2】（2022秋•交城县期中）一组按规律排列的多项式：a+b，a2﹣b3，a3+b5，a4﹣b7，…，其中第n（n为正整数）个式子的次数是（　　）

A．n B．2n﹣1 C．3n﹣1 D．2n

1．（2022•攀枝花）下列各式不是单项式的为（　　）

A．3 B．a C． D．x2y

2．（2021•海南）下列整式中，是二次单项式的是（　　）

A．x2+1 B．xy C．x2y D．﹣3x

3．（2023•祥云县模拟）探索规律：观察下面的一列单项式：x、﹣2x2、4x3、﹣8x4、16x5、…，根据其中的规律得出的第9个单项式是（　　）

A．256x9 B．﹣256x9 C．﹣512x8 D．512x9

4．（2023•沙坪坝区模拟）单项式的次数是（　　）

A． B．2 C． D．1

5．（2023•东莞市校级一模）下列说法中正确的是（　　）

A．2不是单项式 

B．的系数是 

C．3πr2的次数是3 

D．多项式5a2﹣6ab+12的次数是4

6．（2022•大理州二模）观察这一系列单项式的特点：x2y，﹣x2y2，x2y3，﹣x2y4，…那么第8个单项式为（　　）

A．﹣（）8x2y8 B．（）8x2y8 C．﹣（）9x2y8 D．（）7x2y8

7．（2022•富川县三模）单项式﹣2x2yz3的系数、次数分别是（　　）

A．2，5 B．﹣2，5 C．2，6 D．﹣2，6

8．（2023•江西）单顶式﹣5ab的系数为 　  　．

1．（2023•闵行区二模）单项式4xy2的次数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（2022秋•昆明期末）单项式的系数、次数分别是（　　）

A．，4次 B．，4次 C．，3次 D．，3次

3．（2022秋•青秀区校级期末）下列说法中正确的是（　　）

A．单项式的系数是，次数是3 

B．单项式m的系数是1，次数是0 

C．单项式2a2b2c的系数是2，次数是4 

D．单项式的系数是，次数是2

4．（2022秋•罗湖区校级期末）设单项式的系数为a，次数为b，则ab＝（　　）

A．﹣4 B． C．4 D．12

5．（2022秋•东丽区期末）多项式x3+2xy2+y3的次数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6

19．（2022秋•宜阳县期末）多项式x3﹣2xy﹣y+2中的二次项是（　　）

A．﹣2xy B．2xy C．x3 D．﹣2

6．（2022秋•上海期末）代数式，，x+y，，中是整式的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．（2022秋•巴中期末）下列说法正确的是（　　）

A．﹣2π2x3y的次数是6 

B．是单项式 

C．单项式﹣x3y2的系数是﹣1 

D．3x2﹣y+5xy2是二次三项式

8．（2022秋•广州期末）一个五次三项式，加一个五次三项式，可能是（　　）

A．十次六项式 B．十次三项式 C．六次二项式 D．四次二项式

9．（2022秋•开江县校级期末）如果一个多项式是五次多项式，那么它任何一项的次数（　　）

A．都小于5 B．都等于5 C．都不小于5 D．都不大于5

10．（2023•三台县校级一模）已知多项式是三次三项式，则m的值为 　　．

11．（2022秋•滨海新区校级期末）若多项式x|m|+（m−3）x+2022是关于x的三次三项式，那么m的值为 　　．

12．（2022秋•平桥区期末）若2xm+3y4与﹣2x2y2n互为相反数，则mn＝　　．

13．（2022秋•武冈市期末）已知多项式xa+1y2﹣x3+x2y﹣1是关于x、y的五次四项式，单项式﹣8x2y3z的次数为b，c是最小的正整数，求（a﹣b）c+1的值．