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2023年新七年级数学北师大版暑假预习——第10讲 探索与表达规律
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这是一份2023年新七年级数学北师大版暑假预习——第10讲 探索与表达规律，文件包含第10讲探索与表达规律解析版docx、第10讲探索与表达规律原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共64页， 欢迎下载使用。
第10讲 探索与表达规律
学习目标
1.初步掌握规探索的方法，并能对简单的规律进行用数学语言描述；
2.培养学生对数和字母应用的理解，从而拓展学生的视野；
3.掌握从特殊到一般、从个体到整体 地观察。分析问题的方法，尝试从不同角度探究问题，
培养应用意识和创新意识
知识点1：规律类：数字变化型
一、等差规律：前后两项差几写成几×n，令 n=1，在通过加减来凑第一个数。
例如：上面的第（3）列数，相差 3，则先得到 3n，而第 1 项是 4，当 n=1 时，
3n=3，3+1=4，所有第 n 项表示为 3n+1.
拓展延申：
知识点2：规律型：图形变化类
1.基本思想：图形规律 数字规律
2.基本方法：
（1）从具体的实际问题出发,观察各个数量的特点及相互之间的变化规律.
（2）由此及彼,合理联想,大胆猜想
（3）善于类比,从不同事物中发现相似或相同点；
（4）总结规律,得出结论,并验证结论正确与否;
考点1：数字变化类
例1.（2023•红河州二模）按一定规律排列的单项式：3a2，﹣5a4，7a6，﹣9a8，…，第13个单项式为（ ）
A．27a26 B．﹣27a26 C．25a26 D．﹣25a25
【变式1】（2023•双柏县模拟）按一定规律排列的单项式：﹣x，5x2，﹣9x3，13x4，﹣17x5，…，第n个单项式是（ ）
A．（5n﹣4）（﹣x）n B．（5n﹣4）xn
C．（4n﹣3） xn D．（4n﹣3）（﹣x）n
例2.（2023•安徽模拟）观察以下等式：
第1个等式：1×（2+4）+4×2＝2×5+4，
第2个等式：2×（6+4）+4×5＝3×8+16，
第3个等式：3×（12+4）+4×10＝4×13+36，
第4个等式：4×（20+4）+4×17＝5×20+64，
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的代数式表示），并证明．
【变式2-1】（2023•霍邱县一模）观察以下等式：
第1个等式：22﹣12＝2×1+1，
第2个等式：32﹣22＝2×2+1，
第3个等式：42﹣32＝2×3+1，
第4个等式：52﹣42＝2×4+1，
按照以上规律，解决下列问题：
..．
（1）写出第6个等式： ．
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
【变式2-2】（2023•无为市三模）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，……
解决下列问题：
（1）按照以上规律，写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式 （用含n的式子表示），并证明；
（3）利用上述规律，直接写出结果：＝ ．
例3.（2023•涡阳县二模）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式 （用含n的等式表示），并证明．
【变式3】（2023•明光市一模）观察下列等式：
①；
②；
③；
④；
…
（1）写出第n个等式 ，并证明你的结论；
（2）运用（1）中的结论计算．
例4.（2023春•邳州市期中）给出下列算式：
32﹣12＝8＝8×1；
52﹣32＝16＝8×2；
72﹣52＝24＝8×3；
92﹣72＝32＝8×4；
52﹣32＝16＝8×2，
……
（1）用含n的式子（n为正整数）表示上述规律并用所学的知识验证这个规律的正确性．
（2）借助你发现的规律填空： 2﹣ 2＝560．
（3）利用（1）中发现的规律计算：8×1+8×2+8×3+⋯+8×49+8×50＝ ．
【变式4】（2023•长丰县模拟）观察下列等式的规律，解答下列问题：
第1个等式：12+22+32＝3×22+2．
第2个等式：22+32+42＝3×32+2
第3个等式：32+42+52＝3×42+2．
第4个等式：42+52+62＝3×52+2．
……
（1）请你写出第5个等式： ．
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
考点2：图形变化类
例5.（2023•砀山县二模）某校教学楼前走廊用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖来铺设地面，图1表示地面的瓷砖排列方式．
【观察思考】
当黑色瓷砖有1块时，瓷砖的总数有9块（如图2）；当黑色瓷砖有2块时，瓷砖的总数有15块（如图3）；当黑色瓷砖有3块时，瓷砖的总数有21块（如图4）；…；以此类推．
【规律总结】
（1）若该走廊每增加1块黑色瓷砖，则瓷砖的总数增加 块；
（2）若这样的走廊一共有n（n为正整数）块黑色瓷砖，则瓷砖的总数为 块；（用含n的代数式表示）
【问题解决】
（3）现总共有2025块瓷砖，若按此规律再建一条走廊，则黑色瓷砖有多少块？
【变式5-1】（2023•全椒县二模）如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm，按这种连接方式，完成下面各题．
（1）2节链条的总长度为 cm；3节链条的总长度为 cm；4节链条的总长为 cm；
