_2022年辽宁铁岭中考数学真题及答案

2022年辽宁铁岭中考数学真题及答案

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．﹣3的绝对值是（　　）

A．3 B．﹣3 C． D．

选：A．

2．如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，这个几何体的主视图是（　　）

A． B． 

C． D．

选：B．

3．下列运算正确的是（　　）

A．2a2•3a＝6a3 B．（2a）3＝2a3 

C．a6÷a2＝a3 D．3a2+2a3＝5a5

选：A．

4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

选：C．

5．下列事件中，是必然事件的是（　　）

A．射击运动员射击一次，命中靶心 

B．掷一次骰子，向上一面的点数是6 

C．任意买一张电影票，座位号是2的倍数 

D．从一个只装有红球的盒子里摸出一个球是红球

选：D．

6．如图，直线m∥n，AC⊥BC于点C，∠1＝30°，则∠2的度数为（　　）

A．140° B．130° C．120° D．110°

选：C．

7．下面是九年一班23名女同学每分钟仰卧起坐的测试情况统计表：

则该班女同学每分钟仰卧起坐个数的中位数是（　　）

A．35个 B．38个 C．42个 D．45个

选：C．

8．小明和小强两人在公路上匀速骑行，小强骑行28km所用时间与小明骑行24km所用时间相等，已知小强每小时比小明多骑行2km，小强每小时骑行多少千米？设小强每小时骑行xkm，所列方程正确的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝

选：D．

9．如图，OG平分∠MON，点A，B是射线OM，ON上的点，连接AB．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交OG于点P．若∠ABN＝140°，∠MON＝50°，则∠OPB的度数为（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°

选：B．

10．如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（　　）

A． 

B． 

C． 

D．

选：A．

二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）

11．某新闻媒体发布“王亚平成为中国首位出舱的女航天员”，据不完全统计，总播放量超过29600000次，将数据29600000用科学记数法表示为 　2.96×107．　．

答案为：2.96×107．

12．分解因式：3x2y﹣3y＝　3y（x+1）（x﹣1）　．

答案为：3y（x+1）（x﹣1）．

13．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　k＞2　．

答案为：k＞2．

14．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中阴影区域的概率是 　　．

答案为：．

15．如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D为OB的中点，▱OCDE的顶点C在x轴上，顶点E在直线AB上，则▱OCDE的面积为 　2　．

答案为：2．

16．如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，BC的平行线，交BC于点E，交AC于点F．若∠ACB＝60°，CD＝4，则四边形CEDF的周长是 　16　．

答案为：16．

17．如图，矩形OABC的顶点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A在x轴的正半轴上，AB＝3BC，点D在x轴的负半轴上，AD＝AB，连接BD，过点A作AE∥BD交y交于点E，点F在AE上，连接FD，FB．若△BDF的面积为9，则k的值是 　6　．

答案为：6．

18．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是OD的中点，连接CE并延长交AD于点G，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到CF，连接EF，点H为EF的中点．连接OH，则的值为 　　．

答案为：．

三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）

19．（10分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝6．

解：（﹣）÷

＝（）÷

＝

＝，

当x＝6时，

原式＝

＝3．

20．（12分）学校开展“阳光体育”运动，根据实际情况，决定开设篮球、健美操、跳绳、键球四个运动项目，为了解学生最喜爱哪一个运动项目，学校从不同年级随机抽取部分学生进行调查，每人必须选择且只能选择一个项目，并将调查结果绘制成如下两幅统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）本次调查的学生共有 　50　人；

（2）在扇形统计图中，求健美操项目所对应的扇形圆心角的度数；并把条形统计图补充完整；

（3）在最喜爱健美操项目的学生中，八年一班和八年二班各有2名同学有健美操基础，学校准备从这4人中随机抽取2人作为健美操领操员，请用列表或画树状图的方法求选中的2名同学恰好是同一个班级的概率．

【解答】解：（1）20÷40%＝50（人），

故答案为：50；

（2）健美操项目所对应的扇形圆心角的度数：360°×＝108°，

喜欢“跳绳”的学生人数为：50﹣20﹣15﹣10＝5（人），

补全条形统计图如下：

（3）用列表法表示所有可能出现的结果如下：

共有12种可能出现的结果，其中2人来自同一班级的有4种，

所以，从一班2人，二班2人中任取2人，来自同一班级的概率为＝，

答：选中的2名同学恰好是同一个班级的概率为．

四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）

21．（12分）多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食，深受消费者的喜爱，在新品上市促销活动中，已知8台A型早餐机和3台B型早餐机需要1000元，6台A型早餐机和1台B型早餐机需要600元．

