2021年辽宁省铁岭市中考数学真题及答案

这是一份2021年辽宁省铁岭市中考数学真题及答案，共32页。试卷主要包含了解答总分值12分，解答题〔总分值12分〕，解答题〔总分值14分〕等内容，欢迎下载使用。

1．以下各数中，比﹣1大的数是〔 〕
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．0
2．如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是〔 〕
A．B．C．D．
3．如图，直线a∥b，∠1＝50°，∠2的度数为〔 〕
A．100°B．120°C．130°D．150°
4．以下运算正确的选项是〔 〕
A．x5+x5＝x10B．〔x3y2〕2＝x5y4
C．x6÷x2＝x3D．x2•x3＝x5
5．某校为加强学生出行的平安意识，学校每月都要对学生进行平安知识测评，随机选取15名学生在五月份的测评成绩如表：
那么这组数据的中位数和众数分别为〔 〕
A．95，95B．95，96C．96，96D．96，97
6．某校举行学生会成员的竞选活动，对竞选者从民主测评和演讲两个方面进行考核，两项成绩均按百分制计，规定民主测评的成绩占40%，演讲的成绩占60%，小新同学的民主测评和演讲的成绩分别为80分和90分，那么他的最终成绩是〔 〕
A．83分B．84分C．85分D．86分
7．如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P〔m，2〕，那么关于x的方程kx+b＝2的解是〔 〕
A．x＝B．x＝1C．x＝2D．x＝4
8．如图，在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点E，连接OC，BD．假设∠ABD＝20°，∠AED＝80°，那么∠COB的度数为〔 〕
A．80°B．100°C．120°D．140°
9．自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯．某公司为员工购置甲、乙两种型号的水杯，用720元购置甲种水杯的数量和用540元购置乙种水杯的数量相同，甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多15元．设甲种水杯的单价为x元，那么列出方程正确的选项是〔 〕
A．B．
C．D．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E是CD的中点，射线AE与BC的延长线相交于点F，点M从A出发，沿A→B→F的路线匀速运动到点F停止．过点M作MN⊥AF于点N．设AN的长为x，△AMN的面积为S，那么能大致反映S与x之间函数关系的图象是〔 〕
A．B．
C．D．
二、填空题〔此题共8个小题，每题3分，共24分〕
11．在迎来中国共产党成立一百周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下98990000农村贫困人口全部脱贫，将数据98990000用科学记数法表示为 ．
12．27的立方根为 ．
13．在平面直角坐标系中，点M〔﹣2，4〕关于原点对称的点的坐标是 ．
14．在一个不透明袋子中，装有3个红球，5个白球和一些黄球，这些球除颜色外无其他差异，从袋中随机摸出一个球是白球的概率为，那么袋中黄球的个数为 ．
15．如图，△ABC中，∠B＝30°，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交BC于点D，分别以点A，D为圆心，大于AD的长为半径画弧两弧相交于点E，作射线CE，交AB于点F，FH⊥AC于点H．假设FH＝，那么BF的长为 ．
16．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕EF与AC相交于点O，连接BO．假设AB＝4，CF＝5，那么OB的长为 ．
17．如图，△AOB中，AO＝AB，OB在x轴上C，D分别为AB，OB的中点，连接CD，E为CD上任意一点，连接AE，OE，反比例函数y＝〔x＞0〕的图象经过点A．假设△AOE的面积为2，那么k的值是 ．
18．如图，在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠EDC＝60°，AC＝2cm，DC＝1cm．那么以下四个结论：①△ACD∽△BCE；②AD⊥BE；③∠CBE+∠DAE＝45°；④在△CDE绕点C旋转过程中，△ABD面积的最大值为〔2+2〕cm2.其中正确的选项是 .〔填写所有正确结论的序号〕
三、解答题〔第19题10分，第20题12分，共22分〕
19先化简，再求值：，其中m＝．
