2023年北京市高考数学模拟试卷（5月份）（含解析）

2023年北京市高考数学模拟试卷（5月份）

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若复数满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若向量，，则与的夹角等于(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若直线与圆交于，两点，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  要得到的图像，只要将的图像(    )

A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位

6.  设是等比数列，则“”是“为递增数列”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

7.  展开式中的系数是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知函数，若方程的实根在区间，上，则的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型如图，正方体的棱长为，用一个底面直径为的圆柱面去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个牟合方盖如图已知这个牟合方盖与正方体外接球的体积之比为，则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知数列满足，数列满足，其中，则数列的前项和为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

11.  函数的定义域为______．

12.  已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为       

13.  函数的最小正周期为______ ，若函数在区间上单调递增，则的最大值为______ ．

14.  已知函数的图象上有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围是______．

15.  由无理数论引发的数字危机一直延续到世纪，直到年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续多年的数学史上的第一次大危机，所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是______ ．
没有最大元素，有一个最小元素；没有最大元素，也没有最小元素；有一个最大元素，有一个最小元素；有一个最大元素，没有最小元素．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
在中，角，，的对边分别为，，已知，．
求证：；
若，求的面积．

17.  本小题分
如图，在三棱柱中，平面，，为线段上一点，平面交棱于点．
求证：；
若直线与平面所成角为，再从条件和条件这两个条件中选择一个作为已知，求点到平面的距离．
条件：；
条件：．
注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分．

18.  本小题分
世界人工智能大会拟定于七月初在我国召开，我国在人工智能芯片、医疗、自动驾驶等方面都取得了很多成就为普及人工智能相关知识，红星中学组织学生参加“人工智能”知识竞赛，竞赛分为理论知识竞赛、实践能力竞赛两个部分，两部分的成绩分为三档，分别为基础、中等、优异现从参加活动的学生中随机选择位，统计其两部分成绩，成绩统计人数如表：

若从这位参加竞赛的学生中随机抽取一位，抽到理论或实践至少一项成绩为优异的学生概率为求，的值；
在的前提下，用样本估计总体，从全市理论成绩为优异的学生中，随机抽取人，求至少有一个人实践能力的成绩为优异的概率；
若基础、中等和优异对应得分为分、分和分，要使参赛学生理论成绩的方差最小，写出的值直接写出答案
 

19.  本小题分
已知椭圆的左焦点为，且．
求椭圆的方程；
斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，设点，直线，分别与椭圆交于不同的点，，若，和点共线，求的值．

20.  本小题分
已知函数．
当时，求曲线在处的切线方程；
设，讨论函数的单调性；
若对任意的，，当时，恒成立，求实数的取值范围．

21.  本小题分
正整数集合，且，，中所有元素和为，集合．
若，请直接写出集合；
若集合中有且只有两个元素，求证“，，，，为等差数列”的充分必要条件是“集合中有个元素”；
若，求的最小值，以及当取最小值时，最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由，得，则，
所以．
故选：．
解一元二次不等式化简，根据交集的概念可求出结果．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
所以．
故选：．
根据复数的除法运算和共轭复数的概念可求出结果．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：向量，，
则，
又因为，
所以，即与的夹角等于．
故选：．
根据平面向量夹角的坐标运算公式可求出结果．
本题主要考查平面向量的夹角公式，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据圆的标准公式可知圆的圆心为，直径为，
因为，所以直线过圆的圆心，将圆心坐标代入直线方程，
得，解得．
故选：．
根据题意可知直线过圆心，将圆心坐标代入直线方程即可．
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：函数向左平移个单位后得到．
故选：．
利用三角函数平移的性质及诱导公式即可．
本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：当时，由，得，则不为递增数列，
当为递增数列时，，若，则，
所以“”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件．
故选：．
根据数列单调性以及既不充分也不必要条件的定义可得答案．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，考查了数列的函数特征，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由知展开式中含项情况为：
，
，
所以展开式中的系数是：．
故选：．
分两种情况计算：第一个多项式含，后一个含；第一个多项式含，后一个含，把两种情况的系数相加即可．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：当时，，当时，解得；
当时，，其中，，
当时，解得，综上的最大值是．
故选：．
根据的取值范围不同，分别解出根即可得出答案．
本题主要考查分段函数的应用，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：棱长为的正方体的外接球的直径，
半径，
牟合方盖的体积为，
正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为．
故选：．
先求出正方体的外接球的体积，再根据体积比得牟合方盖的体积，再用正方体的体积减去牟合方盖的体积即可得解．
本题考查几何体的体积的求解，属基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：因为，所以，，
，，，，
所以，
所以，，，，
，
所以数列的前项和为．
故选：．
由的规律，从而得到的规律，则数列四项之和为，即可求解．
本题主要考查数量递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，解得：，
故函数的定义域是，
故答案为：．
根据对数函数的定义以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．
本题考查了求函数的定义域问题，考查常见函数的性质，是一道基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：已知双曲线的离心率为，
则，
即，
即，
即，
即该双曲线的渐近线方程为，
故答案为：．
由已知可得，即，然后求解即可．
本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线的渐近线方程的求法，属基础题．
 

13.【答案】  

【解析】解：函数的最小正周期，
由，，得，，
所以的单调递增区间为，，
若函数在区间上单调递增，则，，
则，则，即的最大值为．
故答案为：；．
根据正弦函数的周期公式和单调递增区间可求出结果．
本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
根据点关于轴对称的定义得出关于的方程有两个实数解，利用参变量分离法得出方程有两解，
转化为直线与函数有两个交点，利用导数研究函数单调性与极值，并作出该函数的图象，
从而得出的取值范围．本题考查分段函数的应用，考查对新定义的理解，灵活选择参变量分离法是解本题的关键，属于中等题．