（2）根据上述规律，n节链条的总长度为多少cm；（用含n的式子表示，不用说理）
（3）一根链条的总长度能否为73cm？若能，请求出该链条由几节组成；若不能，请说明理由．
【变式5-2】（2023•包河区二模）某旅游景区走廊的中间部分是用边长为1米的白色正方形地砖和彩色正方形（图中阴影部分）地砖铺成的，图案如图所示，根据图示排列规律，解答以下问题．
（1）第4个图案L（4）有白色地砖 块地砖；第n个图案L（n）有白色地砖块 地砖（用含n的代数式表示）；
（2）已知L（1）的长度为3米，L（2）的长度为5米，…，L（n）的长度为2023米，求图案L（n）中白色正方形地砖有多少块．
【变式5-3】（2023•安徽模拟）如图，下列图案都是由同样大小的基本图形⊙按一定规律所组成的，其中：
第1个图案中基本图形的个数：1+2×2＝5，
第2个图案中基本图形的个数：2+2×3＝8，
第3个图案中基本图形的个数：3+2×4＝11，
第4个图案中基本图形的个数：4+2×5＝14，
…．
按此规律排列，解决下列问题：
（1）写出第5个图案中基本图形的个数： ；
（2）如果第n个图案中有2024个基本图形，求n的值．
【变式5-4】（2023•金寨县一模）为了渲染新年喜庆氛围，某人民广场用鲜花摆出不同的造型，小明同学把每盆花用点在纸上表示出来，如图所示．
[观察思考]
第1个图形有4盆花，第2个图形有6盆花，第3个图形有8盆花，第4个图形有10盆花，以此类推．
[规律总结]
（1）第5个图形有 盆花；
（2）第n个图形中有 盆花（用含n的代数式表示）；
[问题解决]
（3）现有2023盆花，若按此规律摆出一个图形，要求剩余花盆数最少，则可摆出第几个图形？
例6.（2022秋•黔江区期末）（1）为了计算1+2+3+⋯+8的值，我们构造图形（图1），共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有（1+2+3+⋯+8）个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有8×9＝72个点，由此可得1+2+3+⋯+8＝×（1+8）×9＝36．
用此方法，可求得1+2+3+⋯+20＝ 210 （直接写结果）．
（2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题：
填空：①1+3+5+⋯+49＝ ；
②1+3+5+⋯+（2n+1）＝ ．
（3）请构造一图形，求（画出示意图，写出计算结果）．
【变式6-1】（2023•五华县校级开学）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的正方形，再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的长方形，如此进行下去，…．
（1）试利用图形揭示规律，计算：＝ ，并使用代数方法说明你的结论正确；
（2）请你再设计一个能求出的值的几何图形．
【变式6-2】（2022秋•双牌县期末）【阅读】求值1+2+22+23+24+…+210
解：设S＝1+2+22+23+24+…+210①
将等式①的两边同时乘以2得：2S＝2+22+23+24+25+…+211②
由②﹣①得：2S﹣S＝211﹣1
即：S＝1+2＝22+23+24+…+210＝211﹣1
【运用】仿照此法计算：
（1）1+3+32+33+34+…+350；
（2）1++++…+．
（3）【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为S1，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S2，依次操作2022次，依次得到小正方形S1、S2、S3、…、S2022．
完成下列问题
①小正方形S2022的面积等于 ；
②求正方形S1、S2、S3、…、S2022的面积和．
例7.（2022秋•达川区期末）五一期间，某人民广场的一个公共区域用盆栽进行了美化，盆栽按如图的方式摆放，图中的盆栽被折线隔开分成若干层，第一层有1个盆栽，第二层有3个盆栽，第三层有5个盆栽，第四层有7个盆栽，…，以此类推，请观察图形规律，解答下列问题：
（1）计算：1+3+5+…+99＝ 2500 ；
（2）拓展应用：求101+103+105+…+999的值．
【变式7-1】（2023•定远县一模）图1是由若干个小圆圈推成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共推了n层．
将图1倒置后与原图1排成图2的形状，这样图2中每一行的圆圈数都是n+1．
我们可以利用“倒序相加法”算出图1中所有圆圈的个数为：．
（1）按照图1的规则摆放到第12层时，求共用了多少个圆圈；
（2）按照图1的规则摆放到第19层，每个圆圈都按图3的方式填上一串连续的正整数：1，2，3，4，……，则第19层从左边数第二个圆圈中的数字是 ．
【变式7-2】（2023•萧县一模）观察如图中用小黑点摆成的三角形，并根据图中规律回答相关问题．
（1）第4个图形对应的等式为 ；
（2）若第n个图形对应的黑点总数为66个，求n的值．
1．（2023•安徽）【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空：
（1）第n个图案中“◎”的个数为 ；
（2）第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，……，第n个图案中“★”的个数可表示为 ．
【规律应用】
（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3+……+n等于第n个图案中“◎”的个数的2倍．