20某校以“我最喜爱的书籍〞为主题，对全校学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从“科普〞、“绘画〞、“诗歌〞、“散文〞四类书籍中选择最喜欢的一类，学校的调查结果如图：
图中信息解答以下问题
〔1〕本次被调查的学生有 人；
〔2〕根据统计图中“散文〞类所对应的圆心角的度数为 ，请补充条形统计图．
〔3〕最喜爱“科普〞类的4名学生中有1名女生，3名男生，现从4名学生中随机抽取两人参加学校举办的科普知识宣传活动，请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰好都是男生的概率．
四、解答题〔第21题12分，第22题12分，共24分〕
21某市公交公司为落实“绿色出行，低碳环保〞的城市开展理念，方案购置A，B两种型号的新型公交车，购置1辆A型公交车和2辆B型公交车需要165万元，2辆A型公交车和3辆B型公交车需要270万元．
〔1〕求A型公交车和B型公交车每辆各多少万元？
〔2〕公交公司方案购置A型公交车和B型公交车共140辆，且购置A型公交车的总费用不高于B型公交车的总费用，那么该公司最多购置多少辆A型公交车？
22某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东30°，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．
〔1〕求景点B和C处之间的距离；〔结果保存根号〕
〔2〕当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？〔结果保存整数．参考数据：≈1.414，≈1.732〕
五、解答总分值12分
23某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的本钱价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量y〔个}与销售单价x〔元〕之间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销量为240个．
〔1〕求遮阳伞每天的销出量y〔个〕与销售单价x〔元〕之间的函数关系式；
〔2〕设遮阳伞每填的销售利润为w〔元〕，当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售润最大？最大利润是多少元？
六、解答题〔总分值12分〕
24如图，在⊙O中，∠AOB＝120°，＝，连接AC，BC，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，DA与BO的延长线相交于点E，DO与AC相交于点F．
〔1〕求证：DE是⊙O的切线；
〔2〕假设⊙O的半径为2，求线段DF的长．
七、解答题〔总分值12分〕
25如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，点E在直线BC上〔点E不与点B，C重合〕，连接DE，过点D作DF⊥DE交直线AC于点F，连接EF．
〔1〕如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段EF与BE的数量关系；
〔2〕如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段AF，EF，BE之间的数量关系，并说明理由；
〔3〕假设AC＝5，BC＝3，EC＝1，请直接写出线段AF的长．
八、解答题〔总分值14分〕
26直线y＝﹣x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A，B，与x轴的另一个交点为C．
〔1〕求抛物线的解析式；
〔2〕如图1，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交AB于点E，DF⊥AB于点F，FG⊥x轴于点G．当DE＝FG时，求点D的坐标；
〔3〕如图2，在〔2〕的条件下，直线CD与AB相交于点M，点H在抛物线上，过H作HK∥y轴，交直线CD于点K．P是平面内一点，当以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点P的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题〔共10小题〕
1．以下各数中，比﹣1大的数是〔 〕
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．0
【分析】有理数大小比拟的法那么：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵﹣3＜﹣1，﹣2＜﹣1，﹣1＝﹣1，0＞﹣1，
