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2022-2023学年山东省德州市武城县七年级（下）期末数学试卷(含解析)
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这是一份2022-2023学年山东省德州市武城县七年级（下）期末数学试卷(含解析)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省德州市武城县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分
1．下列实数中是无理数的是（ ）
A．2 B． C．﹣1 D．3.1415926
2．下列调查方式中，你认为不合适的是（ ）
A．了解某班学生对6月5日是“世界环境日”的知晓情况进行全面调查
B．对黄河流域的水污染情况进行抽样调查
C．为保证“神十六”的成功发射，对其零部件进行抽样调查
D．对全国中学生心理健康现状进行抽样调查
3．已知a＜b，下列式子不一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1 B．﹣2a＞﹣2b
C．a+1＜b+1 D．ma＞mb
4．点P（a，b）在第四象限，则点P到x轴的距离是（ ）
A．a B．b C．﹣a D．﹣b
5．下列结论正确的是（ ）
A．同旁内角互补
B．的平方根是±9
C．平方根等于它本身的数是1和0
D．一定是正数
6．已知方程组，则2x+6y的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
7．如图，∠1＝70°，直线a平移后得到直线b，则∠2﹣∠3＝（ ）
A．70° B．180° C．110° D．80°
8．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1，，且AC＝AB，则点C所表示的数为（ ）
A．﹣1+ B．﹣1﹣ C．﹣2﹣ D．1+
9．在我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：“现有一些人共同买一个物品，每人出8钱，还盈余3钱；每人出7钱，还差4钱，问人数、物品价格各是多少？”设共有x人，物品的价格为y钱，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
10．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1 B．a≤1 C．a＝1 D．a≥1
11．下列说法中正确的个数为（ ）
①过一点有且只有一条直线平行于已知直线；
②从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离；
③“两个角的和等于平角时，这两个角互为补角”是真命题；
④64的立方根是±4．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P伴随点，已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…若点A1的坐标为（2，4），则点A2023的坐标为（ ）
A．（3，﹣1） B．（﹣2，﹣2） C．（﹣3，3） D．（2，4）
二、填空题：本大题共6小题，计24分。只要求填写最后结果，每小题填对得4分
13．当a＝5时，代数式的值为 ．
14．若点A（﹣2，n）在x轴上，则点B（n﹣1，n+1）在第 象限．
15．一条有破损的长方形纸带，按如图折叠，纸带重部分中的∠α的度数为 ．
16．将点A（m+2，m﹣3）向左平移三个单位后刚好落在y轴上，则平移前点A的坐标是 ．
17．在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a△b＝2a﹣b，已知不等式x△k≥2的解集在数轴上如图表示，则k的值是 ．
18．在平面直角坐标系xOy中，已知A（a，a）、B（a，a﹣3），其中a为整数，点C在线段AB上，且点C的横纵坐标均为整数，若存在一点C，其纵坐标满足1＜y＜，请写出a的所有可能取值 ．
三、解答题：本大题共7小题，共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
19．解下列方程组：
（1）；
（2）．
20．（1）解不等式：并把其解集在数轴上表示出来；
（2）解不等式组：．
21．2022年四川省在科技活动周举行了“科学在我身边”青少年科普系列活动，为做好科普活动工作，某校开展学习科学知识活动．为了解这次活动的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行测试，并将测试成绩统计如下：按成绩分成A：50≤x＜60，B：60≤x＜70，C：70≤x＜80，D：80≤x＜90，E：90≤x≤100五个等级，并绘制了如下不完整的两幅统计图．
请结合统计图，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取 名学生的成绩，频数分布直方图中m＝ ；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）如果成绩x≥80分为优秀，请通过计算估计全校2500名学生中成绩优秀的人数．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣3，0），B（﹣6，﹣2），C（﹣2，﹣5）．将△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到△A1B1C1．
（1）在平面直角坐标系xOy中画出△A1B1C1．
（2）P（m，n）平移后的对应点P1的坐标是 ．
（3）求△A1B1C1的面积．
（4）在x轴上存在点Q，且△ABQ的面积是△ABC面积的2倍．求Q的坐标．
23．如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，AB∥CD．
（1）若BC平分∠ABD，∠D＝100°，求∠ABC的度数．
（2）若∠1＝∠2，求证：AE∥FG．
24．在“五•一”期间，某公司组织员工到扬州瘦西湖旅游，如果租用甲种客车2辆，乙种客车3辆，则可载180人，如果租用甲种客车3辆，乙种客车1辆，则可载165人．
（1）请问甲、乙两种客车每辆分别能载客多少人？
（2）若该公司有303名员工，旅行社承诺每辆车安排一名导游，导游也需一个座位．
①现打算同时租甲、乙两种客车共8辆，请帮助旅行社设计租车方案．
②旅行前，旅行社的一名导游由于有特殊情况，旅行社只能安排7名导游，为保证所租的每辆车均有一名导游，租车方案调整为：同时租65座、45座和30座的大小三种客车，出发时，所租的三种客车的座位恰好坐满，请问旅行社的租车方案如何安排？
25．如图，AC∥BD，BC平分∠ABD，设∠ACB为α，点E是射线BC上的一个动点．
（1）若α＝25°时，且点E在l1下方，∠BAE＝∠CAE，求∠CAE的度数；
（2）若点E运动到l1上方，且满足∠BAE＝120°，∠BAE：∠CAE＝6：1，求α的值；
（3）若∠BAE：∠CAE＝m（m＞1），求∠CAE的度数（用含m和α的代数式表示）．
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分
1．下列实数中是无理数的是（ ）
A．2 B． C．﹣1 D．3.1415926
【分析】根据无理数的定义对各选项进行解答即可．
解：A、2是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B、是无理数，故本选项符合题意；
C、﹣1是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D、3.1415926是分数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是无理数和算术平方根，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
