第08讲 公式法因式分解（核心考点讲与练）-【暑假衔接】六升七数学讲与练（沪教版）

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第08讲 公式法因式分解（核心考点讲与练）
【知识梳理】
1、平方差公式：
①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；
②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；
③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积．
2、完全平方公式：
①左边相当于一个二次三项式；
②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；
③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；
④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定．
【核心考点精讲】
一．因式分解-运用公式法（共8小题）
1．（2021秋•岚皋县期末）分解因式：（a﹣2b）2﹣（3a﹣2b）2．
【分析】先逆用平方差公式，再运用提公因式法进行因式分解．
【解答】解：（a﹣2b）2﹣（3a﹣2b）2
＝（a﹣2b+3a﹣2b）（a﹣2b﹣3a+2b）
＝（4a﹣4b）•（﹣2a）
＝﹣8a（a﹣b）．
【点评】本题主要考查运用公式法、提公因式法进行因式分解，熟练掌握公式法、提公因式法是解决本题的关键．
2．（2021秋•浦东新区校级期中）因式分解：81a4﹣16．
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝（9a2）2﹣42
＝（9a2+4）（9a2﹣4）
＝（9a2+4）（3a+2）（3a﹣2）．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
3．（2021秋•金山区期中）分解因式：9x2﹣（x﹣2y）2．
【分析】利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：9x2﹣（x﹣2y）2，
＝（3x+x﹣2y）（3x﹣x+2y），
＝4（2x﹣y）（x+y）．
【点评】此题考查了公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
4．（2021秋•徐汇区校级月考）（x+3）2﹣（x﹣5）2．
【分析】根据运用公式法、提公因式法进行因式分解．
【解答】解：（x+3）2﹣（x﹣5）2
＝（x+3+x﹣5）（x+3﹣x+5）
＝（2x﹣2）×8
＝16（x﹣1）．
【点评】本题主要考查运用公式法、提公因式法进行因式分解，熟练掌握运用公式法、提公因式法是解决本题的关键．
5．（2021秋•金山区期中）分解因式：x4﹣18x2+81．
【分析】直接利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：x4﹣18x2+81
＝（x2﹣9）2
＝（x﹣3）2（x+3）2．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．
6．（2021秋•浦东新区期中）分解因式：（x2+y2）2﹣4x2y2．
【分析】直接利用平方差公式以及完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（x2+y2）2﹣4x2y2
＝（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy）
＝（x+y）2（x﹣y）2．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
7．（2021秋•松江区期中）因式分解：﹣x4+16．
【分析】逆用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：﹣x4+16
＝﹣（x4﹣16）
＝﹣（x2+4）（x2﹣4）
＝﹣（x2+4）（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题主要考查运用公式法进行因式分解，熟练掌握公式法是解决本题的关键．
8．（2021秋•黄浦区期中）分解因式：（4a+b）2﹣4（a+b）2．
【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：（4a+b）2﹣4（a+b）2
＝（4a+b）2﹣（2a+2b）2
＝（4a+b+2a+2b）（4a+b﹣2a﹣2b）
＝（6a+3b）（2a﹣b）
＝3（2a+b）（2a﹣b）．
【点评】本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项．当要分解的因式没有公因式且只有两项时要首先考虑运用平方差公式将其分解．
二．提公因式法与公式法的综合运用（共4小题）
9．（2021秋•长宁区校级期中）分解因式：4x2y﹣y．
【分析】直接提取公因式y，进而利用公式法分解因式得出答案．
【解答】解：4x2y﹣y
＝y（4x2﹣1）
＝y（2x+1）（2x﹣1）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
10．（2021秋•长宁区校级期中）分解因式：3x3﹣18x2+27x．
【分析】直接提取公因式3x，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：3x3﹣18x2+27x
＝3x（x2﹣6x+9）
＝3x（x﹣3）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
11．（2020秋•浦东新区期末）分解因式：2x3+12x2y+18xy2．
【分析】提公因式2x，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】解：2x3+12x2y+18xy2
＝2x（x2+6xy+9y2）
＝2x（x+3y）2．
【点评】本题考查因式分解的方法，掌握提公因式法、公式法是正确解答的关键．
12．（2020秋•浦东新区月考）因式分解：2a2b﹣12ab+18b．
【分析】首先提公因式2b，再利用完全平方公式进行分解即可．
【解答】解：原式＝2b（a2﹣6a+9）＝2b（a﹣3）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
【过关检测】
一．选择题（共1小题）
1．（2021秋•杨浦区期中）若4x4﹣（y﹣z）2分解因式时有一个因式是2x2+y﹣z，则另一个因式是（ ）
A．2x2﹣y+zB．2x2﹣y﹣zC．2x2+y﹣zD．2x2+y+z
【分析】可运用平方差公式对所给代数式进行因式分解得到所求的另一个因式．
【解答】解：4x4﹣（y﹣z）2＝（2x2）2﹣（y﹣z）2＝（2x2+y﹣z）（2x2﹣y+z），
故选：A．
【点评】本题考查了公式法分解因式，是平方差的形式，所以考虑利用平方差公式分解因式．
二．填空题（共3小题）