∴所给的各数中，比﹣1大的数是0．
应选：D．
2．如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是〔 〕
A．B．C．D．
【分析】左视图是从物体的左边观察得到的图形，结合选项进行判断即可．
【解答】解：从左边看，有两列，从左到右第一列是两个正方形，第二列底层是一个正方形．
应选：A．
3．如图，直线a∥b，∠1＝50°，∠2的度数为〔 〕
A．100°B．120°C．130°D．150°
【分析】根据“直线a∥b，∠1＝50°〞得到∠3的度数，再根据∠2+∠3＝180°即可得到∠2的度数．
【解答】解：∵a∥b，∠1＝50°，
∴∠3＝∠1＝50°，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝130°，
应选：C．
4．以下运算正确的选项是〔 〕
A．x5+x5＝x10B．〔x3y2〕2＝x5y4
C．x6÷x2＝x3D．x2•x3＝x5
【分析】根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法法那么进行计算，从而作出判断．
【解答】解：A、x5+x5＝2x5，故此选项不符合题意；
B、〔x3y2〕2＝x6y4，故此选项不符合题意；
C、x6÷x2＝x4，故此选项不符合题意；
D、x2•x3＝x5，正确，故此选项符合题意；
应选：D．
5．某校为加强学生出行的平安意识，学校每月都要对学生进行平安知识测评，随机选取15名学生在五月份的测评成绩如表：
那么这组数据的中位数和众数分别为〔 〕
A．95，95B．95，96C．96，96D．96，97
【分析】根据中位数、众数的意义分别求出中位数、众数即可．
【解答】解：将这15名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的一个数，即第8个数是96，因此中位数是96，
这15名学生成绩出现次数最多的是96，共出现4次，因此众数是96，
应选：C．
6．某校举行学生会成员的竞选活动，对竞选者从民主测评和演讲两个方面进行考核，两项成绩均按百分制计，规定民主测评的成绩占40%，演讲的成绩占60%，小新同学的民主测评和演讲的成绩分别为80分和90分，那么他的最终成绩是〔 〕
A．83分B．84分C．85分D．86分
【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可．
【解答】解：他的最终成绩为80×40%+90×60%＝86〔分〕，
应选：D．
7．如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P〔m，2〕，那么关于x的方程kx+b＝2的解是〔 〕
A．x＝B．x＝1C．x＝2D．x＝4
【分析】首先利用函数解析式y＝2x求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程kx+b＝2的解可得答案．
【解答】解：∵线y＝2x与y＝kx+b相交于点P〔m，2〕，
∴2＝2m，
∴m＝1，
∴P〔1，2〕，
∴当x＝1时，y＝kx+b＝2，
∴关于x的方程kx+b＝2的解是x＝1，
应选：B．
8．如图，在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点E，连接OC，BD．假设∠ABD＝20°，∠AED＝80°，那么∠COB的度数为〔 〕
A．80°B．100°C．120°D．140°
【分析】根据三角形的外角性质求出∠D，根据圆周角定理得出∠D＝COB，求出∠COB＝2∠D，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵∠ABD＝20°，∠AED＝80°，
∴∠D＝∠AED﹣∠ABD＝80°﹣20°＝60°，
∴∠COB＝2∠D＝120°，
应选：C．
9．自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯．某公司为员工购置甲、乙两种型号的水杯，用720元购置甲种水杯的数量和用540元购置乙种水杯的数量相同，甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多15元．设甲种水杯的单价为x元，那么列出方程正确的选项是〔 〕
A．B．
C．D．
【分析】设甲种水杯的单价为x元，那么乙种水杯的单价为〔x﹣15〕元，利用数量＝总价÷单价，结合用720元购置甲种水杯的数量和用540元购置乙种水杯的数量相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设甲种水杯的单价为x元，那么乙种水杯的单价为〔x﹣15〕元，
