2023年四川省南充市中考数学试卷（含答案解析）

这是一份2023年四川省南充市中考数学试卷（含答案解析），共30页。试卷主要包含了选择题每小题都有代号为A，解答题解答应写出必要的文字说明等内容，欢迎下载使用。

2023年四川省南充市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分．
1．（4分）如果向东走10m记作+10m，那么向西走8m记作（　　）
A．﹣10m B．+10m C．﹣8m D．+8m
2．（4分）如图，将△ABC沿BC向右平移得到△DEF，若BC＝5，BE＝2，则CF的长是（　　）

A．2 B．2.5 C．3 D．5
3．（4分）某女鞋专卖店在一周内销售了某种女鞋60双，对这批鞋子尺码及销量进行统计，得到条形统计图（如图）．根据图中信息，建议下次进货量最多的女鞋尺码是（　　）

A．22cm B．22.5cm C．23cm D．23.5cm
4．（4分）如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知∠BAC＝α，则A，C两处相距（　　）

A．米 B．米 C．x•sinα米 D．x•cosα米
5．（4分）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺＝10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为（　　）
A．（x+4.5）＝x﹣1 B．（x+4.5）＝x+1
C．（x﹣4.5）＝x+1 D．（x﹣4.5）＝x﹣1
6．（4分）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为10m，则旗杆高度为（　　）

A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m
7．（4分）若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x+1）2上的是（　　）
A．（m，n+1） B．（m+1，n） C．（m，n﹣1） D．（m﹣1，n）
8．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠CAB的内部相交于点P，画射线AP与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E．则下列结论错误的是（　　）

A．∠CAD＝∠BAD B．CD＝DE C．AD＝5 D．CD：BD＝3：5
9．（4分）关于x，y的方程组的解满足x+y＝1，则4m÷2n的值是（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
10．（4分）抛物线y＝﹣x2+kx+k﹣与x轴的一个交点为A（m，0），若﹣2≤m≤1，则实数k的取值范围是（　　）
A．≤k≤1 B．k≤﹣或k≥1
C．﹣5≤k≤ D．k≤﹣5或k≥
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上．
11．（4分）若＝0，则x的值为 　 　．
12．（4分）不透明袋中有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机取出一个球是红球的概率为0.6，若袋中有4个白球，则袋中红球有 　 　个．
13．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，AC＝12，BC＝5，则MD的长是 　 　．

14．（4分）小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，当动力臂由1.5m增加到2m时，撬动这块石头可以节省 　 　N的力．
（杜杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂）
15．（4分）如图，直线y＝kx﹣2k+3（k为常数，k＜0）与x，y轴分别交于点A，B，则+的值是 　 　．

16．（4分）如图，在等边△ABC中，过点C作射线CD⊥BC，点M，N分别在边AB，BC上，将△ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B′处，连接AB′，已知AB＝2．给出下列四个结论：①CN+NB′为定值；②当BN＝2NC时，四边形BMB′N为菱形；③当点N与C重合时，∠AB′M＝18°；④当AB′最短时，MN＝．其中正确的结论是 　 　.（填写序号）

三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）先化简，再求值：（a﹣2）（a+2）﹣（a+2）2，其中a＝﹣．
18．（8分）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，∠CBE＝∠ADF．
求证：（1）AE＝CF；
（2）BE∥DF．

19．（8分）为培养学生劳动习惯，提升学生劳动技能，某校在五月第二周开展了劳动教育实践周活动．七（1）班提供了四类活动：A．物品整理，B．环境美化，C．植物栽培，D．工具制作．要求每个学生选择其中一项活动参加，该班数学科代表对全班学生参与四类活动情况进行了统计，并绘制成统计图（如图）．
（1）已知该班有15人参加A类活动，则参加C类活动有多少人？
（2）该班参加D类活动的学生中有2名女生和2名男生获得一等奖，其中一名女生叫王丽，若从获得一等奖的学生中随机抽取两人参加学校“工具制作”比赛，求刚好抽中王丽和1名男生的概率．

