2023年新七年级数学北师大版暑假预习——第13讲 角的运算

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第13讲 角的运算
学习目标
1．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；
2. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算.
3.掌握角大小比较方法。

知识点1：角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，
∠AOC＝∠BOC =∠AOB．

注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．

知识点2：角的运算
如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．

注意：
(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．
(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．

知识点3：角的比较
角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．




考点1：角平分线的的定义
例1.（2022秋•万源市校级期末）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论正确的有（　　）
①AD平分∠BAE；②AF平分∠EAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠BAC；⑤AE平分∠BAC．

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AE平分∠DAF；
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴AE平分∠BAC．
∴正确的结论有2个．
故选：C．
【变式1-1】（2022秋•澄海区期末）已知射线OC在∠AOB内部，下列说法不能确定射线OC是∠AOB的平分线的是（　　）
A．∠AOC+∠BOC＝∠AOB B．∠AOC＝∠AOB
C．∠AOB＝2∠BOC D．∠AOC＝∠BOC
【答案】A
【解答】解：A、如图所示，，射线OC在∠AOB内部且∠AOC+∠BOC＝∠AOB，但是不能确定射线OC是∠AOB的平分线，符合题意；
B、当∠AOC＝∠AOB时，OC一定在∠AOB的内部且OC是∠AOB的平分线，不符合题意；
C、当∠AOB＝2∠BOC时，OC一定在∠AOB的内部且OC是∠AOB的平分线，不符合题意；
D、当∠AOC＝∠BOC时，OC一定在∠AOB的内部且OC是∠AOB的平分线，不符合题意．
故选：A．
【变式1-2】（2022秋•达川区校级期末）如图，点O在直线AB上，OD是∠AOC的角平分线，∠COB＝42°，则∠DOC的度数是（　　）

A．59° B．60° C．69° D．70°
【答案】C
【解答】解：∵∠COB＝42°，
∴∠AOC＝180°﹣∠COB＝138°，
∵OD是∠AOC的角平分线，
∴∠DOC＝＝＝69°．
故选：C．
【变式1-3】（2023春•宝坻区校级月考）如图，直线AB、CD交于O，OE是∠BOC的平分线且∠BOE＝50°，那么∠AOC＝（　　）°

A．80 B．100 C．130 D．150
【答案】A
【解答】解：∵OE是∠BOC的平分线，
∴∠BOC＝2∠BOE＝100°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝80°，
故选：A．
考点2：角的计算
例2.（2022秋•大渡口区校级期末）如图所示，OC是∠AOB的平分线，∠BOD＝∠DOC，∠BOD＝13°，则∠AOD的度数为（　　）

A．70° B．65° C．60° D．52°
【答案】B
【解答】解：∵，∠BOD＝13°，
∴∠DOC＝3∠BOD＝39°，
∴∠BOC＝∠DOC﹣∠BOD＝26°，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOB＝2∠BOC＝52°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝65°；
故选：B．
【变式2-1】（2022秋•安乡县期末）如图，已知O是直线AB上一点，∠1＝40°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是（　　）

A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】C
【解答】解：∵∠1＝40°，
∴∠COB＝180°﹣40°＝140°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠2＝∠BOC＝×140°＝70°．
故选：C．
【变式2-2】（2022秋•长垣市期末）如图，已知，，且∠COD＝20°，则∠AOB＝（　　）

A．100° B．110° C．120° D．135°
【答案】C
【解答】解：设∠AOB＝x，则∠AOC＝x，∠AOD＝x，
∵∠AOD﹣∠AOC＝∠COD，
∴x﹣x＝20°，
解得：x＝120°，
∴∠AOB＝120°．
故选：C．
【变式2-3】（2022秋•东明县校级期末）如图，点A、B、O在一条直线上，射线OC是∠DOB的平分线，∠AOD＝110°，∠BOC＝　 　°．

【答案】35．
【解答】解：∵∠AOD＝110°，
∴∠BOD＝180°﹣110°＝70°，
∵OC平分∠BOD，
∴∠BOC＝∠BOD＝×70°＝35°．
故答案为：35．
考点3：双角平分线的运算
例3.（2022秋•南川区期末）如图所示，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
（1）如果∠AOB＝40°，∠DOE＝25°，那么∠BOD是多少度？
（2）如果∠AOE＝150°，∠COD＝20°，那么∠AOB是多少度？

