【暑假初高衔接】初三数学暑假预习-专题07《分组分解法》讲学案

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分组分解法
分组分解法是指对于四个或四个以上的多项式，既不能用提取公因式法分解，也不能用公式法分解时，可能通过适当的分组后局部分解，然后再综合分解，从而达到分解因式的方法.
分组的依据：
①分组后能直接提取公因式；
②分组后能直接用公式.
常见的分解因式思路：
方法
分类
分组方法
特点
分组分解法
四项
二项、二项
①按字母分组；
②按系数分组；
③符合公式的两组.
三项、一项
先完全平方公式再平方差公式
五项
三项、二项
各组之间有公因式
六项
三项、三项
各组之间有公因式
二项、二项、二项
三项、二项、一项
可化为二次三项式
PS：原多项式中带有括号不便于分组时，可先将括号去掉，整理后再分组分解.
例1：四项式分组分解
（1）
（2）
【解答】见解析
【解析】








例2：五项式分组分解法
分解因式：
【解答】见解析
【解析】

例3：六项式分组分解法
（1）
（2）
【解答】见解析
【解析】


例4：分组分解法综合应用
（1）
（2）
【解答】见解析
【解析】


巩固练习
一．选择题
1． 若x3+2x2﹣mx+n可以分解为（x+2）2（x﹣2），则m，n的值分别是（　　）
A．m＝4，n＝8 B．m＝﹣4，n＝8 C．m＝4，n＝﹣8 D．m＝﹣4，n＝﹣8
【解答】C
【解析】∵（x+2）2（x﹣2）
＝（x2+4x+4）（x﹣2）
＝x3+2x2﹣4x﹣8
＝x3+2x2﹣mx+n，
∴m＝4，n＝﹣8．
2． 下列多项式已经进行了分组，能接下去分解因式的有（　　）
（1）（m3+m2﹣m）﹣1；（2）﹣4b2+（9a2﹣6ac+c2）；
（3）（5x2+6y）+（15x+2xy）；（4）（x2﹣y2）+（mx+my）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】B
【解析】（1）（m3+m2﹣m）﹣1不能继续分解因式；
（2）﹣4b2+（9a2﹣6ac+c2）可用完全平方公式和平方差公式分解；
（3）（5x2+6y）+（15x+2xy）不能继续分解因式；
（4）（x2﹣y2）+（mx+my）用平方差公式和提公因式法继续分解因式．
3． 把多项式4x2﹣2x﹣y2﹣y用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是（　　）
A．（4x2﹣y）﹣（2x+y2） B．（4x2﹣y2）﹣（2x+y）
C．4x2﹣（2x+y2+y） D．（4x2﹣2x）﹣（y2+y）
【解答】B
【解析】原式＝4x2﹣2x﹣y2﹣y，
＝（4x2﹣y2）﹣（2x+y），
＝（2x﹣y）（2x+y）﹣（2x+y），
＝（2x+y）（2x﹣y﹣1）．
4．观察下列分解因式的过程：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4），这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法，已知a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，则以a，b，c为三条线段首尾顺次连接围成一个三角形，下列描述正确的是（　　）
A．围成一个等腰三角形
B．围成一个直角三角形
C．围成一个等腰直角三角形
D．不能围成三角形
【解答】解：∵a2﹣b2﹣ac+bc＝0．
∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0．
