2022-2023学年广东省深圳市龙岗区百合外国语学校九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省深圳市龙岗区百合外国语学校九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列说法中，正确的是(    )

A. 与互为倒数 B. 与互为相反数 C. 的相反数是 D. 的绝对值是

2.  贴窗花是我国春节喜庆活动的一个重要内容，它起源于西汉时期，历史悠久，风格独特，深受国内外人土的喜爱下列窗花作品为轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  百合绽放是百合外国语学校在年校庆之际，融入全校教职工和学生智慧于一体而编写的，该书凸显了百外建校以来的“和合而生”的教育理念和收括了许多的教育案例，该书第一次印刷就出版了册将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  费尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每四年评选一次，主要授子年轻的数学家下面数据是部分获奖者获奖时的年龄单位：岁：，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

6.  一个布袋中放着个黑球和个红球，除了颜色以外没有任何其他区别．则从布袋中任取个球，取出黑球的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图所示，直线，直线分别交，于点，，点在直线上，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在中，，且，根据图中的尺规作图痕迹，计算(    )

A.
B.
C.
D.

9.  已知二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示，则以下结论错误的是(    )

A.
B.
C.
D. 关于的方程无实数根

10.  如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：；若，则；若点为的中点，则；其中一定正确的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  分解因式：______．

12.  如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，过点作，垂足为若，，，则的长为______ ．

13.  若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______ ．

14.  如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边轴于点，直角顶点在轴上，双曲线经过边的中点，若，则          ．
 

15.  如图，在矩形中，点是的中点，点是线段上动点，点在线段上不与点重合，且，点在边上，，，，当时，则 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
解不等式组：．

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
深圳百合外国语学校建校多年来，形成了“优良的校园文化，厚重的人文底蕴”，为深入了解我校的校园文化，九年级班某学习小组开展以“课间分钟，您如何度过？”为主题的调查活动在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查每名学生必选且只能选取一项活动类别，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢打羽毛球的学生人数占所调查人数的请你根据图中提供的信息解答下列问题：
在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
请通过计算补全条形统计图；
若百合外国语学校共有名学生，请你估计我校最喜欢听课间音乐的学生共有多少名．

19.  本小题分
深圳市南山区不仅是一座美丽的海滨之城，更是一个充满了青春与活力的科技之城、创新之城，连续年蝉联全国“百强区”第一名该区的无人机制造商“大疆创新科技”更是享誉全球该公司旗下无人机配件销售部现有和两种配件，它们的进价和售价如表用元可购进产品件和产品件利润售价进价
求种配件进价的值．
若该配件销售部购进种配件和种配件共件，据市场销售分析，种配件进货件数不低于种配件件数的倍如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？

20.  本小题分
已知，如图所示，为的直径，点是上一点，点是外一点，，连接交于点．
求证：是的切线．
若，，，求的值．

21.  本小题分
几何原本是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式：下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号

公式：
公式：
公式：
公式：
图对应公式______，图对应公式______，图对应公式______，图对应公式______；
几何原本中记载了一种利用几何图形证明平方差公式的方法，如图，请写出证明过程；已知图中各四边形均为矩形
如图，在等腰直角三角形中，，为的中点，为边上任意一点不与端点重合，过点作于点，作于点，过点作交的延长线于点记与的面积之和为，与的面积之和为．
若为边的中点，则的值为______；
若不为边的中点时，试问中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．
 

22.  本小题分
阅读材料：小百合特别喜欢探究数学问题，一天万老师给她这样一个几何问题：
如图，和都是等边三角形，将绕着点旋转，求证：．
【探究发现】小百合很快就通过≌，论证了，于是她想，把等边和等边都换成等腰直角三角形，如图，将绕着点旋转，其中那么和有什么数量关系呢？请写出你的结论，并给出证明．
【拓展迁移】如果把等腰直角三角形换成正方形，如图，将正方形绕点旋转，若，，在旋转过程中，当，，三点共线时，请直接写出的长度．
【拓展延伸】小百合继续探究，做了如下变式：如图，矩形≌矩形，且具有公共顶点，将矩形固定，另一个矩形绕着点顺时针旋转，连接、，直线交于点，在旋转的过程中，试证明为的中点．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、与互为倒数，不符合题意；
B、与互为相反数，不符合题意；
C、的相反数是，符合题意；
D、的绝对值是，不符合题意．
故选：．
根据倒数、相反数以及绝对值的计算法则解答．
本题主要考查了相反数，倒数的定义以及绝对值，属于基础题，熟记概念即可进行判断．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项B、、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故A选项不符合题意；
B、，故B选项不符合题意；
C、，故C选项不符合题意；
D、，故D选项符合题意；
故选：．
A、根据同底数幂的除法公式计算，即可判断；、非同类项，不能合并；、根据去括号法则计算，即可判断；、根据积的乘方进行计算，即可判断．
本题主要考查整式化简，掌握相关运算法则是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：出现了次，出现的次数最多，
这组数据的众数是；
把这些数从小到大排列为，，，，，，
中位数是；
故选：．
根据中位数和众数的定义求解可得．
本题主要考查众数和中位数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

6.【答案】 

【解析】解：一个布袋中放着个黑球和个红球，
从布袋中任取个球，取出黑球的概率是，
故选：．
根据题意，可知存在种可能性，其中抽到黑球的有种可能性，从而可以求出从布袋中任取个球，取出黑球的概率．
本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图所示，
直线，
，
，
，
又，
，
．
故选：．
首先利用平行线的性质得到，然后利用得到，最后利用角的和差关系求解．
本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确平行线的性质，求出的度数．
 

