【暑假初高衔接】初三数学暑假预习-专题11《无理方程》讲学案

无理方程

1. 无理方程的定义：根号下含有未知数的方程叫做无理方程.

2. 无理方程的解法：平方法、换元法.

3. 解含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：

（1）移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；

（2）两边同时平方，得到一个整式方程；

（3）解整式方程；

（4）验根.

4. 解含有未知数的二次根式恰有两个的无理方程的一般步骤：

（1）移项，使方程的左边只保留一个含未知数的二次根式；

（2）两边平方，得到含未知数的二次根式恰有一个的无理方程；

（3）按照3的方法继续解方程.

例1：含有一个二次根式的无理方程

解方程：

【解答】

【解析】移项，得，

两边平方，得，

移项、合并同类项得，

解得或，

检验：将代入原方程，左边≠右边，∴是增根，

将代入原方程，左边＝右边，∴是原方程的根，

∴原方程的解是.

例2：含有两个二次根式的无理方程

解方程：

【解答】

【解析】原方程可化为，

两边平方得，

整理后得，

两边平方得，

整理得，解得或，

检验：将代入原方程，左边＝右边，∴是原方程的根；

将代入原方程，左边≠右边，∴是增根，

∴原方程的解是.

例3：换元法解无理方程

解方程：

【解答】

【解析】设，则，

原方程可化为，即，解得或，

当时，，解得，

当时，，∴方程无解.

检验：将 分别代入原方程，左边＝右边，

∴原方程的解为.

巩固练习

1．下列方程中是无理方程的是（　　）

A． B． 

C． D．

2．下列无理方程中，有实数解的方程是（　　）

A． B． 

C． D．

3. 下列说法正确的是（      ）

A. 方程的根是和3

B. 方程的根是

C. 方程的根是

D. 方程的根是

4. 下列哪个不是方程的解（     ）

A.   B.   C.   D.

5． 方程的实数根的个数是（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

6．无理方程（x+4）•0的解是 　   　．

7. 方程的解是                             .

8. 方程的解是                      .

9. 方程组的解是                     .

10. 方程的解是       .

11. 解方程

（1）

（2）

（3）

（4）

12. 已知是非零整数，且满足，解关于的方程.

13．用换元法解无理方程：1【提示：a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）】

14．阅读与理解：

阅读材料：像x3这样，根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程．

解法如下：移项：3﹣x；两边平方：x﹣1＝9﹣6x+x2．

解这个一元二次方程：x1＝2，x2＝5．

检验所得到的两个根，只有 　   　是原无理方程的根．

理解应用：解无理方程x2．

15．我们知道，解一个无理方程主要是通过两边平方的方法使之转化为有理方程，但有时，用这个方法去解一些特殊的无理方程时会碰到一点麻烦，如解方程3x2+15x+22，如若还是采用两边平方的方法，显然不仅计算麻烦还会出现高次方程，由此，我们想到能否像解分式方程一样采用换元法以简化方程呢？经观察，原方程可以改写为3（x2+5x+1）+25＝0，设y（*），则原方程化为3y2+2y﹣5＝0，解这个一元二次方程，得出y的值后再代入（*），就可以得出原方程的解，不要忘了验根．

下面让我们自己来试一试吧！解下列方程：4x2﹣8x17+2x．

16．阅读下列材料：在解一元二次方程时，无论是用直接开平方法、配方法还是用因式分解法，我们都是将一元二次方程转化为两个一元一次方程，用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如：一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解一元一次方程x＝0和一元二次方程x2+x﹣2＝0，可得x1＝0，x2＝1，x3＝﹣2．

再如，解无理方程（根号下含有未知数的方程），可以通过方程两边平方把它转化为x+1＝4，解得x＝3．

（1）解下列方程：

①x3﹣3x2﹣4x＝0；

②．

（2）根据材料给你的启示，求函数的最小值．