【暑假小初衔接】北师大版数学六年级（六升七）暑假预习-第04讲《有理数的相关概念》同步讲学案

第04讲 有理数的相关概念

【学习目标】

重点：有理数的相关概念辨析，利用对数轴的理解对有理数进行大小比较，绝对值的化简等．

难点：绝对值的化简及运算．

【基础知识】

一．正数和负数

1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．

2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．

3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．

二．有理数

1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．

2、有理数的分类：

①按整数、分数的关系分类：有理数；

②按正数、负数与0的关系分类：有理数．

注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．

三．无理数

（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．

说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等．

（2）、无理数与有理数的区别：

　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，

　　比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．

　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．

（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．

无理数常见的三种类型

（1）开不尽的方根，如等．

（2）特定结构的无限不循环小数，

如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．

（3）含有π的绝大部分数，如2π．

注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．

四．数轴

（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．

         数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．

（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）

（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．

五．相反数

（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．

（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．

（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．

（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．

六．绝对值

（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．

①互为相反数的两个数绝对值相等；

②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．

③有理数的绝对值都是非负数．

（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：

①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；

②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；

③当a是零时，a的绝对值是零．

即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）

七．非负数的性质：绝对值

在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．

根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．

【考点剖析】

一．正数和负数（共2小题）

1．（2022•官渡区二模）我国古代的《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．如果零上5℃记作+5℃，那么零下10℃记作（　　）

A．﹣10℃ B．+10℃ C．﹣5℃ D．+5℃

2．（2022•藤县一模）在下列的数中，是负数的是（　　）

A．1 B．3 C．﹣1 D．0

二．有理数（共3小题）

3．（2022春•开州区期中）在﹣1，0，1，这四个数中，属于负整数的是（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．

4．（2021秋•让胡路区校级期末）把下列各数填入相应的集合中：

+6，0.75，﹣3，0，﹣1.2，+8，，﹣，9%，π，﹣0.2020020002…（每相邻两个2之间0的个数逐次加1）．

正分数集合：{　   　…}；

正整数集合：{　   　…}；

整数集合：{　   　…}；

有理数集合：{　   　…}．

5．（2021秋•南昌期末）把下列各数填在相应的集合里：3，﹣1，﹣2，0.5，，﹣0.75，0，30%，π．

负数集合：{　   　…}；

整数集合：{　   　…}；

正有理数集合：{　   　…}．

三．数轴（共2小题）

6．（2021秋•老河口市期末）数轴上表示﹣1.5的点到原点的距离是 　   　．

7．（2021秋•宁远县期末）画出数轴，并解答下列问题：

（1）在数轴上表示下列各数：5，3.5，﹣2，﹣1；

（2）在数轴上标出表示﹣1的点A，写出将点A沿数轴平移4个单位长度后得到的数．

四．相反数（共2小题）

8．（2022•洞头区模拟）3的相反数是（　　）

A．﹣3 B．1 C．0 D．3

9．（2021秋•铜仁市月考）化简下列各数：

（1）﹣（+3.5）；                     （2）﹣{﹣[+（﹣）]}．

五．绝对值（共3小题）

10．（2022•天桥区三模）﹣4的绝对值是（　　）

A．4 B．±4 C．﹣4 D．8

11．（2022春•南召县期中）已知|6x﹣2|＝2﹣6x，则x的取值范围是 　   　．

12．（2022春•武侯区校级月考）计算：＝　   　．

六．非负数的性质：绝对值（共2小题）

13．（2021秋•宜宾期末）已知|x+3|+|y﹣2|＝0，那么x＝　   　，y＝　   　．

14．（2020秋•仙游县月考）已知|a﹣3|+|b+5|＝0，求：

（1）a+b的值；

（2）|a|+|b|的值．

七．有理数大小比较（共2小题）

15．（2021秋•准格尔旗期末）在数轴上把下列各数表示出来，并将它们用“＞”排列出来．

|﹣4|，﹣（﹣1），0，﹣（+3），2.5，﹣2．

16．（2021秋•普陀区期末）写出数轴上点A、B表示的数，并且在数轴上画出点C，最后将点A、B、C所表示的数用“＜”连接．点C表示的数为1．

解：点A表示的百分数为 　   　，点B表示的假分数为 　   　．

　   　＜　   　＜　   　．

【过关检测】

一、单选题

1．（2021·河南周口市·七年级期中）下列各式正确的是（    ）

A． B． C． D．

2．（2021·广西南宁市·南宁十四中七年级期中）2的相反数是（　　）

A．2 B．﹣2 C． D．﹣

3．（2021·河南七年级期末）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入元记作元，则元表示（    ）