8.【答案】 

【解析】解：
由作图得：垂直平分，平分，
，
，
，
，
，，
，
故选：．
由作图得：垂直平分，平分，根据角平分线和线段垂直平分线的性质求解．
本题考查了基本作图，掌握角平分线和线段垂直平分线的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
对称轴为直线，
，
抛物线与轴交于正半轴，
，
，
故A、C正确，不合题意；
抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点在和之间，
抛物线与轴的另一个交点在和之间，
时，，
即，
故B错误，符合题意；
抛物线开口向下，顶点为，
函数有最大值，
抛物线与直线无交点，
一元二次方程无实数根，
故D正确，不合题意．
故选：．
根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与轴的交点可以对、进行判断；根据时，，可对进行判断；根据抛物线与直线无交点，可对进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次是图象上点的坐标特征，二次函数的性质，抛物线与轴的交点，能够把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：是的内心，
平分，
，
故正确；
如图，连接，，

是的内心，
，，
，
，
，
故正确；

，
，
，
点为的中点，
一定在上，
，
故正确；
如图，连接，
平分，
，
，
，
，
，
故正确，
一定正确的，共个，
故选：．
利用三角形内心的性质得到，则可对进行判断；直接利用三角形内心的性质对进行判断；根据垂径定理则可对进行判断；通过证明得到，则可对进行判断．
本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，掌握三角形的内心与外心是解决本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，

．
应先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解．
本题考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，分解因式要彻底，直到不能再分解为止．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，且，，
，
，
，
故答案为：．
利用平行四边形的面积公式即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，利用平行四边形的面积公式求垂线段的长是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，即，
解得．
故答案为：．
根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，

等腰直角三角形的斜边轴于点，
，
，
，，
是的中点，
，
．
故答案为：．
如图，过点作于，根据直角三角形斜边中线的性质可得，得点和的坐标，根据中点坐标公式可得点的坐标，从而得结论．
本题考查的是反比例函数的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：过点作，交于，交于，

设，，则，，
，
∽，
，即，
，
，
，
，
，
，即，
，
同理得：，
，即，
，
，即，
，
，
，
解得：舍，，
．
故答案为：．
过点作，交于，交于，设，，则，，根据相似三角形的性质得到，根据三角函数的定义得到，同理得到，推出，解方程即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

16.【答案】解：解不等式，得，
解不等式，得，
故原不等式组的解集为． 

【解析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．
 

17.【答案】解：原式

，
当时，
原式
． 

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

18.【答案】解：从条形图知：喜欢打羽毛球的学生有人．
喜欢打羽毛球的学生人数占所调查人数的，
在这次调查中一共学生：名．
喜欢校园散步的学生人数为：名．
名．
答：喜欢听课间音乐的学生有名． 

【解析】先从条形图中确定喜欢打羽毛球的学生数，利用“调查人数喜欢打羽毛球人数喜欢打羽毛球人数占调查人数的百分比”得结论；
先算出喜欢散步的学生人数，再补全条形图；
利用“该校喜欢某项人数该校人数调查中喜欢某项人数的比”得结论．
本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
 

19.【答案】解：依题意得：，
解得：．
答：的值为；
设购进种配件件，则购进种配件件，
依题意得：，
解得：．
设两种配件全部售出后获得的总利润为元，
则．
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值，
此时．
答：当购进种配件件，种配件件时，才能使本次销售获得的利润最大，最大利润是元． 

【解析】利用总价单价数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值；
设购进种配件件，则购进种配件件，根据种配件进货件数不低于种配件件数的倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设两种商品全部售出后获得的总利润为元，利用总利润每件的销售利润销售数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

20.【答案】证明：连接，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
解：过点作于点．
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】连接，证明即可；
过点作于点，解直角三角形即可得到结论．
本题考查切线的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：，，，；
证明：由图可知，矩形和矩形都是正方形，
，，
，
，
，
，
，
；
；
不为边的中点时，中的结论仍成立，证明如下：
证明：设，，
由已知可得，，，均是等腰直角三角形，四边形是矩形，
，，，，
，
，
． 

【解析】

【分析】
观察图形可得图对应公式，图对应公式，图对应公式，图对应公式；
由图可得，即可得，从而有，故；
设，可得，由是的中点，得，，，即得；
设，，可得，，，，，，从而．
【解答】
解：观察图形可得：
图对应公式，图对应公式，图对应公式，图对应公式．
故答案为：，，，；
证明：由图可知，矩形和矩形都是正方形，
，，
，
，
，
，
，
；
设，
由已知可得，，，均是等腰直角三角形，四边形是矩形，
，
是的中点，
，
，，
，
，
．
故答案为：；
不为边的中点时，中的结论仍成立，证明如下：
证明：设，，
由已知可得，，，均是等腰直角三角形，四边形是矩形，
，，，，
，
，
．
【点评】
本题考查平方差公式、完全平方公式的推导及应用，矩形及正方形的性质，解题的关键是数形结合思想的应用．  

22.【答案】阅读材料：
证明：和分别是等边三角形，
，，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
．
解：，都是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
∽，
，
；
解：如图：

由知∽，
，
，
四边形是正方形，
，
，
四边形是正方形，
，，
，，三点共线．
，
，
；
如图：

由知∽，
，
，
四边形是正方形，
，，
四边形是正方形，
，，
，，三点共线．
，
，
，
．
综上，当，，三点共线时，的长度为或；
证明：延长，交于点，与交于点，过点作，则，

设，
四边形为矩形，
，，
，
矩形≌矩形，
，
，
，
，
，
又，，
≌，
，，
又，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
即为的中点． 

【解析】阅读材料：证明≌，由全等三角形的性质得出；
证明∽，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；
分两种情况画出图形，证明∽，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得出答案；
延长，交于点，与交于点，过点作，则，设，证明≌，由全等三角形的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出．
本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．