2023届北京市高考数学仿真模拟（一）试题含解析

2023届北京市高考数学仿真模拟（一）试题

一、单选题

1．全集，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】列举可得，然后根据补集的运算得出，进而根据交集的运算即可得出答案.

【详解】由已知可得，，所以，

所以.

故选：D.

2．设i是虚数单位，复数为复数z的共轭复数，若满足，则复数z在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】根据复数的乘、除法运算可得，由共轭复数的概念可得，结合复数的几何意义即可求解.

【详解】由题意知，

，

所以，在复平面内对应的点为，在第四象限.

故选：D.

3．设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.

【详解】由题意可得，

对于A，不是奇函数；

对于B，是奇函数；

对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；

对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.

故选：B

【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.

4．当圆的圆心到直线的距离最大时，（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出圆心坐标和直线过定点，当圆心和定点的连线与直线垂直时满足题意，再利用两直线垂直，斜率乘积为-1求解即可.

【详解】解：因为圆的圆心为,半径，

又因为直线过定点A(-1,1),

故当与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，

此时有，即，解得.

故选：C.

5．已知，若，则（    ）

A．992 B．－32 C．－33 D．496

【答案】D

【分析】先由求得，再通过赋值法令和求得即可.

【详解】由题意知：，则，解得；令，则，

令，则，两式相加得，则.

故选：D.

6．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为．现有下列4个命题

①若，则；

②若，则使的最大的n为15；

③若，，则中最大；

④若，则．

其中正确的命题的个数是（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】利用等差数列的求和公式以及等差数列的性质判断选项的正误即可.

【详解】①中若，则，那么．故①不正确：

②中若，则，又因为，所以前8项为正，从第9项开始为负，因为，所以使的最大的n为15，故②正确：

③中若，，则，，则中最大．故③正确

④中若，则，而，不能判断正负情况，故④不正确

故选：B.

7．已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.

【详解】设圆半径为，球的半径为，依题意，

得，为等边三角形，

由正弦定理可得，

，根据球的截面性质平面，

，

球的表面积.

故选：A

【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.

8．关于函数有下述四个结论，其中结论错误的是（    ）

A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称

C．的图象关于对称 D．在上单调递增

【答案】C

【分析】根据二倍角余弦公式、辅助角公式，结合正弦型函数的对称性、单调性、周期公式进行求解即可.

【详解】，

则的最小正周期为，故A正确；

因为，所以的图象关于直线对称，故B正确；

因为，

所以的图象不关于对称，故C不正确；

，所以在上单调递增，故D正确.

故选：C.

9．在经济学中，供应和需求是一对矛盾．考虑某种商品的市场，当该商品的价格上升时，商家的供应量会增加，而消费者的需求量会减小．反之，如果价格降低，则供应量减小，需求量增加．习惯上以纵轴t表示商品的价格（单位：元/件），横轴s表示商品的量（单位：件），则供应量、需求量与价格的关系可以在同一坐标系中用两条曲线表示，分别称为供应曲线、需求曲线．为刺激经济，政府给消费者发放消费券，或者给商家提供一定的金额进行补贴．在商品价格不变的情况下，给消费者发放补贴会增加需求量，给商家发放补贴会增加供应量．如图所示，下列说法正确的是（    ）

A．P是供应曲线，当政府给商家补贴a元/件时，供应曲线向上平移a个单位

B．P是需求曲线，当政府给消费者补贴a元/件时，需求曲线向上平移a个单位

C．Q是供应曲线，当政府给商家补贴a元/件时，供应曲线向上平移a个单位

D．Q是需求曲线，当政府给消费者补贴a元件时，需求曲线向上平移a个单位

【答案】D

【分析】先判断出P为供应曲线.，Q应为需求曲线，然后根据政府给消费者补贴a元/件，判断出B、D；根据政府给商家补贴a元/件，判断出A、C.

【详解】对于A：当商品的价格上升时，商家的供应量会增加，反之，如果价格下降，则供应量会减小，表明商品的价格与供应之间呈正比，因此P为供应曲线.当政府给商家提供一定金额的补贴时，在商品价格不变的情况下，会增加商品的供应量，因此，当政府给商家补贴a元时，供应曲线P应该向下平移a个单位，而不是向上平移，向上平移意味着供应的减少，故A项错误；

对于B：当商品的价格上升时，消费者的需求量会减小，反之，如果价格降低，则需求量会增加，因此商品的价格与需求之间呈反比，而曲线P表示商品的价格与商品的量呈正比，因此曲线P应为供应曲线，而不是需求曲线，故B项错误；

对于C：当商品的价格上升时，商家的供应量会增加，反之，如果价格下降，则供应量会减小，因此商品的价格与供应之间呈正比，而曲线Q表示商品的价格与商品的量呈反比，因此曲线Q应为需求曲线，而不是供应曲线，故C项错误；

对于D：当商品的价格上升时，消费者的需求量会减小，反之，如果价格降低，则需求量会增加，表明商的价格与需求之间呈反比，因此曲线Q应为需求曲线.当政府给消费者发放补贴时，在商品价格不变的情况下，会增加商品的需求量，因此，当政府给肖费者补贴a元时，需求曲线会向上平移a个单位，表示商品需求量的增加，故D项正确.