2．（2023•浙江）观察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…
（1）写出192﹣172的结果；
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）；
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
3．（2022•嘉兴）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45．
（1）尝试：
①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25；
③当a＝3时，352＝1225＝ 3×4×100+25 ；
……
（2）归纳：与100a（a+1）+25有怎样的大小关系？试说明理由．
（3）运用：若与100a的差为2525，求a的值．
4．（2022•安徽）观察以下等式：
第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，
第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，
第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，
第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
5．（2020•安徽）观察以下等式：
第1个等式：×（1+）＝2﹣，
第2个等式：×（1+）＝2﹣，
第3个等式：×（1+）＝2﹣，
第4个等式：×（1+）＝2﹣．
第5个等式：×（1+）＝2﹣．
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
1．（2023•安徽二模）观察下列等式：
第1个等式：1×2+1＝3；
第2个等式：2×3+2＝8；
第3个等式：3×4+3＝15；
第4个等式：4×5+4＝24；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示，n≥1，且为整数），并证明．
2．（2022秋•南票区期中）观察下列等式．第一个等式：1﹣＝×；
第二个等式：1﹣＝×；
第三个等式：1﹣＝×；
……
按上述规律，回答下列问题：
（1）请写出第四个等式： 1﹣＝× ；
（2）计算：（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）．
3．（2022秋•大连月考）观察下列三行数：
第一行：2，﹣4，8，﹣16，32，﹣64，…
第二行：4，﹣2，10，﹣14，34，﹣62，…
第三行：1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…
（1）第一行数的第9个数为 ，第二行数的第9个数为 ，第三行数的第9个数为 ；
（2）第二、三行数与第一行相对应的数分别有什么关系；
（3）第一行是否存在连续的三个数使得三个数的和是﹣384？若存在，求出这三个数，若不存在，请说明理由．
4．（2023•合肥模拟）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
请根据上述规律解答下面的问题：
（1）第6行有 个数；第n行有 个数（用含n的式子表示）；
（2）若有序数对（n，m）表示第n行，从左到右第m个数，如（3，2）表示6．
①求（11，20）表示的数；
②求表示2023的有序数对．
5．（2023•蜀山区校级模拟）从2开始，连续的偶数相加，观察下列各式：
2＝12+1．
2+4＝22+2．
2+4+6＝32+3．
2+4+6+8＝42+4．
…
根据规律，解答下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）①写出第n个等式： ；（用n表示）
②计算：102+104+106+…+198+200．
6．（2023春•邗江区月考）阅读材料：
求1+2+22+23+24+…+22019的值．
解：设S＝1+2+22+23+24+…+22018+22019…①
则2S＝2+22+23+24+25+…+22019+22020…②
②﹣①，得2S﹣S＝22020﹣1
即S＝22020﹣1
∴1+2+22+23+24+…+22019＝22020﹣1
仿照此法计算：
（1）计算：1+3+32+33+34+…+32023．
（2）计算：1++++…++＝ 2﹣ （直接写答案）．
7．（2023•安徽模拟）【数学阅读】计算：1+2+3+…+100．
解：设S＝1+2+3+6+…+100，①则S＝100+99+98+…+1，②
①+②（即左右两边分别相加），得：2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1）＝100×101．
所以，所以1+2+3+…+100＝5050．
【问题解决】利用上面的方法解答下面的问题：
（1）猜想：1+2+3+…+n＝ （用含n的式子表示）；
（2）利用（1）中的结论，计算：1001+1002+…+2000．
8．（2023•瑶海区校级模拟）观察下列等式的规律，并解决问题：
第1个等式：1+．
第2个等式：2+．
第3个等式：3+．
……
（1）请写出第4个等式： 4+＝52× ；
（2）请用含n的式子表示你发现的规律，并证明．
9．（2022秋•西山区期末）观察下列等式：
a1＝+＝；
a2＝+＝；
a3＝+＝；
…
（1）猜想并写出第6个等式a6＝ ． ；
（2）猜想并写出第n个等式an＝ ；
（3）证明（2）中你猜想的正确性．
