【暑假提升】北师大版数学八年级（八升九）暑假-专题第09讲《概率的进一步认识》预习讲学案

第09讲 概率的进一步认识

【学习目标】

1.通过具体情境了解概率的意义，体会概率是描述不确定现象的规律的数学模型，理解概率的取值范围的意义，能够运用列举法（包括列表、画树形图）计算简单事件发生的概率；

2.能够通过实验，获得事件发生的频率；利用稳定后的频率值来估计概率的大小，理解频率与概率的区别与联系.

【基础知识】

一．列表法与树状图法

（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．

（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．

（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．

（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．

（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．

二．利用频率估计概率

（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．

（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．

（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率。

【考点剖析】

一．列表法与树状图法（共5小题）

1．（2022•商河县一模）从1、2、3中任取一个数作为十位上的数字，再从余下的数字中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是4的倍数的概率是　   　

2．（2022•太平区一模）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率是　   　．

3．（2022•惠州一模）学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校，某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：A：好，B：中，C：差．请根据图中信息，解答下列问题：

（1）求全班学生总人数；

（2）在扇形统计图中，a＝　   　，b＝　   　，C类的圆心角为　   　；

（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请求出全是B类学生的概率．

4．（2022•广陵区一模）甲、乙、丙3名医生志愿报名参加新冠肺炎救治工作．

（1）随机抽取1名，则恰是甲的概率是　   　；

（2）随机抽取2名，求甲在其中的概率　   　．

5．（2021秋•新兴县期末）某学校自主开发了A书法、B阅读，C绘画，D器乐四门选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．

（1）若学生小玲计划选修两门课程，请写出她所有可能的选法；

（2）若学生小强和小明各计划选修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少？

二．利用频率估计概率（共5小题）

6．（2022•济南二模）在一个不透明的口袋中，放置6个红球、2个白球和n个黄球．这些小球除颜色外其余均相同，数学小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了黄球出现的频率，如图，则n的值可能是（　　）

A．12 B．10 C．8 D．16

7．（2021秋•大冶市期末）一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球数，小刚向其中放入了8个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球400次，其中80次摸到黑球，你估计盒中大约有白球（　　）

A．32个 B．36个 C．40个 D．42个

8．（2022•邗江区一模）新疆地区气候干燥，是我国三大棉花产地之一，盛产高品质长绒棉．在某品种长绒棉种子发芽率实验中，研究所工作人员选取条件基本相同的试验田，同时播种并核定发芽率，得到如下数据：

则该品种长绒棉种子的发芽率约是 　   　（结果精确到0.01）．

9．（2022•沈河区校级模拟）在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除颜色外其他均相同，其中有4个红球，每次摸球前先将例子中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是　   　．

10．（2021秋•高青县期末）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：

（1）上表中的a＝　   　，b＝　   　；

（2）“摸到白球的”的概率的估计值是　   　（精确到0.1）；

（3）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？

【过关检测】

一．选择题（共6小题）

1．（2022•桐柏县一模）一个不透明的袋子中放入四个除标号外其余均相同的小球，四个小球的标号分别是2，1，0，﹣1，随机从这个袋子中一次取出两个小球，取出的两个小球上数字之积为非负数的概率是（　　）

A． B． C． D．

2．（2022•信阳模拟）第24届冬奥会期间，小牛收集到4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀后摸出1张，放回洗匀再摸出一张，则这两张卡片正面图案恰好是“单板滑雪”和“双板滑雪”的概率是（　　）

A． B． C． D．

3．（2022•丰台区二模）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率是（　　）

A． B． C． D．

4．（2022•柯桥区一模）学校组织春游，安排给九年级三辆车，小明和小慧都可以从这三辆车中任选辆乘坐，小明和小慧乘坐同一辆车的概率是（　　）

A． B． C． D．

5．（2022•东阳市模拟）某班学生做“用频率估计概率”的实验时，得到的实验结果成如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（　　）

A．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4 

B．扔一枚面额一元的硬币，正面朝上 

C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，某人随机出的是“剪刀” 

D．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，抽到的卡片上标有奇数

6．（2022春•南山区校级期中）关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（　　）

A．当实验次数很大时，概率稳定在频率附近 

B．实验得到的频率与概率不可能相等 

C．当实验次数很大时，频率稳定在概率附近 

D．频率等于概率

二．填空题（共8小题）

7．（2022•贾汪区二模）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印在边长为3cm的正方形区域内，为了估计图中白色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入白色部分的频率稳定在0.4左右，据此可以估计白色部分的总面积约为 　   　cm2．