20．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0．
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若x1，x2是方程的两个实数根，且+＝﹣，求m的值．
21．（10分）如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点A（﹣1，6），B（，a﹣3），与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）点M在x轴上，若S△OAM＝S△OAB，求点M的坐标．

22．（10分）如图，AB与⊙O相切于点A，半径OC∥AB，BC与⊙O相交于点D，连接AD．
（1）求证：∠OCA＝∠ADC；
（2）若AD＝2，tanB＝，求OC的长．

23．（10分）某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．已知A产品成本价m元/件（m为常数，且4≤m≤6，售价8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价12元/件，售价20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y（元）与每日产销x（件）满足关系式y＝80+0.01x2．
（1）若产销A，B两种产品的日利润分别为w1元，w2元，请分别写出w1，w2与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）分别求出产销A，B两种产品的最大日利润．（A产品的最大日利润用含m的代数式表示）
（3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．
【利润＝（售价﹣成本）×产销数量﹣专利费】
24．（10分）如图，正方形ABCD中，点M在边BC上，点E是AM的中点，连接ED，EC．
（1）求证：ED＝EC；
（2）将BE绕点E逆时针旋转，使点B的对应点B′落在AC上，连接MB′．当点M在边BC上运动时（点M不与B，C重合），判断△CMB′的形状，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，当∠DEB′＝45°时，求BM的长．

25．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点K（1，3）的直线（直线KD除外）与抛物线交于G，H两点，直线DG，DH分别交x轴于点M，N．试探究EM•EN是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．


2023年四川省南充市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分．
1．（4分）如果向东走10m记作+10m，那么向西走8m记作（　　）
A．﹣10m B．+10m C．﹣8m D．+8m
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【解答】解：如果向东走10m记作+10m，那么向西走8m记作﹣8m．
故选：C．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
2．（4分）如图，将△ABC沿BC向右平移得到△DEF，若BC＝5，BE＝2，则CF的长是（　　）

A．2 B．2.5 C．3 D．5
【分析】根据经过平移，对应点所连的线段相等解答即可．
【解答】解：由平移的性质可知：CF＝BE＝2，
故选：A．
【点评】本题考查的是平移的性质，掌握经过平移，对应点所连的线段平行且相等是解题的关键．
3．（4分）某女鞋专卖店在一周内销售了某种女鞋60双，对这批鞋子尺码及销量进行统计，得到条形统计图（如图）．根据图中信息，建议下次进货量最多的女鞋尺码是（　　）

A．22cm B．22.5cm C．23cm D．23.5cm
【分析】利用众数的意义得出答案．
【解答】解：由题意可知，销量最多的是23.5cm，
所以建议下次进货量最多的女鞋尺码是23.5cm．
故选：D．
【点评】此题主要考查了条形统计图以及众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．
4．（4分）如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知∠BAC＝α，则A，C两处相距（　　）

A．米 B．米 C．x•sinα米 D．x•cosα米
【分析】根据题意可得：BC⊥AB，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，即可解答．
【解答】解：由题意得：BC⊥AB，
在Rt△ABC中，∠CAB＝α，AB＝x米，
∴AC＝＝（米），
∴A，C两处相距米，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
5．（4分）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺＝10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为（　　）
A．（x+4.5）＝x﹣1 B．（x+4.5）＝x+1
C．（x﹣4.5）＝x+1 D．（x﹣4.5）＝x﹣1
【分析】设长木长为x尺，则用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，可知绳子长为（x+4.5）尺；绳子对折再量木条，木条剩余1尺可知：（x+4.5）＝x﹣1，即可列出相应的方程．
【解答】解：设长木长为x尺，
∵用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，
∴绳子长为（x+4.5）尺，
∵绳子对折再量木条，木条剩余1尺，
得方程为：（x+4.5）＝x﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的一元一次方程．
6．（4分）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为10m，则旗杆高度为（　　）