10．（2023•来安县二模）如图，某医院广场上的图案由红、白两色正方形地砖铺成，这些地砖除颜色外，形状、大小均相同．当中间的红色地砖只有1块时，四周的白色地砖有4块（如图1），当中间的红色地砖有4块时，四周的白色地砖有8块（如图2），以此类推．
（1）当红色正方形地砖为16块时，白色地砖为 块；
（2）当白色正方形地砖为n（n为4的整数倍）时，红色地砖为 块；
（3）已知该医院的另一个广场上也按此规律建图案，且红色地砖比白色地砖多用了140块，求这个广场上的图案分别用红、白两色地砖的块数．
11．（2023•合肥模拟）丰艳花卉市场将深色和浅色两种花齐摆成如图所示的排列图案，第1个图案需要5盆花卉，第2个图案需要13盆花卉，第3个图案需要25盆花卉，以此类推．
按照以上规律，解决下列问题：
（1）第4个图案需要花卉 盆；
（2）第n个图案需要花卉 盆（用含n的代数式表示）；
（3）已知丰艳花卉市场春节期间所摆的花卉图案中深色花卉比浅色花卉多101盆，求该花卉图案中深色花卉的盆数．
12．（2023•庐阳区校级三模）将若干枚黑白棋子按照一定规律摆放成三角形阵，前5次摆放的情况如图所示．如果按照此规律继续摆放三角形阵，请解决下列问题：
（1）第6个图案中，黑棋子的个数为 ，白棋子的个数为 ；
（2）第n个图案中，黑棋子的个数为 ，白棋子的个数为 ；（用含n的式子表示）
（3）当摆放到第 个三角形阵时，该三角形阵中的黑棋子数第一次比白棋子多．
13．（2023•蜀山区一模）如图中，图（1）是一个菱形ABCD，将其作如下划分：
第一次划分：如图（2）所示，连接菱形ABCD对边中点，共得到5个菱形；
第二次划分：如图（3）所示，对菱形CEFG按上述划分方式继续划分，共得到9个菱形；
第三次划分：如图（4）所示，…
依次划分下去．
（1）根据题意，第四次划分共得到 个菱形，第n次划分共得 个菱形；
（2）根据（1）的规律，请你按上述划分方式，判断能否得到2023个菱形？为什么？
14．（2023•蜀山区校级模拟）同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
（1）图5有多少颗黑色棋子？
（2）若第（n+2）个图形比第n个图形中多2021颗棋子，试求n的值．
15．（2023春•莱芜区月考）用同样规格的黑，白两种颜色的正方形瓷砖按如图所示的方式铺宽为1.5米的小路．
（1）铺第6个图形用黑色正方形瓷砖 块，用白色正方形瓷砖 块；
（2）按照此方式铺下去，铺第n个图形用黑色正方形瓷砖 块，用白色正方形瓷
砖 块（用含n的代数式表示）；
（3）在（2）的基础上，若黑，白两种颜色的瓷砖规格都为（长为0.5米×宽0.5米），若按照此方式铺满一段总面积为24.75平方米的小路时，n是多少？
16．（2022秋•绥德县期末）如图，第1个图中有1颗棋子，第2个图中有5颗棋子，第3个图中有9颗棋子，第4个图中有13颗棋子，…，以此类推．
（1）第6个图中有 棋子；
（2）用含a的代数式表示第a个图中棋子的颗数；
（3）第多少个图中有505颗棋子？
17．（2022秋•长春期末）【方法指引】利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．
【方法生成】
将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，请利用数形结合的思想解决下列问题：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
【方法迁移】
（4）＝ ；
【灵活运用】
（5）＝ ．
18．（2023•定远县校级二模）为美化市容，某广场要在人行雨道上用10×20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示．
[观察思考]
图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．
[规律总结]
（1）图4灰砖有 块，白砖有 块；图n灰砖有 块时，白砖有 块；
[问题解决]
（2）是否存在白砖数恰好比灰砖数少1的情形，请通过计算说明你的理由．
19．（2023•城阳区校级一模）如图，用同样规格的黑白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形，并探究下列问题：
（1）在第4个图中，共有白色瓷砖 块；在第n个图中，共有白色瓷砖 块；
（2）在第4个图中，共有瓷砖 块；在第n个图中，共有瓷砖 块；
（3）如果每块黑瓷砖25元，白瓷砖30元，铺设当n＝10时，共需花多少钱购买瓷砖？
20．（2022秋•蒙城县期中）观察与思考：我们知道1+2+3+⋯⋯+n＝，那么13+23+33+⋯⋯+n3结果等于多少呢？请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系，解决下列问题：
13＝12；13+23＝32；13+23+33＝62；13+23+33+43＝102；
（1）规律观察：13+23+33+43+53＝ 15 2；
（2）推算概括：用含n的式子表示出13+23+33+…+n3的值；
（3）拓展应用：求的值．
第10讲 探索与表达规律
学习目标
1.初步掌握规探索的方法，并能对简单的规律进行用数学语言描述；
2.培养学生对数和字母应用的理解，从而拓展学生的视野；
3.掌握从特殊到一般、从个体到整体 地观察。分析问题的方法，尝试从不同角度探究问题，
培养应用意识和创新意识
知识点1：规律类：数字变化型
一、等差规律：前后两项差几写成几×n，令 n=1，在通过加减来凑第一个数。
例如：上面的第（3）列数，相差 3，则先得到 3n，而第 1 项是 4，当 n=1 时，
3n=3，3+1=4，所有第 n 项表示为 3n+1.
