【暑假初高衔接】初三数学暑假预习（人教A版2019）-3.2.1《单调性与最大（小）值》同步讲学案

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第2课时　函数的最大(小)值知识点一　函数的最大(小)值及其几何意义 最值条件几何意义最大值①对于∀x∈I，都有f(x)≤M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标最小值①对于∀x∈I，都有f(x)≥M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标  知识点二　求函数最值的常用方法1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．2．运用已学函数的值域．3．运用函数的单调性：(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 题型一、图像法求函数的最值1．画出下列函数的图象，指出函数的单调区间，并求出函数的最大值或最小值：（1）；（2），；（3）；（4）；（5）；（6）.【详解】（1）图象如题所示：，单调递减区间为，递减区间为 最大值为，无最小值；（2）图象如图所示：，单调递减区间为，最小值为，最大值为；（3）图象如图所示：，单调递增区间为，无最大值和最小值；（4）图象如图所示：，单调递减区间为，最大值为；（5）图象如图所示：，单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为，无最大值；（6）图象如图所示：，单调递增区间为，无最大值和最小值.2．已知函数.完成下面两个问题：(1)画出函数的图象，并写出其单调增区间：(2)求函数在区间上的最大值.【详解】(1)，图象如下：单调增区间为和.(2)由（1）中的图象可知，函数在上单调增，在上单调减，在上单调增，，故在区间上的最大值为. 3．已知函数，的图象如图所示，请回答：（1）当，时，求此函数的值域；（2）当，时，求此函数的值域.【详解】（1）根据函数的图象可得在为减函数，在上为增函数，故的值域为.（2）根据函数的图象可得在为减函数，在上为增函数，故， ，故函数的值域为.题型二、利用函数的单调性求最值1．已知，，求函数的最大值和最小值．【详解】在上单调递减，在上的最大值；最小值. 2．求的最小值．【详解】由题意得：的定义域为，任取，则，；，，，在上为增函数，. 3．已知函数，且(1)求实数a的值；(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；(3)求函数在上的值域．【详解】(1) ，，解得.(2)由（1）得函数在上的单调递增，证明如下：设，且，则有，，，，，即，∴函数在上的单调递增.(3)由（2）得函数在上的单调递增，，在上单调递增，又，在上的值域是.   1．检验下列函数的增减性，并说明是否有最大（小）值．如果有，指出最大（小）值和对应的最大（小）值点．(1)；(2)；(3)；(4)．【详解】(1)因为，所以函数在上单调递增，区间为开区间，所以该函数没有最大值和最小值；(2)因为，所以一次函数在上单调递减，所以，因此该函数单调递减，当时，函数有最小值，当时，函数有最大值；(3)因为的对称轴为：，所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以当时，函数有最小值，因为，所以当时，函数有最大值；(4)，因为，所以当时，函数单调递增，故当时，函数有最小值，当时，函数有最大值. 2．已知函数（1）画出函数图象（2）结合图象写出函数的单调增区间和的单调减区间.（3）若，写出函数f(x)的值域.【详解】（1）由函数解析式可得，图象如下：（2）由（1）函数图象知：在和上单调递增；在上单调递减；（3）由（2）知：上单调增，，，上单调减，上单调增，则有极小值，， ∴，的值域为； 3．已知函数；(1)用分段函数的形式表示该函数；(2)写出该函数的单调区间及值域（不要求证明）．【详解】(1)∵，即.(2)由可得函数图象，由图象可知函数的单调减区间为，单调增区间为，函数值域为. 4．已知函数.(1)画出函数的图像并写出它的值域；(2)根据图象写出函数的单调区间.【详解】(1)图象如不图所示：当时，，结合图象知函数值域为.(2)由图象可知，函数的单调增区间是，，单调减区间是. 5．已知函数.（1）用分段函数的形式表示；（2）画出的图象，并写出函数的单调区间、值域.【详解】（1）当时，，当时，.故；（2）函数的图象如下图所示：由图可知，函数的单调递增区间为，无单调递减区间，函数的值域为. 6．已知函数.（1）在平面直角坐标系中画出函数的图象；（不用列表，直接画出草图．（2）根据图象，直接写出函数的单调区间；（3）若关于的方程有四个解，求的取值范围．【详解】（1）由题意，函数， 所以的图象如右图所示： （2）由（1）中的函数图象，可得函数的单调增区间为和，单调减区间为和． （3）由方程有四个解等价于函数与的图象有四个交点，又由函数的最小值为，结合图象可得，即实数的取值范围． 