依题意得：＝．
应选：A．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E是CD的中点，射线AE与BC的延长线相交于点F，点M从A出发，沿A→B→F的路线匀速运动到点F停止．过点M作MN⊥AF于点N．设AN的长为x，△AMN的面积为S，那么能大致反映S与x之间函数关系的图象是〔 〕
A．B．
C．D．
【分析】先证明△ADE≌△FCE得到，BF＝8，由勾股定理求出AF＝10．当点M在AB上时，根据三角函数求出NM＝，
从而得到△AMN的面积S＝＝；当点M在BF上时，先利用三角函数求出MN，再求出此时S关于x的函数关系式，即可得到答案．
【解答】解：如图，∵E是CD的中点，
∴CE＝DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠DCF＝90°，AD＝BC＝4，
在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE〔SAS〕，
∴CF＝AD＝4，
∴BF＝CF+BC＝8，
∴AF＝，
当点M在AB上时，
在Rt△AMN和Rt△AFB中，
tan∠NAM＝，
∴NM＝，
∴△AMN的面积S＝＝，
∴当点M在AB上时，函数图象是开口向上、经过原点的抛物线的一局部；
当点M在BF上时，如图，
AN＝x，NF＝10﹣x，
在Rt△FMN和Rt△FBA中，
tan∠F＝，
∴＝﹣，
∴△AMN的面积S＝
＝﹣，
∴当点M在BF上时，函数图象是开口向下的抛物线的一局部；
应选：B．
二．填空题〔共8小题〕
11．在迎来中国共产党成立一百周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下98990000农村贫困人口全部脱贫，将数据98990000用科学记数法表示为 ×107 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
×107，
×107．
12．27的立方根为 3 ．
【分析】找到立方等于27的数即可．
【解答】解：∵33＝27，
∴27的立方根是3，
故答案为：3．
13．在平面直角坐标系中，点M〔﹣2，4〕关于原点对称的点的坐标是 〔2，﹣4〕 ．
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
【解答】解：点〔﹣2，4〕关于原点对称的点的坐标为〔2，﹣4〕．
故答案为：〔2，﹣4〕．
14．在一个不透明袋子中，装有3个红球，5个白球和一些黄球，这些球除颜色外无其他差异，从袋中随机摸出一个球是白球的概率为，那么袋中黄球的个数为 7 ．
【分析】设有黄球x个，根据概率公式得：＝，解得x的值即可．
【解答】解：设有黄球x个，
根据题意得：＝，
解得：x＝7，
经检验x＝7是原方程的解，
故答案为：7．
15．如图，△ABC中，∠B＝30°，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交BC于点D，分别以点A，D为圆心，大于AD的长为半径画弧两弧相交于点E，作射线CE，交AB于点F，FH⊥AC于点H．假设FH＝，那么BF的长为 2 ．
【分析】过F作FG⊥BC于G，由作图知，CF是∠ACB的角平分线，根据角平分线的性质得到FG＝FH＝，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：过F作FG⊥BC于G，
由作图知，CF是∠ACB的角平分线，
∵FH⊥AC于点H．FH＝，
∴FG＝FH＝，
∵∠FGB＝90°，∠B＝30°．
∴BF＝2FG＝2，
故答案为：2．
16．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕EF与AC相交于点O，连接BO．假设AB＝4，CF＝5，那么OB的长为 2 ．
【分析】连接AF，过O作OH⊥BC于H，由将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕EF与AC相交于点O，可得AF＝CF＝5，BF＝＝3，BC＝BF+CF＝8，根据折叠可知OH是△ABC的中位线，故BH＝BC＝4，OH＝AB＝2，在Rt△BOH中，用勾股定理即得OB＝2．
【解答】解：连接AF，过O作OH⊥BC于H，如图：
∵将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕EF与AC相交于点O，
∴AF＝CF＝5，
在Rt△ABF中，BF＝＝＝3，
∴BC＝BF+CF＝8，
∵OA＝OC，OH⊥BC，AB⊥BC，
∴O为AC中点，OH∥AB，
∴OH是△ABC的中位线，