拓展延申：
知识点2：规律型：图形变化类
1.基本思想：图形规律 数字规律
2.基本方法：
（1）从具体的实际问题出发,观察各个数量的特点及相互之间的变化规律.
（2）由此及彼,合理联想,大胆猜想
（3）善于类比,从不同事物中发现相似或相同点；
（4）总结规律,得出结论,并验证结论正确与否;
考点1：数字变化类
例1.（2023•红河州二模）按一定规律排列的单项式：3a2，﹣5a4，7a6，﹣9a8，…，第13个单项式为（ ）
A．27a26 B．﹣27a26 C．25a26 D．﹣25a25
【变式1】（2023•双柏县模拟）按一定规律排列的单项式：﹣x，5x2，﹣9x3，13x4，﹣17x5，…，第n个单项式是（ ）
A．（5n﹣4）（﹣x）n B．（5n﹣4）xn
C．（4n﹣3） xn D．（4n﹣3）（﹣x）n
例2.（2023•安徽模拟）观察以下等式：
第1个等式：1×（2+4）+4×2＝2×5+4，
第2个等式：2×（6+4）+4×5＝3×8+16，
第3个等式：3×（12+4）+4×10＝4×13+36，
第4个等式：4×（20+4）+4×17＝5×20+64，
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的代数式表示），并证明．
【变式2-1】（2023•霍邱县一模）观察以下等式：
第1个等式：22﹣12＝2×1+1，
第2个等式：32﹣22＝2×2+1，
第3个等式：42﹣32＝2×3+1，
第4个等式：52﹣42＝2×4+1，
按照以上规律，解决下列问题：
..．
（1）写出第6个等式： ．
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
【变式2-2】（2023•无为市三模）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，……
解决下列问题：
（1）按照以上规律，写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式 （用含n的式子表示），并证明；
（3）利用上述规律，直接写出结果：＝ ．
例3.（2023•涡阳县二模）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式 （用含n的等式表示），并证明．
【变式3】（2023•明光市一模）观察下列等式：
①；
②；
③；
④；
…
（1）写出第n个等式 ，并证明你的结论；
（2）运用（1）中的结论计算．
例4.（2023春•邳州市期中）给出下列算式：
32﹣12＝8＝8×1；
52﹣32＝16＝8×2；
72﹣52＝24＝8×3；
92﹣72＝32＝8×4；
52﹣32＝16＝8×2，
……
（1）用含n的式子（n为正整数）表示上述规律并用所学的知识验证这个规律的正确性．
（2）借助你发现的规律填空： 2﹣ 2＝560．
（3）利用（1）中发现的规律计算：8×1+8×2+8×3+⋯+8×49+8×50＝ ．
【变式4】（2023•长丰县模拟）观察下列等式的规律，解答下列问题：
第1个等式：12+22+32＝3×22+2．
第2个等式：22+32+42＝3×32+2
第3个等式：32+42+52＝3×42+2．
第4个等式：42+52+62＝3×52+2．
……
（1）请你写出第5个等式： ．
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
考点2：图形变化类
例5.（2023•砀山县二模）某校教学楼前走廊用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖来铺设地面，图1表示地面的瓷砖排列方式．
【观察思考】
当黑色瓷砖有1块时，瓷砖的总数有9块（如图2）；当黑色瓷砖有2块时，瓷砖的总数有15块（如图3）；当黑色瓷砖有3块时，瓷砖的总数有21块（如图4）；…；以此类推．
【规律总结】
（1）若该走廊每增加1块黑色瓷砖，则瓷砖的总数增加 块；
（2）若这样的走廊一共有n（n为正整数）块黑色瓷砖，则瓷砖的总数为 块；（用含n的代数式表示）
【问题解决】
（3）现总共有2025块瓷砖，若按此规律再建一条走廊，则黑色瓷砖有多少块？
【变式5-1】（2023•全椒县二模）如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm，按这种连接方式，完成下面各题．
（1）2节链条的总长度为 cm；3节链条的总长度为 cm；4节链条的总长为 cm；
（2）根据上述规律，n节链条的总长度为多少cm；（用含n的式子表示，不用说理）
（3）一根链条的总长度能否为73cm？若能，请求出该链条由几节组成；若不能，请说明理由．
【变式5-2】（2023•包河区二模）某旅游景区走廊的中间部分是用边长为1米的白色正方形地砖和彩色正方形（图中阴影部分）地砖铺成的，图案如图所示，根据图示排列规律，解答以下问题．
（1）第4个图案L（4）有白色地砖 块地砖；第n个图案L（n）有白色地砖块 地砖（用含n的代数式表示）；
（2）已知L（1）的长度为3米，L（2）的长度为5米，…，L（n）的长度为2023米，求图案L（n）中白色正方形地砖有多少块．
【变式5-3】（2023•安徽模拟）如图，下列图案都是由同样大小的基本图形⊙按一定规律所组成的，其中：