2．下列调查方式中，你认为不合适的是（ ）
A．了解某班学生对6月5日是“世界环境日”的知晓情况进行全面调查
B．对黄河流域的水污染情况进行抽样调查
C．为保证“神十六”的成功发射，对其零部件进行抽样调查
D．对全国中学生心理健康现状进行抽样调查
【分析】普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
解：A、了解某班学生对6月5日是“世界环境日”的知晓情况，适宜采用全面调查方式，不符合题意；
B、对黄河流域的水污染情况，适宜采用抽样调查方式，不符合题意；
C、为保证“神十六”的成功发射，对其零部件进行调查，适宜采用全面调查方式，符合题意；
D、对全国中学生心理健康现状进行调查，适宜采用抽样调查方式，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3．已知a＜b，下列式子不一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1 B．﹣2a＞﹣2b
C．a+1＜b+1 D．ma＞mb
【分析】根据不等式的基本性质进行判断．
解：A、在不等式a＜b的两边同时减去1，不等号的方向不变，即a﹣1＜b﹣1，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、在不等式a＜b的两边同时乘以﹣2，不等号方向改变，即﹣2a＞﹣2b，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、在不等式a＜b的两边同时乘以，不等号的方向不变，即a＜b，不等式a＜b的两边同时加上1，不等号的方向不变，即a+1＜b+1，原变形正确，故此选项不符合题意；
D、在不等式a＜b的两边同时乘以m，不等式不一定成立，即ma＞mb，或ma＜mb，或ma＝mb，原变形不正确，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．点P（a，b）在第四象限，则点P到x轴的距离是（ ）
A．a B．b C．﹣a D．﹣b
【分析】点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值．
解：∵点P（a，b）在第四象限，
∴b＜0，
∴点P到x轴的距离是|b|＝﹣b．
故选：D．
【点评】主要考查了点的坐标的几何意义，需注意距离为非负值．
5．下列结论正确的是（ ）
A．同旁内角互补
B．的平方根是±9
C．平方根等于它本身的数是1和0
D．一定是正数
【分析】根据同旁内角的性质，平方根的定义，算术平方根的意义逐一分析判断即可．
解：A、两直线平行，同旁内角互补，故此选项不符合题意；
B、，9的平方根是±3，即的平方根是±3，故此选项不符合题意；
C、平方根等于它本身的数是0，1的平方根是±1，故此选项不符合题意；
D、∵a2+1＞0，
∴，
即一定是正数，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平方根，算术平方根，同旁内角，解题的关键是掌握平方根的性质．
6．已知方程组，则2x+6y的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
【分析】两式相减，得x+3y＝﹣2，所以2（x+3y）＝﹣4，即2x+6y＝﹣4．
解：两式相减，得x+3y＝﹣2，
∴2（x+3y）＝﹣4，
即2x+6y＝﹣4，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组，对原方程组进行变形是解题的关键．
7．如图，∠1＝70°，直线a平移后得到直线b，则∠2﹣∠3＝（ ）
A．70° B．180° C．110° D．80°
【分析】法一：延长直线后根据平行线的性质解答即可；
法二：过∠2的顶点作直线b的平行线，由平行线的性质可求解．
解：法一：延长直线，如图：
，
∵直线a平移后得到直线b，
∴a∥b，
∴∠5＝180°﹣∠1＝180°﹣70°＝110°，
∵∠2＝∠4+∠5，
∵∠3＝∠4，
∴∠2﹣∠3＝∠5＝110°，
故选：C．
法二：如图，过∠2的顶点作直线c∥b，
得∠3＝∠4，
∴∠2﹣∠3＝∠2﹣∠4，
∵a∥b，b∥c，
∴a∥c，
∴∠2﹣∠4＝180°﹣∠1＝180°﹣70°＝110°，
即∠2﹣∠3＝110°，
故选：C．
【点评】此题考查平移问题，关键是根据平行线的性质和三角形的外角性质解答．
8．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1，，且AC＝AB，则点C所表示的数为（ ）
A．﹣1+ B．﹣1﹣ C．﹣2﹣ D．1+
【分析】设点C表示的数为x，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出点C的数即可．
解：设点C表示的数x，
根据AC＝AB得：﹣（﹣1）＝﹣1﹣x，即+1＝﹣1﹣x，
解得：x＝﹣2﹣，
则点C 表示的数为﹣2﹣．
故选：C．
【点评】此题考查了实数与数轴，利用了方程的思想，弄清题意是解本题的关键．
9．在我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：“现有一些人共同买一个物品，每人出8钱，还盈余3钱；每人出7钱，还差4钱，问人数、物品价格各是多少？”设共有x人，物品的价格为y钱，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据每人出8钱，还盈余3钱，可得y＝8x﹣3，根据每人出7钱，还差4钱，可得y＝7x+4，然后即可列出相应的方程组．
解：由题意可得，
，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
10．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1 B．a≤1 C．a＝1 D．a≥1
【分析】首先求出两个不等式的解集，再根据大大小小找不到确定a的取值范围．
解：，
由①得：x＞1，
由②得：x＜a，
∵不等式组无解，
∴a≤1，
故选：B．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
11．下列说法中正确的个数为（ ）
①过一点有且只有一条直线平行于已知直线；
②从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离；
③“两个角的和等于平角时，这两个角互为补角”是真命题；
④64的立方根是±4．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用平行线的性质与判定方法、点到直线的距离的定义、互补的定义及立方根的求法分别判断后即可确定正确的选项．
解：①过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线，故原命题错误，不符合题意；
②从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故原命题错误，不符合题意；
③“两个角的和等于平角时，这两个角互为补角”是真命题，正确，符合题意；
④64的立方根是4，故原命题错误，不符合题意，
正确的命题有1个，
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
12．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P伴随点，已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…若点A1的坐标为（2，4），则点A2023的坐标为（ ）
A．（3，﹣1） B．（﹣2，﹣2） C．（﹣3，3） D．（2，4）
【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2023除以4，根据商和余数的情况确定点A2023的坐标即可．