【解答】
解：设点在射线上，则该点关于轴的对称点在函数的图象上，所以，，
问题转化为关于的方程有两个实数根，由，得，其中，构造函数，其中，
所以，直线与函数的图象有两个交点，且，令，可得．
当时，；当时，．
所以，函数在处取得极大值．
结合图象可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，
因此，实数的取值范围是
故答案为：
 

15.【答案】 

【解析】解：若，，
则没有最大元素，有一个最小元素，故可能成立；
若，；
则没有最大元素，也没有最小元素，
故可能成立；
若，；
有一个最大元素，没有最小元素，
故可能成立；
有一个最大元素，有一个最小元素不可能，
因为这样就有一个有理数不存在和两个集合中，与和的并集是所有的有理数矛盾，
故不可能成立．
故答案为：．
由题意依次举例对四个命题判断，从而确定答案．
本题考查新定义的理解和运用，考查列举法和推理能力，对每个选项举出反例说明是关键，属于基础题．
 

16.【答案】证明：由，
由正弦定理可得．
．
整理得，即，
由于，从而，．
解：，因此，，
由，，得，，
所以三角形的面积． 

【解析】根据正弦定理将原式进行边化角，再展开计算化简即可；
由可知、角相差，由此求出、角，再根据正弦定理求出，两边，再根据三角形面积公式即可求出面积．
本题考查解三角形问题，属中档题．
 

17.【答案】解：证明：由题意可知，
因为三棱柱，平面，
所以侧面为矩形，
，
面，平面，
平面，
又平面平面，且平面，
；
若选择条件，
平面，平面，平面，
，，
又，
，，两两垂直；
若选择条件，
平面，平面，平面，
，，
又，，
，
，
，
，，两两垂直；
以下条件和条件的计算过程相同，
因为，，两两垂直，
所以如图建立空间直角坐直角坐标系．

可得，，，，，．
则，．
设，
则．
设为平面的法向量，
则，则可取．
则，．
解得，则．
因为，
所以点到平面的距离为． 

【解析】先证明平面，再由线面平行的性质定理证明即可；
由和均可得，，两两垂直，由此建立空间直角坐标系，利用坐标法计算点到平面的距离即可．
本题考查线面平行的判定及其性质，考查利用空间向量求解点到平面的距离，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
 

18.【答案】解：由题意，理论或操作至少一项成绩为优异的学生共有人，
则，得，
又，得；
由Ⅰ知，从位理论成绩为优异的学生中抽取人，实践成绩也为优异的概率为，
所以从全市理论成绩为优异的学生中，随机抽取人，至少有一个人操作的成绩为优异的概率为；
由题意，，
设理论成绩为，，则取值为，
对应的人数分别为，所以参赛学生理论竞赛的平均成绩为
，
所以参赛学生理论成绩的方差为

，
因为，所以当时，方差最小． 

【解析】根据题意将至少一项成绩优异的同学全部相加再与总数相比即可得到所求值；
利用间接法先求出抽取中一个实践能力的成绩为优异的人都没有的概率，继而求出答案；
根据表格数据对称性可知方差最小时，由此可得出答案．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了期望和方差的计算，属于中档题．
 

19.【答案】解：依题意，，解得，
所以椭圆的方程为．
设，，，，
则，，

又，则直线斜率，直线的方程为，
由消去得，，
有，即，
则，即，
又，，
有，
，即有，
同理得点，
于是，，
因为，，三点共线，
即，
即，化简整理得，
则，
所以． 

【解析】根据给定条件，求出，作答．
设出点，的坐标，求出直线，的方程，与椭圆的方程联立，求出点，的坐标，再借助向量共线的坐标表示求解作答．
本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：当时，，则，
当时，，切点坐标为，
又，切线斜率为，
曲线在处切线方程为：．
，，
，，
，，
当时，成立，
的单调递减区间为，无单调递增区间．
当时，令，
所以当时，，在上单调递减
时，，在上单调递增
综上：时，的单调递减区间为，无单调递增区间；
时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
，，，
令，，
由已知可得：
且，
的单调区间是，
，，
时，恒成立，
，，
令，，即证，
成立，
的单调递减区间为，
，恒成立，
综上：的取值范围是． 

【解析】将代入函数中，对函数求导，求出切线斜率，利用点斜式即可；
先对原函数求导，然后利用分类讨论的思想进行分析求解即可；
构造函数，将问题转化，然后利用函数导数的单调性求解即可．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：；
证明：若，，，，为等差数列，
不妨设 ，，且，，，，，，，
，
，
，
中有个元素，
“，，，，为等差数列”是“集合中有个元素”充分条件；
若集合中有个元素，则至少有如下有个元素，
，
又有如下个元素，
，
，
，
“，，，，为等差数列”是“集合中有个元素”必要条件；
综上，“，，，，为等差数列”是“集合中有个元素”充要条件．
由题意，，，，，，
，，，，，
，
又，
，
，且此时，最小值为． 

【解析】根据题意，直接写出集合；
根据题意，由等差数列的定义，分别验证充分性以及必要性，即可得到证明；
根据题意，由条件可得，即可得到结果．
本题考查数列的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题．