期末典例专项练习五：等积转化问题-2022-2023学年五年级数学下册典型例题系列（解析版）人教版

2022-2023学年五年级数学下册典型例题系列之

期末典例专项练习五：等积转化问题（解析版）

1．明明在手工社团课上用橡皮泥捏各种造型。他先捏了一个长8厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体。后又把这块橡皮泥改造成了一个长10厘米，宽8厘米的长方体，改造后长方体的高是多少厘米？

【答案】2厘米

【分析】由题意可知，改造前后橡皮泥的体积不变，根据长方体的体积公式：V＝abh，据此求出橡皮泥的体积，已知长方体的长和宽，求高，根据h＝V÷a÷b，据此代入数值进行计算即可。

【详解】8×5×4÷10÷8

＝40×4÷10÷8

＝160÷10÷8

＝16÷8

＝2（厘米）

答：改造后长方体的高是2厘米。

【点睛】本题考查长方体的体积，明确改造前后橡皮泥的体积不变是解题的关键。

2．王官村乡村振兴改造公路，工人叔叔把3立方米的沥青混凝土铺在一条宽6米的公路上，铺了5厘米厚，这些混凝土能铺多少米长的公路？

【答案】10米

【分析】沥青混凝土的体积不变，先统一单位，再通过长方体的体积公式：V＝abh，代入数据即可求出这些混凝土能铺多少米长的公路。

【详解】5厘米＝0.05米

3÷6÷0.05＝10（米）

答：这些混凝土能铺10米长的公路。

【点睛】此题的解题关键是熟练运用长方体的体积公式求解。

3．一个棱长是4分米的正方体鱼缸，里面装满水，把水倒入一个底面积32平方分米，高6分米的的长方体鱼缸里，鱼缸里水有多深？

【答案】2分米

【分析】根据题意，用正方体玻璃鱼缸的棱长求出水的体积，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体鱼缸内水的深度＝水的体积÷长方体玻璃鱼缸的底面积，据此解答。

【详解】4×4×4÷32

＝16×4÷32

＝64÷32

＝2（分米）

答：鱼缸里水有2分米深。

【点睛】灵活运用长方体和正方体的体积计算公式是解答题目的关键。

4．中国冶炼铸铁的技术比欧洲早，据《管子》记载，齐国“断山木，鼓山铁”。齐国工匠将一块棱长是6分米的正方体铁块，锻造成了一个横截面积是4平方分米的长方体，这个长方体的长是多少分米？

【答案】54分米

【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，用6×6×6即可求出正方体铁块的体积，把正方体铁块锻造成了一个横截面积是4平方分米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高＝长×横截面积，用正方体铁块的体积除以4平方分米，即可求出这个长方体的长。

【详解】6×6×6÷4

＝216÷4

＝54（分米）

答：这个长方体的长是54分米。

【点睛】本题主要考查正方体体积公式和长方体体积公式的灵活应用，要熟练掌握公式。

5．有一个完全封闭的容器，里面的长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时里面装了8厘米的水。如果把这个容器竖起来放，水的高度是多少？

【答案】16厘米

【分析】容器竖起来放之前，容器的底面积是（20×16）平方厘米，水的高度8厘米，利用“长方体的体积＝底面积×高”求出水的体积，容器竖起来放之后，容器内水的体积不变，容器的底面积是（10×16）平方厘米，利用“高＝长方体的体积÷底面积”求出此时水的高度，据此解答。

【详解】20×16×8÷（10×16）

＝20×16×8÷160

＝320×8÷160

＝2560÷160

＝16（厘米）

答：水的高度是16厘米。

【点睛】掌握长方体的体积计算公式，理解容器竖起来前后容器内水的体积不变是解答题目的关键。

6．一个棱长为6分米的正方体容器，装满水后倒入另一个空的长方体容器中，长方体容器长9分米，宽4分米，高0.8米，这时长方体容器中水面高多少分米？（容器的厚度忽略不计）

【答案】6分米

【分析】先利用正方体的体积公式：V＝a3，代入数据求出水的体积，倒入到长方体容器中，体积不变，利用长方体的体积公式：V＝abh，已知长方体容器长9分米，宽4分米以及水的体积，代入数据即可求出水面的高度。

【详解】6×6×6＝216（立方分米）

216÷9÷4＝6（分米）

答：这时长方体容器中水面高6分米。

【点睛】此题的解题关键是抓住水的体积不变，灵活运用长方体和正方体的体积公式求解。

7．赵师傅把一块棱长的正方体铁块锻造成长、宽、高的长方体铁条，可以锻造出几根？

【答案】20根

【分析】根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出棱长是20cm的正方体铁块的体积，再根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出长方体铁条的体积，再用正方体的体积除以长方体的体积，即可解答。