解：∵A1的坐标为（2，4），
∴A2（﹣3，3），A3（﹣2，﹣2），A4（3，﹣1），A5（2，4），
……，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵2023÷4＝505……3，
∴点A2023的坐标与A3的坐标相同，为（﹣2，﹣2）．
故选：B．
【点评】本题是对点的变化规律的考查，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键．
二、填空题：本大题共6小题，计24分。只要求填写最后结果，每小题填对得4分
13．当a＝5时，代数式的值为 3 ．
【分析】将a＝5代入计算即可．
解：将a＝5代入得，＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了实数的运算，解题关键在于正确的计算．
14．若点A（﹣2，n）在x轴上，则点B（n﹣1，n+1）在第 二 象限．
【分析】由点在x轴的条件是纵坐标为0，得出点A（﹣2，n）的n＝0，再代入求出点B的坐标及象限．
解：∵点A（﹣2，n）在x轴上，
∴n＝0，
∴点B的坐标为（﹣1，1）．则点B（n﹣1，n+1）在第二象限．
【点评】解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
15．一条有破损的长方形纸带，按如图折叠，纸带重部分中的∠α的度数为 75° ．
【分析】折叠前，纸条上边为直边，即平角，由折叠的性质可知：2a+30°＝180°，解方程即可．
解：如图，
由长方形纸片的两边平行，
∠PGN＝∠EFG＝a，
由折叠的性质，则
∠EGF＝∠FGN＝a，
由对顶角的性质，则
∠FEG＝∠AED＝30°，
在△EFG中，由三角形的内角和定理，则
∠FEG+∠EFG+∠EGF＝180°，
即2a+30°＝180°，
解得a＝75°，
故答案为：75°．
【点评】本题考查了折叠的性质，关键是根据平角的定义，列方程求解．
16．将点A（m+2，m﹣3）向左平移三个单位后刚好落在y轴上，则平移前点A的坐标是 （3，﹣2） ．
【分析】点A（m+2，m﹣3）向左平移三个单位得到A′（m﹣1，m﹣3），根据y轴上的点的横坐标为0，构建方程求出m即可．
解：点A（m+2，m﹣3）向左平移三个单位得到A′（m﹣1，m﹣3），
∵A′在y轴上，
∴m﹣1＝0，
∴m＝1，
∴A（3，﹣2），
故答案为：（3，﹣2）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是掌握y轴上的点的横坐标为0．
17．在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a△b＝2a﹣b，已知不等式x△k≥2的解集在数轴上如图表示，则k的值是 ﹣4 ．
【分析】该先解出x的范围（用含有k的代数式表示），然后结合解集解方程．
解：根据图示知，已知不等式的解集是x≥﹣1．
则2x﹣1≥﹣3
∵x△k＝2x﹣k≥2，
∴2x﹣1≥k+1且2x﹣1≥﹣3，
∴k＝﹣4．
故答案是：﹣4．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆圈表示．
18．在平面直角坐标系xOy中，已知A（a，a）、B（a，a﹣3），其中a为整数，点C在线段AB上，且点C的横纵坐标均为整数，若存在一点C，其纵坐标满足1＜y＜，请写出a的所有可能取值 2或3或4或5 ．
【分析】结合题意，根据无理数的估算求得点C的纵坐标为2，再根据点C线段AB上，且AB与y轴平行可得，解不等式组并根据a为整数即可求得答案．
解：∵A（a，a）、B（a，a﹣3），
∴AB∥y轴，
∵点C的横纵坐标均为整数，其纵坐标满足1＜y＜，2＜＜3，
∴y＝2，即点C的纵坐标为2，
∵点C在线段AB上，
∴，
解得：2≤a≤5，
∵a为整数，
∴a＝2或3或4或5，
故答案为：2或3或4或5．
【点评】本题考查无理数的估算，坐标与图形性质，解一元一次不等式组，结合题意列得是解题的关键．
三、解答题：本大题共7小题，共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
19．解下列方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
解：（1）把②代入①得：3x+3x＝12，
解得：x＝2，
把x＝2代入②得：y＝6，
则方程组的解为；
（2）①×2+②得：9x＝9，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：2+3y＝﹣1，
解得：y＝﹣1，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
20．（1）解不等式：并把其解集在数轴上表示出来；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：（1）∵，
∴3（2+x）≥2（2x﹣1），
6+3x≥4x﹣2，
3x﹣4x≥﹣2﹣6，
﹣x≥﹣8，
则x≤8，
将解集表示在数轴上如下：
（2）解不等式①，得：x＞﹣5，
解不等式②，得：x≤﹣，
则不等式组的解集为﹣5＜x≤﹣．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．2022年四川省在科技活动周举行了“科学在我身边”青少年科普系列活动，为做好科普活动工作，某校开展学习科学知识活动．为了解这次活动的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行测试，并将测试成绩统计如下：按成绩分成A：50≤x＜60，B：60≤x＜70，C：70≤x＜80，D：80≤x＜90，E：90≤x≤100五个等级，并绘制了如下不完整的两幅统计图．
请结合统计图，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取 200 名学生的成绩，频数分布直方图中m＝ 16 ；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）如果成绩x≥80分为优秀，请通过计算估计全校2500名学生中成绩优秀的人数．
【分析】（1）根据B等级的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，再用总人数乘以A等级所占的百分比，即可得出答案；
（2）用总人数乘以C等级所占的百分比，求出C等级的人数，再补全统计图；用360°乘以等级E所占的百分比即可；
（3）用总人数乘以成绩优秀的人数所占的百分比即可．
解：（1）本次调查一共随机抽取的学生有：40÷20%＝200（名），
频数分布直方图中m＝200×8%＝16；
故答案为：200，16；
（2）C等级的人数有：200×25%＝50（人），
补全统计图如下：
（3）根据题意得：
2500×（1﹣25%﹣20%﹣8%）＝1175（人），
答：估计全校2500名学生中成绩优秀的人数有1175人．
【点评】本题考查频数分布直方图，样本估计总体，扇形统计图等知识，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣3，0），B（﹣6，﹣2），C（﹣2，﹣5）．将△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到△A1B1C1．
（1）在平面直角坐标系xOy中画出△A1B1C1．
（2）P（m，n）平移后的对应点P1的坐标是 （m+5，n+3） ．
（3）求△A1B1C1的面积．
（4）在x轴上存在点Q，且△ABQ的面积是△ABC面积的2倍．求Q的坐标．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1，连接A1，B1，C1即可；
（2）利用平移变换的规律求出点P坐标；
（3）用矩形的面积减去三个小三角形的面积即可；