∴（a﹣b）（a+b﹣c）＝0．
∵a，b，c是三角形的三边．
∴a+b﹣c＞0．
∴a﹣b＝0．
∴a＝b．
∴a，b，c围成一个等腰三角形．
故选：A．
二．填空题
5． 分解因式：x2﹣2x﹣2y2+4y﹣xy＝　 　．
【解答】（x﹣2y）（x+y﹣2）
【解析】原式＝（x2﹣xy﹣2y2）+（﹣2x+4y），
＝（x﹣2y）（x+y）﹣2（x﹣2y），
＝（x﹣2y）（x+y﹣2）．
6． 分解因式m2+2mn+n2﹣1＝　 　．
【解答】（m+n﹣1）（m+n+1）
【解析】m2+2mn+n2﹣1
＝（m+n）2﹣1
＝（m+n﹣1）（m+n+1）．
7． 多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为　 　．
【解答】（x﹣1）（3x﹣4）（2x+1）
【解析】6x3﹣11x2+x+4，
＝6x3﹣6x2﹣5x2+x+4，
＝6x2（x﹣1）﹣（5x2﹣x﹣4），
＝6x2（x﹣1）﹣（x﹣1）（5x+4），
＝（x﹣1）（6x2﹣5x﹣4），
＝（x﹣1）（3x﹣4）（2x+1）．
8．分解因式：x4+2x3+3x2+2x+1＝　（x2+x+1）2　．
【解答】解：设原式＝（x2+ax+b）（x2+cx+d）＝x4+（a+c）x3+（b+d+ac）x2+（ad+bc）x+bd，
所以有a+c=2b+d+ac=3ad+bc=2bd=1，解得a=1b=1c=1d=1．
∴原式＝（x2+x+1）（x2+x+1）＝（x2+x+1）2．
故答案为（x2+x+1）2．
9． 分解因式：x4+y4+（x+y）4﹣2＝　 　．
【解答】2（x2+xy+y2﹣1）（x2+xy+y2+1）
【解析】x4+y4+（x+y）4﹣2，
＝（x2+y2）2﹣2x2y2+（x2+2xy+y2）2﹣2，
＝（x2+y2）2﹣2x2y2+（x2+y2）2+4xy（x2+y2）+4x2y2﹣2，
＝2（x2+y2）2+2x2y2+4xy（x2+y2）﹣2，
＝2[（x2+y2）2+x2y2+2xy（x2+y2）﹣1]，
＝2[（x2+xy+y2）2﹣1]，
＝2（x2+xy+y2﹣1）（x2+xy+y2+1）．
三．解答题
10．因式分解：x3+x2y﹣xy2﹣y3．
【解答】（x+y）2（x﹣y）
【解析】原式＝（x3+x2y）﹣（xy2+y3）＝x2（x+y）﹣y2（x+y）＝（x+y）2（x﹣y）．
111．因式分解：a2﹣2ab+b2﹣1．
【解答】（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）
【解析】a2﹣2ab+b2﹣1，
＝（a﹣b）2﹣1，
＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．
12．分解因式：
（1）（x2+4x+8）2+3x（x2+4x+8）+2x2；
（2）（2x2﹣3x+1）2﹣22x2+33x﹣1；
（3）x4+2001x2+2000x+2001；
（4）（6x﹣1）（2x﹣1）（3x﹣1）（x﹣1）+x2；
（5）a2+2b2+3c2+3ab+4ac+5bc．
【解答】见解析
【解析】（1）首先把x2+4x+8作为一个整体，然后利用十字相乘法分解因式即可求解；
（x2+4x+8）2+3x（x2+4x+8）+2x2
＝（x2+4x+8+x）（x2+4x+2x+8）
＝（x2+5x+8）（x+2）（x+4）；
（2）首先把多项式变为（2x2﹣3x+1）2﹣11（2x2﹣3x）﹣1，然后把2x2﹣3x作为一个整体打开括号提公因式分解因式即可求解；.
