【暑假小初衔接】人教版数学六年级（六升七）暑假预习-第05讲《有理数的减法》同步讲学案

第5讲 有理数的减法

一、有理数的减法

1. 有理数减法法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。

2. 有理数加减法统一成加法的意义

在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。

在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如：

(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.

3. 和式的读法：①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”

4. 0表示一个确切的量。如：0℃以及有些题目中的基准，比如以海平面为基准，则0米就表示海平面。

题型一：有理数的减法运算

【例1】已知，，求的值．

【答案】或

【分析】先根据绝对值的定义求出，再分当时，当时，两种情况利用有理数的减法计算法则求解即可．

【详解】解：∵，

∴，

∵，

∴，

∴当时，，

当时，，

综上所述，的值为或．

【点睛】本题主要考查了绝对值的定义，有理数减法，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．

[变式1]已知|a|＝6.3，|b|＝3.5，且|a﹣b|＝b﹣a，求a+b的值．

【答案】﹣2.8或﹣9.8

【分析】根据绝对值的定义求出a，b的值，根据|a﹣b|＝b﹣a，得到a≤b，然后分两种情况分别计算即可．

【详解】解：∵|a|＝6.3，|b|＝3.5，

∴a＝±6.3，b＝±3.5，

∵|a﹣b|＝b﹣a，

∴a﹣b≤0，

∴a≤b，

∴当a＝﹣6.3，b＝3.5时，a+b＝﹣6.3+3.5＝﹣2.8；

当a＝﹣6.3，b＝﹣3.5时，a+b＝﹣6.3+（﹣3.5）＝﹣9.8；

∴a+b的值为﹣2.8或﹣9.8．

【点睛】此题考查了有理数的加法，以及绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．

[变式2]已知有理数，满足，，且，求的值．

【答案】-1或-5

【分析】先根据绝对值的性质求出a、b的值，再根据|a+b|=a+b，求出符合条件的a，b的值，从而得出a-b的值即可．

【详解】解：∵a，b为有理数，|a|=2，|b|=3，

∴a=±2，b=±3，

∵|a+b|=a+b，

∴a+b≥0，

当a=2，b=3时，a+b=5，符合；

当a=-2，b=-3时，a+b=-5，不符合；

当a=2，b=-3时，a+b=-1，不符合；

当a=-2，b=3时，a+b=1，符合．

∴a-b=-1或-5．

【点睛】本题考查的是绝对值的性质，能根据绝对值的性质求出a、b的值是解答此题的关键．

题型二：有理数减法的实际应用

【例2】哈尔滨某天的最低气温为，最高气温为，这一天的温差是______．

【答案】8

【分析】根据题意列式计算，即可求解．

【详解】解：，

故答案为：8．

【点睛】本题考查了有理数减法运算的应用，理解题意，正确列出算式是解决本题的关键．

[变式1]地的海拔高度是8844米，地的海拔高度是米，则地比地高___________米．

【答案】8999

【分析】用A地的高度减去B地的高度，列减法算式计算即可．

【详解】解：地比地高（米），

故答案为：8999．

【点睛】此题考查了有理数减法的实际应用，正确理解题意是解题的关键．

[变式2]郑州市冬季里某一天的气温为，则这一天的温差是______．

【答案】11

【分析】根据题意列出算式，再利用减法法则计算可得．

【详解】解：这一天的温差是，

故答案为：11．

【点睛】本题主要考查有理数的减法，解题的关键是掌握有理数的减法法则．

题型三：有理数的加减法的混合运算

【例3】计算：____________．

【答案】1

【分析】原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可求出值．

【详解】解：

，

故答案为：1．

【点睛】此题考查了绝对值的化简，有理数的加减运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

[变式1]计算：_________．

【答案】

【分析】根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解．

【详解】解：

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减运算法则是解题的关键．

[变式2]计算的结果是_____________．

【答案】0

【分析】直接根据有理数加减运算法则计算即可．

【详解】解：

．

故答案为0．

【点睛】本题主要考查了有理数加减运算法则，掌握减一个数等于加上其相反数是解答本题的关键．

题型四：有理数加减法中的简便运算

【例4】_____．

【答案】

【分析】先去括号，再根据加法交换律和加法结合律进行简算即可；

【详解】解：

，

，

．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查有理数的加减混合运算，熟练掌握加法交换律和加法结合律的灵活运用是解题的关键．

[变式1]已知，则的值为_______．

【答案】1011

【分析】通过观察发现，S为2022内所有偶数的和，T为2022内所有奇数的和，可根据等于每一组相邻的偶数与奇数的差的和求解即可．

【详解】解：∵，

∴

故答案为：1011．

【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察，探索出数字的规律是解题的关键．

[变式2]计算∶1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12……+2013+2014-2015-2016+2017+2018-2019-2020=______．

