【暑假初高衔接】初三数学暑假预习-专题06《十字相乘法》讲学案

十字相乘法

 利用十字交叉线来分解系数，将二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法，主要分为以下两类：

1. 二次项系数是1的二次三项式的十字相乘法

 对首项是1的二次三项式的十字相乘法主要就是要能够运用公式进行因式分解.

 对于二次三项式，若存在则，即把常数项分解成两个数的积，且其和刚好等于一次项系数.

 技巧1：在对分解因式时，先从常数项c的正负入手：若，则、同号，若，则、异号，然后根据一次项系数的正负进一步确定、的符号；

 技巧2：若中的b、c为整数时，要先将c分解成两个整数的积，然后再考虑这两个整数和能否等于一次项系数（再分解时，要考虑分解的多种可能，直至凑对为止）.

2. 二次项系数不为1的十字相乘

 在二次三项式中，如果二次项系数a可以分解成两个因数的积，常数项c也可以分解成两个因数的积，即，将、、、按照以下进行排列：

 按照斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式一次项系数b，即，那么二次三项式就可以分解成两个因式与之积，即.

PS：若二次项系数是负数，可以先提个负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记添上负号.

例1：二次项系数为1的二次三项式

分解因式：

（1）      （2）

（3）     （4）

【解答】见解析

【解析】（1）；

（2）；

（3）；

（4）

例2：二次项系数不为1的二次三项式

分解因式：

（1）     （2）

【解答】见解析

【解析】（1）；

（2）.

例3：待定系数法求字母的值

若能分解成两个一次因式的积，则的值为  （    ）

 A. 1   B.    C.    D. 2

【解答】C

【解析】，可分解成或，分以下两种情况考虑：

由①可得m＝1，由②可得，故选C.

例4：解决几何类问题

已知长方形的长、宽分别为x、y，周长为16，且满足，求此长方形的面积.

【解答】15或15.75

【解析】

又

解得，

∴长方形的面积为15或15.75.

例5：十字相乘法综合

求证：若是7的倍数，其中x、y都是整数，则是49的倍数.

【解答】见解析

【解析】证明：∵是7的倍数，设（m为整数），则，

∵x、m是整数，∴也是整数，∴是49的倍数.

巩固练习

一．选择题

1．把多项式x2+x﹣2分解因式，下列结果正确的是（　　）

A．（x+2）（x﹣1） B．（x﹣2）（x+1）

C．（x﹣1）2 D．（2x﹣1）（x+2）

2．下列因式分解正确的是（　　）

A．4m2﹣4m+1＝4m（m﹣1）

B．a3b2﹣a2b+a2＝a2（ab2﹣b）

C．x2﹣7x﹣10＝（x﹣2）（x﹣5）

D．10x2y﹣5xy2＝5xy（2x﹣y）

3．下列多项式不能分解的是（　　）

A．（ab+cd）2+（bc﹣ad）2 B．x2﹣y2﹣6x+9

C．x2﹣2xy﹣3y2+4x+8y﹣5 D．x2+2x+4

4．把多项式（x﹣y）2﹣2（x﹣y）﹣8分解因式，正确的结果是（　　）

A．（x﹣y+4）（x﹣y+2） B．（x﹣y﹣4）（x﹣y﹣2）

C．（x﹣y﹣4）（x﹣y+2） D．（x﹣y+4）（x﹣y﹣2）

5．多项式x2﹣3x+a可分解为（x﹣5）（x+2），则a的值是（　　）

A．10 B．﹣10 C．2 D．﹣2

6．若x2﹣4x+b＝（x﹣2）（x﹣a），则a﹣b的值是（　　）

A．﹣2 B．﹣6 C．6 D．2

二．填空题

7．若对于一切实数x，等式x2﹣px+q＝（x+1）（x﹣2）均成立，则p2﹣4q的值是　   　．

8．分解因式：x2﹣3xy﹣4y2＝　         　．

9．若x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n），则m﹣n的值为　      　．

10．若x2+mx+n分解因式的结果是（x+2）（x﹣1），则m+n的值为　    　．

11．两位同学将同一个二次三项式进行因式分解时，一位同学因看错了一次项系数而分解成（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项而分解成（x﹣2）（x﹣4），则原多项式因式分解的正确结果是：　   　．

12．阅读下列文字与例题：将一个型如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）．

例如（1）x2+3x+2＝（x+1）（x+2）

（2）x2﹣3x﹣10＝（x﹣5）（x+2）．

要使二次三项式x2+mx﹣6能在整数范围内分解因式，则m可取的整数为　       　．

13．在有理数范围内分解因式：（x+1）（x+2）（2x+3）（x+6）﹣20x4＝　   　．

三．解答题

14．分解因式：x2+12x﹣189，分析：由于常数项数值较大，则将x2+12x﹣189变为完全平方公式，再运用平方差公式进行分解，这样简单易行．

x2+12x﹣189＝x2+2*6x+62﹣36﹣189

＝（x+6）2﹣225

＝（x+6）2﹣152

＝（x+6+15）（x+6﹣15）

＝（x+21）（x﹣9）

请按照上面的方法分解因式：x2﹣60x+884．

15．李伟课余时间非常喜欢研究数学，在一次课外阅读中遇到一个解一元二次不等式的问题：x2﹣2x﹣3＞0．

经过思考，他给出了下列解法：

左边因式分解可得：（x+1）（x﹣3）＞0，

或，

解得x＞3或x＜﹣1．

聪明的你，请根据上述思想求一元二次不等式的解集：（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＞0．

16．我们知道，多项式a2+6a+9可以写成（a+3）2的形式，这就是将多项式a2+6a+9因式分解，当一个多项式（如a2+6a+8）不能写成两数和（成差）的平方形式时，我们可以尝试用下面的办法来分解因式．

a2+6a+8＝a2+6a+9﹣1

＝（a+3）2﹣1

＝[（a+3）+1][（a+3）﹣1]

＝（a+4）（a+2）

请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：

（1）x2﹣6x﹣27       

（2）x2﹣2xy﹣3y2．

17．找出能使二次三项式x2+ax﹣6可以因式分解（在整数范围内）的整数值a，并且将其进行因式分解．

18．先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目．

分解因式：x4+4

x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2

＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）

以上解法中，在x4+4的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与x4+4的值保持不变，必须减去同样的一项．按照这个思路，试把多项式x4+x2y2+y4分解因式．

19．对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解．

（1）求式子中m、n的值；

（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4．

20．阅读并解决问题．

对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：

x2+2ax﹣3a2＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）．

像这样，先添﹣适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．

（1）利用“配方法”分解因式：a2﹣6a+8．

（2）若a+b＝5，ab＝6，求：①a2+b2；②a4+b4的值．

（3）已知x是实数，试比较x2﹣4x+5与﹣x2+4x﹣4的大小，说明理由．