（2x2﹣3x+1）2﹣22x2+33x﹣1
＝（2x2﹣3x+1）2﹣11（2x2﹣3x）﹣1
＝（2x2﹣3x）2﹣9（2x2﹣3x）
＝（2x2﹣3x）（2x2﹣3x﹣9）
＝x（2x﹣3）（2x+3）（x﹣3）；
（3）首先把多项式变为（x4+x3+x2）﹣（x3+x2+x）+（2001x2+2001x+2001），然后分别提取公因式，接着再提取公因式即可求解；
x4+2001x2+2000x+2001
＝（x4+x3+x2）﹣（x3+x2+x）+（2001x2+2001x+2001）
＝x2（x2+x+1）﹣x（x2+x+1）+2001（x2+x+1）
＝（x2+x+1）（x2﹣x+2001）；
（4）首先分别把（6x﹣1）（ x﹣1）和（2 x﹣1）（3 x﹣1）相乘，多项式变为（6x2﹣7x+1）（6x2﹣5x+1），接着变为（6x2+1﹣7x）（6x2+1﹣5x），再把6x2+1作为一个整体做多项式的乘法，最后利用完全平方公式即可求解；
（6x﹣1）（2 x﹣1）（3 x﹣1）（ x﹣1）+x2
＝（6x﹣1）（ x﹣1）（2 x﹣1）（3 x﹣1）+x2
＝（6x2﹣7x+1）（6x2﹣5x+1）+x2
＝（6x2+1﹣7x）（6x2+1﹣5x）+x2
＝（6x2+1）2﹣12x（6x2+1）+36x2
＝（6x2+1﹣6x）2；
（5）首先把多项式变为a2+3ab+4ac+2b2+5bc+3c2，然后变为a2+a（3b+4c）+（2b+3c）（b+c），然后利用十字相乘法分解因式即可求解．
a2+2b2+3c2+3ab+4ac+5bc
＝a2+3ab+4ac+2b2+5bc+3c2
＝a2+a（3b+4c）+（2b+3c）（b+c）
＝（a+2b+3c）（a+b+c）．
13．若|m+4|与n2﹣2n+1互为相反数，把多项式x2+4y2﹣mxy﹣n分解因式．
【解答】（x+2y+1）（x+2y﹣1）
【解析】由题意可得|m+4|+（n﹣1）2＝0，
∴，
解得，
∴x2+4y2﹣mxy﹣n，
＝x2+4y2+4xy﹣1，
＝（x+2y）2﹣1，
＝（x+2y+1）（x+2y﹣1）．
14．若|m﹣4|与n2﹣8n+16互为相反数，把多项式a2+4b2﹣mab﹣n因式分解．
【解答】（a﹣2b+2）（a﹣2b﹣2）
【解析】∵|m﹣4|与n2﹣8n+16互为相反数，
∴|m﹣4|+n2﹣8n+16＝0，
∴|m﹣4|+（n﹣4）2＝0，
∴m﹣4＝0，n﹣4＝0，
∴m＝4，n＝4，
∴a2+4b2﹣mab﹣n＝a2+4b2﹣4ab﹣4＝（a2+4b2﹣4ab）﹣4＝（a﹣2b）2﹣22＝（a﹣2b+2）（a﹣2b﹣2）．
15．分解因式：a2+4b2+c4﹣4ab﹣2ac2+4bc2﹣1．
【解答】（2b﹣a+c2+1）（2b﹣a+c2﹣1）
【解析】先分组得到原式＝（a2+4b2﹣4ab）+（﹣2ac2+4bc2）+（c4﹣1），再根据完全平方公式，提取公因式法，平方差公式得到原式＝（2b﹣a）2+2c2（2b﹣a）+（c2+1）（c2﹣1），再根据十字相乘法即可求解．
a2+4b2+c4﹣4ab﹣2ac2+4bc2﹣1
＝（a2+4b2﹣4ab）+（﹣2ac2+4bc2）+（c4﹣1）
＝（2b﹣a）2+2c2（2b﹣a）+（c2+1）（c2﹣1）
＝（2b﹣a+c2+1）（2b﹣a+c2﹣1）．
16．观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的因式分解：
甲：x2﹣xy+4x﹣4y＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y） 分成两组
＝x（x﹣y）+4（x﹣y） 各组提公因式
＝（x﹣y）（x+4）．
乙：a2﹣b2﹣c2+2bc＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）
＝a2﹣（b﹣c）2＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）．