第1个图案中基本图形的个数：1+2×2＝5，
第2个图案中基本图形的个数：2+2×3＝8，
第3个图案中基本图形的个数：3+2×4＝11，
第4个图案中基本图形的个数：4+2×5＝14，
…．
按此规律排列，解决下列问题：
（1）写出第5个图案中基本图形的个数： ；
（2）如果第n个图案中有2024个基本图形，求n的值．
【变式5-4】（2023•金寨县一模）为了渲染新年喜庆氛围，某人民广场用鲜花摆出不同的造型，小明同学把每盆花用点在纸上表示出来，如图所示．
[观察思考]
第1个图形有4盆花，第2个图形有6盆花，第3个图形有8盆花，第4个图形有10盆花，以此类推．
[规律总结]
（1）第5个图形有 盆花；
（2）第n个图形中有 盆花（用含n的代数式表示）；
[问题解决]
（3）现有2023盆花，若按此规律摆出一个图形，要求剩余花盆数最少，则可摆出第几个图形？
例6.（2022秋•黔江区期末）（1）为了计算1+2+3+⋯+8的值，我们构造图形（图1），共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有（1+2+3+⋯+8）个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有8×9＝72个点，由此可得1+2+3+⋯+8＝×（1+8）×9＝36．
用此方法，可求得1+2+3+⋯+20＝ 210 （直接写结果）．
（2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题：
填空：①1+3+5+⋯+49＝ ；
②1+3+5+⋯+（2n+1）＝ ．
（3）请构造一图形，求（画出示意图，写出计算结果）．
【变式6-1】（2023•五华县校级开学）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的正方形，再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的长方形，如此进行下去，…．
（1）试利用图形揭示规律，计算：＝ ，并使用代数方法说明你的结论正确；
（2）请你再设计一个能求出的值的几何图形．
【变式6-2】（2022秋•双牌县期末）【阅读】求值1+2+22+23+24+…+210
解：设S＝1+2+22+23+24+…+210①
将等式①的两边同时乘以2得：2S＝2+22+23+24+25+…+211②
由②﹣①得：2S﹣S＝211﹣1
即：S＝1+2＝22+23+24+…+210＝211﹣1
【运用】仿照此法计算：
（1）1+3+32+33+34+…+350；
（2）1++++…+．
（3）【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为S1，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S2，依次操作2022次，依次得到小正方形S1、S2、S3、…、S2022．
完成下列问题
①小正方形S2022的面积等于 ；
②求正方形S1、S2、S3、…、S2022的面积和．
例7.（2022秋•达川区期末）五一期间，某人民广场的一个公共区域用盆栽进行了美化，盆栽按如图的方式摆放，图中的盆栽被折线隔开分成若干层，第一层有1个盆栽，第二层有3个盆栽，第三层有5个盆栽，第四层有7个盆栽，…，以此类推，请观察图形规律，解答下列问题：
（1）计算：1+3+5+…+99＝ 2500 ；
（2）拓展应用：求101+103+105+…+999的值．
【变式7-1】（2023•定远县一模）图1是由若干个小圆圈推成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共推了n层．
将图1倒置后与原图1排成图2的形状，这样图2中每一行的圆圈数都是n+1．
我们可以利用“倒序相加法”算出图1中所有圆圈的个数为：．
（1）按照图1的规则摆放到第12层时，求共用了多少个圆圈；
（2）按照图1的规则摆放到第19层，每个圆圈都按图3的方式填上一串连续的正整数：1，2，3，4，……，则第19层从左边数第二个圆圈中的数字是 ．
【变式7-2】（2023•萧县一模）观察如图中用小黑点摆成的三角形，并根据图中规律回答相关问题．
（1）第4个图形对应的等式为 ；
（2）若第n个图形对应的黑点总数为66个，求n的值．
1．（2023•安徽）【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空：
（1）第n个图案中“◎”的个数为 ；
（2）第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，……，第n个图案中“★”的个数可表示为 ．
【规律应用】
（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3+……+n等于第n个图案中“◎”的个数的2倍．
2．（2023•浙江）观察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…
（1）写出192﹣172的结果；
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）；