【详解】（20×20×20）÷（8×5×10）

＝（400×20）÷（40×10）

＝8000÷400

＝20（根）

答：可以锻造出20根。

【点睛】熟练掌握长方体体积公式和正方体体积公式是解答本题的关键。

8．把一个棱长30厘米的正方体钢坯熔铸成底面积是675平方厘米的长方体钢坯，长方体钢坯的高度是多少厘米？（损耗忽略不计）

【答案】40厘米

【分析】已知把一个正方体钢坯熔铸成长方体钢坯，钢坯的形状变了，体积不变；先根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出钢坯的体积；再根据长方体的高＝体积÷底面积，代入数据计算，求出长方体钢坯的高度。

【详解】正方体的体积（钢坯的体积）：

30×30×30

＝900×30

＝27000（立方厘米）

长方体的高：

27000÷675＝40（厘米）

答：长方体钢坯的高度是40厘米。

【点睛】本题考查正方体体积、长方体体积公式的灵活运用，抓住立体图形等积变形中的“体积不变”是解题的关键。

9．把一个长8厘米、宽4厘米、高2厘米的长方体橡皮泥，捏成一个棱长为4厘米的正方体，长方体和正方体哪个体积大？

【答案】长方体和正方体的体积相等

【分析】长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，将数据代入公式，分别求出长方体和正方体的体积，再比较大小。

【详解】长方体体积：8×4×2＝64（立方厘米）

正方体体积：4×4×4＝64（立方厘米）

答：长方体和正方体的体积相等。

【点睛】本题考查了长方体和正方体的体积，解题关键是熟记公式。

10．一个圆锥形沙堆，底面周长是18.84米，高是6米，用这堆沙在15米宽的公路上铺20厘米厚的路面，能铺多少米长？

【答案】18.84米

【分析】根据圆的周长公式，先求出圆锥形沙堆的底面半径，再根据圆锥的体积公式求这个圆锥形沙堆的体积，铺在路上，体积不变，换算单位后，最后利用长方体的体积公式即可求出能铺路的长度。

【详解】18.84÷2÷3.14＝3（米）

＝

＝

＝56.52（立方米）

20厘米＝0.2米

56.52÷15÷0.2

＝3.768÷0.2

＝18.84（米）

答：能铺18.84米长。

【点睛】此题主要考查等积变形，灵活运用圆锥和长方体的体积公式解决问题。

11．一个正方体玻璃缸的棱长是6分米，将它装满水，再把水全部倒入一个底面积是30平方分米的长方体玻璃缸中，长方体玻璃缸的水面高度是多少分米？

【答案】7.2分米

【分析】根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方体玻璃钢里水的体积，倒入长方体玻璃钢中，水的体积不变，根据长方体体积公式：体积＝底面积×高，高＝体积÷底面积，代入数据，即可解答。

【详解】6×6×6÷30

＝36×6÷30

＝216÷30

＝7.2（分米）

答：长方体玻璃钢的水面高度是7.2分米。

【点睛】解答本题的关键明确水的体积没有变，进而解答。

12．把一个长4分米，宽3分米，高2.5分米的长方体水槽装满水，把这些水倒入另一个棱长为5分米的正方体水槽中，水深多少分米？

【答案】1.2分米

【分析】首先根据长方体的容积（体积）＝长×宽×高，求出长方体水槽中水的体积，然后用水的体积除以正方体水槽的底面积即可求出水深，据此解答。

【详解】4×3×2.5÷（5×5）

＝12×2.5÷25

＝30÷25

＝1.2（分米）

答：水深1.2分米。

【点睛】此题主要考查长方体、正方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。

13．把一个棱长是9厘米的正方体橡皮泥捏成一个底面积是27平方厘米的长方体，这个长方体的高是多少厘米？

【答案】27厘米

【分析】根正方体的体积公式可以求得这个橡皮泥的体积，变化成长方体后，体积不变，利用长方体的高＝体积÷底面积即可解决问题。

【详解】9×9×9÷27

＝81×9÷27

＝729÷27

＝27（厘米）

答：高是27厘米。

【点睛】此题考查了正方体与长方体的体积公式的综合应用，抓住变化前后的体积不变，是解决此类问题的关键。

14．如图，一个密闭的长方体容器长15厘米，宽8厘米，高8厘米（容器厚度忽略不计）。向内部注入6厘米深的水，然后把容器立起来，这时水面高多少厘米？

【答案】11.25厘米

【分析】由于体积不变，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，先求出长是15厘米，宽是8厘米，高是6厘米的长方体的体积，再除以竖起后的长方体的底面积，即可求出水面的高。