故选：D

10．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为

A．3 B．2 C． D．2

【答案】A

【详解】如图所示，建立平面直角坐标系.

设,

易得圆的半径，即圆C的方程是，

，若满足，

则，，所以，

设，即，点在圆上，

所以圆心到直线的距离，即，解得，

所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A.

【点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.

（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.

二、填空题

11．函数的定义域是_____________．

【答案】

【分析】根据函数解析式直接列出式子即可求解.

【详解】，

，解得，故函数的定义域为.

故答案为：.

12．已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．

【答案】4

【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出的关系，再结合双曲线中对应关系，联立求解，再由关系式求得，即可求解.

【详解】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距.

故答案为：4.

【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.

三、双空题

13．若函数（且）.①若，则___________；②若有最小值，则实数的取值范围是___________.

【答案】         

【分析】先计算的值，再计算的值；通过分类讨论确定不等式后即可求得的取值范围.

【详解】当时，，

所以，

所以；

当时，，

当时，取得最小值，

当时，且时，，

此时函数无最小值.

当时，且时，，

要使函数有最小值，则必须满足，解得.

故答案为：；.

14．抛物线的焦点坐标是______；经过点的直线与抛物线相交于，两点，且点恰为的中点，为抛物线的焦点，则______．

【答案】     ；     9.

【分析】由抛物线的解析式可知，即可得出焦点坐标为；过、、作准线的垂线且分别交准线于点、、，根据抛物线的定义可知，由梯形的中位线的性质得出，进而可求出的结果.

【详解】解：由抛物线，可知，则，

所以抛物线的焦点坐标为，

如图，过点作垂直于准线交准线于，

过点作垂直于准线交准线于，

过点作垂直于准线交准线于，

由抛物线的定义可得，

再根据为线段的中点，而四边形为梯形，

由梯形的中位线可知，

则，所以.

故答案为：；9.

四、填空题

15．关于函数f（x）=有如下四个命题：

①f（x）的图象关于y轴对称．

②f（x）的图象关于原点对称．

③f（x）的图象关于直线x=对称．

④f（x）的最小值为2．

其中所有真命题的序号是__________．

【答案】②③

【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取可判断命题④的正误.综合可得出结论.

【详解】对于命题①，，，则，

所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；

对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，

，

所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；

对于命题③，，

，则，

所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；

对于命题④，当时，，则，

命题④错误.

故答案为：②③.

【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

五、解答题

16．如图，在平面四边形中，，，，．

(1)求的长；

(2)求的正弦值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用余弦定理即求；

（2）利用正弦定理即得.

【详解】（1）在中，由余弦定理可知：

,

（2）在中，由正弦定理可知：，

即：

.

17．近年来，我国加速推行垃圾分类制度，全国垃圾分类工作取得积极进展．某城市推出了两套方案，并分别在A，B两个大型居民小区内试行．方案一：进行广泛的宣传活动，通过设立宣传点、发放宣传单等方式，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式，垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：智能化垃圾分类，在小区内分别设立分类垃圾桶，垃圾回收前端分类智能化，智能垃圾桶操作简单，居民可以通过设备进行自动登录、自动称重、自动积分等一系列操作．建立垃圾分类激励机制，比如，垃圾分类换积分，积分可兑换礼品等，激发了居民参与垃圾分类的热情，带动居民积极主动地参与垃圾分类．经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度得分（满分100分），将数据分成6组：并整理得到如下频率分布直方图：

(1)请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎（同一组中的数据用该组中间的中点值作代表）；

(2)估计A小区满意度得分的第80百分位数；

(3)以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分说明居民赞成推行此方案，低于70分说明居民不太赞成推行此方案．现从B小区内随机抽取5个人，用X表示赞成该小区推行方案的人数，求X的分布列及数学期望．

【答案】(1)方案一，二的满意度平均得分分别为72.6，76.5，且方案二的措施更受居民欢迎；

(2)第80百分位数为85分；

(3)分布列见解析，4.

【分析】（1）由频率分布直方图计算平均数即可；

（2）根据百分位数的计算方法进行计算即可；

（3）由题意可得X满足二项分布，然后进行求解分布列和期望.