A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m
【分析】根据镜面反射的性质，△ABC∽△EDC，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【解答】解：如图：
∵AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴△ABC∽△EDC，
∴，
即，
∴DE＝8，
故选：B．

【点评】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．
7．（4分）若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x+1）2上的是（　　）
A．（m，n+1） B．（m+1，n） C．（m，n﹣1） D．（m﹣1，n）
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把点P（m，n）代入y＝ax2（a≠0）即可求出n＝am2，然后将四个选项中的坐标代入y＝a（x+1）2中，看两边是否相等，即可判断该点是否在抛物线上．
【解答】解：∵点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，
∴n＝am2，
把x＝m代入y＝a（x+1）2得a（m+1）2≠n，故点（m，n+1）和点（m，n﹣1）不在抛物线y＝a（x+1）2上，故A、C不合题意；
把x＝m+1代入y＝a（x+1）2得a（m+2）2≠n，故点（m+1，n）不在抛物线y＝a（x+1）2上，故B不合题意；
把x＝m﹣1代入y＝a（x+1）2得a（m﹣1+1）2＝am2＝n，故点（m﹣1，n）在抛物线y＝a（x+1）2上，D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
8．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠CAB的内部相交于点P，画射线AP与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E．则下列结论错误的是（　　）

A．∠CAD＝∠BAD B．CD＝DE C．AD＝5 D．CD：BD＝3：5
【分析】由基本作图可判断A；根据角平分线的性质可判断B；由三角形的面积公式求出CD再根据勾股定理求出AD，可判断C；求出BD的长可判断D．
【解答】解：由作图可得，AP平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，故选项A不符合题意；
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE，故选项B不符合题意；
在Rt△ABC中，AC＝6，AB＝10，
∴BC＝＝8，
∵△ABC的面积为＝△ACD的面积+△ABD的面积，
∴AC•CD+AB•DE＝AC•BC，
∴6•CD+10CD＝6×8，
解得CD＝3，
∴AD＝＝＝3，故选项C符合题意；
∵BD＝BC﹣CD＝8﹣3＝5，
∴CD：BD＝3：5，故选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图、角平分线的性质的运用，勾股定理，解决本题的关键是掌握角平分线的性质，即角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
9．（4分）关于x，y的方程组的解满足x+y＝1，则4m÷2n的值是（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【分析】根据方程组①﹣②得，2x+2y＝2m﹣n﹣1，即x+y＝，再根据x+y＝1，得2m﹣n＝3，所以4m÷2n＝22m÷2n＝22m﹣n＝23＝8．
【解答】解：∵方程组，
∴①﹣②得，2x+2y＝2m﹣n﹣1，
∴x+y＝，
∵x+y＝1，
∴＝1，
∴2m﹣n＝3，
∴4m÷2n＝22m÷2n＝22m﹣n＝23＝8．
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法法则，能熟练掌握运算法则是解此题的关键．
10．（4分）抛物线y＝﹣x2+kx+k﹣与x轴的一个交点为A（m，0），若﹣2≤m≤1，则实数k的取值范围是（　　）
A．≤k≤1 B．k≤﹣或k≥1
C．﹣5≤k≤ D．k≤﹣5或k≥
【分析】由抛物线y＝﹣x2+kx+k﹣与x轴有交点，可得k2+4（k﹣）≥0，故k≤﹣5或k≥1；根据抛物线y＝﹣x2+kx+k﹣与x轴的一个交点为A（m，0），﹣2≤m≤1，知x＝﹣2和x＝1时的函数值异号，故[﹣（﹣2）2﹣2k+k﹣]•（﹣12+k+k﹣）≤0，可得k≤﹣或k≥，即可得到答案．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+kx+k﹣与x轴有交点，
∴Δ≥0，即k2+4（k﹣）≥0，
∴k2+4k﹣5≥0，
解得k≤﹣5或k≥1；
∵抛物线y＝﹣x2+kx+k﹣与x轴的一个交点为A（m，0），﹣2≤m≤1，
∴[﹣（﹣2）2﹣2k+k﹣]•（﹣12+k+k﹣）≤0，
即（﹣k﹣）（2k﹣）≤0，
∴（k+）（2k﹣）≥0，
解得k≤﹣或k≥，
∴实数k的取值范围是k≤﹣或k≥，
（备注：没有正确选项，故选B）
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键是根据已知列出满足条件的不等式．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上．
11．（4分）若＝0，则x的值为 　﹣1　．
【分析】分母不为0，分子为0时，分式的值为0．
【解答】解：根据题意，得x+1＝0且x﹣2≠0，
解得x＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
12．（4分）不透明袋中有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机取出一个球是红球的概率为0.6，若袋中有4个白球，则袋中红球有 　6　个．
【分析】设红球有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【解答】解：设红球有x个，
根据题意得：＝0.6，
解得：x＝6，
经检验x＝6是原方程的根，
则袋中红球有6个．
故答案为：6．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
13．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，AC＝12，BC＝5，则MD的长是 　4　．