2．（2021秋•浦东新区校级期中）因式分解：81x4﹣1＝ （9x2+1）（3x+1）（3x﹣1） ．
【分析】根据平方差公式分解因式即可．
【解答】解：原式＝（9x2+1）（9x2﹣1）
＝（9x2+1）（3x+1）（3x﹣1），
故答案为：（9x2+1）（3x+1）（3x﹣1）．
【点评】本题考查了因式分解，掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是解题的关键．
3．（2021春•浦东新区校级月考）分解因式：3x2y2+xy﹣1＝ 3（xy﹣）（xy+） ．
【分析】先求出方程3x2y2+xy﹣1＝0的解，再分解因式即可．
【解答】解：解方程3x2y2+xy﹣1＝0得：xy＝＝，
即（xy）1＝，（xy）2＝＝﹣，
所以3x2y2+xy﹣1＝3（xy﹣）（xy+），
故答案为：3（xy﹣）（xy+）．
【点评】本题考查了在实数范围内分解因式，能求出方程3x2y2+xy﹣1＝0的解是解此题的关键，注意：如果方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是x1，x2，那么ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
4．（2021秋•宝山区校级月考） ＝（x+ ）2．
【分析】原式利用完全平方公式化简即可得到结果．
【解答】解：x2+x+＝（x+）2．
故答案为：；．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
三．解答题（共9小题）
5．（2021秋•浦东新区期末）分解因式：﹣3x3﹣3xy2﹣6x2y．
【分析】先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可．
【解答】解：﹣3x3﹣3xy2﹣6x2y
＝﹣3x（x2+y2+2xy）
＝﹣3x（x+y）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
6．（2020秋•普陀区期末）分解因式：a2m4﹣13a2m2﹣48a2．
【分析】先提公因式，然后再利用十字相乘法，最后利用平方差公式继续分解即可．
【解答】解：a2m4﹣13a2m2﹣48a2
＝a2（m4﹣13m2﹣48）
＝a2（m2﹣16）（m2+3）
＝a2（m+4）（m﹣4）（m2+3）．
【点评】本题考查提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意把每一个多项式分解到不能再分解为止．
7．（2021秋•浦东新区校级期中）因式分解：m3（m﹣1）﹣4m（1﹣m）2．
【分析】原式变形后，提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝m（m﹣1）[m2﹣4（m﹣1）]
＝m（m﹣1）（m2﹣4m+4）
＝m（m﹣1）（m﹣2）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
8．（2021秋•杨浦区期中）分解因式：2ax4﹣16ax2+32a．
【分析】原式提取公因式2a，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝2a（x4﹣8x2+16）
＝2a（x2﹣4）2
＝2a（x+2）2（x﹣2）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
9．（2021秋•浦东新区校级期中）因式分解：﹣ax2+4ax﹣6a．
【分析】先提公因式，再用完全平方公式因式分解即可．
【解答】解：原式＝﹣a（x2﹣6x+9）
＝﹣a（x﹣3）2．
【点评】本题考查了提公因式法和公式法，掌握a2±2ab+b2＝（a±b）2是解题的关键．
10．（2021秋•金山区期中）分解因式：﹣a5b+16ab．
【分析】直接提取公因式ab，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝ab（16﹣a4）
＝ab（4+a2）（4﹣a2）
＝ab（4+a2）（2+a）（2﹣a）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
11．（2021秋•徐汇区校级月考）分解因式：x3﹣16x．
【分析】先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：x3﹣16x
＝x（x2﹣16）
＝x（x+4）（x﹣4）．
【点评】本题主要考查提公因式法、公式法进行因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法是解决本题的关键．
12．（2021秋•徐汇区校级月考）分解因式：m2（a+b）﹣16（a+b）．
【分析】先提公因式，再逆用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：m2（a+b）﹣16（a+b）
＝（a+b）（m2﹣16）
＝（a+b）（m+4）（m﹣4）．
【点评】本题主要考查提公因式法、公式法进行因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法是解决本题的关键．
13．（2021秋•徐汇区校级月考）分解因式：﹣6m3n+4mn2﹣2mn．
【分析】运用提公因式法进行因式分解．
【解答】解：﹣6m3n+4mn2﹣2mn＝﹣2mn（3m2﹣2n+1）．
【点评】本题主要考查提公因式法进行因式分解，熟练掌握提公因式法是解决本题的关键．
14.（黄浦2017期末28）多项式的乘法公式中，除了平方差公式、完全平方公式之外，还有立方和公式与立方差公式如下：立方和公式：；立方差公式：.
如果把公式逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式.
根据以上材料，请完成下列问题：
（1）因式分解：＝ ；
（2）因式分解：＝ ；
（3）已知：，求的值.
【答案】（1）；
（2）； （3）322.
【解析】（1）；
（2）；
（3）因为，所以；；
所以.
15.（浦东2017期末21）把多项式分解因式得，求a、b的值.
【答案】.
【解析】依题：，，所以
，所以.
16.（2019青教院附中10月考28）阅读理解：
已知x3-8有一个因式x-2，我们可以用如下方法对x3-8进行因式分解。
解：设x3-8=(x-2)(x2+ax+b)
因为 (x-2)(x2+ax+b)=x3+(a-2)x2+(b-2a)x-2b
所以 a-2=0，且b-2a=0，且-2b=-8
所以 a=2，且b=4
所以 x3-8=(x-2)(x2+2x+4)
这种分解因式的方法叫做待定系数法。
（1）已知x3+27有一个因式x+3，用待定系数法分解：x3+27.
（2）观察上述因式分解，直接写出答案：
因式分解：= ；
= .
【答案】（1）；（2）；
【解析】解：（1）根据题意，设，则
，故，解得，所以；
（2）；.
17.（西延安2019期中24）已知,. 利用因式分解法求的值；（2）求的值
【答案】（1）2 （2）34，8；
【解析】（1）, , , 所以;（2），所以，因为 ，所以所以 .