2022-2023学年四川省成都市蓉城名校联盟高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年四川省成都市蓉城名校联盟高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知为虚数单位，复数，则的虚部是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知利用斜二测画法绘制某三棱柱的直观图如图所示，则该三棱柱的体积为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  已知，，，，则在方向上的投影向量为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知，是单位向量，，则与的夹角为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在三棱锥中，，，为锐角，侧棱，一只小虫从点出发，沿侧面绕棱锥爬行一周后回到点，则小虫爬行的最短距离为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知点是的内心，，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  如图，已知圆锥母线长，底面半径，则下列结论中正确的有(    )

A. 圆锥的表面积为
B. 圆锥侧面展开图的圆心角为
C. 圆锥的体积为
D. 圆锥的轴截面是锐角三角形

10.  已知函数，则下列结论中正确的有(    )

A. 函数解析式化简后为：
B. 的对称轴为
C. 的对称中心为
D. 的单调递增区间为

11.  在中，角，，所对的边分别为，，，下列命题中正确的有(    )

A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则有两组解
D. 若，则是钝角三角形

12.  如图，四边形是边长为的正方形，，分别是，边上的动点，下列命题中正确的有(    )

A. 若的周长为，则的正切值等于
B. 若的面积为，则正切值的最小值为
C. 若的周长为，则的最小值为
D. 若的面积为，则的最大值为
 

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知，，，若，则 ______ ．

14.  已知棱台两底面的面积分别为和，截得这个棱台的棱锥的高为，则这个棱台的体积为______ ．

15.  已知是所在平面内一点，，则与的面积比 ______ ．

16.  已知是平面内一组基底，，，则与所成角的最大值为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
设复数，为虚数单位，且满足．
求复数；
复数是关于的方程的一个根，求实数，的值．

18.  本小题分
如图，圆柱内接于球，已知球的半径，设圆柱的底面半径为．
以为变量，表示圆柱的表面积和体积；
当为何值时，该球内接圆柱的侧面积最大，最大值是多少？

19.  本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式；
若，求的取值范围．

20.  本小题分
在中，交于点，设．
用，表示；
若，，，夹角为，求．

21.  本小题分
某海岸的哨所在凌晨点分发现哨所北偏东方向处的点出现可疑船只，因天气恶劣能见度低，无法对船只进行识别，所以将该船雷达特征信号进行标记并上报周围哨所早上点分位于哨所正西方向的哨所发现了该可疑船只位于哨所北偏西方向处的点，并识别出其为走私船，立刻命令位于哨所正西方向处点的我方缉私船前往拦截，已知缉私船速度大小为假设所有船只均保持匀速直线航行
求走私船的速度大小；
缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船，并求出截获走私船的具体时间．

22.  本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
求角；
求的最小值；

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，则的虚部是．
故选：．
利用虚部的定义求解即可．
本题考查了复数基本概念的理解与应用，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据题意，，，
若，则，则有，
解可得：，
故选：．
根据题意，分析可得，可得关于的方程，解可得答案．
本题考查数乘向量的坐标计算，涉及向量的坐标，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：利用斜二测画法绘制某三棱柱的直观图如图所示，
据图判断，三棱柱为底面是直角三角形的直棱柱，底面直角三角形的两条直角边分别为，，三棱柱高为，
．
故选：．
据图判断，三棱柱为底面是直角三角形的直棱柱，利用棱柱的体积公式即可求解．
本题考查了由直观图求三棱柱的体积，属于中档题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
在方向上的投影向量为：．
故选：．
可求出向量的坐标，然后根据投影向量的计算公式即可得出在上的投影向量．
本题考查了根据点的坐标求向量的坐标的方法，投影向量的计算公式，向量坐标的数乘和数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
根据余弦二倍角公式化简求值即可．
本题考查余弦二倍角公式的应用，考查学生计算能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由，可得，
即，
又，，
，
，
．
故选：．
由数量积性质，直接将向量的模转化为向量的数量积进行运算，解出夹角余弦值，进而根据范围求角．
本题考查平面向量数量积运算及性质，属基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，在三棱锥中，，，
则有，变形可得，则，
将三棱锥沿一条侧棱展开，得到顶角为的多边形，
根据余弦定理，最短距离，
故选：．
根据题意，求出的值，将三棱锥沿一条侧棱展开，分析其展开图，由余弦定理分析可得答案．
本题考查棱锥的展开图的应用，涉及三棱锥的几何结构，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接并延长交于点，连接，
是的内心，为的角平分线，
根据角平分线定理有，
，，共线，可设，
则，又，
．
故选：．
首先由角平分线定理得到和的长度关系，再由平面向量基本定理，利用，，三点共线，得到向量关系式，比较系数即可求出．
本题考查了平面向量的线性运算和三角形角平分线定理，属基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：圆锥母线长，底面半径，，所以A正确；
B.圆心角，所以B正确；
C.，所以C正确；
D.，轴截面是钝角三角形，所以不正确．
故选：．
利用圆锥的结构特征，求解表面积以及体积，侧面展开图的圆心角，判断选项的正误即可．
本题考查圆锥的结果特征的应用，面积以及体积的求法，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，，故A正确；
对于，令，则，对称轴为，故B正确；
对于，令，，可得对称中心为，故C错误；
对于，令，则，
单调递增区间为，故D正确．
故选：．
先利用三角恒等变换将函数解析式化简，再结合三角函数的图象和性质逐一判断选项即可．
本题考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：中，因为，由正弦定理，可得，则或，所以不正确；
中，，，，
所以，所以，所以B正确；
中，，只有一组解，所以不正确；
中，因为，由正弦定理可得，，
是钝角三角形所以D正确；
故选：．
中，由正弦定理可得角的正弦，可得角的大小，判断的真假；中，正切化弦，再由角的可得的符合，判断的真假；中，由大边对大角，判断只有一个解，判断的真假；中，由正弦定理可得，可得角为钝角，判断的真假．
本题考查三角形性质的应用及命题真假的判断，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，设，，，，
则有，，
所以周长为，
化简可得，，
所以
，选项A正确；
对于，，
，当且仅当时，等号成立，
，选项B正确；
对于，设，，，
则有，
周长
，
，当且仅当时等号成立，
，选项C正确；
对于，由选项B可知，此时，
则，当且仅当时等号成立，选项D错误．
故选：．
对于，设，，，，可得，再利用正切的和角公式化简，即可判断选项A；对于，根据面积公式可得，再由基本不等式可得，由此可判断选项B；对于，设，，，再由基本不等式和平面向量的数量积判断即可；对于，可得，计算，再由基本不等式即可判断．
本题考查平面向量的综合运用，考查利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，，
则，，
，
，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：已知棱台两底面的面积分别为和，截得这个棱台的棱锥的高为，
设棱台的高为，根据面积比等于相似比的平方，
即，．
故答案为：．
设棱台的高为，根据面积比等于相似比的平方，求得后代入棱台的体积公式即可求解．
本题考查了棱台的体积计算，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由可得，
如图所示，取中点，则有，
即有，
由图易知，，
故答案为：．
将条件式根据系数进行合理配凑，得出，即可推出两三角形高的比例关系，进而得到面积关系．
本题考查平面向量的线性运算，属基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设，
则，
设，则，
所以