【分析】根据垂径定理得OM⊥AC，根据圆周角定理得∠C＝90°，根据勾股定理得AB＝＝13，根据三角形中位线定理得OD＝BC＝2.5，OD∥BC，所以OD⊥AC，MD＝OM﹣OD＝6.5﹣2.5＝4．
【解答】解：∵点M是弧AC的中点，
∴OM⊥AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵AC＝12，BC＝5，
∴AB＝＝13，
∴OM＝6.5，
∵点D是弦AC的中点，
∴OD＝BC＝2.5，OD∥BC，
∴OD⊥AC，
∴MD＝OM﹣OD＝6.5﹣2.5＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握和运用这些定理是解题的关键．
14．（4分）小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，当动力臂由1.5m增加到2m时，撬动这块石头可以节省 　100　N的力．
（杜杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂）
【分析】根据杠杆定律求得函数的解析式后代入l＝1.5和l＝2求得力的大小即可．
【解答】解：根据“杠杆定律”有FL＝1000×0.6，
∴函数的解析式为F＝，
当L＝1.5时，F＝＝400，
当L＝2时，F＝＝300，
因此，撬动这块石头可以节省400﹣300＝100N，
故答案为：100．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出反比例函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大．
15．（4分）如图，直线y＝kx﹣2k+3（k为常数，k＜0）与x，y轴分别交于点A，B，则+的值是 　1　．

【分析】根据一次函数的解析式，可以求得点A和点B的坐标，然后即可计算出+的值．
【解答】解：∵直线y＝kx﹣2k+3，
∴当x＝0时，y＝﹣2k+3；当y＝0时，x＝；
∴点A的坐标为（，0），点B的坐标为（0，﹣2k+3），
∴OA＝，OB＝﹣2k+3，
∴+
＝+
＝﹣
＝
＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出点A和点B的坐标，利用数形结合的思想解答．
16．（4分）如图，在等边△ABC中，过点C作射线CD⊥BC，点M，N分别在边AB，BC上，将△ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B′处，连接AB′，已知AB＝2．给出下列四个结论：①CN+NB′为定值；②当BN＝2NC时，四边形BMB′N为菱形；③当点N与C重合时，∠AB′M＝18°；④当AB′最短时，MN＝．其中正确的结论是 　①②④　.（填写序号）

