统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练65离散型随机变量的均值与方差正态分布理

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[基础强化]
一、选择题
1．[2023·辽宁省沈阳二中模拟]已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，且P(ξ＜1)＝0.6，则P(ξ＞－1)＝( )
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
2．已知X＋Y＝8，若X～B(10，0.6)，则E(Y)和D(Y)分别是( )
A．6和2.4 B．2和2.4
C．2和5.6 D．6和5.6
3．[2023·四川省高三诊断性测试]已知随机变量ξ～N(1，σ2)(σ＞0)，若P(1＜ξ≤4)＝0.32，则P(ξ＞4)＝( )
A．0.18 B．0.36 C．0.32 D．0.16
4．已知离散型随机变量X的分布列如下：
则E(X)＝( )
A．1 B．0.6 C．2.44 D．2.4
5．随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)＝( )
A.2 B．3 C．4 D．5
6．口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0，1，2，3，4，从中任取3个球，以X表示取出的球的最小号码，则E(X)＝( )
A．0.45 B．0.5 C．0.55 D．0.6
7．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝( )
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
8．[2023·四川省广安市模拟]2022年第24届冬季奥林匹克运动会(即2022年北京冬季奥运会)的成功举办，展现了中国作为一个大国的实力和担当，“一起向未来”更体现了中国推动构建人类命运共同体的价值追求．在北京冬季奥运会的某个比赛日，某人欲在冰壶( eq \a\vs4\al(●))、冰球( eq \a\vs4\al(●))、花样滑冰( eq \a\vs4\al(●))、跳台滑雪()、自由滑雪()、雪车()这6个项目随机选择3个比赛项目现象观察(注：比赛项目后括号内为“ eq \a\vs4\al(●)”表示当天不决出奖牌的比赛，“”表示当天会决出奖牌的比赛)，则所选择的3个观察项目中当天会决出奖牌的项目数的均值为( )
A．1 B． eq \f(3,2) C．2 D． eq \f(5,2)
9．[2023·内蒙古包头高三模拟]设0＜a＜1，随机变量ξ的分布列如下表：
当a在(0，1)内增大时，则( )
A.D(ξ)减小 B．D(ξ)增大
C.D(ξ)先减小后增大 D．D(ξ)先增大后减小
二、填空题
10．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________．
11．一个正四面体ABCD的四个顶点上分别标有1分，2分，3分和4分，往地面抛掷一次记不在地面上的顶点的分数为X，则X的均值为________．
12．在我校2018届高三10月份高考调研中，理科数学成绩X～N(90，σ2)(σ>0)，统计结果显示P(60≤X≤120)＝0.8，假设我校参加此次考试的有780人，那么估计此次考试中，我校成绩高于120分的有________人．
[能力提升]
13．[2023·河南省三市联考]甲乙丙三人参加2022年冬奥会北京、延庆、张家口三个赛区志愿服务活动，若每人只能选择一个赛区，且选择其中任何一个赛区是等可能的．记X为三人选中的赛区个数，Y为三人没有选中的赛区个数，则( )
A.E(X)＝E(Y)，D(X)＝D(Y)
B.E(X)＝E(Y)，D(X)≠D(Y)
C.E(X)≠E(Y)，D(X)≠D(Y)
D.E(X)≠E(Y)，D(X)＝D(Y)
14．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为 eq \f(2,3)，乙在每局中获胜的概率为 eq \f(1,3)，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为( )
A. eq \f(241,81) B． eq \f(266,81) C． eq \f(274,81) D． eq \f(670,243)
15．2012年国家开始实行法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站在统计了2023年清明节前后车辆通行数量，发现该站近几天每天通行车辆的数量ξ服从正态分布ξ～N(1 000，σ2)，若P(ξ>1 200)＝a，P(800<ξ<1 000)＝b，则 eq \f(1,a)＋ eq \f(9,b)的最小值为________．
16．[2023·山东省肥城适应性训练]在对某中学高一年级学生每周体育锻炼时间的调查中，采用随机数法，抽取了男生30人，女生20人. 已知男同学每周锻炼时间的平均数为17小时，方差为11；女同学每周锻炼时间的平均数为12小时，方差为16. 依据样本数据，估计本校高一年级学生每周体育锻炼时间的方差为________．
专练65 离散型随机变量的均值与方差、正态分布
1．A 由题意，正态曲线的对称轴为μ＝0，则ξ＝1与ξ＝－1关于对称轴对称，于是P(ξ＞－1)＝P(ξ＜1)＝0.6.