【答案】（1）65°；（2）55°．
【解答】解：（1）∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∠AOB＝40°，∠DOE＝25°，
∴∠BOC＝∠AOB＝40°，∠COD＝∠DOE＝25°，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝40°+25°＝65°．
（2）∵OD是∠COE的平分线，∠COD＝20°，
∴∠COE＝2∠COD＝2×20°＝40°，
∵∠AOE＝150°，
∴∠AOC＝∠AOE﹣∠COE＝150°﹣40°＝110°，
∵OB是∠AOC的平分线，
∴．
【变式3-1】（2022秋•济南期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，求∠DOE的度数．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠BOC，
∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝（∠AOC+∠BOC），
∵点A，O，B在同一条直线上，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠DOE＝×180°＝90°．
【变式3-2】（2022秋•黔江区期末）如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
（1）若∠AOB＝30°，∠DOE＝20°，那么∠BOD是多少度？
（2）若∠AOE＝150°，∠AOB＝40°，那么∠COD是多少度？

【答案】（1）50°；
（2）35°．
【解答】解：（1）∵OB是∠AOC的平分线，
∴∠BOC＝∠AOB＝30°，
∵OD是∠COE的平分线，
∴∠COD＝∠DOE＝20°，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD
＝30°+20°
＝50°；
（2））∵OB是∠AOC的平分线，
∴∠AOC＝2∠AOB＝80°，
∴∠COE＝∠AOE﹣∠AOC
＝150°﹣80°
＝70°，
∵OD是∠COE的平分线，
∴∠COD＝∠COE＝35°．
【变式3-3】（2022秋•七星关区期末）如图，O为直线AB上的一点，且∠COD为直角，OE平分∠BOD，OF平分∠AOE．若∠BOC＝54°，求∠DOF的度数．

【答案】63°．
【解答】解：∵∠COD＝90°，∠BOC＝54°，
∴∠BOD＝90°﹣54°＝36°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE＝∠BOE＝18°，
∴∠COE＝∠BOC+∠BOE
＝54°+18°
＝72°，
∠AOE＝180°﹣∠BOE
＝180°﹣18°
＝162°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠EOF＝∠AOE＝81°，
∴∠DOF＝∠EOF﹣∠DOE
＝81°﹣18°
＝63°．
综上，∠DOF的度数为63°．
考点4：有关折叠的角度运算
例4.（2023春•东平县期中）如图，将一张长方形纸按照如图所示的方法对折，两条虚线为折痕，这两条折痕构成的角的度数是（　　）

A．30° B．45° C．75° D．90°
【答案】D
【解答】解：如图：由折叠得，∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠4＝∠2+∠3，
∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∴∠1+∠4＝∠2+∠3＝90°，
∴两条折痕构成的角的度数是90°．

故选：D．
【变式4-1】（2023春•北辰区期中）如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的度数是（　　）

A．15° B．40° C．45° D．60°
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝45°，
由折叠得，∠ABE＝∠DBE＝22.5°，
同理∠CBF＝∠DBF＝22.5°，
∴∠EBF＝45°．
故选：C．
【变式4-2】（2023•高青县一模）将一张长方形纸片按如图方式折叠，BD、BE为折痕，点C′恰好落在A′B上，若∠ABE＝20°，则∠DBC为（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】D
【解答】解：根据翻折的性质可知，∠ABE＝∠A′BE，∠DBC＝∠DBC′，
∵∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′＝180°，
∴∠ABE+∠DBC＝90°，
∵∠ABE＝20°，
∴∠DBC＝70°．
故选：D．
【变式4-3】（2022秋•潍坊期末）如图，在矩形纸片ABCD中，把∠D沿直线AE折叠，使得点D落在BC边上的点F处．已知∠EAF与∠BAF的度数之比为2：5，则∠DAF的度数是（　　）