【分析】根据将△ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B′处，得NB＝NB'，故CN+NB'＝CN+NB＝BC，判断①正确；由cos∠B'NC＝＝，得∠B'NC＝60°，可得△BMN是等边三角形，即可得B'M＝BM＝BN＝B'N，判断②正确；当点N与C重合时，可得∠B'AC＝∠AB'C＝75°，∠AB'M＝∠AB'C﹣∠MB'C＝15°，判断③错误；当AB′最短时，∠AB'C＝90°，过M作KT⊥BC于T，交B'A延长线于K，设BN＝B'N＝x，有x2＝（2﹣x）2+（）2，可求得BN＝，设AM＝y，则BM＝2﹣y＝B'M，AK＝y，KM＝y，有（1+y）2+（y）2＝（2﹣y）2，可求出AM＝，BM＝，在Rt△BMT中，BT＝BM＝，MT＝BT＝，故NT＝BN﹣BT＝，在Rt△MNT中，MN＝＝，判断④正确．
【解答】解：∵将△ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B′处，
∴NB＝NB'，
∴CN+NB'＝CN+NB＝BC，
∵△ABC是等边三角形，AB＝2，
∴BC＝2，
∴CN+NB'＝BC＝2，故①正确；
∵BN＝2NC，
∴B'N＝2NC，
∵CD⊥BC，
∴∠B'CN＝90°，
∴cos∠B'NC＝＝，
∴∠B'NC＝60°，
∴∠BNB'＝120°，
∵将△ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B′处，
∴∠BNM＝∠MNB'＝60°，BM＝B'M，BN＝B'N，
∵∠B＝60°，
∴△BMN是等边三角形，
∴BM＝BN，
∴B'M＝BM＝BN＝B'N，
∴四边形BMB′N为菱形；故②正确；
当点N与C重合时，如图：

∵∠ACB＝60°，∠DCB＝90°，
∴∠ACD＝30°，
∵将△ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B′处，
∴AC＝BC＝B'C，∠MB'C＝∠B＝60°，
∴∠B'AC＝∠AB'C＝（180°﹣30°）÷2＝75°，
∴∠AB'M＝∠AB'C﹣∠MB'C＝75°﹣60°＝15°，故③错误；
当AB′最短时，∠AB'C＝90°，过M作KT⊥BC于T，交B'A延长线于K，如图：

∵∠ACB'＝∠BCB'﹣∠BCA＝30°，
∴AB'＝AC＝1，B'C＝AB'＝，∠B'AC＝60°，
设BN＝B'N＝x，则CN＝2﹣x，
在Rt△B'CN中，B'N2＝CN2+B'C2，
∴x2＝（2﹣x）2+（）2，
解得x＝，
∴BN＝，
∵∠AB'C＝90°＝∠BCB'，
∴AB'∥BC，
∴KT⊥AB'，
∴∠K＝90°，
∵∠KAM＝180°﹣∠BAC﹣∠B'AC＝60°，
∴∠KMA＝30°，
∴AK＝AM，KM＝AM，
设AM＝y，则BM＝2﹣y＝B'M，AK＝y，KM＝y，
∴B'K＝AB'+AK＝1+y，
在Rt△B'KM中，B'K2+KM2＝B'M2，
∴（1+y）2+（y）2＝（2﹣y）2，
解得y＝，
∴AM＝，BM＝，
在Rt△BMT中，∠B＝60°，
∴BT＝BM＝，MT＝BT＝，
∴NT＝BN﹣BT＝﹣＝，
在Rt△MNT中，
MN＝＝＝，故④正确，
∴正确的有①②④，
故答案为：①②④．
【点评】本题考查等边三角形中的翻折问题，涉及含30°角的直角三角形三边的关系，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．
三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）先化简，再求值：（a﹣2）（a+2）﹣（a+2）2，其中a＝﹣．
【分析】原式第一项利用平方差公式就是，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（a﹣2）（a+2）﹣（a+2）2
＝a2﹣4﹣a2﹣4a﹣4
＝﹣4a﹣8，
当a＝﹣时，原式＝﹣4×﹣8＝﹣2．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（8分）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，∠CBE＝∠ADF．
求证：（1）AE＝CF；
（2）BE∥DF．

