【暑假提升】(人教A版2019)数学高一（升高二）暑假-2.1.1《倾斜角与斜率》讲学案（必修1）

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2．1.1 倾斜角与斜率
知识点一 直线的倾斜角
1．倾斜角的定义
(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
知识点二 直线的斜率
1．直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.
2．斜率与倾斜角的对应关系
3．过两点的直线的斜率公式
过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
题型一、直线的倾斜角
1．直线的倾斜角
【答案】 相交 轴 正向 向上 平行 重合
2．（多选）设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转，得到直线，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【详解】直线倾斜角的取值范围为，
当时，旋转后得到的倾斜角为：；
当时，旋转后得到的倾斜角为：.
故选：AC.
3．分别写出下列直线的倾斜角：
(1)垂直于轴的直线；
(2)垂直于轴的直线；
(3)第一、三象限的角平分线；
(4)第二、四象限的角平分线．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)
【详解】(1)当直线垂直于轴时，直线的向上方向与轴正方向形成的夹角为，所以所求直线的倾斜角为.
(2)当直线垂直于轴时，此时，直线与轴平行或重合，
所以所求直线的倾斜角为.
(3)当直线为第一、三象限的角平分线时，直线的向上方向与轴正方向形成的夹角为，
所以所求直线的倾斜角为.
(4)当直线为第二、四象限的角平分线时，直线的向上方向与轴正方向形成的夹角为
所以所求直线的倾斜角为.
4．当直线l与x轴垂直时，直线l的倾斜角为______．
【答案】
【详解】当直线l与x轴垂直时，直线l的倾斜角为
故答案为：
题型二、直线的斜率
1．若直线l的倾斜角为，则直线l的斜率为________.
【答案】
【详解】因为直线l的倾斜角为，则.
故答案为：.
2．经过两点的直线的倾斜角为，则___________.
【答案】2
【详解】因为过两点的直线的倾斜角为，
所以，解得，
故答案为：2.
3．根据下列直线的倾斜角，判断直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)存在，且斜率为
(2)存在，且斜率为
(3)不存在
(4)存在，且斜率为
【详解】(1)，斜率存在，且斜率为.
(2)，斜率存在，且斜率为.
(3)，斜率不存在.
(4)，斜率存在，且斜率为.
4．求经过下列两点的直线的斜率与倾斜角
(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【答案】(1)，倾斜角为
(2),倾斜角为
(3)斜率不存在，倾斜角为
(4)见解析
【详解】(1)，所以的倾斜角为；
(2)，所以的倾斜角为；
(3)因为点的横坐标相等，所以直线的斜率不存在，倾斜角为；
(4)当时，直线的斜率不存在，倾斜角为，
当时，，
若，倾斜角为；
若，倾斜角为.
题型三、倾斜角和斜率的应用
1．已知直线l经过、（）两点，求直线l的倾斜角的取值范围.
【答案】
【详解】∵直线l过，两点，
∴直线l的斜率为，
设直线l的倾斜角为，则，且，解得或
∴直线l的倾斜角的取值范围是.
2．过点的直线与以、为端点的线段有交点，求直线的倾斜角的取值范围．
【答案】
【详解】如图所示，因为，，，
可得，，
要使得直线与以、为端点的线段有交点，
设直线的倾斜角为，其中，则满足或，
解得或，即直线的倾斜角的取值范围.
故答案为：.
3．已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率.
【答案】
【详解】由题意，设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，
由已知得，
所以直线的斜率为.
4．设点，，若直线ax+y+2=0与线段AB有交点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
【答案】D
【详解】∵直线过定点，且，，
由图可知直线与线段有交点时，斜率满足或，解得，
故选：D
1．确定一条直线的条件
确定一条直线的条件是_________和一个_________．
规定水平直线的方向_________，其他直线_________的方向为这条直线的方向．
【答案】 一点 方向 向右 向上
2．已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向之间所成的角为，如图所示，求直线的倾斜角.
【答案】
【详解】设直线的倾斜角为，结合图形及三角形外角与内角的关系可得，故直线的倾斜角为.
3．直线倾斜角为____________.
【答案】
【详解】直线即为轴，该直线的倾斜角为.
故答案为：.
