【暑假初高衔接】初三数学暑假预习-专题08《一元二次方程》讲学案

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一元二次方程
1. 一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程.
2. 一元二次方程的一般式：.
3. 一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
4. 一元二次方程根的判别式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“△”来表示，即.
（1）当时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
（2）当时，一元二次方程有2个相等的实数根；
（3）当时，一元二次方程没有实数根.
5. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
如果一元二次方程的实数根分别为、，则，.
证明：若一元二次方程有两个实数根，
，
则，
.
一元二次方程的根的判别式都成立，主要应用有以下几个：
（1）不需要解方程就可以判定方程根的情况；
（2）根据系参数的性质确定根的范围；
（3）解与根有关的证明题；
（4）已知方程的一个根，不需要解方程求另一个根与参数系数；
（5）已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；
（6）已知方程两个根，求以方程两根或其代数式为根的一元二次方程.
例1：根的判别式的应用
（1）
（2）
【解答】（1）两个不相等的实数根；（2）两个实数根.
【解析】（1）在中，，
，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）方程是一元二次方程，常数项为0，
无论取任何实数，均为非负数，
，故方程有两个实数根.
例2：根的判别式的逆运用
关于的一元二次方程.
（1）k为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）k为何值时，方程有两个相等的实数根？
（3）k为何值时，方程没有实数根？
【解答】见解析
【解析】.
（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴，即，解得；
（2）∵方程有两个相等的实数根，
，即，解得；
（3）∵方程没有实数根，
，即，解得.
例3：通过根的判别式推理论证
求证：关于的方程没有实数根.
【解答】见解析
【解析】

∵不论m取任何实数，，∴，即，




巩固练习
一．选择题
1． 已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（　　）
A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，5
【解答】B
【解析】∵一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，
∴方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，
解得：x＝﹣1或3，
即方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣1和3.
2． 已知一元二次方程的两根都满足，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】C
【解析】设，
则，
解得.
3． 若x为任意实数，且M＝（7﹣x）（3﹣x）（4﹣x2），则M的最大值为（　　）
A．10 B．84 C．100 D．121
【解答】C
【解析】M＝（7﹣x）（3﹣x）（2+x）（2﹣x）
＝[（7﹣x）（2+x）]•[（3﹣x）（2﹣x）]
＝（﹣x2+5x+14）（x2﹣5x+6）
＝﹣（x2﹣5x）2+8（x2﹣5x）+84
＝﹣[（x2﹣5x）﹣4]2+100，
∵﹣1＜0，
∴M的最大值为100．
4． 已知x，y为实数，且满足x2﹣xy+4y2＝4，记u＝x2+xy+4y2的最大值为M，最小值为m，则M+m＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】C
【解析】∵x2﹣xy+4y2＝4，
∴x2+4y2＝xy+4，
∴u＝x2+xy+4y2＝2xy+4，
∵5xy＝4xy+（x2+4y2﹣4）＝（x+2y）2﹣4≥﹣4，当且仅当x＝﹣2y，
即，或时等号成立．
∴xy的最小值为，u＝x2+xy+4y2＝2xy+4的最小值为，即．
∵3xy＝4xy﹣（x2+4y2﹣4）＝4﹣（x﹣2y）2≤4，当且仅当x＝2y，
即或时等号成立．
∴xy的最大值为，u＝x2+xy+4y2＝2xy+4的最大值为，即．
．
或由x2﹣xy+4y2＝4，得x2+4y2＝xy+4，u＝x2+xy+4y2＝2xy+4．
设xy＝t，若x＝0，则μ＝4；x≠0时，，将代入x2﹣xy+4y2＝4，
得，即x4﹣（t+4）x2+4t2＝0，…①
由△＝（t+4）2﹣16t2≥0，解得．
将代入方程①，解得代入方程①，解得，．
∴xy的最大值为，最小值为．
因此，.
二．填空题
5．已知a是方程x2﹣2013x+1＝0一个根，求a2﹣2012a+2013a2+1的值为　2012　．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2013x+1＝0的一个根，
∴a2﹣2013a+1＝0，
∴a2＝2013a﹣1，
∴原式＝2013a﹣1﹣2012a+20132013a-1+1=a+1a-1
=a2+1a-1
=2013a-1+1a-1
＝2013﹣1
＝2012．
故答案为：2012．
6．已知关于x的方程x2+（a﹣6）x+a＝0的两根都是整数，则a的值等于　0或16　．
【解答】解：设两个根为x1≥x2，
由韦达定理得x1+x2=6-ax1x2=a，
从上面两式中消去a得
x1x2+x1+x2＝6，
∴（x1+1）（x2+1）＝7，
∴x1+1=7x2+1=1或x1+1=-1x2+1=-7，
∴x1=6x2=0或x1=-2x2=-8，
∴a＝x1x2＝0或16．
故答案为：0或16．
7． 已知，则的值等于 　．
【解答】
【解析】m2+＝4m﹣3n﹣13
（m﹣2）2+（n+6）2＝0，
则m﹣2＝0，n+6＝0，
所以m＝2，n＝﹣6，
所以．
8． 对于一切正整数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+3）x﹣3n2＝0的两个根记为an、bn，则＝ 　．
【解答】
【解析】由根与系数的关系得an+bn＝n+3，an•bn＝﹣3n2，
所以（an﹣3）（bn﹣3）＝anbn﹣3（an+bn）+9＝﹣3n2﹣3（n+3）+9＝﹣3n（n+1），
则，
∴原式＝