8．（2022•金东区二模）若a是从﹣1、0、1中随机取的一个数，b是从0、2022中随机取的一个数，则点（a，b）在坐标轴上的概率是 　   　．

9．（2022•商城县二模）将分别标有“一”“起”“向”“未”“来”汉字的5个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“未来”的概率是 　   　．

10．（2022•兴城市一模）从一副普通的扑克牌中取出四张，它们的牌面数字分别是3，4，6，6，将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面是3的概率是 　   　．

11．（2022•东城区二模）不透明布袋中有红、黄小球各一个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后，放回并摇匀．再随机摸出一个，则两次摸到的球中，一个红球、一个黄球的概率为 　   　．

12．（2022•锦州一模）在一个不透明的盒子中，装有若干张完全相同的卡片，从盒子中取出20张卡片并做标记后放回盒中．现将卡片充分摇匀后，随机摸出一张卡片，记下该卡片是否有标记后再放回盒子中．不断重复这一过程，统计发现，摸到有标记卡片的频率稳定在0.02附近，由此估计盒子中卡片的数量为 　   　张．

13．（2022•密云区二模）某学习小组进行摸球试验，在一个暗箱里放了10个只有颜色不同的小球，将小球搅匀后任意摸出一个记下颜色，并放回暗箱再次将球搅匀后任意摸出一个，不断重复．下表是实验过程中记录的摸到白球的相关数据：

请估计从暗箱中任意摸出一个球是白球的概率为 　   　（精确到0.01），并以此推断暗箱中白球的个数为 　   　．

14．（2022•富阳区二模）在一个不透明的布袋中，有除颜色外完全相同的4个黑球，若干个白球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.6，由此可估计袋中白球的个数约为 　   　个．

三．解答题（共5小题）

15．（2022•江北区模拟）为弘扬中华传统文化，草根一中准备开展“传统手工技艺”学习实践活动．校学生会在全校范围内随机地对本校一些学生进行了“我最想学习的传统手工技艺”问卷调查（问卷共设有五个选项：“A一剪纸”、“B一木版画雕刻”、“C一陶艺创作”、“D一皮影制作”、“E一其他手工技艺”，参加问卷调查的这些学生，每人都只选了其中的一个选项），将所有的调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：

请你根据以上信息，回答下列问题：

（1）补全上面的条形统计图；

（2）求扇形E的圆心角度数；

（3）该校共有3600名学生，请你估计该校学生“最想学习的传统手工技艺”为“A一剪纸”的人数．

16．（2022•南关区一模）一个不透明的口袋中装有2个黄球、1个白球，每个小球除颜色不同外其余均相同．从口袋中随机摸出1个小球，记下颜色后放回并搅匀，再从口袋中随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的球至少有一个白球的概率．

17．（2022•工业园区模拟）甲、乙、丙3名同学进行羽毛球单打比赛，现需选取2名同学打第一场比赛．

（1）若已确定甲打第一场，需再从另2名同学中随机选取1名，则选中乙的概率为 　   　；

（2）求随机选取2名同学，其中有乙同学的概率．

18．（2022•鞍山一模）小源同学决定利用假期在鞍山本地游玩，鞍山著名景点分别有：A．千山风景区；B．玉佛苑景区；C．汤岗子温泉；D．海城白云山景区．由于受到时间限制，只能选择两个不同），小源同学随机抽两次，每次抽一个签（抽到的签不放回），每个签抽到的机会相等．

（1）小源第一次恰好抽到“玉佛苑景区”的概率是 　   　；

（2）请用列表法或画树状图法求出小原同学抽到“汤岗子温泉”和“千山风景区”两个景点中至少一个的概率是多少．

19．（2022•江安县模拟）某校举行“知党史，感党恩，童心向党”系列活动．现决定组建四个活动小组，包括A（党在我心中演讲），B（党史知识竞赛），C（讲党史故事），D（大合唱）．该校随机抽取了本校部学生进行调查，以了解学生喜欢参加哪个活动小组，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图，在扇形统计图中，“B”的圆心角为36°，请结合图中的信息解答下列问题：

（1）本次共调查 　   　名学生，扇形统计图中“C”的圆心角为 　   　；

（2）请将条形统计图补充完整；

（3）若学校主办者在A、C、B、D四个活动小组中抽出2个小组对外展评，请用树状图或列表法求出恰好抽中A、D两个小组的概率．