4．如图所示，直线l的倾斜角为( )
A． B． C． D．不存在
【答案】B
【详解】由图可知：该直线的倾斜角为150°
故选：B
5．直线与直线所成的锐角为，则直线的倾斜角为______．
【答案】60°或120°．
【详解】如图，
直线的倾斜角为60°或120°﹒
故答案为：60°或120°﹒
6．函数表示的直线的倾斜角大小为___________.
【答案】0
【详解】由题设，平行于x轴，即斜率为0，
若倾斜角为，则，故.
故答案为：0
7．判断正误
（1）倾斜角为的直线的斜率为1．( )
（2）直线斜率的取值范围是．( )
【答案】 × √
【详解】
（1）倾斜角为的直线的斜率为-1
（2）直线斜率的取值范围是
8．过点的直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【详解】过A、B的斜率为，则该直线的倾斜角为，
故选：A．
9．求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角.
(1)、；
(2)、，其中实数a是常数.
【详解】(1)经过､两点的直线的斜率，
设直线PQ的倾斜角为，则，
又，则
(2)设直线PQ的倾斜角为，则，
当时，直线PQ的斜率不存在，倾斜角；
当时，，则
①若，则；
②若，则.
10．设直线l的倾斜角为，若原点在直线l上的射影为，则的值为______．
【答案】
【详解】由原点在直线l上的射影为知过原点和的直线和直线l垂直，过原点和的直线斜率为，
故直线l的斜率为，即，故.
故答案为：.
11．已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由题意，直线的倾斜角为，则，
因为，即，
结合正切函数的性质，可得．
故选：B．
12．当直线l的倾斜角时，则直线l的斜率的取值范围为______．
【答案】
【详解】
当直线l的倾斜角时，
则直线l的斜率的取值范围为，
故答案为：﹒
13．求经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围．
【答案】
【详解】由题意，当时，倾斜角，
当时，，即倾斜角为锐角；
综上得：．
1．如图，设直线，，的斜率分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由斜率的定义可知，.
故选：A．
2．直线过点，其倾斜角为，现将直线绕原点O逆时针旋转得到直线，若直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A．B．C．2D．-2
【答案】B
【详解】由题，，直线的倾斜角为，故
故选：B
3．已知过点，的直线的倾斜角为，则实数（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【详解】由，解得.
故选：B．
4．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为直线的斜率为，且，
，因为，
.
故选：A.
5．直线l的斜率为，则l的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】A
【详解】因为直线l的斜率为，所以l的倾斜角为.
故选：A.
6．(多选)如果直线l过原点(0， 0)且不经过第三象限，那么l的倾斜角可能是（ ）
A．0° B．120° C．90° D．60°
【答案】ABC
【详解】依题意，直线过原点，且不经过第三象限，则或，
所以ABC选项符合，D选项不符合.
故选：ABC
7．（多选）下列四个命题中，错误的有（ ）
A．若直线的倾斜角为，则
B．直线的倾斜角的取值范围为
C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
【答案】ACD
【详解】因为直线的倾斜角的取值范围是，即，所以，
当时直线的斜率，故A、C均错误；B正确；
对于D：若直线的斜率，此时直线的倾斜角为，故D错误；
故选：ACD
8．若直线的倾斜角分别为，且，则有( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据两条直线垂直，可知|α2−α1|=90° ，故选：C
9．已知直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值是( )
A．2 B．1 C.eq \f(1,2) D．0
【答案】A
【详解】如图，kOA＝2，kl′＝0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k∈[0,2]．
故直线l的斜率k的最大值为2.
10．下列命题中，错误的是______．（填序号）
①若直线的倾斜角为，则；
②若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大；
③若直线的倾斜角为，则直线的斜率为．
【答案】①②③
【详解】对于①中，根据直线倾斜角的概念，可得直线的倾斜角为，则，所以①错误；
对于②中，当倾斜角，直线的倾斜角越大，则直线的斜率越大，且；
当倾斜角，直线的倾斜角越大，则直线的斜率越大，但，所以②错误；
对于③中，根据直线斜率的概念，可得当且时，直线的斜率为，所以③错误.
故答案为：①②③.