（1）每台A型早餐机和每台B型早餐机的价格分别是多少元？

（2）某商家欲购进A，B两种型号早餐机共20台，但总费用不超过2200元，那么至少要购进A型早餐机多少台？

【解答】解：（1）设A型早餐机每台x元，B型早餐机每台y元，依题意得：

，

解得：，

答：每台A型早餐机80元，每台B型早餐机120元；

（2）设购进A型早餐机n台，依题意得：

80n+120（20﹣n）≤2200，

解得：n≥5，

答：至少要购进A型早餐机5台．

22．（12分）数学活动小组欲测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，DC⊥AM于点E，在A处测得大树底端C的仰角为15°，沿水平地面前进30米到达B处，测得大树顶端D的仰角为53°，测得山坡坡角∠CBM＝30°（图中各点均在同一平面内）．

（1）求斜坡BC的长；

（2）求这棵大树CD的高度（结果取整数），

（参考数据：sin30°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.73）

【解答】解：（1）由题意得：

∠CAE＝15°，AB＝30米，

∵∠CBE是△ABC的一个外角，

∴∠ACB＝∠CBE﹣∠CAE＝15°，

∴∠ACB＝∠CAE＝15°，

∴AB＝BC＝30米，

∴斜坡BC的长为30米；

（2）在Rt△CBE中，∠CBE＝30°，BC＝30米，

∴CE＝BC＝15（米），

BE＝CE＝15（米），

在Rt△DEB中，∠DBE＝53°，

∴DE＝BE•tan53°≈15×＝20（米），

∴DC＝DE﹣CE＝20﹣15≈20（米），

∴这棵大树CD的高度约为20米．

五、解答题（满分12分）

23．（12分）某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表：

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？

【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），

由表中数据得：，

解得：，

∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣3x+126；

（2）设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为w元，

由题意得：w＝（x﹣18）y＝（x﹣18）（﹣3x+126）＝﹣3x2+180x﹣2268＝﹣3（x﹣30）2+432，

∵市场监督部门规定其售价每千克不高于28元，

∴18≤x≤28，

∵﹣3＜0，

∴当x＜30时，w随x的增大而增大，

∴当x＝28时，w最大，最大值为420，

∴当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420元．

六、解答题（满分12分）

24．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF．

（1）求证：BF与⊙O相切；

（2）若AP＝OP，cosA＝，AP＝4，求BF的长．

【解答】（1）证明：连接OB，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ABC＝90°，

∴∠ABD＝180°﹣∠ABC＝90°，

∵点F为DE的中点，

∴BF＝EF＝AD，

∴∠FEB＝∠FBE，

∵∠AEP＝∠FEB，

∴∠FBE＝∠AEP，

∵PD⊥AC，

∴∠EPA＝90°，

∴∠A+∠AEP＝90°，

∵OA＝OB，

∴∠A＝∠OBA，

∴∠OBA+∠FBE＝90°，

∴∠OBF＝90°，

∵OB是⊙O的半径，

∴BF与⊙O相切；

（2）解：在Rt△AEP中，cosA＝，AP＝4，

∴AE＝＝＝5，

∴PE＝＝＝3，

∵AP＝OP＝4，

∴OA＝OC＝2AP＝8，

∴PC＝OP+OC＝12，

∵∠A+∠AEP＝90°，∠A+∠C＝90°，

∴∠AEP＝∠C，

∵∠APE＝∠DPC＝90°，

∴△APE∽△DPC，

∴＝，

∴＝，

∴DP＝16，

∴DE＝DP﹣PE＝16﹣3＝13，

∴BF＝DE＝，

∴BF的长为．

七、解答题（满分12分）

25．（12分）在▱ABCD中，∠C＝45°，AD＝BD，点P为射线CD上的动点（点P不与点D重合），连接AP，过点P作EP⊥AP交直线BD于点E．