【详解】15×8×6÷（8×8）

＝120×6÷64

＝720÷64

＝11.25（厘米）

答：这时水面高11.25厘米。

【点睛】本题考查长方体体积公式的灵活应用，关键是熟记公式。

15．一个长方体的容器（如图），里面的水深5厘米。把这个容器盖紧，竖放后使长10厘米、宽8厘米的面朝下，这时里面的水深多少厘米？

【答案】12.5厘米

【分析】正放时长方体容积的长是20厘米、宽是10厘米，水深5厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出容器内水的体积；因为这个容器是盖紧的，所以无论正放还是竖放，容器内水的体积不变；竖放时，容积的长是10厘米，宽是8厘米，根据长方体的高＝体积÷（长×宽），求出此时水的深度。

【详解】20×10×5＝1000（立方厘米）

1000÷（10×8）

＝1000÷80

＝12.5（厘米）

答：这时里面的水深12.5厘米。

【点睛】抓住立体图形等积变形中的“体积不变”以及灵活运用长方体的体积公式是解题的关键。

16．把一个棱长是10厘米的正方体橡皮泥捏成一个长20厘米，宽10厘米的长方体。这个长方体橡皮泥高是多少厘米？

【答案】5厘米

【分析】根据体积的意义，物体所占空间的大小叫做物体的体积。由此可知，把一个正方体的橡皮泥无论捏成什么形状，体积不变。根据正方体的体积公式：V＝a3，长方体的体积公式：V＝abh，那么h＝V÷（ab），把数据代入公式解答。

【详解】10×10×10÷（20×10）

＝1000÷200

＝5（厘米）

答：这个长方体橡皮泥的高是5厘米。

【点睛】此题主要考查正方体、长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。

17．一个正方体的水槽，从里面量棱长4分米，装满水后倒入另一个（从里面量）长8分米，宽5分米的长方体水槽内，水深多少分米？

【答案】1.6分米

【分析】根据题意，正方体的水槽装满水，那么水的体积等于正方体的体积，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出水的体积；再倒入长方体水槽内，水的体积不变，根据长方体的高＝体积÷长÷宽，即可求出水的高度。

【详解】正方体的体积（水的体积）：

4×4×4

＝16×4

＝64（立方分米）

水深：

64÷8÷5

＝8÷5

＝1.6（分米）

答：水深1.6分米。

【点睛】本题考查正方体积、长方体体积公式的灵活运用，抓住“水的体积不变”是解题的关键。

18．一个棱长为30厘米的正方体水箱里盛有25厘米深的水，现把水箱中的水倒一部分到长40厘米，宽40厘米，使得两个水箱里的水的高度相同，正方体水箱倒出了多少升水？

【答案】14.4升

【分析】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，先求出长是30厘米，宽是30厘米正方体水箱中有水的体积，由于两个水箱中水的高度相同，用水的体积除以两个水箱的底面积之和，求出水箱水的高度，再用水的高度×长40厘米，宽40厘米正方体的底面积，求出倒出水的体积，再化成升，即可解答。

【详解】（30×30×25）÷（30×30＋40×40）

＝（900×25）÷（900＋1600）

＝22500÷2500

＝9（厘米）

40×40×9

＝1600×9

＝14400（立方厘米）

14400立方厘米＝14.4升

答：正方体水箱倒出了14.4升水。

【点睛】本题主要考查长方体体积的计算方法，关键是掌握长方体、正方体的体积的计算公式。

19．把一块棱长是0.8分米的正方体铁块熔铸成一个高是5厘米，宽是4厘米的长方体铁块，熔铸后铁块的长是多少厘米？

【答案】25.6厘米

【分析】由题意可知，长方体和正方体的体积相等，利用“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”表示出正方体的体积，再根据“长＝长方体的体积÷宽÷高”求出熔铸后铁块的长，据此解答。

【详解】0.8分米＝8厘米

8×8×8÷5÷4

＝512÷5÷4

＝102.4÷4

＝25.6（厘米）

答：熔铸后铁块的长是25.6厘米。

【点睛】本题主要考查正方体、长方体体积公式的运用，理解把正方体铁块熔铸成长方体铁块体积不变是解答题目的关键。

20．有一个棱长是9分米的正方体钢锭，要把它熔铸成一个底面是正方形，底面周长是12分米的长方体钢材，钢材长是多少米？

【答案】81分米

【分析】根据正方体的体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出这个正方体钢锭的体积；再根据正方形周长公式：周长＝边长×4，边长＝周长÷4；代入数据，求出熔铸后长方体钢材的宽和高；再根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；长＝体积÷（宽×高），代入数据，即可解答。

【详解】12÷4＝3（分米）

9×9×9÷（3×3）

＝81×9÷9

＝729÷9

＝81（分米）

答：钢材长是81分米。

【点睛】本题考查正方体体积公式、长方体体积公式以及正方形周长公式的应用，关键是熟记公式，灵活运用。