11．直线l的斜率为，将直线l绕其与轴交点逆时针旋转所得直线的斜率是______．
【答案】
【详解】设直线l的倾斜角为，，
因为直线l的斜率为，所以，所以，
所以将直线l绕其与轴交点逆时针旋转所得直线的倾斜角为，
所以所得直线的斜率是，
故答案为：.
12．若过两点、的直线的倾斜角为60°，则y＝______．
【答案】－9
【详解】过两点、的直线的倾斜角为60°
则有，解之得
故答案为：－9
13．若直线l的倾斜角的正弦值为，则它的斜率为___________.
【答案】
【详解】由题设，，而，则，
所以，即斜率为.
故答案为：
14．若三点A(3,1)，B(－2，k)，C(8,1)能构成三角形，则实数k的取值范围为________．
【答案】(－∞，1)∪(1，＋∞)
【详解】kAB＝eq \f(k－1,－2－3)＝eq \f(1－k,5)，kAC＝eq \f(1－1,8－3)＝eq \f(0,5)＝0.
要使A，B，C三点能构成三角形，需三点不共线，
即kAB≠kAC，∴eq \f(1－k,5)≠0，∴k≠1.
15．已知直线l过第一象限的点和，直线l的倾斜角为135°，求的最小值．
【答案】
【详解】由题意，可得，，且，即，
又由，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为．
16．已知直线l经过两点､，求直线l的倾斜角的取值范围.
【答案】
【详解】设直线l的斜率为k，倾斜角为.
当时，k不存在，；
当时，：
若时，则，；
若时，则，；
综上，.
17．已知直线l的斜率的绝对值为，求这条直线的倾斜角．
【答案】30°或150°
【详解】由题意知直线的斜率k＝或k＝－，
且倾斜角的范围为，
所以直线的倾斜角的大小为30°或150°.
18．已知直线的斜率为，直线的倾斜角比直线的倾斜角小，求直线的斜率．
【答案】
【详解】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，又直线的倾斜角比直线的倾斜角小，所以直线的倾斜角为，所以，
所以直线的斜率为．
19．（1）若直线l的倾斜角，求直线l斜率k的范围；
（2）若直线l的斜率，求直线l倾斜角的范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）因为，，，，
结合正切函数在的单调性得，
（2）直线l的斜率，，，
结合正切函数在的单调性得.
20．经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，求直线l的倾斜角和斜率k的取值范围．
【答案】;.
【详解】因为，，由与线段相交，
所以，
所以或，
由于在及均为增函数，
所以直线的倾斜角的范围为：.
故倾斜角的范围为，斜率k的范围是.
21．已知坐标平面内两点M(m＋3,2m＋5)，N(m－2,1).
(1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？
(2)当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？
(3)直线MN的倾斜角可能为直角吗？
【答案】(1) m>－2. (2) m<－2. (3) 不可能为直角.
【详解】(1)若倾斜角为锐角，则斜率大于0，
即k＝＝>0，解得m>－2.
(2)若倾斜角为钝角，则斜率小于0，
即k＝＝<0，解得m<－2.
(3)当直线MN垂直于x轴时直线的倾斜角为直角，此时m＋3＝m－2，此方程无解，故直线MN的倾斜角不可能为直角.
22．点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2,5]时，求eq \f(y＋1,x＋1)的取值范围．
【详解】 eq \f(y＋1,x＋1)＝eq \f(y－－1,x－－1)的几何意义是过M(x，y)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．
∵点M在函数y＝－2x＋8的图象上，且x∈[2,5]，
∴设该线段为AB且A(2,4)，B(5，－2)．
∵kNA＝eq \f(5,3)，kNB＝－eq \f(1,6)，
∴－eq \f(1,6)≤eq \f(y＋1,x＋1)≤eq \f(5,3).
∴eq \f(y＋1,x＋1)的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,6)，\f(5,3))).图示
倾斜角(范围)
α＝0°
0°<α<90°
α＝90°
90°<α<180°
斜率(范围)
k＝0
k>0
不存在
k<0
前提条件
直线l与x轴_________
定义
以_________作为基准，x轴_________与直线l_________的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角
特殊情况
当直线l与x轴_________或_________时，规定它的倾斜角为_________
取值范围
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