【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，求得∠DAF＝∠BCE，根据全等三角形的性质得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠AFD＝∠CEB，根据平行线的判定定理即可得到BE∥DF．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAF＝∠BCE，
在△ADF与△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（ASA），
∴AF＝CE，
∴AF﹣EF＝CE﹣EF，
∴AE＝CF；
（2）∵△ADF≌△CBE，
∴∠AFD＝∠CEB，
∴BE∥DF．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
19．（8分）为培养学生劳动习惯，提升学生劳动技能，某校在五月第二周开展了劳动教育实践周活动．七（1）班提供了四类活动：A．物品整理，B．环境美化，C．植物栽培，D．工具制作．要求每个学生选择其中一项活动参加，该班数学科代表对全班学生参与四类活动情况进行了统计，并绘制成统计图（如图）．
（1）已知该班有15人参加A类活动，则参加C类活动有多少人？
（2）该班参加D类活动的学生中有2名女生和2名男生获得一等奖，其中一名女生叫王丽，若从获得一等奖的学生中随机抽取两人参加学校“工具制作”比赛，求刚好抽中王丽和1名男生的概率．

【分析】（1）由参加A类活动的人数除以所占百分比得出该班总人数，即可解决问题；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中刚好抽中王丽和1名男生的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）该班总人数为：15÷30%＝50（人），
∴参加C类活动有：50×（1﹣30%﹣28%﹣22%）＝50×20%＝10（人），
答：参加C类活动有10人；
（2）把2名女生分别记为A、B（其中A为王丽），2名男生分别记为C、D，
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中刚好抽中王丽和1名男生的结果有4种，
∴刚好抽中王丽和1名男生的概率为＝．
【点评】此题考查的是树状图法以及扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0．
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若x1，x2是方程的两个实数根，且+＝﹣，求m的值．
【分析】（1）由判别式Δ＝（4m﹣1）2≥0，可得答案；
（2）根据根与系数的关系知x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝﹣3m2+m，由+＝﹣进行变形直接代入得到5m2﹣7m+2＝0，求解可得．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（﹣3m2+m）
＝4m2﹣4m+1+12m2﹣4m
＝16m2﹣8m+1
＝（4m﹣1）2≥0，
∴方程总有实数根；

（2）解：由题意知，x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝﹣3m2+m，
∵+＝＝＝﹣，
∴，整理得5m2﹣7m+2＝0，
∴x1+x2＝0或x1﹣x2＝0，
解得m＝1或m＝．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．
21．（10分）如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点A（﹣1，6），B（，a﹣3），与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）点M在x轴上，若S△OAM＝S△OAB，求点M的坐标．

【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式，把B的坐标代入反比例函数解析式求出B的坐标，把A、B的坐标代入所设一次函数解析式即可求出函数的解析式；
（2）依据题意，结合图象，设出M的坐标，求出△AOC和△AOM的面积，即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意，设反比例函数、一次函数分别为 ，y＝kx+b（k≠0，
∵点A（﹣1，6）在反比例函数图象上，
∴n＝﹣6．
∴反比例函数解析式为 ．
∵点B在反比例函数图象上，
∴．
∴a＝1．
∴B（3，﹣2）．
∵点 A（﹣1，6），B（3，﹣2）在一次函数 y＝kx+b 的图象上，
∴．
∴．
∴一次函数解析式为 y＝﹣2x+4．
（2）设点M（m，0），由（1）得，直线 y＝﹣2x+4 交x轴于点C（2，0），
∴OC＝2
∴S△AOB＝S△AOC+S△COB＝＝6+2＝8．
∵M在x轴上，
∴S△AOM＝＝3|m|．
又S△AOB＝S△AOM，
∴3|m|＝8．
∴m＝±．
∴点M的坐标为 或 ．
【点评】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，以及数形结合思想的运用．
22．（10分）如图，AB与⊙O相切于点A，半径OC∥AB，BC与⊙O相交于点D，连接AD．
（1）求证：∠OCA＝∠ADC；
（2）若AD＝2，tanB＝，求OC的长．