（4）设点Q（q，0），构建方程求解．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）∵△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到△A1B1C1，
∴P向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到P1，
∴P1（m+5，n+3）；
故答案为：（m+5，n+3）；
（3）△A1B1C1的面积为；
（4）设Q（q，0），S△ABQ＝2S△ABQ＝17，，
解得：q＝﹣20或q＝14，
∴Q（﹣20，0）或Q（14，0）．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会利用参数构建方程解决问题．
23．如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，AB∥CD．
（1）若BC平分∠ABD，∠D＝100°，求∠ABC的度数．
（2）若∠1＝∠2，求证：AE∥FG．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ABD+∠D＝180°，求得∠ABD＝180°﹣100°＝80°，根据角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠FGC＝∠2，等量代换得到∠1＝∠FGC，由平行线的判定定理即可得到结论；
【解答】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠D＝180°，
∵∠D＝100°，
∴∠ABD＝180°﹣100°＝80°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC＝ABD＝40°；
（2）证明：∵FG∥AE，
∴∠FGC＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠FGC，
∴AB∥CD；
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用．
24．在“五•一”期间，某公司组织员工到扬州瘦西湖旅游，如果租用甲种客车2辆，乙种客车3辆，则可载180人，如果租用甲种客车3辆，乙种客车1辆，则可载165人．
（1）请问甲、乙两种客车每辆分别能载客多少人？
（2）若该公司有303名员工，旅行社承诺每辆车安排一名导游，导游也需一个座位．
①现打算同时租甲、乙两种客车共8辆，请帮助旅行社设计租车方案．
②旅行前，旅行社的一名导游由于有特殊情况，旅行社只能安排7名导游，为保证所租的每辆车均有一名导游，租车方案调整为：同时租65座、45座和30座的大小三种客车，出发时，所租的三种客车的座位恰好坐满，请问旅行社的租车方案如何安排？
【分析】（1）设甲种客车每辆能载客x人，乙种客车每辆能载客y人，根据租用甲种客车2辆，乙种客车3辆，则可载180人，如果租用甲种客车3辆，乙种客车1辆，则可载165人，列出方程组解答即可；
（2）①设租甲种客车a辆，则租乙种客车（8﹣a）辆，根据题意列出不等式解答即可；
②设同时租65座、45座和30座的大小三种客车各m辆，n辆，（7﹣m﹣n）辆，列出方程解答即可．
解：（1）设甲种客车每辆能载客x人，乙种客车每辆能载客y人，根据题意得，解之得：
答：甲种客车每辆能载客45人，乙种客车每辆能载客30人；
（2）①设租甲种客车a辆，则租乙种客车（8﹣a）辆，
依题意得45a+30（8﹣a）≥303+8，解得
∵打算同时租甲、乙两种客车，∴a＝5，6，7
有三种租车方案：
方案一：租甲种客车5辆，则租乙种客车3辆．
方案二：租甲种客车6辆，则租乙种客车2辆；
方案三：租甲种客车7辆，则租乙种客车1辆；
②设同时租65座、45座和30座的大小三种客车各m辆，n辆，（7﹣m﹣n）辆，
根据题意得出：65m+45n+30（7﹣m﹣n）＝303+7，
整理得出：7m+3n＝20，
故符合题意的有：m＝2，n＝2，7﹣m﹣n＝3，
租车方案为：租65座的客车2辆，45座的客车2辆，30座的3辆．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程的解等知识，找到相应的关系式是解决问题的关键．
25．如图，AC∥BD，BC平分∠ABD，设∠ACB为α，点E是射线BC上的一个动点．
（1）若α＝25°时，且点E在l1下方，∠BAE＝∠CAE，求∠CAE的度数；
（2）若点E运动到l1上方，且满足∠BAE＝120°，∠BAE：∠CAE＝6：1，求α的值；
（3）若∠BAE：∠CAE＝m（m＞1），求∠CAE的度数（用含m和α的代数式表示）．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠CBD的度数，再根据角平分线的性质可得ABE的度数，应用三角形内角和计算∠BAC的度数，由已知条件∠BAE＝∠CAE，可计算出∠CAE的度数；
（2）根据题意画出图形，先根据∠BAE：∠CAE＝6：1可计算出∠CAE的度数，由∠BAE＝120°可计算出∠BAC的度数，再根据平行线的性质和角平分线的性质，计算出∠CBD的度数，即可得出结论；
（3）根据题意可分两种情况，
①若点E运动到l1上方，根据平行线的性质由α可计算出∠CBD的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出∠BAC的度数，再∠BAE：∠CAE＝m，∠BAE＝∠BAC+∠CAE，列出等量关系求解即可等处结论；
②若点E运动到l1下方，根据平行线的性质由α可计算出∠CBD的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出∠BAC的度数，再∠BAE：∠CAE＝m，∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE列出等量关系求解即可等处结论．
解：（1）∵α＝25°，AC∥BD，
∴∠CBD＝25°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABE＝∠CBD＝25°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABE﹣α＝180°﹣25°﹣25°＝130°，
又∵∠BAE＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠BAC＝＝65°；
（2）根据题意画图，如图1所示，
∵∠BAE＝120°，∠BAE：∠CAE＝6：1，
∴∠CAE＝20°，
∴∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝120°﹣20°＝100°，
∵AC∥BD，
∴∠ABD＝180°﹣∠BAC＝80°，
又∵BC平分∠ABD，
∴∠CBD＝∠ABD＝×80°＝40°，
∴α＝∠CBD＝40°；
（3）①如图①所示，
∵AC∥BD，
∴∠CBD＝∠ACB＝α，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠CBD＝2α，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABD＝180°﹣2α，
又∵∠BAE：∠CAE＝m，
∴（∠BAC+∠CAE）：∠CAE＝m，
（180°﹣2α+∠CAE）：∠CAE＝m，
解得∠CAE＝；
②如图②所示，
∵AC∥BD，
∴∠CBD＝∠ACB＝α，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠CBD＝2α，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABD＝180°﹣2α，
又∵∠BAE：∠CAE＝m
∴（∠BAC﹣∠CAE）：∠CAE＝m，
（180°﹣2α﹣∠CAE）：∠CAE＝m，
解得∠CAE＝．
综上∠CAE的度数为：或．