请你在他们解法的启发下，因式分解：4x2+4x﹣y2+1．
【解答】（2x+1+y）（2x+1﹣y）
【解析】原式＝（4x2+4x+1）﹣y2
＝（2x+1）2﹣y2
＝（2x+1+y）（2x+1﹣y）．
17．分解因式x2﹣4y2﹣2x+4y，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：
x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣4a﹣b2+4；
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
【解答】解：（1）a2﹣4a﹣b2+4
＝a2﹣4a+4﹣b2
＝（a﹣2）2﹣b2
＝（a+b﹣2）（a﹣b﹣2）

（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0，
∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，
∴a﹣b＝0或a﹣c＝0，
∴a＝b或a＝c，
∴△ABC是等腰三角形．
18．（阅读理解题）
分解因式：x2﹣120x+3456
分析：由于常数项数值较大，则采用x2﹣120x变为差的平方的形式进行分解，这样简便易行：
x2﹣120x+3456＝x2﹣2×60x+3600﹣3600+3456＝（x﹣60）2﹣144＝（x﹣60+12）（x﹣60﹣12）＝（x﹣48）（x﹣72）
请按照上面的方法分解因式：x2+42x﹣3528．
【解答】（x+84）（x﹣42）
【解析】x2+42x﹣3528，
＝x2+2×21x+441﹣441﹣3528，
＝（x+21）2﹣3969，
＝（x+21+63）（x+21﹣63），
＝（x+84）（x﹣42）．
19．已知a2+8a+b2﹣2b+17＝0，把多项式x2+4y2﹣axy﹣b因式分解．
【解答】（x+2y+1）（x+2y﹣1）
【解析】∵a2+8a+b2﹣2b+17＝0，
∴a2+8a+16+b2﹣2b+1＝0，
∴（a+4）2+（b﹣1）2＝0，
∴a+4＝0，b﹣1＝0，
∴a＝﹣4，b＝1，
当a＝﹣4，b＝1时
原式＝x2+4y2+4xy﹣1
＝（x+2y）2﹣1
＝（x+2y+1）（x+2y﹣1）．
20．已知：当x＝﹣2时，多项式x3﹣3x2﹣4x+m的值为0．
（1）求m的值．
（2）把这个多项式分解因式．
【解答】（1）m＝12；（2）（x﹣3）（x+2）（x﹣2）
【解析】（1）∵当x＝﹣2时，x3﹣3x2﹣4x+m＝0，
∴（﹣2）3﹣3×（﹣2）2﹣4×（﹣2）+m＝0，
∴m＝12；
（2）当m＝12时
x3﹣3x2﹣4x+12
＝x2（x﹣3）﹣4（x﹣3）
＝（x﹣3）（x2﹣4）
＝（x﹣3）（x+2）（x﹣2）．
21．阅读下列文字与例题
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法
例如：
（1）am+an+bm+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）；
（2）x2﹣y2﹣2y﹣1＝x2﹣（y2+2y+1）＝x2﹣（y+1）2＝（x+y+1）（x﹣y﹣1）．
试用上述方法分解因式：
（1）x2+xy﹣2xz﹣2yz
（2）x2﹣4y2﹣6x﹣4y+8
（3）m2﹣4mn﹣3m+6n+4n2．
【解答】解：（1）x2+xy﹣2xz﹣2yz
＝（x2+xy）﹣（2xz+2yz）
＝x（x+y）﹣2z（x+y）
＝（x+y）（x﹣2z）；
（2）x2﹣4y2﹣6x﹣4y+8
＝（x2﹣6x+9）﹣（4y2+4y+1）
＝（x﹣3）2﹣（2y+1）2
＝（x﹣3+2y+1）（x﹣3﹣2y﹣1）
＝（x+2y﹣2）（x﹣2y﹣4）
（3）m2﹣4mn﹣3m+6n+4n2
＝（m2﹣4mn+4n2）﹣3m+6n
＝（m﹣2n）2﹣3（m﹣2n）
＝（m﹣2n）（m﹣2n﹣3）．