2．B ∵X～B(10，0.6)，∴E(X)＝10×0.6＝6，D(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，
又X＋Y＝8，∴Y＝8－X，
∴E(Y)＝8－E(X)＝8－6＝2，
D(Y)＝(－1)2D(X)＝2.4.
3．A ∵P(ξ＞1)＝0.5，∴P(ξ＞4)＝P(ξ＞1)－P(1＜ξ≤4)＝0.5－0.32＝0.18.
4．D 由分布列的性质可知0.5＋m＋0.2＝1，
∴m＝0.3，
∴E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.
5．C 由分布列的性质可知 eq \f(1,6)＋p＋ eq \f(1,3)＝1，
∴p＝ eq \f(1,2)，
∴E(X)＝0× eq \f(1,6)＋2×p＋a× eq \f(1,3)＝1＋ eq \f(a,3)＝2，
∴a＝3，
∴D(X)＝(0－2)2× eq \f(1,6)＋(2－2)2× eq \f(1,2)＋(3－2)2× eq \f(1,3)＝1，
∴D(2X－3)＝4D(X)＝4.
6．B 由题可知X可取的值为0，1，2，则P(X＝0)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) )＝0.6，
P(X＝1)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) )＝0.3，
P(X＝2)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) )＝0.1，
∴E(X)＝0×0.6＋1×0.3＋2×0.1＝0.5.
7．B 由题意得X～B(10，p)，则D(X)＝10×p×(1－p)＝2.4，
得p＝0.4或p＝0.6，又P(X＝4)∴C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(10)) p4(1－p)6∴(1－p)20.5，
∴p＝0.6.
8．B 所选择的3个观察项目中当天会决出奖牌的项目数为X，则X的取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) )＝ eq \f(1,20)，P(X＝1)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ·C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) )＝ eq \f(9,20)，P(X＝2)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ·C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) )＝ eq \f(9,20)，P(X＝3)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) )＝ eq \f(1,20)，则E(X)＝0× eq \f(1,20)＋1× eq \f(9,20)＋2× eq \f(9,20)＋3× eq \f(1,20)＝ eq \f(3,2).
9．A 由题意，E(ξ)＝0× eq \f(1,2)＋1× eq \f(a,2)＋2× eq \f(1－a,2)＝1－ eq \f(a,2)，
所以D(ξ)＝(0－1＋ eq \f(a,2))2× eq \f(1,2)＋(1－1＋ eq \f(a,2))2× eq \f(a,2)＋(2－1＋ eq \f(a,2))2× eq \f(1－a,2)＝－ eq \f(1,4)a2－ eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,4)＝－ eq \f(1,4)(a＋1)2＋ eq \f(1,2)，所以D(ξ)在(0，1)上随a增大而减小．
10．1.96
解析：由题意，X～B(100，0.02)，
∴D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.
11. eq \f(5,2)
解析：X的分布列为
∴E(X)＝1× eq \f(1,4)＋2× eq \f(1,4)＋3× eq \f(1,4)＋4× eq \f(1,4)＝ eq \f(5,2).
12．78
解析：∵X～N(90，σ2)，∴正态曲线关于直线x＝90对称，又P(60≤X≤120)＝0.8，∴P(X>120)＝ eq \f(1－0.8,2)＝0.1，
∴估计高于120分的有780×0.1＝78人．
13．D 由题意得X的可能取值为1，2，3，
则P(X＝1)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ,33)＝ eq \f(1,9)，P(X＝2)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ,33)＝ eq \f(2,3)，P(X＝3)＝ eq \f(A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ,33)＝ eq \f(2,9)，
所以E(X)＝1× eq \f(1,9)＋2× eq \f(2,3)＋3× eq \f(2,9)＝ eq \f(19,9)，
D(X)＝(1－ eq \f(19,9))2× eq \f(1,9)＋(2－ eq \f(19,9))2× eq \f(2,3)＋(3－ eq \f(19,9))2× eq \f(2,9)＝ eq \f(26,81)，
Y的可能取值为0，1，2，
则P(Y＝0)＝ eq \f(A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ,33)＝ eq \f(2,9)，P(Y＝1)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ,33)＝ eq \f(2,3)，P(Y＝2)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ,33)＝ eq \f(1,9)，
∴E(Y)＝0× eq \f(2,9)＋1× eq \f(2,3)＋2× eq \f(1,9)＝ eq \f(8,9)，
D(Y)＝(0－ eq \f(8,9))2× eq \f(2,9)＋(1－ eq \f(8,9))2× eq \f(2,3)＋(2－ eq \f(8,9))2× eq \f(1,9)＝ eq \f(26,81)；
∴E(X)≠E(Y)，D(X)＝D(Y).