7．已知函数（1）请在给定的坐标系中画出此函数的图象.（2）写出此函数的单调区间，并写出值域.【详解】（1）图象如图所示（2）定义域为R，增区间为[1，3]，减区间为、、，值域为. 8．已知函数．(1)试判断函数在区间上的单调性，并证明；(2)求函数在区间上的值域.【详解】(1)函数在上的为增函数，理由如下：任取，且，有∵，∴∴即∴函数在区间上单调递增(2)由（1）可知函数在区间上单调递增，∴，又∵时，，∴∴∴函数的值域为. 9．已知函数．(1)判断在区间上的单调性，并用定义证明；(2)求在区间上的值域．【详解】(1)在区间上单调递增，证明如下：，且，有．因为，且，所以，．于是，即．故在区间上单调递增．(2)由第（1）问结论可知，因为在区间上单调递增,，．所以在区间上的值域为．  1．函数在上的值域为（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】设，，，则，则，根据双勾函数性质：函数在上单调递减，在上单调递增，，，故函数值域为.故选：C. 2．（多选）已知，，设，则关于的说法正确的是（       ）A．最大值为3，最小值为B．最大值为，无最小值C．单调递增区间为和，单调递减区间为和D．单调递增区间为和，单调递减区间为和【答案】BC【详解】在同一坐标系中先画出与的图象，当时，，表示的图象在的图象下方就留下的图象，当时，，表示的图象在的图象下方就留下的图象，然后根据定义画出，就容易看出有最大值，无最小值，故A错误，当时，由，得舍或，此时的最大值为：，无最小值，故B正确，时，由，解得：（舍去），故F在，递增，在和递减故C正确，D错误，故选：BC． 3．（多选）已知函数，若的最小值为，则实数的值可以是（       ）A． B．1 C．0 D．2【答案】AC【详解】当时，，则在上单调递减，所以，当时，，在上单调递增，所以，得，故选：AC 4．已知，则函数的最大值为___________，最小值为___________.【答案】          【详解】因函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，即有当时，，而当时，，当时，，则，所以函数的最大值为，最小值为.故答案为：； 5．函数的值域为_______________．【答案】【详解】因为，所以此函数的定义域为，又因为是减函数，当当所以值域为故答案为：． 6．已知在上的最大值为M，最小值为m，若，则______．【答案】−2或−4【详解】二次函数的对称轴为：，当时，即，函数在上单调递增，所以，由，得，不满足，舍去；当时，即时，函数在上单调递减，所以，由，得，不满足，舍去，当时，则，此时，若时，即时，，由，得，或舍去，若时，即，，由，得，或舍去，综上所述：或，故答案为：−2或−4 7．已知函数.(1)求函数的解析式(2)当时，判断函数的单调性，并求其值域.【详解】(1)令，则，，即，(2)，时，由是减函数知，是减函数，故，，所以函数的值域为. 8．已知函数f(x)=.(1)求函数的定义域；(2)试判断函数在(-1，+∞)上的单调性，并用定义证明；(3)试判断函数在x∈[3，5]的最大值和最小值.【详解】(1)∵f(x)=，∴x+1≠0，∴x≠-1，∴函数f(x)的定义域为{x|x≠-1}.(2)∵f(x)==2-，∴函数f(x)在(-1，+∞)上是增函数.证明如下：任取x1，x2∈(-1，+∞)，且x1<x2，则f(x1)-f(x2)=( 2-) –(2-)=-+=，∵-1<x1<x2，∴x2-x1>0，∴x1-x2<0，(x1+1)(x2+1)>0，∴f(x1)-f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(-1，+∞)上是增函数.(3)∵函数f(x)在(-1，+∞)上是增函数，∴f(x)在x∈[3，5]上单调递增，∴函数f(x)在x∈[3，5]上的最大值为f(5)=2-=，最小值为f（3）=2-=. 9．已知函数，(1)证明：在上单调递减，并求出其最大值与最小值：(2)若在上的最大值为，且，求的最小值.【详解】(1)设是区间上的任意两个实数，且，则，因为且，所以，所以，即，所以函数在上单调递减，所以，.(2)由（1）知在上的最大值为，所以，即所以，因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 10．已知函数.(1)若，求函数的最小值和最大值；(2)当时，求函数的最小值．【详解】(1)因为，对称轴为，开口向上，因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，又，，所以，即函数的最小值为，最大值为；(2)，抛物线开口向上，对称轴为，最小值为，过点，结合二次函数的图象可知：当，即时，，，函数在上单调递减，所以在处取最小值，当，即时，，在处取最小值，当时，，，函数在上单调递增，函数在处取最小值，由以上分析可得，函数的最小值．