A．20° B．30° C．40° D．45°
【答案】C
【解答】解：已知∠EAF与∠BAF的度数之比为2：5，
设∠EAF＝2x°，∠BAF＝5x°，
∵把∠D沿直线AE折叠，使得点D落在BC边上的点F处，
∴∠DAE＝∠EAF＝2x°，
∵纸片ABCD是矩形，
∴5x+2x+2x＝90°，
解得x＝10，
∴∠DAF＝∠EAF+∠DAE
＝2x+2x
＝40°，
故选：C．
【变式4-4】（2022秋•路北区校级期末）如图是一个长方形纸片ABCD，将纸片沿EF，EG折叠，点A对应点A'，点D对应点D'，并且点D'在线段A'E上，若∠AEF＝15°，则∠DEG的大小为（　　）

A．80° B．75° C．70° D．45°
【答案】B
【解答】解：由折叠知：∠AEF＝∠A'EF，∠DEG＝∠D'EG，
∵∠AEF+∠A'EF+∠DEG+∠D'EG＝180°，
∴2∠AEF+2∠DEG＝180°，
∴∠DEG＝90°﹣∠AEF＝90°﹣15°＝75°．
故选：B．

考点5：三角形拼接角的运算
例5.．（2022秋•金安区校级期末）如图，一副三角板如图摆放，若∠1＝9°，则∠2的度数为（　　）

A．24° B．25° C．26° D．27°
【答案】A
【解答】解：由直角三角板知∠BCA＝45°，∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠1
＝45°﹣9°
＝36°．
∴∠2＝∠ECD﹣∠ACD
＝60°﹣36°
＝24°．
故选：A．

【变式5-1】（2022秋•岳阳期末）把两块三角板按如图所示拼在一起，则∠ABC等于（　　）

A．90° B．100° C．120° D．150°
【答案】C
【解答】解：如图所示：
∵∠CEB＝90°，∠EBA＝30°，
∴∠ABC＝90°+30°＝120°，
故选：C．

【变式5-2】（2022秋•陈仓区期末）一副三角板如图摆放，则∠ABC的度数是（　　）

A．90° B．75° C．60° D．15°
【答案】B
【解答】解：由题意得∠ABC＝30°+45°＝75°．
故选B．
【变式5-3】（2022秋•晋中期末）将一副三角板如图所示放置，若∠AOD＝20°，那么∠COB的度数是（　　）

A．120° B．140° C．160° D．170°
【答案】C
【解答】解：由题意得：
∠COD＝∠AOB＝90°，
∵∠AOD＝20°，
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝70°，
∴∠COB＝∠COD+∠BOD＝160°，
故选：C．
考点6：角的大小比较
例6.（2022秋•仪征市期末）如图，用同样大小的三角板比较∠A和∠B的大小，下列判断正确的是（　　）


A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B
C．∠A＝∠B D．没有量角器，无法确定
【答案】B
【解答】解：∵图中三角尺为等腰直角三角形，
∴∠A＜45°，＜B＞45°，
∴∠A＜∠B，
故选：B．
【变式6-1】（2023春•福山区期中）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，则∠α与∠β的大小关系为（　　）

A．∠α＜∠β B．∠α＝∠β C．∠α＞∠β D．无法估测
【答案】A
【解答】解：将∠α平移，使∠α与∠β两个角的顶点重合，∠α下边的一条边与∠β下边的一条边重合，
可得：∠α上面的一条边在∠β的内部，
所以∠α＜∠β，
故选：A．
【变式6-2】（2022秋•遂川县期末）下面所标注的四个角中最大的角是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A：图中标注的角为钝角，钝角大于90°；
B：图中标注的角为锐角，锐角大于0°而小于90°；
C：图中标注的角为直角，直角等于90°；
D：图中标注的角为平角，平角等于180°．
∴锐角＜直角＜钝角＜平角．
故选：D．
【变式6-3】（2022秋•长安区校级期末）用“叠合法”比较∠1与∠2的大小，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：根据“叠合法”比较∠1与∠2的大小，可知：正确的是D．
故选：D．

1．（2023•河北一模）如图1，图2所示，把一副三角板先后放在∠AOB上，则∠AOB的度数可能（　　）

A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】C
【解答】解：由图1可得∠AOB＜45°，由图2可得∠AOB＞30°，
∴30°＜∠AOB＜45°，
故选：C．
2．（2023•顺义区一模）如图，要把角钢（1）变成夹角是90°的钢架（2），则在角钢（1）上截去的缺口的度数为（　　）