14．B 由已知，ξ的可能取值是2，4，6.设每两局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为( eq \f(2,3))2＋( eq \f(1,3))2＝ eq \f(5,9).若该轮结束时比赛还要继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响．
所以P(ξ＝2)＝ eq \f(5,9)，P(ξ＝4)＝ eq \f(5,9)× eq \f(4,9)＝ eq \f(20,81)，P(ξ＝6)＝( eq \f(4,9))2＝ eq \f(16,81)，所以E(ξ)＝2× eq \f(5,9)＋4× eq \f(20,81)＋6× eq \f(16,81)＝ eq \f(266,81).故选B.
15．32
解析：由ξ～N(1 000，σ2)，P(ξ>1 200)＝a，P(800<ξ<1 000)＝b得a＝0.5－b，所以a＋b＝ eq \f(1,2)，则 eq \f(1,a)＋ eq \f(9,b)＝2( eq \f(1,a)＋ eq \f(9,b))(a＋b)＝2(10＋ eq \f(b,a)＋ eq \f(9a,b))≥2(10＋2 eq \r(\f(b,a)·\f(9a,b)))＝32，当且仅当 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝3a，,a＋b＝\f(1,2)，))即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,8)，,b＝\f(3,8)，))时取等号，所以 eq \f(1,a)＋ eq \f(9,b)的最小值为32.
16．19
解析：根据平均数的计算公式，全班的平均数为 eq \x\t(z)＝ eq \f(17×30＋12×20,30＋20)＝15，
由s2＝ eq \f(1,n) eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) (xi－ eq \x\t(x))2＝ eq \f(1,n) eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) (x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i)) －2xi eq \x\t(x)＋ eq \x\t(x)2)＝ eq \f(1,n) eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i)) －2 eq \x\t(x) eq \f(1,n) eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xi＋ eq \x\t(x)2＝ eq \f(1,n) eq \(∑,\s\up6(m),\s\d4(i＝1))x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i)) － eq \x\t(x)2，设男同学为x1，x2，…，x30，女同学为y1，y2，…，y20，则男同学的方差s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝ eq \f(1,30) eq \(∑,\s\up6(30),\s\d4(i＝1)) (xi－17)2＝ eq \f(1,30) eq \(∑,\s\up6(30),\s\d4(i＝1))x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i)) －289＝11，从而 eq \(∑,\s\up6(30),\s\d4(i＝1))x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i)) ＝300×30＝9 000，
则女同学的方差s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝ eq \f(1,20) eq \(∑,\s\up6(20),\s\d4(i＝1)) (yi－12)2＝ eq \f(1,20) eq \(∑,\s\up6(20),\s\d4(i＝1))y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i)) －144＝16，从而 eq \(∑,\s\up6(20),\s\d4(i＝1))y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i)) ＝160×20＝3 200；
所以全班同学的方差为s2＝ eq \f(1,50) eq \(∑,\s\up6(50),\s\d4(i＝1)) (zi－15)2＝ eq \f(1,50) eq \(∑,\s\up6(50),\s\d4(i＝1))z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i)) －225＝ eq \f(1,50)(9 000＋3 200)－225＝19.
X
1
3
5
P
0.5
m
0.2
X
0
2
a
P
eq \f(1,6)
p
eq \f(1,3)
ξ
0
1
2
P
eq \f(1,2)
eq \f(a,2)
eq \f(1－a,2)
X
1
2
3
4
P
eq \f(1,4)
eq \f(1,4)
eq \f(1,4)
eq \f(1,4)