∴BH＝CH＝BC＝4，OH＝AB＝2，
在Rt△BOH中，OB＝＝＝2，
故答案为：2．
17．如图，△AOB中，AO＝AB，OB在x轴上C，D分别为AB，OB的中点，连接CD，E为CD上任意一点，连接AE，OE，反比例函数y＝〔x＞0〕的图象经过点A．假设△AOE的面积为2，那么k的值是 4 ．
【分析】根据等腰△AOB，中位线CD得出AD⊥OB，S△AOE＝S△AOD＝2，应用|k|的几何意义求k．
【解答】解：
如图：连接AD，
△AOB中，AO＝AB，OB在x轴上，C、D分别为AB，OB的中点，
∴AD⊥OB，AO∥CD，
∴S△AOE＝S△AOD＝2，
∴k＝4．
故答案为：4．
18．如图，在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠EDC＝60°，AC＝2cm，DC＝1cm．那么以下四个结论：①△ACD∽△BCE；②AD⊥BE；③∠CBE+∠DAE＝45°；④在△CDE绕点C旋转过程中，△ABD面积的最大值为〔2+2〕cm2.其中正确的选项是 ①②④ .〔填写所有正确结论的序号〕
【分析】先证明△ACD∽△BCE，再用对应角∠EBC＝∠DAC，即可判断①②③，再由D到直线AB的最大距离为CH+CD＝〔+1〕cm，即可求得△ABD面积的最大值为＝〔2+2〕cm2，故可判断④．
【解答】解：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，
∴∠BCE＝∠ACD，
∵∠BAC＝∠EDC＝60°，AC＝2cm，DC＝1cm，
∴tan∠BAC＝＝，tan∠BAC＝＝，
∴BC＝2cm，CE＝cm，
∴＝＝2，
∴△ACD∽△BCE，故①正确；
∵△ACD∽△BCE，
∴∠EBC＝∠DAC，
如图，记BE与AD、AC分别交于F、G，
∵∠AGF＝∠BGC，
∴∠BCG＝∠BFA＝90°，
∴AD⊥BE，故②正确；
∵∠EBC＝∠DAC，
∴∠CBE+∠DAE＝∠DAC+∠DAE＝∠CAE不一定等于45°，故③错误；
如图，过点C作CH⊥AB于H，
∵∠ABC＝30°，
∴CH＝BC＝cm，
∴D到直线AB的最大距离为CH+CD＝〔+1〕cm，
∴△ABD面积的最大值为＝〔2+2〕cm2，故④正确．
故答案为：①②④．
三、解答题〔第19题10分，第20题12分，共22分〕
19先化简，再求值：，其中m＝．
【考点】分式的化简求值；负整数指数幂．
【专题】分式；运算能力．
【答案】，．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将m的值代入化简后的式子即可解答此题．
【解答】解：
＝•
＝
＝
＝，
当m＝＝4时，原式＝＝．
20某校以“我最喜爱的书籍〞为主题，对全校学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从“科普〞、“绘画〞、“诗歌〞、“散文〞四类书籍中选择最喜欢的一类，学校的调查结果如图：
图中信息解答以下问题
〔1〕本次被调查的学生有 人；
〔2〕根据统计图中“散文〞类所对应的圆心角的度数为 ，请补充条形统计图．
〔3〕最喜爱“科普〞类的4名学生中有1名女生，3名男生，现从4名学生中随机抽取两人参加学校举办的科普知识宣传活动，请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰好都是男生的概率．
【考点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】〔1〕50；
〔2〕72°；
〔3〕．
【分析】〔1〕用最喜欢“诗歌〞类的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
〔2〕用360°乘以“散文〞类的人数所占的百分比得到“散文〞类所对应的圆心角的度数，然后计算最喜欢“绘画〞类的人数后补全条形统计图；
〔3〕通过树状图展示所有12种等可能的结果，找出所选的两人恰好都是男生的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：〔1〕20÷40%＝50〔人〕，
所以本次被调查的学生有50人；
故答案为50；
〔2〕“散文〞类所对应的圆心角的度数为360°×＝72°；
最喜欢“绘画〞类的人数为50﹣4﹣20﹣10＝16〔人〕，
条形统计图补充为：
故答案为72°；
〔3〕画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中所选的两人恰好都是男生的结果数为6，
所以所选的两人恰好都是男生的概率＝＝．
四、解答题〔第21题12分，第22题12分，共24分〕