【答案】

【分析】通过观察算式可得从第二个数开始，每4个数的和为0，根据找到的规律求解即可．

【详解】解：1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12……+2013+2014-2015-2016+2017+2018-2019-2020

故答案为：-2020．

【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是正确分析式子中的运算规律．

题型五：有理数加减混合运算的应用

【例5】某地一天早晨的气温是，中午气温上升了，下午又下降了，晚上又下降了，则晚上的温度为________．

【答案】

【分析】根据有理数的加减混合运算的运算方法，用某地一天早晨的气温加上中午又上升的温度，再减去下午和夜间又下降的温度，求出晚上的温度为多少即可．

【详解】解：．

答：晚上的温度是．

故答案为：．

【点睛】此题主要考查了有理数的加减混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确有理数加减的运算法则．

[变式1]某市冬季里的一天，早上6时气温是零下12 ℃，中午11时上升了5 ℃，晚上8时又上升了，则晚上8时的气温是_____℃．

【答案】

【分析】先根据题意列出运算式子，再计算有理数的加减法即可得．

【详解】由题意得：，

即晚上的气温是，

故答案为：．

【点睛】本题考查了有理数加减法的应用，依据题意，正确列出运算式子是解题关键．

[变式2]点A在数轴上表示的数为，点P从数轴上点A处开始，先向左移动5个单位长度，再向右移动6个单位长度到达点B．点C与点B的距离为5个单位长度．那么点C表示的数为_________．

【答案】

【分析】先求出点B表示的数，再求点C表示的数即可．

【详解】解∵点B表示的数是：，

∵点C与点B的距离为5个单位长度，

∴点C表示的数为．

故答案为：．

【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，有理数加减混合运算的应用，求出点B表示的数是解答本题的关键．

一、单选题

1．下列算式中正确的有(   )

（1）；（2）；（3）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】A

【分析】根据有理数的减法进行计算即可求解．

【详解】解：（1），故（1）错误；

（2），故（2）错误；

（3），故（3）错误；

故选：A．

【点睛】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握有理数的减法法则是解题的关键．

2．有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ）

A．  B． C． D．

【答案】C

【分析】根据数轴可得，结合绝对值的定义和有理数的运算法则即可求解．

【详解】解：由图可知：，；

A、，故A错误；

B、，故B错误；

C、∵，

∴，故C正确；

D、，故D错误

故选：C．

【点睛】本题主要考查了根据数轴比较有理数的大小和有理数的运算法则，解题的关键是掌握在数轴上左边的数小于右边的数；两数相乘（除），同号得正，异号得负；异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相加．

3．商店某品牌食品包装袋上“质量”标注：，下列待检查的各袋食品中质量不合格的是（    ）

A．250g B．254g C．247g D．244g

【答案】D

【分析】先分别计算出净重的最大值和最小值，再确定合格范围，即可得出答案．

【详解】解：净重的最大值是，

净重的最小值是，

∴这种食品的净重在之间都是合格的，所以不合格的是244g，

故选：D．

【点睛】此题考查了正数和负数的知识，要能读懂题意，正确理解的实际意义，分别计算出净重的最大值和最小值来确定合格范围．

4．如图是我市一月份某一天的天气预报，则该天的温差是（    ）

A．8 B．9 C．﹣9 D．11

【答案】B

【分析】根据有理数减法运算，可得（），从而得出答案．

【详解】解：（），

故选：B．

【点睛】本题考查了有理数减法的实际运用，熟练掌握有理数减法运算法则是解题的关键．

5．在数1，2，3，4，5，6，7，8前添加“＋”，“－”并依次计算，所得结果可能的最小非负数是0，算式可以列为：．若在数1，2，3……，n前添加“＋”，“－”并依次运算，使所得结果可能的最小非负数是0，则数n不可能是（   ）

A．2020 B．2021 C．2023 D．2024

【答案】B

【分析】分是4的倍数，余数为0，1，2，3四种情况求出最小的非负数即可作出判断．

【详解】解：由题意知，，，

当是4的倍数时，结果可能的最小非负数为0；

当除以4余1时，第一个数为1，后面的数的和为0，则结果可能的最小非负数为1；

当除以4余2时，前两个数为1，2，，后面的数的和为0，则结果可能的最小非负数为1；

当除以4余3时，前两个数为1，2，3，，后面的数的和为0，则结果可能的最小非负数为0．

、2024均能被4整除、2023除以4余数为3，2021除4余数为1，

数不可能是2021，

故选：B．

【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

6．若，则括号内的数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用被减数等于减数加上差列式求解即可．