【分析】（1）连接OA交BC于点F，根据切线的性质和圆周角定理得∠ADC＝∠AOC＝45°，进而可以解决问题；
（2）过点A作AE⊥BC于点E，得△ADE是等腰直角三角形，根据锐角三角函数和勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接OA交BC于点F，
∵AB是⊙O的切线，
∴∠OAB＝90°，
∵OC∥AB，
∴∠AOC＝∠OAB＝90°，
∵CO＝OA，
∴∠OCA＝45°，
∴∠ADC＝∠AOC＝45°，
∴∠OCA＝∠ADC；
（2）解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵∠ADE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝DE＝AD＝，
∵tanB＝＝，
∴BE＝3AE＝3，
∴AB＝＝＝2，
在Rt△ABF中，tanB＝＝，
∴AF＝AB＝，
∵OC∥AB，
∴∠OCF＝∠B，
∴tan∠OCF＝＝，
设OC＝r，则OF＝OA﹣AF＝r﹣，
∴3 （r﹣）＝r，
解得r＝，
∴OC＝．

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径．
23．（10分）某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．已知A产品成本价m元/件（m为常数，且4≤m≤6，售价8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价12元/件，售价20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y（元）与每日产销x（件）满足关系式y＝80+0.01x2．
（1）若产销A，B两种产品的日利润分别为w1元，w2元，请分别写出w1，w2与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）分别求出产销A，B两种产品的最大日利润．（A产品的最大日利润用含m的代数式表示）
（3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．
【利润＝（售价﹣成本）×产销数量﹣专利费】
【分析】（1）根据利润＝（售价﹣成本）×产销数量﹣专利费即可列出解析式，注意取值范围．
（2）根据解析式系数a确定增减性，再结合x得取值范围选择合适的值得出最大值．
（3）分类讨论当什么情况下A、B利润一样，什么情况下A利润大于B以及什么情况下A利润小于B 即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意，得w1＝（8﹣m）x﹣30，（0≤x≤500）．
w2＝（20﹣12）x﹣（80+0.01x2）
＝﹣0.01x2+8x﹣80，（0≤x≤300）．
（2）∵8﹣m＞0，∴w1随x的增大而增大，又0≤x≤500，
∴当x＝500时，w1有最大值，即w最大＝﹣500m+3970（元）．
∵w2＝﹣0.01x2+8x﹣80＝﹣0.01（x﹣400）2+1520．
又∵﹣0.01＜0．对称轴x＝400．
∴当0≤x≤300时，w2随x的增大而增大，
∴当x＝300时，w2最大＝﹣0.01×（300﹣400）2+1520＝1420（元）．
（3）①若w1最大＝w2最大，即﹣500m+3970＝1420，解得m＝5.1，
②若w1最大＞w2最大，即﹣500m+3970＞1420，解得m＜5.1，
③若w1最大＜w2最大，即﹣500m+3970＜1420，解得m＞5.1．
又4≤m≤6，综上可得，为获得最大日利润：
当m＝5.1时，选择A，B产品产销均可；
当4≤m＜5.1时，选择A种产品产销；
当5.1＜m≤6时，选择B种产品产销．
答：当A产品成本价为5.1元时，工厂选择A或B产品产销日利润一样大，当A产品4≤m＜5.1时，工厂选择A产品产销日利润最大，当5.1＜m≤6时，工厂选择B产品产销日利润最大．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，从实际问题中抽象出数学问题是解题的关键．
24．（10分）如图，正方形ABCD中，点M在边BC上，点E是AM的中点，连接ED，EC．
（1）求证：ED＝EC；
（2）将BE绕点E逆时针旋转，使点B的对应点B′落在AC上，连接MB′．当点M在边BC上运动时（点M不与B，C重合），判断△CMB′的形状，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，当∠DEB′＝45°时，求BM的长．