，当且仅当，即时等号成立，
则与所成角的最大值为．
故答案为：．
设，，可得，再利用向量的夹角公式化简，然后利用二次函数的性质即可得解．
本题考查平面向量的综合运用，考查转化思想以及运算求解能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：设，因为．
所以，
则，解得，
故；
是方程的一个解，
它的共轭复数也是方程的一个解，
根据韦达定理，可得，
，． 

【解析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解；
根据已知条件，结合韦达定理，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，考查了方程思想，属于基础题．
 

18.【答案】解：如图，点为圆柱底面圆圆心，连接，

，

，
；
，
当且仅当，即时，取最大值，最大值为． 

【解析】点为圆柱底面圆圆心，连接，利用圆柱的表面积和体积公式即可求解；
利用圆柱的侧面积公式和基本不等式即可求解．
本题考查了圆柱的表面积和体积的计算，属于中档题．
 

19.【答案】解：由函数的部分图象知，
，所以，所以，
又因为，
所以，，解得，，
又因为，所以，
所以，解得，
所以；
因为，所以，
所以，
所以，
即的取值范围是． 

【解析】由函数的部分图象求出和、与的值，即可写出的解析式；
求出时的取值范围，即可得出的取值范围．
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合思想，是基础题．
 

20.【答案】解：，，
故

，
；
设，则有

，
，，三点共线，
，
故
，
，，，夹角为，


． 

【解析】只需找出和的关系，和的关系，即可利用向量的线性运算，将和用和表示出来；
首先利用题设条件及平面向量基本定理，找出与的数量关系，再通过向量运算，将用基底和表示出来，进而求模即可．
本题考查平面向量的线性运算，数量积运算以及平面向量基本定理，属中档题．
 

21.【答案】解：某海岸的哨所在凌晨点分发现哨所北偏东方向处的点出现可疑船只，
点位于哨所北偏东方向处，
，，
，
，
，，
点位于哨所北偏西方向处，
，
，
，
走私船的速度大小为；
早上点分位于哨所正西方向的哨所发现了该可疑船只位于哨所北偏西方向处的点，
设在点处截获走私船，截获走私船所需时间为，
，，，
，
，，，
，
走私船速度为，缉私船速度为，
，
在中，根据余弦定理，
，
，
化简得，
舍去，或，
此时，
，
缉私船沿北偏西方向行驶，小时后即早上点分可截获走私船． 

【解析】利用余弦定理即可求解；
设在点处截获走私船，截获走私船所需时间为，利用余弦定理即可求解．
本题考查了余弦定理的实际应用，属于中档题．
 

22.【答案】解：，，
，
，
，
，
，，为三角形内角，；
根据正弦定理：，
，

，
设
，
原式，单调递减，
当时，． 

【解析】利用正弦定理和两角和的正弦公式，即可求解；
利用正弦定理和换元思想，利用函数单调性即可求解．
本题考查了正弦定理和两角和的正弦公式，属于中档题．