A．收入元 B．支出元 C．收入元 D．支出元

4．（2021·全国七年级专题练习）下面说法：正确的是（    ）

①如果地面向上15米记作15米，那么地面向下6米记作﹣6米；②一个有理数不是正数就是负数；③正数与负数是互为相反数；④任何一个有理数的绝对值都不可能小于零．

A．①，② B．②，③ C．③，④ D．④，①

5．（2021·四川成都市·成都实外七年级期末）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　）

A．a2＞b2 B．a﹣b＞0 C． D．a+b＞0

6．（2021·全国七年级专题练习）下列各对数中，互为相反数的是（    ）

A．﹣|﹣7|和+（﹣7） B．+（﹣10）和﹣（+10）

C．﹣（﹣43）和﹣（+43） D．+（﹣54）和﹣（+54）

二、填空题

7．（2021·湖南七年级期末）化简绝对值符号：_________．

8．（2021·江苏七年级期中）﹣（+0.5）的绝对值是______．

9．（2021·贵州七年级期末），则_____________.

10．（2021·全国七年级课前预习）一般地，a的相反数是－a ，a可表示任意有理数．求一个数的相反数，只需在这个数前加一个“___”号．

11．（2021·常州市同济中学七年级期中）化简：﹣（+3）＝_____．

12．（2021·全国七年级课前预习）大于0的数叫做______ ，在正数前加上符号“－”（负）的数叫做______．有时，为了明确表达意义，在正数前面也加上“＋”（正）号．______既不是正数，也不是负数．

13．（2021·广西南宁市·南宁十四中七年级期中）如果水位升高3m记作+3m，那么水位下降8m记作_____m．

14．（2021·辽宁）有理数，，在数轴上的位置如图所示，化简的值为______．

15．（2021·黑龙江七年级期末）如果数轴上的点A对应的有理数为，那么与A点相距4个单位长度的点所对应的有理数为_____________．

16．（2021·河南周口市·七年级期中）、是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示．把，，，按照由小到大的顺序排列______．

三、解答题

17．（2021·全国七年级课前预习）如图，问题：

（1）它们所跑的路线相同吗？

（2）它们所跑的路程（线段OA、OB的长度）一样吗？

18．（2021·全国七年级课前预习）如果前进5km记作＋5km，后退6km记作－6km，那么下列各数分别表示什么？

（1）＋8km  

（2）－4.5km  

（3）0km

19．（2021·江苏七年级期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：

（1）用“＞”或“＜”填空a　 　0，b　 　0，c﹣b　 　0．

（2）化简：|a|+|b+c|﹣|c﹣a|．

20．（2021·全国七年级专题练习）在数轴上分别用A，B，C，D，E分别表示下列各数，再用“<”将这些数连接起来：

0，4，-4，-[-(-)]，+3

21．（2021·吉林七年级期末）先阅读下列解题过程，然后解答问题．

解方程：．

解：当时，原方程可化为，解得；

当时，原方程可化为，解得．

所以原方程的解是或．

（1）解方程：．

（2）已知关于的方程．

①若方程无解，则的取值范围是______；

②若方程只有一个解，则的值为______；

③若方程有两个解，则的取值范围是______．

22．（2020·山西七年级期中）把下列各数填入相应的集合里：

+5，，4.2，0，﹣5.37，，﹣3．

（1）自然数集合：{　     　…}；

（2）整数集合：{　     　…}；

（3）分数集合：{　     　…}；

（4）负有理数集合：{　     　…}．