【详解】解：，

故选：C．

【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，利用被减数等于减数加上差列出算式是解题的关键．

7．计算的值等于（    ）

A． B． C．1010 D．1009

【答案】A

【分析】先根据算式找出规律，第1，2两个相加为，第3，4两个数相加为1，第5，6两个数相加为1，依次类推，直到第2017与2018两个数相加，最后还剩，再相加得出结果即可．

【详解】解：

．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了有理数加减混合运算，解题的关键是找出规律，准确计算．

8．计算：（    ）

A． B． C． D．50

【答案】C

【分析】根据每两项的和为进行简便运算即可．

【详解】解：；

故选C．

【点睛】本题考查有理数的加减运算．解题技巧是：通过观察找到每两项的和相同，利用每两项的和×项数进行简便计算．

9．小明同学将2B铅笔笔尖从原点开始沿数轴进行连续滑动，先将笔尖沿正方向滑动1个单位长度完成第一次操作，再沿负方向滑动2个单位长度完成第二次操作；又沿正方向滑动3个单位长度完成第三次操作；再沿负方向滑动4个单位长度完成第四次操作，…，以此规律继续操作，经过第99次操作后笔尖停留在点处，则点对应的数是（    ）．

A．0 B． C． D．50

【答案】D

【分析】根据题意，先规定正方向为正、负方向为负，再利用有理数加减运算法则求解即可得到答案．

【详解】解：规定正方向为正、负方向为负，则

，

故选：D．

【点睛】本题考查利用正负数的意义解决实际问题，按照题意规定正负，运用有理数加减运算求解是解决问题的关键．

10．某集团公司对所属甲、乙两工厂上半年经营情况记录如下表所示（其中“+”表示盈利，“”表示亏损，单位：万元），则甲厂上半年比乙厂上半年多盈利（　　）

A．3万元 B．万元 C．万元 D．万元

【答案】C

【分析】分别计算甲、乙两工厂上半年的盈利，再相减即可得出结论．

【详解】解：甲工厂：

（万元），

甲工厂：

（万元），

（万元），

∴甲厂上半年比乙厂上半年多盈利万元．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，正数与负数的意义，正确利用有理数的加减混合运算的法则运算是解题的关键．

二、填空题

11．数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上平移个单位长度得到点，则平移后点表示的数是______．

【答案】或4

【分析】根据数轴上有理数的表示及有理数的加减法可进行求解．

【详解】解：当点A在数轴上向左平移个单位长度得到点，则平移后点表示的数是；

当点A在数轴上向右平移个单位长度得到点，则平移后点表示的数是；

故答案为或4．

【点睛】本题主要考查数轴上有理数的表示及有理数的加减法，熟练掌握数轴上有理数的表示及有理数的加减法是解题的关键．

12．某城市11月5日最低气温为，最高气温，那么该城市这天的温差是_____．

【答案】10

【分析】用最高温度减去最低温度，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．

【详解】解：，

故答案为：10．

【点睛】本题考查了有理数的减法的应用，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．

13．计算：__________．

【答案】

【分析】按照数字的顺序，两个分为一组，共1011组，计算后进一步合并即可．

【详解】解：

．

故答案为：．

【点睛】此题考查有理数的加减混合运算，掌握运算方法，适当分组是解决问题的关键．

14．计算：___________．

【答案】

【分析】根据有理数的加减计算法则求解即可．

【详解】解：

，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了有理数的加减计算，熟知相关计算法则是解题的关键．

15．计算：_________．

【答案】1011

【分析】利用有理数的结合法，发现两两组合得-1，乘以组合对数再加上2021即可．

【详解】解：＋2021

＋2021

＋2021

，

故答案为：1011．

【点睛】本题考查了有理数的加减法中，结合法的使用，此题的关键是找到有理数之间的规律．

三、解答题

16．计算：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)；

(6)．

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

【详解】（1）解：

；

（2）

；

（3）

；

（4）

；

（5）

；

（6）

．

【点睛】本题考查了有理数的加减运算，解题的关键是掌握运算法则，注意化简符号和利用运算律．

17．请根据图示的对话解答下列问题．

(1)分别求出a和b的值

(2)已知，求的值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）先根据相反数的概念得出的值，再根据绝对值的概念和与的关系即可得出的值；

（2）根据绝对值的非负性求出、的值，再代入即可得出答案．

【详解】（1）与互为相反数

的绝对值是

故，；

（2）

，

由（1）知，，

，

，

．

【点睛】本题考查了相反数、绝对值的非负性，熟练掌握相反数的概念和绝对值的非负性是解题的关键．