21某市公交公司为落实“绿色出行，低碳环保〞的城市开展理念，方案购置A，B两种型号的新型公交车，购置1辆A型公交车和2辆B型公交车需要165万元，2辆A型公交车和3辆B型公交车需要270万元．
〔1〕求A型公交车和B型公交车每辆各多少万元？
〔2〕公交公司方案购置A型公交车和B型公交车共140辆，且购置A型公交车的总费用不高于B型公交车的总费用，那么该公司最多购置多少辆A型公交车？
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】一次方程〔组〕及应用；一元一次不等式(组)及应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】〔1〕A型公交车每辆45万元，B型公交车每辆60万元；
〔2〕该公司最多购置80辆A型公交车．
【分析】〔1〕设A型公交车每辆x万元，B型公交车每辆y万元，由题意：购置1辆A型公交车和2辆B型公交车需要165万元，2辆A型公交车和3辆B型公交车需要270万元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
〔2〕设该公司购置m辆A型公交车，那么购置〔140﹣m〕辆B型公交车，由题意：购置A型公交车的总费用不高于B型公交车的总费用，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：〔1〕设A型公交车每辆x万元，B型公交车每辆y万元，
由题意得：，
解得：，
答：A型公交车每辆45万元，B型公交车每辆60万元；
〔2〕设该公司购置m辆A型公交车，那么购置〔140﹣m〕辆B型公交车，
由题意得：45m≤60〔140﹣m〕，
解得：m≤80，
答：该公司最多购置80辆A型公交车．
22某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东30°，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．
〔1〕求景点B和C处之间的距离；〔结果保存根号〕
〔2〕当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？〔结果保存整数．参考数据：≈1.414，≈1.732〕
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；模型思想．
【答案】〔1〕300m；
〔2〕204m．
【分析】〔1〕通过作辅助线，构造直角三角形，在Rt△ACD中，可求出CD、AD，根据外角的性质可求出∠B的度数，在Rt△BCD中求出BC即可；
〔2〕计算AC+BC和AB的长，计算可得答案．
【解答】解：〔1〕过点C作CD⊥AB于点D，
由题意得，∠A＝30°，∠BCE＝75°，AC＝600m，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝600，
∴CD＝AC＝300〔m〕，
AD＝AC＝300〔m〕，
∵∠BCE＝75°＝∠A+∠B，
∴∠B＝75°﹣∠A＝45°，
∴CD＝BD＝300〔m〕，
BC＝CD＝300〔m〕，
答：景点B和C处之间的距离为300m；
〔2〕由题意得．
AC+BC＝600+300≈1024〔m〕，
AB＝AD+BD＝300+300≈820〔m〕，
1024﹣820＝204〔m〕，
答：大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走约204m．
五、解答总分值12分
23某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的本钱价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量y〔个}与销售单价x〔元〕之间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销量为240个．
〔1〕求遮阳伞每天的销出量y〔个〕与销售单价x〔元〕之间的函数关系式；
〔2〕设遮阳伞每填的销售利润为w〔元〕，当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售润最大？最大利润是多少元？
【考点】二次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；二次函数的应用；应用意识．
【答案】〔1〕y＝﹣10x+540；
〔2〕当销售单价定为37元时，才能使每天的销售润最大，最大利润是2890元．
【分析】〔1〕设函数关系式为y＝kx+b，由当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销量为240个．可列方程组，即可求解；