【点评】本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质，两直线平行，同位角相等．两直线平行，同旁内角互补．两直线平行，内错角相等，合理应用平行线的性质是解决本题的关键．
2022-2023学年山东省德州市武城县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分
1．下列实数中是无理数的是（ ）
A．2 B． C．﹣1 D．3.1415926
2．下列调查方式中，你认为不合适的是（ ）
A．了解某班学生对6月5日是“世界环境日”的知晓情况进行全面调查
B．对黄河流域的水污染情况进行抽样调查
C．为保证“神十六”的成功发射，对其零部件进行抽样调查
D．对全国中学生心理健康现状进行抽样调查
3．已知a＜b，下列式子不一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1 B．﹣2a＞﹣2b
C．a+1＜b+1 D．ma＞mb
4．点P（a，b）在第四象限，则点P到x轴的距离是（ ）
A．a B．b C．﹣a D．﹣b
5．下列结论正确的是（ ）
A．同旁内角互补
B．的平方根是±9
C．平方根等于它本身的数是1和0
D．一定是正数
6．已知方程组，则2x+6y的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
7．如图，∠1＝70°，直线a平移后得到直线b，则∠2﹣∠3＝（ ）
A．70° B．180° C．110° D．80°
8．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1，，且AC＝AB，则点C所表示的数为（ ）
A．﹣1+ B．﹣1﹣ C．﹣2﹣ D．1+
9．在我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：“现有一些人共同买一个物品，每人出8钱，还盈余3钱；每人出7钱，还差4钱，问人数、物品价格各是多少？”设共有x人，物品的价格为y钱，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
10．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1 B．a≤1 C．a＝1 D．a≥1
11．下列说法中正确的个数为（ ）
①过一点有且只有一条直线平行于已知直线；
②从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离；
③“两个角的和等于平角时，这两个角互为补角”是真命题；
④64的立方根是±4．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P伴随点，已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…若点A1的坐标为（2，4），则点A2023的坐标为（ ）
A．（3，﹣1） B．（﹣2，﹣2） C．（﹣3，3） D．（2，4）
二、填空题：本大题共6小题，计24分。只要求填写最后结果，每小题填对得4分
13．当a＝5时，代数式的值为 ．
14．若点A（﹣2，n）在x轴上，则点B（n﹣1，n+1）在第 象限．
15．一条有破损的长方形纸带，按如图折叠，纸带重部分中的∠α的度数为 ．
16．将点A（m+2，m﹣3）向左平移三个单位后刚好落在y轴上，则平移前点A的坐标是 ．
17．在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a△b＝2a﹣b，已知不等式x△k≥2的解集在数轴上如图表示，则k的值是 ．
18．在平面直角坐标系xOy中，已知A（a，a）、B（a，a﹣3），其中a为整数，点C在线段AB上，且点C的横纵坐标均为整数，若存在一点C，其纵坐标满足1＜y＜，请写出a的所有可能取值 ．
三、解答题：本大题共7小题，共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
19．解下列方程组：
（1）；
（2）．
20．（1）解不等式：并把其解集在数轴上表示出来；
（2）解不等式组：．
21．2022年四川省在科技活动周举行了“科学在我身边”青少年科普系列活动，为做好科普活动工作，某校开展学习科学知识活动．为了解这次活动的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行测试，并将测试成绩统计如下：按成绩分成A：50≤x＜60，B：60≤x＜70，C：70≤x＜80，D：80≤x＜90，E：90≤x≤100五个等级，并绘制了如下不完整的两幅统计图．
请结合统计图，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取 名学生的成绩，频数分布直方图中m＝ ；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）如果成绩x≥80分为优秀，请通过计算估计全校2500名学生中成绩优秀的人数．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣3，0），B（﹣6，﹣2），C（﹣2，﹣5）．将△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到△A1B1C1．
（1）在平面直角坐标系xOy中画出△A1B1C1．
（2）P（m，n）平移后的对应点P1的坐标是 ．
（3）求△A1B1C1的面积．
（4）在x轴上存在点Q，且△ABQ的面积是△ABC面积的2倍．求Q的坐标．
23．如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，AB∥CD．
（1）若BC平分∠ABD，∠D＝100°，求∠ABC的度数．
（2）若∠1＝∠2，求证：AE∥FG．
24．在“五•一”期间，某公司组织员工到扬州瘦西湖旅游，如果租用甲种客车2辆，乙种客车3辆，则可载180人，如果租用甲种客车3辆，乙种客车1辆，则可载165人．
（1）请问甲、乙两种客车每辆分别能载客多少人？
（2）若该公司有303名员工，旅行社承诺每辆车安排一名导游，导游也需一个座位．
①现打算同时租甲、乙两种客车共8辆，请帮助旅行社设计租车方案．
②旅行前，旅行社的一名导游由于有特殊情况，旅行社只能安排7名导游，为保证所租的每辆车均有一名导游，租车方案调整为：同时租65座、45座和30座的大小三种客车，出发时，所租的三种客车的座位恰好坐满，请问旅行社的租车方案如何安排？
25．如图，AC∥BD，BC平分∠ABD，设∠ACB为α，点E是射线BC上的一个动点．
（1）若α＝25°时，且点E在l1下方，∠BAE＝∠CAE，求∠CAE的度数；
（2）若点E运动到l1上方，且满足∠BAE＝120°，∠BAE：∠CAE＝6：1，求α的值；
（3）若∠BAE：∠CAE＝m（m＞1），求∠CAE的度数（用含m和α的代数式表示）．
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分
1．下列实数中是无理数的是（ ）
A．2 B． C．﹣1 D．3.1415926
【分析】根据无理数的定义对各选项进行解答即可．
解：A、2是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B、是无理数，故本选项符合题意；
C、﹣1是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D、3.1415926是分数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是无理数和算术平方根，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
2．下列调查方式中，你认为不合适的是（ ）
A．了解某班学生对6月5日是“世界环境日”的知晓情况进行全面调查
B．对黄河流域的水污染情况进行抽样调查
C．为保证“神十六”的成功发射，对其零部件进行抽样调查