（1）如图①，当点P为线段CD的中点时，请直接写出PA，PE的数量关系；

（2）如图②，当点P在线段CD上时，求证：DA+DP＝DE；

（3）点P在射线CD上运动，若AD＝3，AP＝5，请直接写出线段BE的长．

【解答】（1）解：连接BD，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝CB，

∵AD＝BD，

∴∠BDC＝∠C＝45°，

∴△BDC是等腰直角三角形，

∵点P为CD的中点，

∴DP＝BP，∠CPB＝45°，

∴∠ADP＝∠PBE＝135°，

∵PA⊥PE，

∴∠APE＝∠DPB＝90°，

∴∠APD＝∠BPE，

∴△ADP≌△EBP（ASA），

∴PA＝PE；

（2）证明：如图，过点P作PF⊥CD交DE于点F，

∵PF⊥CD，EP⊥AP，

∴∠DPF＝∠APE＝90°，

∴∠DPA＝∠FPE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠C＝∠DAB＝45°，AB∥CD，

又∵AD＝BD，

∴∠DAB＝∠DBA＝∠C＝∠CDB＝45°，

∴∠ADB＝∠DBC＝90°，

∴∠PFD＝45°，

∴∠PFD＝∠PDF，

∴PD＝PF，

∴∠PDA＝∠PFE＝135°，

∴△ADP≌△EFP（ASA），

∴AD＝EF，

在Rt△FDP中，∠PDF＝45°，

∵cos∠PDF＝，

∴DF＝，

∵DE＝DF+EF，

∴DA+DP＝DE；

（3）解：当点P在线段CD上时，如图②，作AG⊥CD，交CD延长线于G，

则△ADG是等腰直角三角形，

∴AG＝DG＝3，

∴GP＝4，

∴PD＝1，

由（2）得，DA+DP＝DE；

∴3+＝DE，

∴DE＝4，

∴BE＝DE﹣BD＝4﹣3＝，

当点P在CD的延长线上时，作AG⊥CD，交CD延长线于G，

同理可得△ADP≌△EFP（AAS），

∴AD＝EF，

∵PD＝AG+DG＝4+3＝7，

∴DF＝PD＝7，

∴BE＝BD+DF﹣EF＝DF＝7，

综上：BE的长为或7．

八、解答题（满分14分）

26．（14分）抛物线y＝ax2﹣2x+c经过点A（3，0），点C（0，﹣3），直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线于点E．抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC于点F．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，点P为直线AC下方抛物线上的点，连接PA，PC，△BAF的面积记为S1，△PAC的面积记为S2，当S2＝S1时．求点P的横坐标；

（3）如图②，连接CD，点Q为平面内直线AE下方的点，以点Q，A，E为顶点的三角形与△CDF相似时（AE与CD不是对应边），请直接写出符合条件的点Q的坐标．

【解答】解：（1）将A（3，0），点C（0，﹣3）代入y＝ax2﹣2x+c，

∴，

解得，

∴y＝x2﹣2x﹣3；

（2）将A（3，0）代入y＝﹣x+b中，

∴b＝3，

∴y＝﹣x+3，

设直线AC的解析式为y＝kx+b'，

∴，

解得，

∴y＝x﹣3，

∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴B（1，2），D（1，0），F（1，﹣2），

过点P作x轴垂线交AC于点M，交x轴于点N，

设P（m，m2﹣2m﹣3），则N（m，m﹣3），

∴PM＝﹣m2+3m，

∴S2＝×OA×PM＝m2+m，

S1＝×BF×AD＝4，

∵S2＝S1，

∴m2+m＝，

解得m＝或m＝，

∴P点的横坐标为或；

（3）∵C（0，﹣3），D（1，0），F（1，﹣2），

∴CD＝，CF＝，DF＝2，

∵E（﹣2，5），A（3，0），

∴AE＝5，

设Q（x，y），

①当△CDF∽△QAE时，＝＝，

∴＝＝，

∴AQ＝5，EQ＝5，

∴，

解得或（舍），

∴Q（﹣7，5）；

②当△CDF∽△AQE时，＝＝，

∴＝＝，

∴AQ＝5，QE＝10，

∴，

解得（舍）或，

∴Q（﹣12，5）；

③当△CDF∽△EQA时，＝＝，

∴＝＝，

∴EQ＝5，AQ＝10，

∴，

解得或（舍），

∴Q（3，﹣10）；

④当△CDF∽△QEA时，＝＝，

∴＝＝，

∴EQ＝5，AQ＝5，

∴，

解得或（舍），

∴Q（3，﹣5）；

综上所述：Q点坐标为（﹣7，5）或（﹣12，5）或（3，﹣10）或（3，﹣5）．