〔2〕由每天销售利润＝每个遮阳伞的利润×销售量，列出函数关系式，由二次函数的性质可求解．
【解答】解：〔1〕设函数关系式为y＝kx+b，
由题意可得：，
解得：，
∴函数关系式为y＝﹣10x+540；
〔2〕由题意可得：w＝〔x﹣20〕y＝〔x﹣20〕〔﹣10x+540〕＝﹣10〔x﹣37〕2+2890，
∵﹣10＜0，
∴当x＝37时，w有最大值为2890，
答：当销售单价定为37元时，才能使每天的销售润最大，最大利润是2890元．
六、解答题〔总分值12分〕
24如图，在⊙O中，∠AOB＝120°，＝，连接AC，BC，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，DA与BO的延长线相交于点E，DO与AC相交于点F．
〔1〕求证：DE是⊙O的切线；
〔2〕假设⊙O的半径为2，求线段DF的长．
【考点】切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；模型思想．
【答案】〔1〕详见解答；
〔2〕．
【分析】〔1〕由＝，可得AC＝BC，进而可证出△OAC≌△OBC，从而得出四边形OACB是菱形，由OA∥BD，AD⊥BD，可得出OA⊥DE，得出DE是切线；
〔2〕根据特殊锐角的三角函数值，可求出CD、AD，进而在Rt△AOD中，由勾股定理求出OD，再根据△CFD∽△AFO，可得＝＝，进而得到DF＝OD即可．
【解答】解：〔1〕如图，连接OC，
∵＝，
∴AC＝BC，
又∵OA＝OB，OC＝OC，
∴△OAC≌△OBC〔SSS〕，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，
∴△AOC、△BOC是等边三角形，
∴OA＝AC＝CB＝OB，
∴四边形OACB是菱形，
∴OA∥BD，
又∵AD⊥BD，
∴OA⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
〔2〕由〔1〕得AC＝OA＝2，∠OAC＝60°，∠DAC＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△ACD中，∠DAC＝30°，AC＝2，
∴DC＝AC＝1，AD＝AC＝，
在Rt△AOD中，由勾股定理得，
OD＝＝＝，
∵OA∥BD，
∴△CFD∽△AFO，
∴＝，
又∵＝sin30°＝，AC＝OA＝2，
∴＝，
∴＝，
即DF＝OD＝．
七、解答题〔总分值12分〕
25如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，点E在直线BC上〔点E不与点B，C重合〕，连接DE，过点D作DF⊥DE交直线AC于点F，连接EF．
〔1〕如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段EF与BE的数量关系；
〔2〕如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段AF，EF，BE之间的数量关系，并说明理由；
〔3〕假设AC＝5，BC＝3，EC＝1，请直接写出线段AF的长．
【考点】三角形综合题．
【专题】作图题；推理能力．
【答案】〔1〕EF＝EB．
〔2〕结论：AF2+BE2＝EF2，证明见解析局部．
〔3〕AF的长为或1．
【分析】〔1〕结论：EF＝BE．利用线段的垂直平分线的性质证明即可．
〔2〕结论：AF2+BE2＝EF2如图2中，过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ．证明△AJD≌△BED〔AAS〕，推出AJ＝BE，DJ＝DE，再证明FJ＝EF，可得结论．
〔3〕分两种情形：如图3﹣1中，当点E在线段BC上时，如图3﹣2中，当点E在线段BC的延长线上时，设AF＝x，那么CF＝5﹣x．构建方程求解即可．
【解答】解：〔1〕结论：EF＝BE．
理由：如图1中，
∵AD＝DB，DE⊥AB，
∴EF＝EB．
〔2〕结论：AF2+BE2＝EF2．
理由：如图2中，过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ．
∵AJ⊥AC，EC⊥AC，
∴AJ∥BE，
∴∠AJD＝∠DEB，
在△AJD和△BED中，
，
∵△AJD≌△BED〔AAS〕，
∴AJ＝BE，DJ＝DE，
∵DF⊥EJ，
∴FJ＝EF，
∵∠FAJ＝90°，
∴AF2+AJ2＝FJ2，
∴AF2+BE2＝EF2．
〔3〕如图3﹣1中，当点E在线段BC上时，设AF＝x，那么CF＝5﹣x．
∵BC＝3，CE＝1，
∴BE＝2，
∵EF2＝AF2+BE＝CF2+CE2，
∴x2+22＝〔5﹣x〕2+12，
∴x＝，
∴AF＝．
