【暑假提升】北师大版数学八年级（八升九）暑假-专题第12讲《相似三角形判定定理的证明与利用相似三角形测高》预习讲学案

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第12讲 相似三角形判定定理的证明与利用相似三角形测高【学习目标】进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【基础知识】一．相似三角形的判定与性质（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．二．相似三角形的应用（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．三．作图-相似变换（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．（2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示：（3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 【考点剖析】一．相似三角形的判定与性质（共4小题）1．（2022•宁波模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E，连结OE，OE交CD于点F．（1）求证：四边形ACED为平行四边形；（2）求的值．  2．（2022春•开福区校级期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，连结AD，将△ADC沿着AD折叠得到△ADC′，AC′交BC于点E，DC′∥AB．（1）求证：△BEA∽△BAC；（2）若AB＝6，DC＝4，求的值及BC的长． 3．（2021秋•泉州期末）如图，AD、BC相交于点P，连接AC、BD，且∠1＝∠2，AC＝3，CP＝2，DP＝1，求BD的长．4．（2021秋•大连期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠ADB．（1）求证：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长． 二．相似三角形的应用（共4小题）5．（2021秋•永定区期末）某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小组为了估计澧水河某段水域的宽度，在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE，点A、C、E也在一条直线上，且DE∥BC．经测量BC＝25米，BD＝12米，DE＝35米，求河的宽度AB为多少米？   6．（2021秋•淮阴区期末）利用镜面反射可以计算旗杆的高度，如图，一名同学（用AB表示），站在阳光下，通过镜子C恰好看到旗杆ED的顶端，已知这名同学的身高是1.60米，他到镜子的距离是2米，镜子到旗杆的距离是8米，求旗杆的高．  7．（2021秋•江都区校级月考）如图，直立在B处的标杆AB＝2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上（点F，B，D也在同一条直线上）．已知BD＝8m，FB＝1.8m，人高EF＝1.5m，求树高CD．  8．（2020秋•平邑县期末）小强在地面E处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时EA＝21米，CE＝2.5米．已知眼睛距离地面的高度DC＝1.6米，请计算出教学楼的高度．（根据光的反射定律，反射角等于入射角）    三．作图-相似变换（共4小题）9．（2021秋•房山区期中）如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均为格点，在该网格中画出△A2B2C2（△A2B2C2的顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1．  10．（2019•碑林区校级模拟）在△ABC中，∠ABC＝80°，∠ACB＝60°，利用尺规作图在AC边上求作一点D，使得△ABC∽△BDC．（不写作法，保留作图痕迹）  11．（2019•碑林区校级三模）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，在△ABC中，D是AC边上一定点，请在AB上找出使得△ABC和△ADE相似的点E．   12．（2019秋•金台区校级月考）如图，在△ABC中，点P为AC上一点，请利用尺规在BC边上求作一点Q，使得△ABC∽△QPC（保留作图痕迹，不写作法）      【过关检测】一．选择题（共9小题）1．（2021秋•市中区期末）如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB＝12m，则旗杆AB的高为（　　）A．7m B．8m C．6m D．9m2．（2021秋•市北区期末）如图，是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为（　　）A．16cm B．8cm C．24cm D．4cm3．（2020秋•涵江区期末）为了估计河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示测得BD＝120m，DC＝40m，EC＝30m，那么这条河的大致宽度是（　　）A．90m B．60m C．100m D．120m4．（2022•富阳区二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，将线段AB绕点B顺时针方向旋转，使点A落在BD上的点H，E为边BC的中点，连接HE，交AC于点P．若AC＝12，BD＝16，则线段PC的长为（　　）A．3 B．3 C．4 D．55．（2022•沈阳模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，EF∥BC交AD于点G，EF＝4，BC＝6，则是（　　）A． B． C．2 D．6．（2021秋•西峡县期末）如图，AB∥DE，AE与BD相交于点C，BC：DC＝1：2，S△ACB＝2，则S△DCE等于（　　）A．4 B．6 C．8 D．107．（2021秋•北仑区期末）如图，B，B1是∠A一边上的任意两点，作BC⊥AC于点C，B1C1⊥AC1于点C1，若BC＝3，AC＝4，则的值是（　　）A． B． C． D．8．（2021秋•惠安县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（　　）A．12 B．7 C．6 D．59．（2020•浙江自主招生）如图，在4×4的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共7小题）10．（2022春•新罗区校级月考）已知AB∥CD，AD与BC相交于点P，AB＝2，CD＝4，AD＝4，则AP等于 　   　．11．（2022•开福区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，E是边BC上的一点，AE交BD于F，若BE＝3，EC＝2，则＝　   　．12．（2022春•海淀区校级月考）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若AD＝1，AB＝4，则＝　   　．13．（2021秋•沙河口区期末）如图，△ABC中，D、E分别在BA、CA延长线上，DE∥BC，，DE＝1，BC的长度是 　   　．14．（2022•东海县一模）如图，小勇在探究课本“综合与实践”中的“制作视力表”时，根据测试距离为5m的标准视力表制作了一个测试距离为3m的视力表如果标准视力表中“E”的高a是72.7mm，那么制作出的视力表中相应“E”的高b是 　   　mm．15．（2021秋•西岗区期末）如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB＝3米，AC＝10米，则旗杆CD的高度是 　   　米．16．（2021秋•金牛区期末）已知旗杆高为8m，同时测得旗杆顶端与水平地面上的影子顶端距离是10m，如果此时附近小树在水平地面上的影长为3m，则小树高为 　   　m． 三．解答题（共6小题）17．（2021秋•龙岗区校级期末）在△ABC中，DB＝CE，DE的延长线交BC的延长线于P，求证：AD•BP＝AE•CP．   18．（2021秋•高新区月考）如图所示，晚上小亮走在大街上，他发现当他站在大街上高度相等的两盏路灯AB和CD之间时，自己右边的影子NE的长为3m，左边的影子ME的长为1.5m，又知小亮的身高EF为1.80m，两盏路灯AC之间的距离为12m，点A、M、E、N、C在同一条直线上，问：路灯的高为多少米？  19．（2021秋•临湘市期末）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB．（1）求证：△ADE∽△EFC；（2）若AD＝4，DE＝6，＝2，求EF和FC的值．   20．（2021春•南昌期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，四边形CDEF是Rt△ABC的内接正方形，已知：AC＝3，BC＝6．求：（1）AB的长度；（2）正方形CDEF的边长．  21．（2020秋•平果市期末）如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与直线PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，求PQ的长． 22．（2020秋•衢州期末）如图，由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC，且A，B，C三点均在小正方形的顶点上，试在这个网格上画一个与△ABC相似的△A1B1C1，要求：A1，B1，C1三点都在小正方形的顶点上，并直接写出△A1B1C1的面积．