D．对全国中学生心理健康现状进行抽样调查
【分析】普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
解：A、了解某班学生对6月5日是“世界环境日”的知晓情况，适宜采用全面调查方式，不符合题意；
B、对黄河流域的水污染情况，适宜采用抽样调查方式，不符合题意；
C、为保证“神十六”的成功发射，对其零部件进行调查，适宜采用全面调查方式，符合题意；
D、对全国中学生心理健康现状进行调查，适宜采用抽样调查方式，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3．已知a＜b，下列式子不一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1 B．﹣2a＞﹣2b
C．a+1＜b+1 D．ma＞mb
【分析】根据不等式的基本性质进行判断．
解：A、在不等式a＜b的两边同时减去1，不等号的方向不变，即a﹣1＜b﹣1，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、在不等式a＜b的两边同时乘以﹣2，不等号方向改变，即﹣2a＞﹣2b，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、在不等式a＜b的两边同时乘以，不等号的方向不变，即a＜b，不等式a＜b的两边同时加上1，不等号的方向不变，即a+1＜b+1，原变形正确，故此选项不符合题意；
D、在不等式a＜b的两边同时乘以m，不等式不一定成立，即ma＞mb，或ma＜mb，或ma＝mb，原变形不正确，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．点P（a，b）在第四象限，则点P到x轴的距离是（ ）
A．a B．b C．﹣a D．﹣b
【分析】点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值．
解：∵点P（a，b）在第四象限，
∴b＜0，
∴点P到x轴的距离是|b|＝﹣b．
故选：D．
【点评】主要考查了点的坐标的几何意义，需注意距离为非负值．
5．下列结论正确的是（ ）
A．同旁内角互补
B．的平方根是±9
C．平方根等于它本身的数是1和0
D．一定是正数
【分析】根据同旁内角的性质，平方根的定义，算术平方根的意义逐一分析判断即可．
解：A、两直线平行，同旁内角互补，故此选项不符合题意；
B、，9的平方根是±3，即的平方根是±3，故此选项不符合题意；
C、平方根等于它本身的数是0，1的平方根是±1，故此选项不符合题意；
D、∵a2+1＞0，
∴，
即一定是正数，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平方根，算术平方根，同旁内角，解题的关键是掌握平方根的性质．
6．已知方程组，则2x+6y的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
【分析】两式相减，得x+3y＝﹣2，所以2（x+3y）＝﹣4，即2x+6y＝﹣4．
解：两式相减，得x+3y＝﹣2，
∴2（x+3y）＝﹣4，
即2x+6y＝﹣4，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组，对原方程组进行变形是解题的关键．
7．如图，∠1＝70°，直线a平移后得到直线b，则∠2﹣∠3＝（ ）
A．70° B．180° C．110° D．80°
【分析】法一：延长直线后根据平行线的性质解答即可；
法二：过∠2的顶点作直线b的平行线，由平行线的性质可求解．
解：法一：延长直线，如图：
，
∵直线a平移后得到直线b，
∴a∥b，
∴∠5＝180°﹣∠1＝180°﹣70°＝110°，
∵∠2＝∠4+∠5，
∵∠3＝∠4，
∴∠2﹣∠3＝∠5＝110°，
故选：C．
法二：如图，过∠2的顶点作直线c∥b，
得∠3＝∠4，
∴∠2﹣∠3＝∠2﹣∠4，
∵a∥b，b∥c，
∴a∥c，
∴∠2﹣∠4＝180°﹣∠1＝180°﹣70°＝110°，
即∠2﹣∠3＝110°，
故选：C．
【点评】此题考查平移问题，关键是根据平行线的性质和三角形的外角性质解答．
8．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1，，且AC＝AB，则点C所表示的数为（ ）
A．﹣1+ B．﹣1﹣ C．﹣2﹣ D．1+
【分析】设点C表示的数为x，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出点C的数即可．
解：设点C表示的数x，
根据AC＝AB得：﹣（﹣1）＝﹣1﹣x，即+1＝﹣1﹣x，
解得：x＝﹣2﹣，
则点C 表示的数为﹣2﹣．
故选：C．
【点评】此题考查了实数与数轴，利用了方程的思想，弄清题意是解本题的关键．
9．在我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：“现有一些人共同买一个物品，每人出8钱，还盈余3钱；每人出7钱，还差4钱，问人数、物品价格各是多少？”设共有x人，物品的价格为y钱，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据每人出8钱，还盈余3钱，可得y＝8x﹣3，根据每人出7钱，还差4钱，可得y＝7x+4，然后即可列出相应的方程组．
解：由题意可得，
，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
10．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1 B．a≤1 C．a＝1 D．a≥1
【分析】首先求出两个不等式的解集，再根据大大小小找不到确定a的取值范围．
解：，
由①得：x＞1，
由②得：x＜a，
∵不等式组无解，
∴a≤1，
故选：B．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
11．下列说法中正确的个数为（ ）
①过一点有且只有一条直线平行于已知直线；
②从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离；
③“两个角的和等于平角时，这两个角互为补角”是真命题；
④64的立方根是±4．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用平行线的性质与判定方法、点到直线的距离的定义、互补的定义及立方根的求法分别判断后即可确定正确的选项．
解：①过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线，故原命题错误，不符合题意；
②从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故原命题错误，不符合题意；
③“两个角的和等于平角时，这两个角互为补角”是真命题，正确，符合题意；
④64的立方根是4，故原命题错误，不符合题意，
正确的命题有1个，
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
12．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P伴随点，已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…若点A1的坐标为（2，4），则点A2023的坐标为（ ）
A．（3，﹣1） B．（﹣2，﹣2） C．（﹣3，3） D．（2，4）
【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2023除以4，根据商和余数的情况确定点A2023的坐标即可．
解：∵A1的坐标为（2，4），
∴A2（﹣3，3），A3（﹣2，﹣2），A4（3，﹣1），A5（2，4），
……，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵2023÷4＝505……3，