A．60° B．90° C．120° D．150°
【答案】B
【解答】解：因为缺口角加90°，在截取之前的角是平角180°，
所以在角钢（1）上截去的缺口的度数为180°﹣90°＝90°．
故选：B．
3．（2023•安次区二模）下列度数的角，只借助一副三角尺不能拼出的是（　　）
A．15° B．75° C．105° D．115°
【答案】D
【解答】解：A、15°＝45°﹣30°它可以用一副三角尺拼出；
B、75°＝45°+30°，它可以用一副三角尺拼出；
C、105°＝45°+60°，它可以用一副三角尺拼出；
D、115°，无法用一副三角尺拼出．
故选：D．
4．（2023•乐山）如图，点O在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，若∠AOC＝140°，则∠BOD的度数为 　 　．

【答案】20°．
【解答】解：∵∠AOC＝140°，
∴∠BOC＝180°﹣140°＝40°，
∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠BOD＝∠BOC＝20°，
故答案为：20°．
5．（2022•百色）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么∠BAC的大小为 　135　°．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意可得，
∠BAC＝90°+45°＝135°．
故答案为：135．
6．（2022•湘潭）如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB＝120°，∠CDB＝20°，则∠AEF＝　40°　．

【答案】40°．
【解答】解：∵一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，
∴∠EDO＝∠CDB＝20°，∠AEF＝∠OED，
在△ODE中，∠OED＝180°﹣∠AOB﹣∠EDO＝180°﹣120°﹣20°＝40°，
∴∠AEF＝∠OED＝40°．
故答案为：40°

1．（2022秋•长沙期末）如图，已知点O是直线AB上一点，∠AOC＝58°，∠BOD＝74°，则∠COD等于（　　）

A．42° B．46° C．48° D．51°
【答案】C
【解答】解：根据题意可得，
因为∠AOC+∠COD+∠BOD＝180°，
所以∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠BOD＝180°﹣58°﹣74°＝48°．
故选：C．
2．（2022秋•靖西市期末）关于角的描述错误的是（　　）

A．∠1与∠AOB表示同一个角 B．∠AOC可以用∠O表示
C．∠AOC＝∠AOB+∠BOC D．∠β表示∠BOC
【答案】B
【解答】解：由于顶点O处，共有3个角，所以∠AOC不可以用∠O来表示，故B错误．
故选：B．
3．（2022秋•泰兴市期末）在所给的：①15°、②65°、③75°、④115°、⑤135°的角中，可以用一副三角板画出来的是（　　）
A．②④⑤ B．①②④ C．①③⑤ D．①③④
【答案】C
【解答】解：①45°﹣30°＝15°，可以用一副三角板画出来；
②65°不可以用一副三角板画出来；
③45°+30°＝75°，可以用一副三角板画出来；
④115°不可以用一副三角板画出来；
⑤90°+45°＝135°，可以用一副三角板画出来；
综上所述，可以用一副三角板画出来的有：①③⑤．
故选：C．
4．（2022秋•晋安区期末）已知射线OC在∠AOB的内部，下列4个表述中：①∠AOC＝∠AOB，②∠AOC＝∠BOC，③∠AOB＝2∠BOC，④∠AOC+∠BOC＝∠AOB，能表示射线OC是∠AOB的角平分线的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：①∵∠AOC＝∠AOB，
∴∠AOB＝2∠AOC＝∠AOC+∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOC，
∴OC平分∠AOB，
即OC是∠AOB的角平分线，此表述正确．
②∵∠AOC＝∠BOC，
∴OC平分∠AOB，
即OC是∠AOB的角平分线，此表述正确；
③∵∠AOB＝2∠BOC＝∠AOC+∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOC，
∴OC平分∠AOB，
即OC是∠AOB的角平分线，此表述正确；
④∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB，
∴假如∠AOC＝30°，∠BOC＝40°，∠AOB＝70°，符合上式，但是OC不是∠AOB的角平分线，此表述错误．
故选：C．
5．（2022秋•中宁县期末）一副三角板如图所示放置，则∠AOB的度数为（　　）