【分析】（1）根据正方形的性质和直角三角形斜边中线的性质可证△EAD≌△EBC（SAS），根据全等三角形的性质即可得证；
（2）根据折叠的性质可得根据旋转的性质可得，EB′＝EB，再根据直角三角形斜边的中线的性质可得EB′＝AE＝ME，进一步可得∠AB′M＝90°，可得∠CB′M＝90°，再根据正方形的性质可得∠B′CM＝45°，进一步可得B′M＝B′C，可证△MB′C是等腰直角三角形；
（3）延长BE交AD于点F，根据三角形外角的性质可得∠BEB′＝90°，进一步可得∠DEF＝45°，根据△EAD≌△EBC，可得∠AED＝∠BEC，进一步可得∠CEM＝∠DEF＝45°，再证明△CME∽△AMC，根据相似三角形的性质可得CM：AM＝EM：CM，可得，设BM＝x，则CM＝1﹣x，根据勾股定理，AM2＝1+x2，列方程求解即可．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AD＝BC，∠BAD＝∠ABC＝90°，
∵E为AM的中点，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，
∴∠EAD＝∠EBC，
在△EAD和△EBC中，
，
∴△EAD≌△EBC（SAS），
∴ED＝EC；
（2）解：△CMB′是等腰直角三角形，理由如下：
根据旋转的性质可得，EB′＝EB，
∵EB＝AE＝ME，
∴EB′＝AE＝ME，
∴∠EAB′＝∠EB′A，∠EMB′＝∠EB′M，
∵∠EAB′+∠EB′A+∠EB′M+∠EMB′＝180°，
∴∠AB′M＝90°，
∴∠MB′C＝90°，
在正方形ABCD中，∠ACB＝45°，
∴∠B′MC＝45°，
∴B′M＝B′C，
∴△CMB′是等腰直角三角形；
（3）解：延长BE交AD于点F，如图所示：
∵∠BEM＝2∠BAE，∠B′EM＝2∠B′AE，
∵∠BAB′＝45°，
∴∠BEB′＝90°，
∴∠B′EF＝90°，
∵∠DEB′＝45°，
∴∠DEF＝45°，
∵△EAD≌△EBC，
∴∠AED＝∠BEC，
∵∠AEF＝∠BEM，
∴∠CEM＝∠DEF＝45°，
∵∠MCA＝45°，
∴∠CEM＝∠MCA，
又∵∠CME＝∠AMC，
∴△CME∽△AMC，
∴CM：AM＝EM：CM，
∵EM＝AM，
∴，
在正方形ABCD中，BC＝AB＝1，
设BM＝x，则CM＝1﹣x，
根据勾股定理，AM2＝1+x2，
∴＝（1﹣x）2，
解得x＝或x＝2+（舍去），
∴BM＝．

【点评】本题考查了四边形的综合题，涉及正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等，本题综合性较强，难度较大．
25．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点K（1，3）的直线（直线KD除外）与抛物线交于G，H两点，直线DG，DH分别交x轴于点M，N．试探究EM•EN是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．

【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）当BC或BP为对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解；当BQ为对角线时，同理可解；
（3）求出直线GD的表达式为：y＝﹣（m﹣1）（x﹣1）+4，得到M（1+，0），同理可得，EN＝，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
即﹣3a＝3，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；

（2）设点P的坐标为：（m，﹣m2+2m+3），点Q（x，0），
当BC或BP为对角线时，由中点坐标公式得：3＝﹣m2+2m+3，
解得：m＝0（舍去）或2，
则点P（2，3）；
当BQ为对角线时，同理可得：0＝﹣m2+2m+3+3，
解得：m＝1±，
则点P的坐标为：（2，3），（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）；

（3）是定值，理由：
直线GH过点（1，3），故设直线GH的表达式为：y＝k（x﹣1）+3，
设点G、H的坐标分别为：（m，﹣m2+2m+3），点N（n，﹣n2+2n+3），
联立y＝k（x﹣1）+3和y＝﹣x2+2x+3并整理得：x2+（k﹣2）x﹣k＝0，
则m+n＝2﹣k，mn＝﹣k，
由点G、D的坐标得，直线GD的表达式为：y＝﹣（m﹣1）（x﹣1）+4，
令y＝0，则x＝1+，即点M（1+，0），
则EM＝1﹣1﹣＝﹣，
同理可得，EN＝，
则EM•EN＝﹣×＝﹣＝＝＝16．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、根和系数的关系等，有一定的综合性，难度适中．
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