∴点A2023的坐标与A3的坐标相同，为（﹣2，﹣2）．
故选：B．
【点评】本题是对点的变化规律的考查，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键．
二、填空题：本大题共6小题，计24分。只要求填写最后结果，每小题填对得4分
13．当a＝5时，代数式的值为 3 ．
【分析】将a＝5代入计算即可．
解：将a＝5代入得，＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了实数的运算，解题关键在于正确的计算．
14．若点A（﹣2，n）在x轴上，则点B（n﹣1，n+1）在第 二 象限．
【分析】由点在x轴的条件是纵坐标为0，得出点A（﹣2，n）的n＝0，再代入求出点B的坐标及象限．
解：∵点A（﹣2，n）在x轴上，
∴n＝0，
∴点B的坐标为（﹣1，1）．则点B（n﹣1，n+1）在第二象限．
【点评】解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
15．一条有破损的长方形纸带，按如图折叠，纸带重部分中的∠α的度数为 75° ．
【分析】折叠前，纸条上边为直边，即平角，由折叠的性质可知：2a+30°＝180°，解方程即可．
解：如图，
由长方形纸片的两边平行，
∠PGN＝∠EFG＝a，
由折叠的性质，则
∠EGF＝∠FGN＝a，
由对顶角的性质，则
∠FEG＝∠AED＝30°，
在△EFG中，由三角形的内角和定理，则
∠FEG+∠EFG+∠EGF＝180°，
即2a+30°＝180°，
解得a＝75°，
故答案为：75°．
【点评】本题考查了折叠的性质，关键是根据平角的定义，列方程求解．
16．将点A（m+2，m﹣3）向左平移三个单位后刚好落在y轴上，则平移前点A的坐标是 （3，﹣2） ．
【分析】点A（m+2，m﹣3）向左平移三个单位得到A′（m﹣1，m﹣3），根据y轴上的点的横坐标为0，构建方程求出m即可．
解：点A（m+2，m﹣3）向左平移三个单位得到A′（m﹣1，m﹣3），
∵A′在y轴上，
∴m﹣1＝0，
∴m＝1，
∴A（3，﹣2），
故答案为：（3，﹣2）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是掌握y轴上的点的横坐标为0．
17．在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a△b＝2a﹣b，已知不等式x△k≥2的解集在数轴上如图表示，则k的值是 ﹣4 ．
【分析】该先解出x的范围（用含有k的代数式表示），然后结合解集解方程．
解：根据图示知，已知不等式的解集是x≥﹣1．
则2x﹣1≥﹣3
∵x△k＝2x﹣k≥2，
∴2x﹣1≥k+1且2x﹣1≥﹣3，
∴k＝﹣4．
故答案是：﹣4．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆圈表示．
18．在平面直角坐标系xOy中，已知A（a，a）、B（a，a﹣3），其中a为整数，点C在线段AB上，且点C的横纵坐标均为整数，若存在一点C，其纵坐标满足1＜y＜，请写出a的所有可能取值 2或3或4或5 ．
【分析】结合题意，根据无理数的估算求得点C的纵坐标为2，再根据点C线段AB上，且AB与y轴平行可得，解不等式组并根据a为整数即可求得答案．
解：∵A（a，a）、B（a，a﹣3），
∴AB∥y轴，
∵点C的横纵坐标均为整数，其纵坐标满足1＜y＜，2＜＜3，
∴y＝2，即点C的纵坐标为2，
∵点C在线段AB上，
∴，
解得：2≤a≤5，
∵a为整数，
∴a＝2或3或4或5，
故答案为：2或3或4或5．
【点评】本题考查无理数的估算，坐标与图形性质，解一元一次不等式组，结合题意列得是解题的关键．
三、解答题：本大题共7小题，共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
19．解下列方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
解：（1）把②代入①得：3x+3x＝12，
解得：x＝2，
把x＝2代入②得：y＝6，
则方程组的解为；
（2）①×2+②得：9x＝9，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：2+3y＝﹣1，
解得：y＝﹣1，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
20．（1）解不等式：并把其解集在数轴上表示出来；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：（1）∵，
∴3（2+x）≥2（2x﹣1），
6+3x≥4x﹣2，
3x﹣4x≥﹣2﹣6，
﹣x≥﹣8，
则x≤8，
将解集表示在数轴上如下：
（2）解不等式①，得：x＞﹣5，
解不等式②，得：x≤﹣，
则不等式组的解集为﹣5＜x≤﹣．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．2022年四川省在科技活动周举行了“科学在我身边”青少年科普系列活动，为做好科普活动工作，某校开展学习科学知识活动．为了解这次活动的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行测试，并将测试成绩统计如下：按成绩分成A：50≤x＜60，B：60≤x＜70，C：70≤x＜80，D：80≤x＜90，E：90≤x≤100五个等级，并绘制了如下不完整的两幅统计图．
请结合统计图，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取 200 名学生的成绩，频数分布直方图中m＝ 16 ；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）如果成绩x≥80分为优秀，请通过计算估计全校2500名学生中成绩优秀的人数．
【分析】（1）根据B等级的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，再用总人数乘以A等级所占的百分比，即可得出答案；
（2）用总人数乘以C等级所占的百分比，求出C等级的人数，再补全统计图；用360°乘以等级E所占的百分比即可；
（3）用总人数乘以成绩优秀的人数所占的百分比即可．
解：（1）本次调查一共随机抽取的学生有：40÷20%＝200（名），
频数分布直方图中m＝200×8%＝16；
故答案为：200，16；
（2）C等级的人数有：200×25%＝50（人），
补全统计图如下：
（3）根据题意得：
2500×（1﹣25%﹣20%﹣8%）＝1175（人），
答：估计全校2500名学生中成绩优秀的人数有1175人．
【点评】本题考查频数分布直方图，样本估计总体，扇形统计图等知识，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣3，0），B（﹣6，﹣2），C（﹣2，﹣5）．将△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到△A1B1C1．
（1）在平面直角坐标系xOy中画出△A1B1C1．
（2）P（m，n）平移后的对应点P1的坐标是 （m+5，n+3） ．
（3）求△A1B1C1的面积．
（4）在x轴上存在点Q，且△ABQ的面积是△ABC面积的2倍．求Q的坐标．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1，连接A1，B1，C1即可；
（2）利用平移变换的规律求出点P坐标；
（3）用矩形的面积减去三个小三角形的面积即可；
（4）设点Q（q，0），构建方程求解．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）∵△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到△A1B1C1，
∴P向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到P1，