【详解】（1）设A小区方案一的满意度平均分为，

则，

设B小区方案二的满意度平均分为，

则，

因为，

所以方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎；

（2）因为前4组的频率之和为，

前5组的频率之和为，

所以第80百分位数在第5组，

设第80百分位数为x，则，解得，

所以A小区满意度得分的第80百分位数为85分；

（3）由题意可知方案二中，满意度不低于70分的频率为，低于70分的频率为，

现从B小区内随机抽取5个人，则，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，

，，

，，

，，

所以X的分布列为

由二项分布知数学期望．

18．如图①，在梯形中，，，，为的中点，以为折痕把折起，连接，，得到如图②的几何体，在图②的几何体中解答下列两个问题．

(1)证明：；

(2)请从以下两个条件中选择一个作为已知条件，求二面角的余弦值．

①四棱锥的体积为2；

②直线与所成角的余弦值为．

注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）通过证明线面垂直来证得.

（2）选①，结合四棱锥的体积，证得平面；选②，结合直线与所成角的余弦值，证得平面；由此建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值.

【详解】（1）证明：在图①中

因为，，为中点所以，，

所以为平行四边形，所以，同理可证，

在图②中，取中点，连接，，，

因为，所以，，

因为，所以平面，

因为平面，所以.

（2）若选择①：因为平面，平面，

所以平面平面且交线为，所以过点作，

则平面，因为，

所以四棱锥的体积，

所以，所以与重合，所以平面，

建系如图，则，，， ，

平面法向量为，设平面法向量为，

因为，，

所以，得，

设二面角的大小为，则，

所以二面角的余弦值为.

若选择②：因为，所以即为异面直线与所成角，

在中，，

所以所，以，所以，

因为平面，平面，

所以平面平面且交线为，所以平面，

建系如图，则，，， ，

平面法向量为，

设平面法向量为，

因为，，

所以，得，

设二面角的大小为，则，

所以二面角的余弦值为.

19．已知函数.

(1)求曲线在点处的切线的方程；

(2)若函数在处取得极大值，求的取值范围；

(3)若函数存在最小值，直接写出的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）先求导后求出切线的斜率，然后求出直线上该点的坐标即可写出直线方程；

（2）根据函数的单调性和最值分类讨论；

（3）分情况讨论，根据函数的单调性和极限求解.

【详解】（1）解：由题意得：

，

故曲线在点处的切线的方程.

（2）由（1）得要使得在处取得极大值，在时应该，在时应该，

故①且，解得

②且，解得

当时，，满足题意；

当时，，不满足题意；

综上：的取值范围为.

（3）可以分三种情况讨论：①②③

若，在上单调递减，在单调递增，在上单调递减，无最小值；

若时，当时，趋向时，趋向于0；当 ，要使函数取得存在最小值，解得，故 处取得最小值,故的取值范围.

若时，在趋向时，趋向于0，又故无最小值；

综上所述函数存在最小值， 的取值范围.

20．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．

(1)求E的方程；

(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；

（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.

【详解】（1）解：设椭圆E的方程为，过，

则，解得，，

所以椭圆E的方程为：.

（2），所以，

①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，

可得，，代入AB方程，可得

，由得到.求得HN方程：

，过点.

②若过点的直线斜率存在，设.

联立得，

可得，，

且

联立可得

可求得此时，

将，代入整理得，

将代入，得

显然成立，

综上，可得直线HN过定点

【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

21．已知各项均为非负整数的数列，，，，满足，．若存在最小的正整数，使得，则可定义变换，变换将数列变为，，，，0，，，．设，，1，．

（1）若数列，1，1，3，0，0，试写出数列；若数列，0，0，0，0，试写出数列；

（2）证明存在数列，经过有限次变换，可将数列变为数列；

（3）若数列经过有限次变换，可变为数列．设，，2，，，求证，其中表示不超过的最大整数．

【答案】（1），0，1，3，0．（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【分析】（1）根据新定义，首项分别取1，2，3，4，5，从而可写出其余各项；

（2）若数列，，，满足及，则定义变换，变换将数列变为数列，，，，，，，．可验证数列满足条件；

（3）显然，2，，，由变换的定义可知数列每经过一次变换，的值或者不变，或者减少，由于数列经有限次变换，变为数列，0，，0时，有，，2，，，从而可得，，由此可得结论．

【详解】（1）解：若，1，1，3，0，0，则，0，1，3，0，0；，1，2，0，0，0；，0，2，0，0，0；，1，0，0，0，0；，0，0，0，0，0．

若，0，0，0，0，则，1，0，0，0；，0，2，0，0；，1，2，0，0；，0，1，3，0．

（2）证明：若数列，，，满足及，则定义变换，变换将数列变为数列，，，，，，，．可得和是互逆变换．

对于数列，0，0，，0连续实施变换（一直不能再作变换为止）得，0，0，，，1，0，，，0，2，0，，，1，2，0，，，，，，

则必有（若，则还可作变换．

反过来对，，，作有限次变换，即可还原为数列，0，0，，0，因此存在数列满足条件．

（3）证明：显然，2，，，这是由于若对某个，，则由变换的定义可知，通过变换，不能变为0．

由变换的定义可知数列每经过一次变换，的值或者不变，或者减少，由于数列经有限次变换，变为数列，0，，0时，有，，2，，，

所以为整数），于是，，

所以为除以后所得的余数，即．