A．75° B．90° C．105° D．120°
【答案】C
【解答】解：如图：

根据三角板的度数可得：∠2＝45°，∠1＝60°，
∠AOB＝∠1+∠2＝45°+60°＝105°，
故选：C．
6．（2022秋•荆门期末）如图，将一副三角尺的两个锐角（60°角和45°角）的顶点O叠放在一起，若∠AOD与∠BOC的和为35°，则∠AOC的度数为（　　）

A．55° B．65° C．70° D．75°
【答案】C
【解答】解：由题意得：
∠AOB＝60°，∠COD＝45°，
∴∠AOD＝∠AOB﹣∠DOB＝60°﹣∠DOB，
∠BOC＝∠COD﹣∠DOB＝45°﹣∠DOB，
∵∠AOD+∠BOC＝35°，
∴60°﹣∠DOB+45°﹣∠DOB＝35°，
∴∠DOB＝35°，
∴∠BOC＝10°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝70°，
故选：C．
7．（2022秋•洪山区期末）如图，长方形纸片ABCD，M为AD边的中点，将纸片沿BM，CM折叠，使点A落在点A1处，点D落在点D1处，若∠1＝30°，则∠BMC＝（　　）

A．135° B．120° C．105° D．100°
【答案】C
【解答】解：∵∠1＝30°
∴∠AMA1+∠DMD1＝180°﹣30°＝150°
∵将纸片沿BM，CM折叠，使点A落在点A1处，点D落在点D1处，
∴MB平分∠AMA1，MC平分∠DMD1
∴∠BMA1+∠CMD1＝（∠AMA1+∠DMD1）＝75°
∴∠BMC＝∠1+∠BMA1+∠CMD1＝30°+75°＝105°
故选：C．
8．（2023春•莱西市期中）如图所示，由正方形组成的网格中，点A，B，C，D，O是网格线交点，那么∠AOB与∠COD的大小关系是∠AOB　＞　∠COD．（填“＞”，“＜”或“＝”）

【答案】＞．
【解答】解：如图：连接OE，

由题意得：∠COE＝∠AOB，
∵∠COE＞∠COD，
∴∠AOB＞∠COD，
故答案为：＞．
9．（2022秋•隆化县期末）如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线，∠AOB＝130°．
（1）求∠COE的度数是多少？
（2）如果∠COD＝20°，求∠BOE的度数．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线，
∴∠COD＝∠AOD，∠DOE＝∠BOD，
∴∠COE＝∠COD+∠DOE
＝∠AOD+∠BOD
＝（∠AOD+∠BOD）
＝∠AOB
＝65°；
（2）∵OC是∠AOD的平分线，∠COD＝20°，
∴∠AOD＝2∠COD＝2×20°＝40°，
∵∠AOB＝130°，
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝130°﹣40°＝90°，
∵OE是∠BOD的平分线，
∴∠BOE＝∠BOD＝×90°＝45°．
10．（2022秋•长安区期末）如图，已知∠AOB是直角，∠COD＝81°，OC平分∠AOB，∠BOD＝3∠DOE．
（1）求∠BOD的度数；
（2）求∠COE的度数．

【答案】（1）∠BOD＝36°；
（2）∠COE＝69°．
【解答】解：（1）∵∠AOB是直角，OC平分∠AOB，
∴∠COB＝45°，
∵∠COD＝81°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠COB＝81°﹣45°＝36°，
∴∠BOD＝36°；
（2）∵∠BOD＝36°，∠BOD＝3∠DOE，
∴，
∴∠COE＝∠COB+∠BOE＝45°+24°＝69°，
∴∠COE＝69°．
11．（2022春•江都区校级期中）如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边点E处，点A落在点F处，折痕为MN，若∠NEC＝32°，求∠FMN的大小．

【答案】119°
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边点E处，点A落在点F处，
∴∠F＝∠A＝90°，∠DNM＝∠ENM，∠FEN＝∠D＝90°，
∵∠NEC＝32°，
∴∠ENC＝90°﹣32°＝58°，
∴，
∴∠FMN＝360°﹣90°﹣90°﹣61°＝119°．