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
3．（2022•嘉兴）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45．
（1）尝试：
①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25；
③当a＝3时，352＝1225＝ 3×4×100+25 ；
……
（2）归纳：与100a（a+1）+25有怎样的大小关系？试说明理由．
（3）运用：若与100a的差为2525，求a的值．
4．（2022•安徽）观察以下等式：
第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，
第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，
第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，
第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
5．（2020•安徽）观察以下等式：
第1个等式：×（1+）＝2﹣，
第2个等式：×（1+）＝2﹣，
第3个等式：×（1+）＝2﹣，
第4个等式：×（1+）＝2﹣．
第5个等式：×（1+）＝2﹣．
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
1．（2023•安徽二模）观察下列等式：
第1个等式：1×2+1＝3；
第2个等式：2×3+2＝8；
第3个等式：3×4+3＝15；
第4个等式：4×5+4＝24；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示，n≥1，且为整数），并证明．
2．（2022秋•南票区期中）观察下列等式．第一个等式：1﹣＝×；
第二个等式：1﹣＝×；
第三个等式：1﹣＝×；
……
按上述规律，回答下列问题：
（1）请写出第四个等式： 1﹣＝× ；
（2）计算：（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）．
3．（2022秋•大连月考）观察下列三行数：
第一行：2，﹣4，8，﹣16，32，﹣64，…
第二行：4，﹣2，10，﹣14，34，﹣62，…
第三行：1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…
（1）第一行数的第9个数为 ，第二行数的第9个数为 ，第三行数的第9个数为 ；
（2）第二、三行数与第一行相对应的数分别有什么关系；
（3）第一行是否存在连续的三个数使得三个数的和是﹣384？若存在，求出这三个数，若不存在，请说明理由．
4．（2023•合肥模拟）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
请根据上述规律解答下面的问题：
（1）第6行有 个数；第n行有 个数（用含n的式子表示）；
（2）若有序数对（n，m）表示第n行，从左到右第m个数，如（3，2）表示6．
①求（11，20）表示的数；
②求表示2023的有序数对．
5．（2023•蜀山区校级模拟）从2开始，连续的偶数相加，观察下列各式：
2＝12+1．
2+4＝22+2．
2+4+6＝32+3．
2+4+6+8＝42+4．
…
根据规律，解答下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）①写出第n个等式： ；（用n表示）
②计算：102+104+106+…+198+200．
6．（2023春•邗江区月考）阅读材料：
求1+2+22+23+24+…+22019的值．
解：设S＝1+2+22+23+24+…+22018+22019…①
则2S＝2+22+23+24+25+…+22019+22020…②
②﹣①，得2S﹣S＝22020﹣1
即S＝22020﹣1
∴1+2+22+23+24+…+22019＝22020﹣1
仿照此法计算：
（1）计算：1+3+32+33+34+…+32023．
（2）计算：1++++…++＝ 2﹣ （直接写答案）．
7．（2023•安徽模拟）【数学阅读】计算：1+2+3+…+100．
解：设S＝1+2+3+6+…+100，①则S＝100+99+98+…+1，②
①+②（即左右两边分别相加），得：2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1）＝100×101．
所以，所以1+2+3+…+100＝5050．
【问题解决】利用上面的方法解答下面的问题：
（1）猜想：1+2+3+…+n＝ （用含n的式子表示）；
（2）利用（1）中的结论，计算：1001+1002+…+2000．
8．（2023•瑶海区校级模拟）观察下列等式的规律，并解决问题：
第1个等式：1+．
第2个等式：2+．
第3个等式：3+．
……
（1）请写出第4个等式： 4+＝52× ；
（2）请用含n的式子表示你发现的规律，并证明．
9．（2022秋•西山区期末）观察下列等式：
a1＝+＝；
a2＝+＝；
a3＝+＝；
…
（1）猜想并写出第6个等式a6＝ ． ；
（2）猜想并写出第n个等式an＝ ；