如图3﹣2中，当点E在线段BC的延长线上时，设AF＝x，那么CF＝5﹣x．
∵BC＝3，CE＝1，
∴BE＝4，
∵EF2＝AF2+BE＝CF2+CE2，
∴x2+42＝〔5﹣x〕2+12，
∴x＝1，
∴AF＝1，
综上所述，满足条件的AF的长为或1．
八、解答题〔总分值14分〕
26直线y＝﹣x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A，B，与x轴的另一个交点为C．
〔1〕求抛物线的解析式；
〔2〕如图1，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交AB于点E，DF⊥AB于点F，FG⊥x轴于点G．当DE＝FG时，求点D的坐标；
〔3〕如图2，在〔2〕的条件下，直线CD与AB相交于点M，点H在抛物线上，过H作HK∥y轴，交直线CD于点K．P是平面内一点，当以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】〔1〕y＝﹣x2+2x+3；〔2〕〔2，3〕；〔5，2〕或〔﹣1，2〕或〔1，2+〕或〔1，2﹣〕．
【分析】〔1〕令x＝0，求点B〔0，3〕，令y＝0，求点A〔3，0〕，将点A、点B代入抛物线y＝ax2+2x+c即可求解；
〔2〕设D〔m，﹣m2+2m+3〕，由DE∥y轴交AB于点E，那么E〔m，﹣m+3〕，再由OA＝OB，可知∠OAB＝45°，那么有AG＝FG＝DE＝AG，连接GE，延长DE交x轴于点T，可证四边形FGED是平行四边形，△AEG为等腰直角三角形，可求AT＝ET＝GT＝3﹣m，AG＝FG＝6﹣2m，OG＝2m﹣3，求出FG＝﹣2m+6，DT＝﹣3m+9，得到﹣m2+2m+3＝﹣3m+9，即可求D〔2，3〕；
〔3〕先求出C〔﹣1，0〕，直线CD的解析式为y＝x+1，联立x+1＝﹣x+3，求出M〔1，2〕，分两种情况讨论：①当MH⊥MK时，H点在AB上，K点在CD上，可确定H〔3，0〕或H〔0，3〕，当H〔3，0〕时，K〔3，4〕，P〔5，2〕；当H〔0，3〕时，K〔0，1〕，P〔﹣1，2〕；②当MH⊥HK时，此时MH⊥y轴，H〔1+，2〕或H〔1﹣，2〕，当H〔1+，2〕时，P〔1，2+〕；当H〔1﹣，2〕时，P〔1，2﹣〕．
【解答】解：〔1〕令x＝0，那么y＝3，
∴B〔0，3〕，
令y＝0，那么x＝3，
∴A〔3，0〕，
∵抛物线y＝ax2+2x+c经过点A，B，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
〔2〕设D〔m，﹣m2+2m+3〕，
∵DE∥y轴交AB于点E，
∴E〔m，﹣m+3〕，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝45°，
∴AG＝FG，
∵DE＝FG，
∴DE＝AG，
连接GE，延长DE交x轴于点T，
∴四边形FGED是平行四边形，
∵DF⊥AB，
∴EG⊥AB，
∴△AEG为等腰直角三角形，
∴AT＝ET＝GT＝3﹣m，
∴AG＝FG＝6﹣2m，
∴OG＝3﹣〔6﹣2m〕＝2m﹣3，
∴F点横坐标为2m﹣3，
∴FG＝﹣2m+6，
∴DT＝﹣2m+6+3﹣m＝﹣3m+9，
∴﹣m2+2m+3＝﹣3m+9，
解得m＝2或m＝3〔舍〕，
∴D〔2，3〕；
〔3〕令y＝0，那么﹣x2+2x+3＝0，
解得x＝3或x＝﹣1，
∴C〔﹣1，0〕，
设CD的解析式为y＝kx+b，将C〔﹣1，0〕、D〔2，3〕代入，
∴，
∴，
∴y＝x+1，
∴∠ACM＝45°，
∴CM⊥AM，
联立x+1＝﹣x+3，
解得x＝1，
∴M〔1，2〕，
∵以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形，
①当MH⊥MK时，H点在AB上，K点在CD上，
∵H点在抛物线上，
∴H〔3，0〕或H〔0，3〕，
当H〔3，0〕时，MH＝2，
∴KH＝4，
∴K〔3，4〕
∴HK的中点为〔3，2〕，那么MP的中点也为〔3，2〕，
∴P〔5，2〕；
当H〔0，3〕时，MH＝，
∴KH＝2，
∴K〔0，1〕，
∴HK的中点为〔0，2〕，那么MP的中点也为〔0，2〕，
∴P〔﹣1，2〕；
②当MH⊥HK时，此时MH⊥y轴，
∴H〔1+，2〕或H〔1﹣，2〕，
当H〔1+，2〕时，MH＝，
∴P〔1，2+〕；
当H〔1﹣，2〕时，MH＝，
∴P〔1，2﹣〕；
综上所述：当以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形时，P点坐标为〔5，2〕或〔﹣1，2〕或〔1，2+〕或〔1，2﹣〕．
成绩〔分〕
90
91
95
96
97
99
人数〔人〕
2
3
2
4
3
1
成绩〔分〕
90
91
95
96
97
99
人数〔人〕
2
3
2
4
3
1