＝
＝.
9． 已知a是方程x2﹣2013x+1＝0一个根，求a2﹣2012a+的值为　 　．
【解答】2012
【解析】∵a是方程x2﹣2013x+1＝0的一个根，
∴a2﹣2013a+1＝0，
∴a2＝2013a﹣1，
∴原式＝2013a﹣1﹣2012a+＝
＝
＝﹣1
＝2013﹣1
＝2012．
三．解答题
10．当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0是否有有理根？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．
【解答】见解析
【解析】当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0没有有理根．理由如下：
①当m为整数时，假设关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0有有理根，则要△＝b2﹣4ac为完全平方数，而△＝（2m+1）2﹣4（2m﹣1）＝4m2﹣4m+5＝（2m﹣1）2+4，
设△＝n2（n为整数），即（2m﹣1）2+4＝n2（n为整数），所以有（2m﹣1﹣n）（2m﹣1+n）＝﹣4，
∵2m﹣1与n的奇偶性相同，并且m、n都是整数，
所以或，
解得m＝，
②2m﹣1＝0时，m＝（不合题意舍去）．
所以当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0没有有理根．
11．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k-12）＝0．
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
【解答】（1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k-12）
＝4k2﹣12k+9
＝（2k﹣3）2，
∵无论k取什么实数值，（2k﹣3）2≥0，
∴△≥0，
∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；

（2）解：∵x=2k+1±(2k-3)2，
∴x1＝2k﹣1，x2＝2，
∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b＝2k﹣1，c＝2，
当a、b为腰，则a＝b＝4，即2k﹣1＝4，解得k=52，此时三角形的周长＝4+4+2＝10；
当b、c为腰时，b＝c＝2，此时b+c＝a，故此种情况不存在．
综上所述，△ABC的周长为10．
12．已知实数a，b，c满足：a2+b2+c2+2ab＝1，．又α，β为方程（a+b）x2﹣（2a+c）x﹣（a+b）＝0的两个实根，试求的值．
【解答】4
【解析】∵a2+b2+c2+2ab＝1，，
∴a2+b2+c2，2ab为方程x2﹣x+＝0的二根，
∴a2+b2+c2＝2ab＝，
由a2+b2+c2＝2ab得（a﹣b）2+c2＝0，
∴或
把两组值代入原方程（a+b）x2﹣（2a+c）x﹣（a+b）＝0得到的方程相同．
即x2﹣x﹣1＝0，
∴＝α2+β2﹣αβ＝（α+β）2﹣3αβ＝4．
13．已知关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0
（1）若此方程为一元一次方程，求k的值．
（2）若此方程为一元二次方程，且有实数根，试求k的取值范围．
【解答】（1）k＝；（2）﹣1≤k≤2且k≠
【解析】（1）由（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0是一元一次方程，
得1﹣2k＝0，
解得k＝；
（2）由（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0为一元二次方程，且有实数根，得
△＝（2）2﹣4（1﹣2k）×（﹣1）≥0，且1﹣2k≠0，k+1≥0，
4k+4+4（1﹣2k）≥0，
﹣4k≥﹣8，
k≤2，即﹣1≤k≤2，k≠
此方程为一元二次方程，且有实数根，k的取值范围为﹣1≤k≤2且k≠．
14．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣1＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程有两根分别为x1，x2，且满足1x1+1x2-1x1+x2=2，求k的值．
【解答】（1）证明：Δ＝b2﹣4ac＝k2﹣4×（﹣1）＝k2+4，
∵k2≥0，
∴Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意可得，
x1+x2＝﹣k，x1x2＝﹣1，
∵1x1+1x2-1x1+x2=2，即x1+x2x1x2-1x1+x2=2，
∴k+1k=2，
解得k＝1，
经检验，k＝1是原方程的解．
故k的值为1．
15．先阅读后解题．
已知m2+2m+n2﹣6n+10＝0，求m和n的值．
解：把等式的左边分解因式：（m2+2m+1）+（n2﹣6n+9）＝0．
即（m+1）2+（n﹣3）2＝0．
因为（m+1）2≥0，（n﹣3）2≥0．
所以m+1＝0，n﹣3＝0即m＝﹣1，n＝﹣3．
利用以上解法，解下列问题：
（1）已知：x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x和y的值．
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝12a+8b﹣52且△ABC为等腰三角形，求c．
【解答】解：（1）x2﹣4x+y2+2y+5＝0，
（x2﹣4x+4）+（y2+2y+1）＝0，
（x﹣2）2+（y+1）2＝0，
∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，
∴x﹣2＝0，y+1＝0，
∴x＝2，y＝﹣1；
（2）a2+b2＝12a+8b﹣52，
（a2﹣12a+36）+（b2﹣8b+16）＝0，
（a﹣6）2+（b﹣4）2＝0，
∵（a﹣6）2≥0，（b﹣4）2≥0，
∴a﹣6＝0，b﹣4＝0，
∴a＝6，b＝4，
∵△ABC为等腰三角形，
∴c＝4或6．
16．阅读下列材料：
问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x=y2，把x=y2，代入已知方程，得（y2）2+y2-1＝0．
化简，得y2+2y﹣4＝0，
故所求方程为y2+2y﹣4＝0
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
（1）已知方程x2+2x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为　y2﹣2y﹣1＝0　；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
【解答】解：（1）设所求方程的根为y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y，
把x＝﹣y代入方程x2+2x﹣1＝0，得：y2﹣2y﹣1＝0，
故答案为：y2﹣2y﹣1＝0；