（3）证明（2）中你猜想的正确性．
10．（2023•来安县二模）如图，某医院广场上的图案由红、白两色正方形地砖铺成，这些地砖除颜色外，形状、大小均相同．当中间的红色地砖只有1块时，四周的白色地砖有4块（如图1），当中间的红色地砖有4块时，四周的白色地砖有8块（如图2），以此类推．
（1）当红色正方形地砖为16块时，白色地砖为 块；
（2）当白色正方形地砖为n（n为4的整数倍）时，红色地砖为 块；
（3）已知该医院的另一个广场上也按此规律建图案，且红色地砖比白色地砖多用了140块，求这个广场上的图案分别用红、白两色地砖的块数．
11．（2023•合肥模拟）丰艳花卉市场将深色和浅色两种花齐摆成如图所示的排列图案，第1个图案需要5盆花卉，第2个图案需要13盆花卉，第3个图案需要25盆花卉，以此类推．
按照以上规律，解决下列问题：
（1）第4个图案需要花卉 盆；
（2）第n个图案需要花卉 盆（用含n的代数式表示）；
（3）已知丰艳花卉市场春节期间所摆的花卉图案中深色花卉比浅色花卉多101盆，求该花卉图案中深色花卉的盆数．
12．（2023•庐阳区校级三模）将若干枚黑白棋子按照一定规律摆放成三角形阵，前5次摆放的情况如图所示．如果按照此规律继续摆放三角形阵，请解决下列问题：
（1）第6个图案中，黑棋子的个数为 ，白棋子的个数为 ；
（2）第n个图案中，黑棋子的个数为 ，白棋子的个数为 ；（用含n的式子表示）
（3）当摆放到第 个三角形阵时，该三角形阵中的黑棋子数第一次比白棋子多．
13．（2023•蜀山区一模）如图中，图（1）是一个菱形ABCD，将其作如下划分：
第一次划分：如图（2）所示，连接菱形ABCD对边中点，共得到5个菱形；
第二次划分：如图（3）所示，对菱形CEFG按上述划分方式继续划分，共得到9个菱形；
第三次划分：如图（4）所示，…
依次划分下去．
（1）根据题意，第四次划分共得到 个菱形，第n次划分共得 个菱形；
（2）根据（1）的规律，请你按上述划分方式，判断能否得到2023个菱形？为什么？
14．（2023•蜀山区校级模拟）同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
（1）图5有多少颗黑色棋子？
（2）若第（n+2）个图形比第n个图形中多2021颗棋子，试求n的值．
15．（2023春•莱芜区月考）用同样规格的黑，白两种颜色的正方形瓷砖按如图所示的方式铺宽为1.5米的小路．
（1）铺第6个图形用黑色正方形瓷砖 块，用白色正方形瓷砖 块；
（2）按照此方式铺下去，铺第n个图形用黑色正方形瓷砖 块，用白色正方形瓷
砖 块（用含n的代数式表示）；
（3）在（2）的基础上，若黑，白两种颜色的瓷砖规格都为（长为0.5米×宽0.5米），若按照此方式铺满一段总面积为24.75平方米的小路时，n是多少？
16．（2022秋•绥德县期末）如图，第1个图中有1颗棋子，第2个图中有5颗棋子，第3个图中有9颗棋子，第4个图中有13颗棋子，…，以此类推．
（1）第6个图中有 棋子；
（2）用含a的代数式表示第a个图中棋子的颗数；
（3）第多少个图中有505颗棋子？
17．（2022秋•长春期末）【方法指引】利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．
【方法生成】
将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，请利用数形结合的思想解决下列问题：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
【方法迁移】
（4）＝ ；
【灵活运用】
（5）＝ ．
18．（2023•定远县校级二模）为美化市容，某广场要在人行雨道上用10×20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示．
[观察思考]
图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．
[规律总结]
（1）图4灰砖有 块，白砖有 块；图n灰砖有 块时，白砖有 块；
[问题解决]
（2）是否存在白砖数恰好比灰砖数少1的情形，请通过计算说明你的理由．
19．（2023•城阳区校级一模）如图，用同样规格的黑白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形，并探究下列问题：
（1）在第4个图中，共有白色瓷砖 块；在第n个图中，共有白色瓷砖 块；
（2）在第4个图中，共有瓷砖 块；在第n个图中，共有瓷砖 块；
（3）如果每块黑瓷砖25元，白瓷砖30元，铺设当n＝10时，共需花多少钱购买瓷砖？
20．（2022秋•蒙城县期中）观察与思考：我们知道1+2+3+⋯⋯+n＝，那么13+23+33+⋯⋯+n3结果等于多少呢？请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系，解决下列问题：
13＝12；13+23＝32；13+23+33＝62；13+23+33+43＝102；
（1）规律观察：13+23+33+43+53＝ 15 2；
（2）推算概括：用含n的式子表示出13+23+33+…+n3的值；
（3）拓展应用：求的值．
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