∴P1（m+5，n+3）；
故答案为：（m+5，n+3）；
（3）△A1B1C1的面积为；
（4）设Q（q，0），S△ABQ＝2S△ABQ＝17，，
解得：q＝﹣20或q＝14，
∴Q（﹣20，0）或Q（14，0）．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会利用参数构建方程解决问题．
23．如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，AB∥CD．
（1）若BC平分∠ABD，∠D＝100°，求∠ABC的度数．
（2）若∠1＝∠2，求证：AE∥FG．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ABD+∠D＝180°，求得∠ABD＝180°﹣100°＝80°，根据角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠FGC＝∠2，等量代换得到∠1＝∠FGC，由平行线的判定定理即可得到结论；
【解答】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠D＝180°，
∵∠D＝100°，
∴∠ABD＝180°﹣100°＝80°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC＝ABD＝40°；
（2）证明：∵FG∥AE，
∴∠FGC＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠FGC，
∴AB∥CD；
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用．
24．在“五•一”期间，某公司组织员工到扬州瘦西湖旅游，如果租用甲种客车2辆，乙种客车3辆，则可载180人，如果租用甲种客车3辆，乙种客车1辆，则可载165人．
（1）请问甲、乙两种客车每辆分别能载客多少人？
（2）若该公司有303名员工，旅行社承诺每辆车安排一名导游，导游也需一个座位．
①现打算同时租甲、乙两种客车共8辆，请帮助旅行社设计租车方案．
②旅行前，旅行社的一名导游由于有特殊情况，旅行社只能安排7名导游，为保证所租的每辆车均有一名导游，租车方案调整为：同时租65座、45座和30座的大小三种客车，出发时，所租的三种客车的座位恰好坐满，请问旅行社的租车方案如何安排？
【分析】（1）设甲种客车每辆能载客x人，乙种客车每辆能载客y人，根据租用甲种客车2辆，乙种客车3辆，则可载180人，如果租用甲种客车3辆，乙种客车1辆，则可载165人，列出方程组解答即可；
（2）①设租甲种客车a辆，则租乙种客车（8﹣a）辆，根据题意列出不等式解答即可；
②设同时租65座、45座和30座的大小三种客车各m辆，n辆，（7﹣m﹣n）辆，列出方程解答即可．
解：（1）设甲种客车每辆能载客x人，乙种客车每辆能载客y人，根据题意得，解之得：
答：甲种客车每辆能载客45人，乙种客车每辆能载客30人；
（2）①设租甲种客车a辆，则租乙种客车（8﹣a）辆，
依题意得45a+30（8﹣a）≥303+8，解得
∵打算同时租甲、乙两种客车，∴a＝5，6，7
有三种租车方案：
方案一：租甲种客车5辆，则租乙种客车3辆．
方案二：租甲种客车6辆，则租乙种客车2辆；
方案三：租甲种客车7辆，则租乙种客车1辆；
②设同时租65座、45座和30座的大小三种客车各m辆，n辆，（7﹣m﹣n）辆，
根据题意得出：65m+45n+30（7﹣m﹣n）＝303+7，
整理得出：7m+3n＝20，
故符合题意的有：m＝2，n＝2，7﹣m﹣n＝3，
租车方案为：租65座的客车2辆，45座的客车2辆，30座的3辆．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程的解等知识，找到相应的关系式是解决问题的关键．
25．如图，AC∥BD，BC平分∠ABD，设∠ACB为α，点E是射线BC上的一个动点．
（1）若α＝25°时，且点E在l1下方，∠BAE＝∠CAE，求∠CAE的度数；
（2）若点E运动到l1上方，且满足∠BAE＝120°，∠BAE：∠CAE＝6：1，求α的值；
（3）若∠BAE：∠CAE＝m（m＞1），求∠CAE的度数（用含m和α的代数式表示）．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠CBD的度数，再根据角平分线的性质可得ABE的度数，应用三角形内角和计算∠BAC的度数，由已知条件∠BAE＝∠CAE，可计算出∠CAE的度数；
（2）根据题意画出图形，先根据∠BAE：∠CAE＝6：1可计算出∠CAE的度数，由∠BAE＝120°可计算出∠BAC的度数，再根据平行线的性质和角平分线的性质，计算出∠CBD的度数，即可得出结论；
（3）根据题意可分两种情况，
①若点E运动到l1上方，根据平行线的性质由α可计算出∠CBD的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出∠BAC的度数，再∠BAE：∠CAE＝m，∠BAE＝∠BAC+∠CAE，列出等量关系求解即可等处结论；
②若点E运动到l1下方，根据平行线的性质由α可计算出∠CBD的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出∠BAC的度数，再∠BAE：∠CAE＝m，∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE列出等量关系求解即可等处结论．
解：（1）∵α＝25°，AC∥BD，
∴∠CBD＝25°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABE＝∠CBD＝25°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABE﹣α＝180°﹣25°﹣25°＝130°，
又∵∠BAE＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠BAC＝＝65°；
（2）根据题意画图，如图1所示，
∵∠BAE＝120°，∠BAE：∠CAE＝6：1，
∴∠CAE＝20°，
∴∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝120°﹣20°＝100°，
∵AC∥BD，
∴∠ABD＝180°﹣∠BAC＝80°，
又∵BC平分∠ABD，
∴∠CBD＝∠ABD＝×80°＝40°，
∴α＝∠CBD＝40°；
（3）①如图①所示，
∵AC∥BD，
∴∠CBD＝∠ACB＝α，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠CBD＝2α，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABD＝180°﹣2α，
又∵∠BAE：∠CAE＝m，
∴（∠BAC+∠CAE）：∠CAE＝m，
（180°﹣2α+∠CAE）：∠CAE＝m，
解得∠CAE＝；
②如图②所示，
∵AC∥BD，
∴∠CBD＝∠ACB＝α，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠CBD＝2α，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABD＝180°﹣2α，
又∵∠BAE：∠CAE＝m
∴（∠BAC﹣∠CAE）：∠CAE＝m，
（180°﹣2α﹣∠CAE）：∠CAE＝m，
解得∠CAE＝．
综上∠CAE的度数为：或．
【点评】本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质，两直线平行，同位角相等．两直线平行，同旁内角互补．两直线平行，内错角相等，合理应用平行线的性质是解决本题的关键．
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