（2）设所求方程的根为y，则y=1x（x≠0），于是x=1y（y≠0），
把x=1y代入方程ax2+bx+c＝0，得a （1y）2+b（1y）+c＝0，
去分母，得 a+by+cy2＝0，
若c＝0，有ax2+bx＝0，
于是，方程ax2+bx+c＝0有一个根为0，不合题意，
∴c≠0，
故所求方程为a+by+cy2＝0 （ c≠0）．
17．今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售．经核算，每箱成本为40元，统一零售价定为每箱50元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售．
（1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？
（2）该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会决定在零售价基础上每箱降价3m%，这样每天可多销售m%；为了保护农户的收益与种植积极性，政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为49000元，求m的值．
【解答】（1）x≥8.8；（2）6
【解析】（1）设打x折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%，
由题意得：%，
x≥8.8，
答：最多打8.8折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%；
（2）由题意得：5000（1+m%）[50（1﹣3m%）+m﹣40]＝49000，
5（1+）（50﹣m+m﹣40）＝49，
m2﹣5m﹣6＝0，
m1＝6，m2＝﹣1（舍）．
18．每年九月是开学季，大多数学生会购买若干笔记本满足日常学习需要，校外某文具店老板开学前某日去批发市场进货，购进甲乙丙三种不同款式的笔记本共950本，已知甲款笔记本的进价为2元/本，乙款笔记本的进价是4元/本，丙款笔记本的进价是6元/本．
（1）本次进货共花费3300元，并且甲款的笔记本数量是乙款笔记本数量的2倍，请问本次购进丙款笔记本多少本？
（2）经过调研发现，甲款笔记本、乙款笔记本和丙款笔记本的零售价分别定为4元/本、6元/本和10元/本时，每天可分别售出甲款笔记本30本，乙款笔记本50本和丙款笔记本20本．如果将乙款笔记本的零售价提高元（a＞25），甲款笔记本和丙款笔记本的零售价均保持不变，那么乙款笔记本每天的销售量将下降a%，丙款笔记本每天的销售量将上升a%，甲款笔记本每天的销量仍保持不变；若调价后每天销售三款笔记本共可获利260元，求a的值．
【解答】（1）230本；（2）50
【解析】（1）设乙款笔记本的数量为x本，
则甲款2x本，丙款（950﹣3x）本，根据题意，得
2×2x+4x+6（950﹣3x）＝3300
解得x＝240，
∴950﹣3x＝230．
答：本次购进丙款笔记本230本．
（2）根据题意，得
（4﹣2）×30+（6+﹣4）×50（1﹣a%）+（10﹣6）[20（1+a%）]＝260
整理得a2﹣70a+1000＝0
解得a1＝50，a2＝20（不符合题意，舍去）
答：a的值为50．